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物體靜態平衡的三種模型解讀與精練
模型二 輕桿與支架模型
【模型解讀】
輕桿與支架模型包含容易混淆的“定桿”與“活桿”。
對于“定桿”，解題時要注意“定桿”中的彈力可以是支持力，也可以是壓力或拉力，而支持力和壓力的方向既可以沿桿，也可以不沿桿。對于“動桿”，一般是指輕桿的一端通過鉸鏈固定，而另一端與小球或其他物體連接的情況。解答“動桿”類問題的兩部曲是：一是分析受力——注意“動桿”中彈力方向一定沿輕桿（輕桿兩端點連線）；二是列方程求解，若輕桿端物體處于平衡狀態時，可以利用共點力平衡條件列方程解答；若輕桿端物體具有速度，則輕桿兩端沿輕桿方向的分速度大小相等。
【典例分析】
【典例1】（名師原創，多選）質量分別為mP和mQ的小球通過鉸鏈用輕桿連接，細繩繞過懸掛在天花板上的定滑輪（滑輪大小不計）兩端系在兩小球上，如圖所示。兩小球靜止，為定滑輪正下方輕桿上的一個點。兩小球到點距離分別為xP和xQ，到定滑輪的距離分別為lP和lQ，且lP lQ=1 2，細繩與豎直方向的夾角分別為θ1和θ2，細繩中拉力大小為FT，輕桿中彈力大小為，則
A. B.
C. D.
【解析】繞過定滑輪的細繩上的力處處相等，對定滑輪受力分析，已知細繩中拉力大小為FT，輕桿中彈力大小為，整個系統靜止，在水平方向上合力為0，根據平衡條件可知 ，所以，
【點撥】同一根細繩上的拉力相等，且力必定沿著細繩方向。
A錯誤；對兩小球受力分析，畫出受力示意圖，設到定滑輪的距離為，利用力的矢量三角形和幾何三角形相似，可得
【模型建構】建構相似三角形模型。力三角形和幾何三角形相似，對應邊之比相等，根據已知條件解題。
，，聯立解得，，，C錯誤，B、D正確。
【答案】BD
【典例2】（2023.遼寧撫順三模）如圖所示，水平輕桿左端固定，細繩跨過右端的輕質光滑定滑輪懸掛一質量為的物體，靜止時，重力加速度為，下列說法正確的是
A.細繩段的張力
B.輕桿對輕質定滑輪的彈力，方向沿指向右側
C.若桿左端用鉸鏈固定在豎直墻壁上，另一端通過細繩拉住，則輕桿對輕質定滑輪的彈力，方向沿指向右側
D.若桿左端用鉸鏈固定在豎直墻壁上，另一端通過細繩拉住，則細繩段的張力
【解析】水平輕桿為“定桿”，細繩跨過右端的輕質光滑定滑輪懸掛一質量為的物體，定滑輪為“活結”，滑輪兩側輕繩中拉力相等，所以細繩段的張力，A錯誤；對定滑輪受力分析，由平衡條件可知，輕桿對輕質定滑輪的彈力，方向沿的平分線指向，B錯誤；若桿左端用鉸鏈固定在豎直墻壁上，則為
【注意】“定桿”上的彈力大小和方向一般由桿端物體的運動狀態和受力情況來決定，桿上的力可以不沿桿的方向。
“活桿”，另一端通過細繩拉住，則輕桿中彈力方向沿輕桿方向，對輕桿端點C受力
【拓展】輕質“定桿”一般對桿端物體受力分析，運用牛頓第二定律列方程解答。對于質量不可忽略的“定桿”，可以把“定桿”看作輕質“定桿”+“定桿”重心處的質點構成。
分析，由平衡條件可得,解得輕質定滑輪的彈力，方向沿指向右側，C錯誤；由，解得細繩段的張力，D正確。
【答案】D
調2023版 試題調研 1輯 P55 模型辨析 句點改為句號
【模擬題精練】
1.（名師原創，多選）質量分別為mP和mQ的小球與質量為的圓環（可視為質點）用三根輕桿通過鉸鏈連接，用輕繩懸掛在天花板上，靜止后如圖所示。不計鉸鏈的摩擦（連接小球和圓環的輕桿可以自然成任意角度），輕桿上彈力沿輕桿方向。已知為豎直線，之間的距離為xP，之間的距離為xQ，之間輕桿長度為lP，與豎直線之間的夾角為θ1，之間輕桿長度為lQ，與豎直線之間的夾角為θ2，則
