資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
5.3 實際問題與一元一次方程 學案
（一）學習目標：
1.理解一元一次方程的基本概念，并能在實際問題中正確建立一元一次方程。
2.學會運用一元一次方程解決簡單的實際問題，提升邏輯思維能力與數學應用能力。
3.培養學生的分析問題和解決問題的能力，增強數學學習的自信心和興趣。
（二）學習重難點：
重點:-元一次方程的概念及其應用；從實際問題中提取關鍵信息，構建一元一次方程。
難點:理解并運用一元一次方程解決具有復雜情境的實際問題，提高思維的靈活性和深度。
閱讀課本，識記知識：
1.列一元一次方程解應用題的一般步驟：
（1）審題：分析題目中已知什么，求什么，找到包含已知和未知的等量關系；
（2）設：用來表示題目中的一個未知數，其他的未知數用含的整式來表示；
（3）列：根據題目的等量關系列出方程；
（4）解：解所列的方程，求出未知數的值；
（5）檢驗：檢驗所得未知數的值是否是方程的解，是否符合問題的實際意義；
（6）答：寫出答案。
2.列一元一次方程解應用題的常見類型：
（1）和、差、倍、分問題：和、差、倍、分對應兩個量之間的加、減、乘、除，解題時要注意弄清倍、分關系和多少關系等；
（2）增長（減少）率問題：增長后的量=原有量×（1+增長率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；
（3）等積變形問題：長方形體積=長×寬×高；圓柱體積=；
（4）行程問題：路程=速度×時間；快車行駛路程+慢車行駛路程=原距離（相向而行）；快車行駛路程-慢車行駛路程=原距離（同向而行）。
（5）航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度；
（6）調配問題：從調配后的數量關系中找等量關系；
（7）比例分配問題：全部數量=各種成分的數量之和；
（8）年齡問題：大小兩個年齡的差不會變；
（9）工程問題：工作量=工作效率×工作時間；兩個或幾個工作效率不同的對象所完成的工作量的和等于總工作量；一般情況下，把總工作量設為1.
（10）利潤問題：商品的售價=商品的標價×折扣；商品的利潤=商品售價-商品進價；商品的利潤率=；
（11）數字問題：設分別為一個兩位數的個位、十位上的數字，則這個兩位數可表示為；
（12）儲蓄問題：利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期數）；
（13）濃度問題：溶液質量=溶質質量+溶劑質量；百分比濃度=；溶質質量=溶液質量×百分比濃度。
【例1】某超市將進價為120元一盒的某品牌粽子按標價的8折出售,仍可獲利20%,則該超市該品牌粽子的標價為(　　)
A.180元　　　B.170元　　　C.160元　　　D.150元
【答案】A　
【分析】設該超市該品牌粽子的標價為x元,則售價為80%x元,由題意得80%x-120=20%×120,解得x=180.故該超市該品牌粽子的標價為180元.故選A.
【例2】 某次數學競賽共有20道題,已知做對一道得4分,做錯一道或者不做扣1分,某同學最后的得分是50分,則他做對的題目道數是(　　)
A.14　　　B.15　　　C.16　　　D.17
【答案】A　
【分析】設他做對x道題,則做錯或不做(20-x)道題,由題意得4x-(20-x)=50,解得x=14.
所以他做對14道題.
選擇題
1．某輪船在靜水中的速度為，水流速度為，該船從甲碼頭順流航行到乙碼頭，再返回甲碼頭，共用時（不計停留時間），設甲、乙兩碼頭之間的距離為，則可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．某市為緩解交通擁堵，決定修建高架快速路，原計劃用20個月完成這項工程，實際提前2個月完成該工程，求實際每月的工作效率比原計劃提高的百分比？若設實際每月的工作效率比原計劃提高的百分比是，根據題意可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．一件商品，按標價八折銷售盈利20元，按標價六折銷售虧損10元，求標價多少元？小明同學在解此題的時候，設標價為x元，列出如下方程：．小明同學列此方程的依據是（ ）
A．商品的利潤不變 B．商品的售價不變
C．商品的成本不變 D．商品的銷售量不變
4．《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題：今有共買物，人出八，盈三：人出七，不足四．問物價幾何？意思是：幾個人一起去購買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢：如果每人出7錢，則少了4錢，問該物品的價值多少錢？在這個問題中，該物品價值的錢數為（ ）
A．53 B．56 C．59 D．62
5．如圖，在數軸上，點、分別表示數、，且、互為相反數，若，則點表示的數為（ ）

A．8 B．4 C．0 D．
6．某小組計劃做一批中國結，如果每人做5個，那么比計劃多做了8個，如果每人做3個，那么比計劃少6個．設計劃做x個“中國結”，可列方程（ ）
A． B． C． D．
7．某市采取分段收費．若每戶每月用水不超過，每立方米收費2元；若用水超過，超過部分每立方米加收1元．小明家某月交水費82元，則該月用水（　　）．
A．38 B．28 C．34 D．44
8．2023年4月的日歷上圈出了相鄰的三個數、、，并求出了它們的和為36，這三個數在日歷中的排布不可能是（ ）
B．
C． D．
9.由于換季,商場準備對某商品打折出售,如果按原售價的七五折出售,將虧損25元,而按原售價的九折出售,將盈利20元,則該商品的原售價為(　　)
A.230元　　　B.250元　　　C.270元　　　D.300元
10.我國古代數學名著《九章算術》中記載“今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數、物價各幾何 ”意思是:現有幾個人共買一件物品,每人出8錢,多出3錢;每人出7錢,還差4錢.問人數,物價各是多少 若設共有x人,物價是y錢,則下列方程正確的是(　　)
A.8(x-3)=7(x+4)　　　　B.8x+3=7x-4
C.
