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§2.9 有理數的乘法
1.有理數的乘法法則
問題1 一只小蟲沿一條東西向的跑道，以每分鐘3米的速度向東爬行2分鐘，那么它現在位于原來的位置的那個方向，相距多少米?
我們知道，這個問題可用乘法來解答：
3×2＝6，
即小蟲位于原來位置的東方6米處.
注意： 這里我們規定向東為正，向西為負。如果上述問題變為：
問題2 小蟲向西以每分鐘3米的速度爬行2分鐘，那么結果有何變化?這也不難，寫成算式就是：
(－3)×2＝－6，
即小蟲位于原來位置的西方6米處。
比較上面兩個算式，有什么發現?
當我們把“3×2＝6”中的一個因數“3”換成它的相反數“－3”時，所得的積是原來的積“6”的相反數“－6”，一般地，我們有：
把一個因數 換成它的相反數，所得的積是原來的積的相反數.
試一試：
3×(－2)＝?
與3×2＝6相比較，這里把一個因數“2”換成了它的相反數“－2”，所得的積是原來的積“6”的相反數“－6”，即
3×(－2)＝－6.
再試一試：(－3)×(－2)＝?
把上式與(－3)×2＝－6對比，這里把一個因數“2”換成了它的相反數“－2”，所得的積是原來的積“－6”的相反數“6”，即(－3)×(－2)＝6
此外，如果有一個因數是0時，所得的積還是0，如(－3)×0＝0、0×2＝0.
概括：綜合以上各種情況，我們有有理數乘法法則：
兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對植相乘.
任何數同0相乘，都得0.
例如：
(－5)×(－3)··················同號兩數相乘
(－5)×(－3)＝＋( )················得正
5×3＝15····················把絕對值相乘
所以 (－5)×(－3)＝15.
再如：
(－6)×4····················異號兩數相乘
(－6)×4＝－( )···················得負
6×4＝24····················把絕對值相乘
所以 (－6)×4＝－24.
例1 計算：
(－5)×(－6);
解
(－5)×(－6)=30;
練習
1.確定下列兩數的積的符號:
5×(－3)；
(－3)×3;
(－2)×(－7)；
2.計算:
3×(－4)；
(－5)×2；
(－6)×2；
6×(－2)；
(－6)×0；
0×(－6)；
(－4)×0.25;
(－0.5)×(－8)；
;
;
(－5)×2；
2×(－5)
3.計算:
3×(－1)；
(2)(－5)×(－1)；
(3) ；
(4)0×(－1)；
(－6)×1；
(6)2×1；
0×1；
(8)1×(－1).
2．有理數乘法的運算律
我們看下面的例子：
(－3)×2＝－6，2×(－3)＝－6，
就有 (－3)×2＝2×(－3).
換些數再試一試.
一般地，我們有乘法交換律：
兩個數相乘，交換因數的位置，積不變。
ab＝ba.
再看下面的例子：
－12×(－5)＝(－12)×(－5)＝60，
3×＝3×20＝60，
就有 ×(－5)＝3×.
換些數再試一試，
一般地，我們有乘法結合律：
三個數相乘，先把前兩個數相積乘，或者先把后兩個數相乘，積不變.
(ab)c＝a(bc).
想一想
［(－３)×(－２)］×５與(－２)×［(－３)×５］是否相等?
根據乘法交換律和結合律可以推出：三個以上有理數相乘，可以任意交換乘數的位置，也可以先把其中的幾個數相乘.
例2 計算：
(-10) ××0.1×6
解
(-10) ××0.1×6
= [(-10) ×0.1] ×
= (-1) ×2 = - 2
能直接寫出下列各式的結果嗎?
(-10) ××0.1×6 =
(-10) ××(-0.1)×6 =
(-10) ××(-0.1)×( -6 )=
觀察以上各式，能發現幾個正數與負數相乘，積的符號與各因數的符號之間的關系嗎?
一般地，我們有幾個:不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正.
幾個不等于0的數相乘，首先確定積的符號，然后把絕對值相乘.
試一試：
幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0.
例3 計算:
(1) ;
(2)
解
(1) = = 8+3=11
(2) ==
練習
1.計算：
(1)
(2)
(3)
2.計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
我們知道，在含有加減乘的算式中，要先算乘，后算加減，有括號時，先算括號里面的.
看下面的例子：
5×＝5×(－4)＝－20；
5×3＋5×(－7)＝15－35＝－20；
可得 5×＝5×3＋5×(－7).
一般地，我們有分配律：
一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加.
a(b＋c)＝ab＋ac.
例4 計算：
(1) ;
(2)
解
;
例5 計算：
4×(-12)+(-5)×(-8)+16
解
4×(-12)+(-5)×(-8)+16=8×(-6+5+2)=8×1=8
由上面的例子可以看出，應用運算律，有時可使運算簡便. 也有時需要先把算式變形，才能用分配律，如例4(2)，還有時需反向運用分配律，如例5(1).
練習
1.計算:
(1)
(2) ;
(3) ;
(4)
2.計算:
(1) ;
(2)
習題2.9
1.計算
(1)(－6)×(－7)； (2)(－5)×12；
(3)(－26)×(－1)； (4)(－25)×14.
2.計算：
(1)0.5×(－0.4)； (2)－10.5×0.2；
(3)(－100)×(－0.001)；(4)－4.8×(－1.25)；
(5)－7.6×0.02； (6)－4.5×(－0.32).
3.計算：
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4)
4.計算：
(1)－2×(－3)×(－4); (2)6×(－7)×(－5);
(3)100×(－1)×(－0.1);
(4)(－8)××(－1) ×0.5;
(5)21×(－71)×0×43;
(6)－9×(－11)－12×(－8).
5.計算：
(1) ;
(2)
(3)
(4)
讀一讀
隊列操練中的數學趣題
一次團體操排練活動中，某班45名學生面向老師站成一列橫隊.老師每次讓其中任意6名學生向后轉(不論原來方向如何)，能否經過若干次后全體學生都背向老師站立?如果能夠的話請你設計一種方案，如果不能夠，請說明理由.
問題似乎與數學無關，卻又難以入手.注意到學生站立有兩個方向，與具有相反意義的量有關，向后轉又可想象為進行一次運算，或者說改變符號.我們能否設法聯系有理數知識進行討論?
讓我們再發揮一下想象力：假設每個學生胸前有一塊號碼布，上寫“+1”，背后有一塊號碼布，上寫“-1”，那么一開始全體學生面向老師，胸前45個+1的“乘積”是+1.如果最后全部背向老師，則45個-1的“乘積”是-1.
再來觀察每次6名學生向后轉進行的是什么“運算”.我們也設想老師不叫“向后轉”，而稱這6名學生對著老師的數字都“乘以-1”.這樣問題就解決了：每次“運算”乘上了6個-1，即乘上了+1，故45個數的乘積不變(數學上稱不變量)，始終是+1.所以要乘積變為-1是不可能的.
一個難題，被有理數的簡單運算別出心裁地解決了.有理數的知識多么有用！可同學們的想象力更重要.
試一試
將一根繩子兩端分別涂上紅色和白色，再在中間隨意涂上若干個白色或紅色的圓點.在這些圓點中間剪開，這樣所得到的各小段兩端都有顏色.試說明兩端顏色不同的小段數目必是奇數.

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