A. 三根輕桿與小球、圓環組成的整體的重心為點
B. 之間輕桿上的彈力與之間輕桿上的彈力之比為
C. 之間輕桿上的力一定為支持力
D. mP：mQ = xP ：xQ
【參考答案】. BC
【名師解析】
三輕桿與小球、圓環組成的整體的重心在連線上，重心一定在點正上方，A錯誤；設之間輕桿上的彈力大小為FP，之間輕桿上的彈力大小為FQ，對圓環受力分析，在水平方向由平衡條件可得，解得，B正確；對兩球受力分析，根據平衡條件，畫出力的示意圖，如圖所示，由圖可知，之間輕桿對小球的力一定為支持力，C正確；由相似三角形有，，聯立解得mP mQ = xQ xP ，D錯誤。
2.（2023.河北九師聯盟質檢）如圖所示，長度為的木棒一端支在光滑豎直墻上的點，另一端點被輕質細線斜拉著掛在墻上的點而處于靜止狀態，細線與木棒之間的夾角為，兩點之間的距離為，墻對木棒的支持力為，重力加速度為，下列說法正確的是
A. 細線與豎直墻之間的夾角的正弦值為
B. 木棒受到三個力（或延長線）可能不交于同一點
C. 細線對木棒的拉力大小為
D. 木棒的質量為
【參考答案】. C
【名師解析】設細線與豎直墻之間的夾角為，在△中由正弦定理可得，解得，故A錯誤；根據共點力平衡的原理，木棒受到的三個力（或延長線）一定交于同一點，故B錯誤；
【注意】豎直墻光滑，木棒只受支持力，不受摩擦力，木棒三力平衡。
設細線的拉力為T，木棒的質量為m，對木棒受力分析如圖，由力的平衡條件有，，又，解得，，故C正確，D錯誤。
3.（2024貴州銅仁名校聯考）某體育場看臺的風雨棚是鋼架結構的，兩側傾斜鋼柱用固定在其頂端的鋼索拉住，下端用較鏈與水平地面連接，鋼索上有許多豎直短鋼棒將棚頂支撐在鋼索上，整個系統左右對稱，結構簡化圖如圖所示。假設鋼柱與水平地面所夾銳角為60°，鋼索上端與鋼柱的夾角為30°，鋼索、短鋼棒及棚頂的總質量為m，重力加速度為g。則鋼柱對鋼索拉力的大小為
A.mg B.mg C. mg D.2mg
【參考答案】B
【命題意圖】 本題以體育場風雨棚為情景，考查平衡條件，考查的核心素養是“運動和力”的觀點。
【解題思路】把鋼索、短鋼棒和棚頂看作整體，分析受力，受到豎直向下的重力mg，兩側鋼柱對鋼索的拉力F，根據等大二力的合力公式可得2Fcos60°=mg，解得F=mg，選項B正確。
【模型探討】此題可以把鋼索、短鋼棒和棚頂整體抽象為質點，畫出受力分析圖，如圖所示，事半功倍，迎刃而解。
4. （2024江蘇南通名校聯考）如圖所示，一小球固定在輕桿上端，AB為水平輕繩，小球處于靜止狀態，則桿對小球的作用力方向可能是(　　)
A. F1 B. F2 C. F3 D. F4
【參考答案】BC
【名師解析】
小球處于靜止狀態，則桿對小球的作用力方向在重力與繩子拉力夾角的對頂角范圍內（不含水平方向），如圖所示；所以桿對小球的作用力方向可能是F2和F3，故BC正確、AD錯誤。
【關鍵點撥】。
小球處于靜止狀態，根據平衡條件確定桿對小球的作用力可能的方向。
本題主要是考查了共點力的平衡問題，對應三力平衡，其中任何一個力都和另外兩個力的合力平衡。
5. （2024河北衡水聯考）如圖所示為一種可折疊壁掛書架，一個書架用兩個三角形支架固定在墻壁上，書與書架的重心始終恰好在兩個支架橫梁和斜梁的連接點O、O′連線中點的正上方，書架含書的總重力為60N，橫梁AO、A′O′水平，斜梁BO、B′O′跟橫梁夾角為37°，橫梁對O、O′點拉力始終沿OA、A′O′方向，斜梁對O、O′點的壓力始終沿BO、B′O′方向，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，則下列說法正確的是（　　）