填空題
11．甲、乙二人分別從A、B兩地出發相向而行．如果二人同時出發，則12小時相遇；如果甲走全程需要20小時，則甲、乙二人的速度比是 ．
12．某商場門口沿馬路向東是公園，向西是某中學．該校兩名學生從商場出來準備去公園，他們商議兩種方案：（1）先步行回校取自行車，然后騎車去公園；（2）直接從商場步行去公園．已知騎車速度是步行速度的4倍，從商場到學校有3公里的路程．結果他們采用了所用時間較少的方案（1），那么商場到公園的路程至少大于 公里．
13．一項工作，甲單獨做需9天完成，乙單獨做需12天完成，如果兩人合做幾天后，余下的工作再由甲單獨做2天完成，則甲、乙兩人合做了 天．
14．小明、小杰兩人共有100本圖書，如果小杰送給小明15本，兩人的圖書就一樣多．如果設小明原來有本圖書，根據題意，可以列出方程： ．
15．一游泳池計劃注入一定體積的水，按每小時的速度注水，注水小時后，注水口發生故障，停止注水，經分鐘搶修后，注水速度比原來提高了，結果比預定的時間提前了分鐘完成注水任務，則計劃注入水的體積為 ．
三、解答題
16．某車間有22名工人,每人每天可以生產1 200個螺釘或2 000個螺母.1個螺釘需要配2個螺母,為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套,應安排生產螺釘和螺母的工人各多少名
17.有一艘客輪和一艘貨輪每天都要往返于A、B兩個港口，客輪從A港口順流而下到B港口需要4個小時，從港口逆流而上返回A港口需要5小時，已知水流的速度是，貨輪逆流的速度與客輪順流的速度相等．
(1)求客輪在靜水中的速度；
(2)若客輪從A港口開往目的地B港口，先出發10分鐘之后，貨輪從B港口開往目的地A港口，問貨輪開出幾小時兩船相距．
18.超市規定某品牌礦泉水銷售方法如下：
購買礦泉水的數量 不超過30瓶 30以上但不超過50瓶 50瓶以上
每瓶價格 3元 元 2元
學校舉行運動會時，六（）班集體購買這個品牌的礦泉水，由于天氣炎熱，第一次買的水不夠喝，又買了一次（第一次多于第二次）．已知兩次共購買水瓶，共付元．
(1)如果六（）班第一次直接買瓶水，可以少付多少錢？
(2)求這個班級第一次和第二次分別購買多少瓶水？
（一）課后反思：
本節課我學會了：
本節課存在的問題：
把本節課所學知識畫出思維導圖
參考答案
1．D
【分析】根據題意逐項分析即可．
【詳解】解：∵張老師騎自行車的速度為米/分，汽車速度是自行車速度的倍，
∴汽車速度是米/分，故C選項說法錯誤；
設乘坐汽車到達紀念館所用的時間為分鐘，
則
解得：
故乘坐汽車到達紀念館所用的時間為分鐘，故A選項說法錯誤；
則騎自行車到達紀念館所用的時間為分鐘，故B選項說法錯誤；
學校與劉禹錫紀念館之間的距離為米千米，故D選項說法正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，熟練掌握一元一次方程的應用是解題的關鍵．
2．A
【分析】根據“甲先做天，乙再參加合做”找到等量關系列出方程即可．
【詳解】由題意可得：，
故選：．
【點睛】此題考查了由實際問題抽象出一元一次方程的知識，解題的關鍵是根據工作量之間的關系列出方程．
3．B
【分析】先求出商品B的進價和售價，然后進行比較即可．
【詳解】解：商品B的售價為（元），
設商品B的進價為x元，根據題意得：
，
解得：，
總進價為（元），
總售價為：（元），
∵，
∴該商店這次銷售虧損了，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了銷售盈虧問題，解題的關鍵是求出商品B的進價和售價．
4．D
【分析】根據往返的時間和等于5小時，列方程即可．
【詳解】解：由題意得，可得．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，掌握實際問題中的等量關系是解決此題的關鍵．
5．D
【分析】由的長度結合、表示的數互為相反數，即可得出，表示的數
【詳解】解：∵，兩點對應的數互為相反數，
∴設表示的數為，則表示的數為，
∵
∴，
解得：，
∴點表示的數為，
故選：D．
【點睛】本題考查了絕對值，相反數的應用，關鍵是能根據題意得出方程．
6．D
【分析】設計劃做x個“中國結”，根據人數不變列出方程即可．
【詳解】解：設計劃做x個“中國結”，
由題意得，，
故選D．
【點睛】此題考查的是從實際問題中抽象出一元一次方程，正確找到實際問題中的等量關系是解決此題的關鍵．
7．C
【分析】根據題意得出20立方米時交40元，題中已知五月份交水費82元，即已經超過20立方米，所以在82元水費中有兩部分構成，列方程即可解答．
【詳解】解：設他家該月用水，根據題意得：
