資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
4.1 整式 學案
（一）學習目標：
1.掌握整式的概念、整式的分類及整式的加減運算。
2.能夠理解整式在數學中的基礎性作用，并能運用整式解決簡單的實際問題，培養的邏輯思維能力和數學應用能力。
（二）學習重難點：
重點:整式的概念及分類，整式的加減運算規則。
難點:整式加減運算中的符號處理及同類項的合并。
閱讀課本，識記知識：
一、單項式
1.單項式的概念：如3、、、等這些代數式都是數字、字母、數字與字母的積、字母與字母的積，像這樣的式子叫單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式。
2.單項式中不能含有加減法運算，但可以含有除法運算。
3.單項式的系數：單項式中的數字因數叫作這個單項式的系數，確定單項式的系數的注意事項：
（1）確定單項式的系數時，最好現將單項式寫成數與字母的乘積的形式，在確定系數；
（2）圓周率是常數，單項式中出現時，應看作系數；
（3）當一個單項式的系數是1或-1時，1通常省略不寫，負數做系數應包括前面的符號；
（4）單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數。
4.單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫作這個單項式的次數。沒有寫指數的字母，實際上其指數是1，計算時不能將其遺漏；不能將數字的指數一同計算。
二、多項式
1.多項式的概念：幾個單項式的和叫作多項式，例如：，等。
2.多項式的項：在多項式中每個單項式叫作多項式的項，不含字母的項叫作常數項。
3.多項式中應注意的問題：
（1）多項式的每一項包括它前面的符號；
（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，例如：是一個三項式。
4.多項式的次數：多項式里次數最高項的次數叫作這個多項式的次數。多項式的次數不是所有項的次數之和，而是多項式中次數最高的單項式的次數；多項式通常以它的項的次數和項數來命名，例如：是一個六次三項式。
5.整式：單項式與多項式統稱為整式。所有的整式都是代數式，但反過來就不一定是整式。
6.多項式的降冪與升冪排列
（1）把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來，叫作把這個多項式按這個字母降冪排列；把一個多項式按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫作把這個多項式按這個字母升冪排列。
【例1】單項式2a2b的系數和次數分別是(　　)
A.2,2　　　B.2,3　　　C.3,2　　　D.4,2
【答案】B　
【分析】2a2b的系數和次數分別是2,3.
【例2】 下列式子:2a2b,3xy-2y2,,其中是多項式的有(　　)
A.2個　　　B.3個　　　C.4個　　　D.5個
【答案】B　
【分析】多項式有3xy-2y2,,,共3個.
選擇題
1．下列式子中,是單項式的是(　　)
A.　　　D.p-q
2．下列說法中，正確的是（　　）
A．是單項式 B．單項式的次數是
C．單項式的系數是 D．多項式是五次三項
3．已知一個單項式的系數是2，次數是3，則這個單項式可以是（ ）
A． B． C． D．
4．下列說法正確的是（ ）
A．是六次六項式 B．是多項式
C．是三次二項式 D．是二次二項式
5．多項式是關于x的二次三項式，則m的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
下列關于多項式2a2b+ab-1的說法中,正確的是(　　)
A.是二次三項式　　　　B.二次項系數是0
C.最高次項是2a2b　　　　D.常數項是1
7. 如圖,用含x的式子表示出所給圖形的面積:　　　　.當x=5時,所給圖形的面積是　　　　.
8．多項式是關于x的二次三項式，則m的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．將代數式按y的降冪排列是（　　）
A． B．
C． D．
10．a是不為2的有理數，我們把稱為a的“哈利數”．如：3的“哈利數”是，的“哈利數”是，已知，是的“哈利數”，是的“哈利數”，是的“哈利數”，．．．，依此類推，則（ ）
A． B． C． D．
填空題
11．寫出一個系數是2 022,次數是4,所含字母為a、b的單項式:　　　　.
12.若(a-1)x2yb是關于x、y的五次單項式,且系數為-,則a=　　　,b=　　　.
13.在①3；②；③；④；⑤；⑥中，單項式有 ，多項式有 ，代數式有 ．（填序號）
14.將多項式按字母的降冪排列為 ．
15.觀察下列關于的單項式，探究其規律：按照上述規律，第個單項式是 ．
三、解答題
16．有一個關于、的多項式，每項的次數都是．
(1)分別寫出項數最多的一個多項式：______；項數最少的一個多項式：______；
(2)寫出同時滿足下列要求的一個多項式：
①項數為；②各項系數之和為；③按字母降冪排列．
17.已知多項式．
(1)根據這個多項式的排列規律，你能確定這個多項式是幾次幾項式嗎
(2)最后一項的系數的值為多少
(3)這個多項式的第七項和第八項分別是什么
18.已知關于x,y的多項式x4+(m+2)xny-xy2+3,其中n為正整數.
(1)當m,n為何值時,它是五次四項式
(2)當m,n為何值時,它是四次三項式
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
B　
【分析】中含有加號,不是單項式;-xyz2是單項式;分母中含有字母,不是單項式;p-q中含有減號,不是單項式.故選B.