A. 橫梁OA所受的力為80N
B. 斜梁BO所受的力為50N
C. O、O′點同時向A、A′移動少許，橫梁OA所受的力變大
D. O、O′點同時向A、A′移動少許，斜梁BO所受的力變大
【參考答案】B
【名師解析】
兩個三角架承擔的力為60N，每個三角架為30N，對O點受力分析，如圖甲所示
故A錯誤，B正確；
CD．O、同時向A、移動少許，對O點受力分析，如圖乙虛線所示
三角形AOB與力三角形相似，所以有
AB與BO長度未變，AO長度減小，故不變，減小，故CD錯誤。
。
6. （2024洛陽名校聯考）如圖所示，重為10 N的小球套在與水平面成37°角的硬桿上，現用一垂直于桿向上、大小為20 N的力F拉小球，使小球處于靜止狀態(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．則(　　)
A． 小球不一定受摩擦力的作用
B． 小球受摩擦力的方向一定沿桿向上，大小為6 N
C． 桿對小球的彈力方向垂直于桿向下，大小為4.8 N
D． 桿對小球的彈力方向垂直于桿向上，大小為12 N
【參考答案】B
【名師解析】對小球受力分析，把重力沿桿方向和垂直桿方向正交分解如圖，由共點力平衡可知，Ff＝mgsin 37°＝10×0.6 N＝6 N，FN＝F－mgcos 37°＝20 N－8 N＝12 N、方向垂直于桿向下，故B正確，A、C、D錯誤．
7.（2024北京朝陽名校聯考）. 如圖甲所示，輕桿OB可繞B點自由轉動，另一端O點用細繩拉住，固定在左側墻壁上，質量為m 的重物用細繩OC懸掛在輕桿的O點，OA與輕桿的夾角∠BOA=30°。乙圖中水平輕桿OB一端固定在豎直墻壁上，另一端O裝有小滑輪，用一根繩跨過滑輪后懸掛一質量為m的重物，圖中∠BOA=30°，以下說法正確的是（　　）
A. 甲圖中繩對桿的壓力不沿桿
B. 乙圖中滑輪對繩的支持力與水平方向呈30°角指向右上方
C. 兩圖中結點O所受的支持力與繩AO段的拉力，這兩個力的合力方向一定不同
D. 甲圖中繩AO段與繩OC段上的拉力大小相等
【思路點撥】
甲圖→“動桿”中彈力方向沿輕桿方向→以結點O為原點建立直角坐標系→將結點O所受各個力正交分解
乙圖→“定桿”中彈力方向沿輕桿方向不沿輕桿方向→由滑輪兩側細線中拉力的合力方向確定“定桿”中彈力方向
【參考答案】B
【名師解析】對甲乙中O點受力分析如圖；
甲圖中輕桿為“動桿”，繩對桿的壓力沿桿的方向，選項A錯誤；
乙圖中輕桿為“定桿”其彈力方向需要根據平衡條件確定。由于滑輪兩邊繩子的拉力相等，根據平衡條件可知滑輪對繩的支持力的方向沿滑輪兩邊繩子拉力夾角平分線的反方向，與水平方向呈30°角指向右上方，選項B正確；兩圖中結點O所受支持力與繩AO段的拉力以及物體的重力三力的合力為零，則兩圖中結點O所受的支持力與繩AO段的拉力這兩個力的合力方向與重力等大反向，則方向一定相同，選項C錯誤；由受力圖可知，甲圖中繩AO段與繩OC段上的拉力大小不相等，選項D錯誤。
【“定桿與動桿”辨析】
定桿 動桿
定義 一端固定的桿，例如插入墻壁的輕桿，固定于某點的輕桿。 可以繞光滑軸或鉸鏈轉動的輕桿。
圖示
彈力方向 可以為任意方向 只能沿輕桿方向
