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第二章 有理數
在上面的天氣預報電視屏幕上，我們看到，這一天上海的最低溫度是-5℃，讀作負5℃，表示零下5℃。這里，出現了一種新數——負數.
我們將會看到，除了表示溫度以外，還有許多量需要用負數來表示.有了負數，數的家族引進了新的成員，將變得更加絢麗多彩，更加便于應用.
本章將與你一起認識負數，把數的范圍擴充到有理數，并研究有理數的大小比較和運算.
§2.1 正數和負數
我們知道，為了表示物體的個數或事物的順序，產生了數1，2，3，...; 為了表示“沒有”，引入了數0；有時分配、測量的結果不是整數，需要用分數(小數)表示. 總之，數是為了滿足生產和生活的需要而產生發展起來的.
1. 相反意義的量
在日常生活中，常會遇到這樣的一些量：
例1 汽車向東行駛3公里和向西行駛2公里；
例2 溫度是零上10℃和零下5℃；
例3 收入500元和支出237元;
例4 水位升高5.5米和下降3.6米等等.
這里出現的每一對量，雖然有著不同的具體內容，但有著一個共同特點，它們都是具有相反意義的量，向東和向西、零上和零下；收入和支出;升高和下降都具有相反的意義.
這些例子中出現的每一對量，有什么共同特點?
你能再舉出幾個日常生活中的具有相反意義的量嗎?
2. 正數與負數
對于相反意義的量, 只用原來的那些數很難區分量的相反意義. 例如,零上5℃用5表示, 那么零下5℃就不能仍用同一個數5來表示.
想一想
怎樣表示具有相反意義的量呢?能否從天氣預報的電視屏幕上出現的標記中，得到一些啟發呢?
在天氣預報的電視屏幕上我們發現，零下5℃可以用-5℃來表示. 一般地，對于具有相反意義的量，我們可把其中一種意義的量規定為正的，用過去學過的數表示，把與它意義相反的量規定為負的，用過去學過的數(零除外)前面放上一個“-”(讀作負)號來表示.
就拿溫度為例，通常規定零上為正，于是零下為負，零上10℃就用10℃表示，零下5℃用 -5℃來表示.
在例1中，如果規定向東為正，那么向西為負.汽車向東行駛3公里記作3公里，向西2公里應記作-2公里.
在例3中，如果規定收入為正，收入500元記作500元，支出237元應記作什么?
在例4中，如果升高5.5米記作5.5米,下降3.6米記作什么?
在這些討論中，出現了哪些新數?
為了表示具有相反意義的量, 我們引進了象-5,-2,-237,-3.6這樣的數, 這是一種新數,
叫做負數(negative number). 過去學過的那些數(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正數(positive number). 正數前面有時也可放上一個"+"號, 如5可以寫成+5, +5和5是一樣的. 注意: 0既不是正數,也不是負數.
練習
將你所舉出的具有相反意義的量用正數或負數來表示.
2.在中國地形圖上，在珠穆朗 瑪峰和吐魯番盆地處都標有表明它們的高度的數，如圖所示.這個數通常稱為海拔高度，它是相對于海平面來說的.請說出圖中所示的數8848和-155表示的實際意義。海平面的高度用什么數表示?
3.下列各數中,哪些是正數?哪些是負數?
+6；-21；54；0；；-3.14；0.001；-999
4.“一個數，如果不是正數，必定就是負數.”這句話對不對?為什么?
3. 有理數
想一想
引進了負數以后，我們學過的數有哪些?
引進了負數以后，我們學過的數就有： 正整數，如1，2，3，...;
零: 0;
負整數, 如-1,-2,-3,...;
正分數, 如, ,4.5(即);
負分數, 如-,,-0.3(即),....
正整數、零和負整數統稱整數(integers)，正分數和負分數統稱分數(fractions).整數和分數統稱有理數(rational numbers).
有如下分類表：
把一些數放在一起，就組成一個數的集合，簡稱數集(set of numbers).所有的有理數組成的 數集叫做有理數集.類似地，所有的整數組成的數集叫做整數集，所有的正數組成的數集叫做正數集，所有的負數組成的數集叫做負數集，如此等等.
例5 把下列各數填入表示它所在的數集的
圈子里： -18, , 3.1416, 0, 2001, , -0.142857, 95%



正整數 負整數
整數集 有理數集
解
, 3.1416, -18, ,
2001, 95% -0.142857
正整數 負整數
－18，0，2001， -18, , 3.1416, 0, 2001,
, -0.142857, 95%
整數集 有理數集
練習
1. 請說出兩個正整數, 兩個負整數, 兩個正分數,兩個負分數.它們都是有理數嗎?
2. 有理數集中有沒有這樣的數,它既不是正數,也不是負數? 如有,這樣的數有幾個?
3. 下面兩個圓圈分別表示正數集合和整數集合,請在這兩個圓圈內填入六個數,其中有三個數既在正數集合內, 又在整數集合內.這三個數應填在哪里? 你能說出這兩個圓圈的重疊部分表示什么數的集合嗎?
正數集 整數集
習題2.1
1. 下列各數,哪些是整數,哪些是分數? 哪些是正數,哪些是負數?
1， -0.10， ，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.1
2.把下列各數填入表示它所在的數集的圈子里：
, 0.618, -3.14, 260, -2001, , , -5%
整數集 分數集
負數集 有理數集
3.下面的大括號表示一些數的集合,把第1、2兩題中的各數填入相應的大括號里:
正整數集:{ }
負整數集:{ }
正分數集:{ }
負分數集:{ }
4?觀察下面依次排列的一列數，它的排列有什么規律?請接著寫出后面的三個數，你能說出第100個數、第2000個數、第2001個數是什么嗎?
(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ， ，......；
(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ， ，......；
(3)-1,,-,,,,, , , ,......
閱讀材料－－中國人最早使用負數
——《九章算術》和我國古代的“正負術”
《九章算術》是中國古典數學最重要的一部著作。這部著作的成書年代，根據現在的考證，至遲在公元前一世紀，但其中的數學內容，有些也可以追溯到周代。《九章算術》采用問題集的形式，全書246個問題，分成方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、贏不足、方程、勾股等九章，其中所包含的數學成就是十分豐富的。
引進和使用負數是《九章算術》的一項突出的貢獻。在《九章算術》的“方程術”中，當用遍乘直除算法消元時，可能出現減數大于被減數的情形，為此，就需要引進負數《九章算術》在方程章中提出了如下的“正負術”： “同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”
這實際上就是正負術的加減運算法則。“同名”、“異名”分別指同號、異號；“相益”、“相除”分別指兩數的絕對值相加、相減。前四句說的是正負數和零的減法法則，后四句說的是正負數和零的加法法則。用符號表示，設a＞b＞0，這八句話可以表示為：
(±a)－(±b)＝±(a－b)；
(±a)－(μb)＝±(a＋b)；
0?a＝－a；
0－(－a)＝＋a；
(±a)＋(μb)＝±(a－b),(±b)＋(μa)＝μ(a－b)；
(±a)＋(±b)＝±(a－b)；
0＋a＝＋a；
0＋(－a)＝－a。
不難看出，所有這些是與我們所學的有理數加減法法則是完全一致的。
《九章算術》以后，魏晉時期的數學家劉徽對負數的出現就作了很自然的解釋：“兩算得失相反，要令正負以名之”，并主張在籌算中用紅籌代表正數，黑籌代表負數。
在國外，負數的出現和使用要比我國遲好幾百年，直到七世紀時印度數學家才開始使用負數。而在歐洲，直到十六世紀韋達的著作還拒絕使用負數。

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