2．A
【分析】根據單項式的定義、單項式次數和系數的定義以及多項式的項數和次數的定義逐項分析判斷即可．
【詳解】A、單獨的一個數或字母也是單項式，所以是單項式，該項符合題意；
B、單項式的次數是，該項不符合題意；
C、單項式的系數是，該項不符合題意；
D、多項式是三次三項式，該項不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題主要考查單項式的定義、單項式次數和系數的定義以及多項式的項數和次數的定義，牢記這些定義是解題的關鍵．
3．A
【分析】根據單項式系數、次數的定義來求解．單項式中數字因數叫做單項式的系數，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數．
【詳解】解：A．系數是2，次數是3，故本選項符合題意；
B．系數是3，次數是2，故本選項不符合題意；
C．系數是2，次數是4，故本選項不符合題意；
D．系數是，次數是3，故本選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】此題考查單項式問題，解題的關鍵是需靈活掌握單項式的系數和次數的定義．
4．B
【分析】幾個單項式的和是多項式，多項式中的每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高項次數，就是這個多項式的次數．
【詳解】解：A. 是五次二項式，故A錯誤，不符合題意；
B. 是多項式，故B正確，符合題意；
C. 中是常數項，是二次二項式，故C錯誤，不符合題意；
D. 是三次二項式，故D錯誤，不符合題意，
故選：B．
【點睛】本題考查多項式的定義、次數和項數等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．
5．B
【分析】根據多項式的概念得出關于m的方程，解方程可得答案．
【詳解】解：∵多項式是關于x的二次三項式，
∴，
∴，
故選：B
【點睛】本題考查了多項式的有關概念，多項式中每一個單項式稱為該多項式的項；次數最高的項的次數即為該多項式的次數．
6..C　多項式2a2b+ab-1是三次三項式,最高次項是2a2b,ab是二次項,系數是1,常數項是-1,所以A、B、D均錯誤,C正確.
7.x2+3x+6;46
解析　所給圖形的面積為x2+3x+6,當x=5時,
x2+3x+6=52+3×5+6=25+15+6=46.
8．B
【分析】根據多項式的概念得出關于m的方程，解方程可得答案．
【詳解】解：∵多項式是關于x的二次三項式，
∴，
∴，
故選：B
【點睛】本題考查了多項式的有關概念，多項式中每一個單項式稱為該多項式的項；次數最高的項的次數即為該多項式的次數．
9．B
【分析】根據y的指數從大到小的方式排列即可．
【詳解】解：．
故選：B．
【點睛】本題考查了多項式的重新排列，我們把一個多項式的各項按照某個字母的指數從大到小或從小到大的順序排列，稱為按這個字母的降冪或升冪排列．要注意，在排列多項式各項時，要保持其原有的符號．此題還要注意分清按x還是y的降冪或升冪排列．
10．B
【分析】通過計算發現每四次運算結果循環出現，由此可求．
【詳解】解：∵，
∴，
，
，
，
，
∴每四次運算結果循環出現，
∵，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查數字的變化規律，通過計算，探索出運算結果的循環規律是解題的關鍵．
11.答案不唯一,如2 022a3b、2 022a2b2、2 022ab3
12.;3
【解析】　由題意,得a-1=-,2+b=5,所以a=,b=3.
13．如果x和y分別表示一個蘋果和一個桔子的價格，那么則表示5個蘋果和10個桔子的總價格（答案不唯一）
【分析】表示的是x的5倍，表示的是y的10倍 ，只需要把x、y賦予一定的實際意義即可．
【詳解】解：如果x和y分別表示一個蘋果和一個桔子的價格，那么則表示5個蘋果和10個桔子的總價格，
故答案為：如果x和y分別表示一個蘋果和一個桔子的價格，那么則表示5個蘋果和10個桔子的總價格（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查了代數式的意義，正確理解題意是解題的關鍵．
14．
【分析】按字母y的指數從大到小排列即可得答案．
【詳解】解：將多項式按字母的降冪排列為，
故答案為：
【點睛】本題主要考查了降冪排列多項式，關鍵是要知道：把一個多項式的各項按照某個字母的指數從大到小或從小到大的順序排列，稱為按這個字母的降冪或升冪排列．
15．4048x4047
【分析】利用整式的乘法法則對每一項進行分析可得到規律，進而得到個單項式．
【詳解】解：∵
∴第個單項式為：，
∴第個單項式為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了整式的乘法，根據題意找出單項式之間規律是解題的關鍵．
16．(1)；（答案不唯一）
(2)（答案不唯一）
【分析】（1）根據多項式的定義進行解答即可；
（2）根據多項式的系數和次數的定義進行求解即可．
【詳解】（1）解：多項式含有，，每項的次數都是，且，
各項的字母組成只能是： ，，，，
項數最多的一個多項式有四項，
項數最少的一個多項式有兩項：（答案不唯一），
故答案為：，（答案不唯一）；
（2）需要同時滿足：①項數為；②各項系數之和為；③按字母降冪排列，的關于、的多項式，每項的次數都是，
滿足要求的多項式為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了多項式及其次數，系數，熟練掌握多項式及其次數，系數的定義是解答本題的關鍵．
17.(1)十次十一項式；
(2)；
(3)；
【分析】（1）該多項式按照的降冪排列，每一項的次數是，奇數項的符號是正號，偶數項的符號是負號即可解答；
（2）觀察已知多項式每一項的系數即可得到最后一項的系數的值；
（3）結合（1）即可得到多項式的第七項和第八項．
【詳解】（1）解：∵多項式是按照的降冪排列，
∴該多項式有項，并且每一項的次數是，
∴該多項式是十次十一項式；
（2）解：∵多項式有項，
∴每一項的系數是，且偶數項為負數，奇數項為正數，
∴第項的系數為，
∴第項的系數為，
∴,
∴最后一項的系數的值為．
（3）解：∵多項式第項的系數為，
∴第七項的系數是，第八項的系數是，
∵多項式按照的降冪排列，且每一項的次數是，
∴第七項是, 第八項,
【點睛】本題考查了規律型：數字的變化列，多項式的的有關概念，理解多項式的項，項數，次數是解題的關鍵．
【解析】　(1)因為多項式是五次四項式,
所以m+2≠0,n+1=5.
所以m≠-2,n=4.
(2)因為多項式是四次三項式,
所以m+2=0,n為任意正整數.
所以m=-2,n為任意正整數.
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
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