彈力確定方法 根據共點力平衡條件或牛頓運動定律確定“定桿”中彈力的方向和大小。 根據共點力平衡條件或牛頓運動定律確定“動桿”中彈力的大小。
備注 “定桿”中的彈力可能是拉力，也可能是壓力 “動桿”中的彈力可能是拉力，也可能是壓力
8 （2024·天津南開名校聯考）彈跳能力是職業籃球運動員重要的身體素質指標之一，許多著名的籃球運動員因為具有驚人的彈跳能力而被球迷稱為“彈簧人”。彈跳過程是身體肌肉、骨骼關節等部位一系列相關動作的過程，屈膝是其中的一個關鍵動作。如圖所示，人屈膝下蹲時，膝關節彎曲的角度為，設此時大、小腿部的肌群對膝關節的作用力的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨對膝關節的作用力大致相等，那么腳掌所受地面豎直向上的彈力約為（　　）
A． B． C． D．
【參考答案】A
【名師解析】此題中骨骼可以視為輕桿，關節可以視為轉軸，骨骼繞關節轉動，可以視為動桿。關節受力如圖所示。
設大腿骨和小腿骨對膝關節的作用力大小為F1，已知它們之間的夾角為θ，F即為它們的合力的大小，作出平行四邊形定則如圖所示，有
則腳掌對地面豎直向下的壓力為小腿骨中力沿豎直方向的分力：即=
由牛頓第三定律可知腳掌所受地面豎直向上的彈力為，選項A正確。
【易錯警示】根據題述，大腿骨、小腿骨對膝關節的作用力大致相等，得出繞同一轉軸轉動的兩動桿中力大小相等，力的方向沿“動桿”即腿骨方向。
注意：小腿骨中力F沿豎直向下的分力等于腳掌對地面豎直向下的壓力，水平分力不等于大、小腿部的肌群對膝關節的作用力。
9 （原創題）一質量為m的小球與兩根過球心的輕桿連接，輕桿通過光滑鉸鏈分別與固定點O和O’連接，如圖。已知兩輕桿分別與水平地面和豎直墻壁的夾角都為30°，則兩輕桿受到小球的作用力大小分別為( )
A. mg， mg
B. mg，mg
C. mg，mg
D. mg，mg
【參考答案】B
【思路點撥】
隔離小球→分析受力→畫出力矢量圖→由平衡條件→輕桿中彈力。
【名師解析】兩輕桿通過光滑鉸鏈分別與固定點O和O’連接，為“動桿”，而“動桿”上彈力方向沿輕桿。對小球進行受力分析，小球所受重力mg豎直向下，下面輕桿對小球的受力方向沿輕桿斜向下，設為F1，上面輕桿對小球的受力方向沿輕桿斜向上，設為F2，如圖。
在力矢量三角形中，由正弦定理，==，
解得F1=mg，F2=mg，選項B正確。
【一題多解】此題也可以小球為坐標原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸建立直角坐標系，將各力沿坐標軸方向分解，由平衡條件，F1cos30°=F2cos60°，F1sin30°+mg= F2cos30°，，解得：F1=mg，F2=mg。
10. （2024安徽六校期末聯考）如圖所示，輕繩OA、輕桿OB的O端與質量為m的小球拴接在一起，輕桿的B端通過鉸鏈連接在豎直墻面上，小球處于靜止狀態，且OA=OB，OB與豎直方向的夾角為60°，重力加速度為g，則（ ）
A.輕繩OA受到的拉力大小為mg
B.輕桿OB受到的彈力大小為mg
C.若將A點緩慢向下移動一小段距離，則輕繩OA受到的拉力將變大
D.右將A點緩慢向下移動一小段距離，則輕繩OA受到的拉力將變小
【參考答案】.AC
【名師解析】對小球進行受力分析，如圖所示，由幾何關系可知，選項A正確，B錯誤；若將A點向下移動一小段距離，OB與豎直方向所成的夾角將增大，則由小球受力分析圖可知輕繩OA受到拉力變大，選項C正確，D錯誤.
