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§2.6 有理數的加法
1. 有理數加法法則
問題
一位同學沿著一條東西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否確定他現在位于原來位置的哪個方向，相距多少米?
我們知道，求兩次運動的總結果，可以用加法來解答.可是上述問題不能得到確定答案，因為問題中并未指出行走方向.
試驗
我們必須把問題說得明確些，并規定向東為正，向西為負.
(1)若兩次都是向東走，很明顯，一共向東走 了50米，寫成算式就是
(+20)+(+30)=+50，
即這位同學位于原來位置的東方50米處.
這一運算在數軸上表示如圖2-6-1.

圖2-6-1
(2)若兩次都是向西走，則他現在位于原來位 置的西方50米處，寫成算式就是
(-20)+(-30)=-50 .
思考
還有哪些可能情形?你能把問題補充完整嗎?
(3)若第一次向東走20米，第二次向西走30米，我們先在數軸上表示如圖2-6-2.
圖2-6-2
寫成算式是(+20)+(-30)=-10，
即這位同學位于原來位置的西方10米處.
(4)若第一次向西走20米，第二次向東走30米，寫成算式是
(-20)+(+30)=( ).
即這位同學位于原來位置的( )方( )米處.
后兩種情形中兩個加數符號不同(通常可稱異號)，所得和的符號似乎不能確定，讓我們再試幾次(下式中的加數不仿仍可看作運動的方向和路程)：
你能發現和與兩個加數的符號和絕對值之間有什么關系嗎?
(+4)+(-3)=( )；
(+3)+(-10)=( )；
(-5)+(+7)=( )；
(-6)+ 2 = ( ).
再看兩種特殊情形：
(5)第一次向西走了30米，第二次向東走了30米.寫成算式是
(-30)+(+30)=( ).
(6)第一次向西走了30米，第二次沒走.寫成算式是
(-30)+ 0 =( ).
我們不難得出它們的結果.
概括
綜合以上情形，我們得到有理數的加法法則：
1. 同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；
2. 絕對值不等的異號兩數相加，取絕對值較大加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；
3. 互為相反數的兩個數相加得0；
4. 一個數同0相加，仍得這個數.
注意
一個有理數由符號和絕對值兩部分組成，所以進行加法運算時，必須分別確定和的符號和絕對值.這與小學階段學習加法運算不同.
例1 計算：
(+2)+(-11);
(+20)+(+12);
;
(-3.4)+4.3
解
(+2)+(-11)=-(11-2)=-9;
(+20)+(+12)=+(20+12)=+32=32;
;
(-3.4)+4.3=+(4.3-3.4)=0.9
練習
1. 填 表：
2. 計算：
10+(-4);
(+9)+7;
(-15)+(-32);
(-9)+0;
100+(-199);
(-0.5)+4.4;
+(1.25);
3. 填 空：
(1)( )+(-3)=-8；
(2)( )+(-3)= 8；
(3)(-3)+( )=-1；
(4)(-3)+( )= 0 .
4.兩個有理數相加，和是否一定大于每個加數?
2. 有理數加法的運算律
根據有理數加法法則，我們可以知道，兩個有理數相加，和只與加數的符號及絕對值有關，而與加數的位置無關.例如
(+3)+(-5)=(-5)+3；
(-5)+(-3)=(-3)+(-5).
也就是說在有理數加法中我們仍有： 加法交換律:兩個數相加，交換加數的位置，和不變.即 a + b = b + a
試一試
試上幾次，你能發現什么?
計算+(-6)，9+兩式所得結果相同嗎?
任意選擇三個有理數，分別填入下列兩個算式的不同記號內再試一試：
( □ + ○ )+ ◇ ，□ +( ○ + ◇ ).
概括
我們發現在有理數加法中也有： 加法結合律:三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變.
即 ( a + b )+ c = a + ( b + c )
這樣，多個有理數相加，可以任意交換加數的位置，也可先把其中的幾個數相加，使計算簡化.
例2 計算：
(1) (+26)+(-18)+5+(-16)
(2)
解 (1)(+26)+(-18)+5+(-16)
=(26+5)+[(-18)+(-16)]
= 31+(-34)= -(34-31)= - 3 .
(2)
=
=
=
=
=
=
從幾個例題中你能發現應用運算律時，通常將哪些加數結合在一起，可以使運算簡便嗎?
例3 10筐蘋果，以每筐30千克為準，超過的千克數記作正數，不足的千克數記作負數，記錄如下：
2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5.
求這10 筐蘋果的總重量.
解 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5)
= (2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5]
=8+(-4)= 4 .
30×10 + 4 = 304 .
答：10筐蘋果總重量是304千克.
練習
1. 計算：
(-7)+(+10)+(-11)+(-2);
2+(-3)+(+4)+(-5)+6;
(3) ;
(4)
2. 利用有理數的加法計算：
某天氣溫從早晨-3℃到中午升高了5℃，到晚上降低了3℃，到午夜又降低了4℃.求午夜時的溫度.
習題 2.6
1. 計算：
(1)(-12)+(+3)； (2)(+15)+(-4)；
(3)(-16)+(-8)； (4)(+23)+(+24)；
(5)(-102)+132； (6)(-32)+(-11)；
(7)(-35)+0； (8)78+(-85).
2. 計算：
(-0.9)+(+1.5);
(+6.5)+3.7;
1.5+(-8.5);
(-4.1)+(-1.9);
;
;
;
3. 計算：
(+14)+(-4)+(-2)+(+26)+(-3);
(-83)+(+26)+(-41)+(+15);
(-1.8)+(+0.7)+(-0.9)+1.3+(-0.2);
;
4. 列式并計算：
(1)求+1.2的相反數與-3.1的絕對值的和；
(2) 與的和的相反數是多少?
5. 利用有理數加法解下列各題：
(1) 存折中原有550元，取出260元，又存入150元，現在存折中還有多少錢?
(2) 潛水艇原停于海面下800米處，先上浮150米，又下潛200米.這時潛水艇在海面下多少米處?
(3) 倉庫內原存某種原料3500千克，一周內存入和領出情況如如下(存入為正，單位千克)： 1500，-300，-650，600，-1800，-250，-200.問第七天末倉庫內還存這種原料多少千克?
(4) 某公路養護小組乘車沿東西向公路巡視維護.某天早晨從A地出發，晚上到達B地.約定向東為正方向，行走記錄如下(單位千米)：
+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8.
問B地在A地何方，相距多少千米?若汽車行駛每千米耗油a升，求該天自出發至回到A地共耗油多少?

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