，
解得：，
答：他家該月用水．
故選C．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．
8．B
【分析】日歷中的每個數都是整數且上下相鄰是7，左右相鄰相差是1．根據題意可列方程求解，然后判斷即可．
【詳解】解：A．設最小的數是．，．故本選項不符合題意．
B．設最小的數是．，，故本選項符合題意．
C．設最小的數是．，，故本選項不符合題意．
D．設最小的數是．，，本選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查的是一元一次方程的應用．解題的關鍵在于掌握日歷中的每個數都是整數且上下相鄰是7，左右相鄰相差是1．
9.D　設該商品的原售價為x元,根據題意得75%x+25=90%x-20,解得x=300,則該商品的原售價為300元.故選D.
10.D　若共有x人,根據題意可得8x-3=7x+4,若物價是y錢,根據題意可得=.故選D.
11. D
【分析】設數軸上的動點表示的數是，根據數軸上的點向左移動時，點表示的數減去移動的長度，向右移動時，點表示的數加上移動的長度，得到點表示的數是，點表示的數是，根據點表示數是，推出，解之即可．
【詳解】解：設數軸上的動點A表示的數是，
由于右移動7個單位長度到點，
∴點表示的數是，
再向左移動5個單位長度到，
∴點表示的數是．
∵點表示數是，
∴，即，
∴點A表示的數是．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了數軸上的動點問題，解一元一次方程，解決問題的關鍵是熟練掌握數軸上的點表示的數“左減右加”．
12．A
【分析】根據“階梯價格”收費辦法列出方程即可．
【詳解】根據題意可得，．
故選：A．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是正確分析題目中的等量關系．
13．C
【分析】設體積為v，根據瓶子中水的體積不變列出方程求解即可．
【詳解】解：設體積為v，則，
解得．
故選：C．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，明確瓶子中水的體積不變是解題的關鍵．
14．
【分析】根據題意，設小明原來有本圖書，由等量關系“小杰送給小明15本，兩人的圖書就一樣多”列出方程即可得到答案．
【詳解】解：設小明原來有本圖書，則，
故答案為：．
【點睛】本題考查一元一次方程解實際應用題，讀懂題意，找準等量關系列方程是解決問題的關鍵．
15．
【分析】設計劃注入水的時間為x小時，根據“比預定的時間提前了10分鐘完成注水任務”列出方程并解答．
【詳解】解：設計劃注入水的時間為x小時，
依題意得：，
解得．
，
∴計劃注入水的體積為立方米．
故答案為：．
【點睛】此題考查一元一次方程的應用，解題關鍵在于根據題意找到等量關系列出方程．
16.解析　設應安排x名工人生產螺釘,則安排(22-x)名工人生產螺母,
依題意,得2×1 200x=2 000(22-x),
解得x=10,所以22-x=22-10=12.
答:應安排10名工人生產螺釘,12名工人生產螺母.
400
【分析】根據題意列一元一次方程，注意八折即原價的．
【詳解】解：設成本為x元，則
解得，．
故答案為：400．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，根據等量關系列出方程是解題的關鍵．
18.(1)元
(2)第一次購買瓶礦泉水，第二次購買瓶礦泉水
【分析】（1）計算直接買瓶水的費用為（元），計算兩種方式購買費用的差即可．
（2）設六（）班第一次購買瓶礦泉水，依題意可分為三種情況求解即可．
【詳解】（1）解：根據題意，直接買瓶水的費用為（元），
故少支付：（元）．
（2）解：設六（）班第一次購買瓶礦泉水，依題意可分為三種情況：
①第一次買的超過瓶，第二次買的不超過瓶，
依題意得：，
解得：．（不符題意）
②第一次買的超過瓶但不超過瓶，第二次買的不超過瓶，
依題意得：，
解得：．
②次購買的瓶數都是超過瓶但不超過瓶．
依題意得：元，不符合題意．
答：六（）第一次購買 瓶礦泉水，第二次購買 瓶礦泉水．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，正確理解題意，列出方程求解是解題的關鍵．
目標解讀
基礎梳理
典例探究
達標測試
自學反思
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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