11. （2024山東濟南歷城二中質檢）如圖，輕質細桿上穿有一個質量為的小球，將桿水平置于相互垂直的固定光滑斜面上，系統恰好處于平衡狀態。已知左側斜面與水平面成角，則左側斜面對桿支持力的大小為（　　）
A B. C. D.
【參考答案】B
【名師解析】
對輕桿和小球組成的系統進行受力分析，如圖
設左側斜面對桿AB支持力的大小為，由平衡條件有
得
故選B。
12. （2024廣東名校聯考）如圖，家用小型起重機拉起重物的繩子一端固定在起重機斜臂頂端，另一端跨過動滑輪A和定滑輪B之后與電動機相連。起重機正將重為G的重物勻速豎直上拉，忽略繩子與滑輪的摩擦以及繩子和動滑輪A的重力，∠ABC=60°，則（　　）
A. 繩子對定滑輪B的作用力方向豎直向下
B. 繩子對定滑輪B的作用力方向與BA成30°斜向下
C. 繩子對定滑輪B的作用力大小等于G
D. 繩子對定滑輪B的作用力大小等于
【思路點撥】起重機斜臂可以視為“定桿”，其對滑輪的作用力方向不沿桿。起重機斜臂頂端的滑輪為“活結”，兩側繩子的拉力相等。
【參考答案】BD
【名師解析】繩子對定滑輪的B的作用力為BA和BC兩段繩子彈力的合力，方向斜向左下，故A錯誤；B．C．D．重物勻速運動，則任意段繩子的彈力等于重力的一半，即。由平行四邊形可知，合力方向延∠ABC的角平分線，與BA夾角30°斜向下，大小為,故BD正確，C錯誤。此題正確選項為BD。
13（2022重慶育才中學二模）如圖所示，水平地面上有一鐵板，鐵板上有一傾角為的活動木板，質量分別為mA和mB的物體A、B用輕繩連接后跨過滑輪，A、B均處于靜止狀態。現將木板的傾角緩緩減小到10°， A與斜面始終保持相對靜止，B物體始終懸在空中。已知mA =2mB，不計滑輪摩擦。 下列說法正確的是（　　）
A. 繩子對A的拉力將減小
B. 鐵板對地面的壓力將逐漸減小
C. 地面對鐵板的摩擦力將逐漸增大
D. 物體A受到的摩擦力先減小后增大
【參考答案】D
【名師解析】由于定滑輪兩側輕繩中拉力相等，輕繩中拉力等于B的重力，所以輕繩對A的拉力保持不變，A錯誤；對整體受力分析，根據平衡條件有FN=G總 ，將木板的傾角緩緩減小到10°時，鐵板對地面的支持力與傾斜角無關，保持不變，由牛頓第三定律可知鐵板對地面的壓力也保持不變，所以B錯誤；對整體受力分析，根據平衡條件可知，整體只受重力與支持力，所以地面的摩擦力為0，則C錯誤；由于mA =2m B，，所以開始時摩擦力方向沿斜面向上，對物體A，根據平衡條件有，當將木板的傾角θ由45°緩緩減小到30°過程中，摩擦力f減小到0。將木板的傾角θ緩緩從30°減小到10°過程中，摩擦力方向沿斜面向下，由平衡條件，有，摩擦力f隨傾角θ的減小而增大。所以將木板的傾角由45°緩緩減小到10°的過程中，物體A受到的摩擦力先減小后增大，選項D正確；
【秒解】分析整體，重心偏向左邊，所以左邊的小球質量更大，mP：mQ = xP ：xQ不符合實際，D錯誤。
【審題指導】此題三輕桿通過鉸鏈連接，看似動桿，實則是定桿，圓環和小球構成的三角形形狀不變，所以是定桿模型。若將圓環改成定滑輪，用輕繩繞過定滑輪兩端系在兩小球上，則成為動桿模型。
S
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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