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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
人教A版數(shù)學(xué)--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題一
知識(shí)點(diǎn)一 求點(diǎn)面距離,面面角的向量求法
典例1、如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)．
（1）證明：； （2）求點(diǎn)E到平面的距離； （3）求二面角的余弦值．
拓展練習(xí)：如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E、M、N分別是、、
的中點(diǎn).
（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)C到平面的距離；
（3）設(shè)P為邊上的一點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正切值為時(shí)，求二面角 的余弦值.
典例2、如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點(diǎn).
（1）求證:; （2）求二面角的大小.
拓展練習(xí)：如圖，在正四棱錐中，，點(diǎn)M，N分別在上，且．
（1）求證：平面； （2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成二面角的正弦值．
典例3、四棱錐中，底面為梯形，，，，，
為直二面角．
（1）證明：；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度．
拓展練習(xí)：如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面，為正三角
形，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)，且滿足．
（1）求證：；（2）是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
知識(shí)點(diǎn)二 證明線面平行,線面角的向量求法
典例4、如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，.再?gòu)臈l件①：、條件②：、條件③：平面平面、中選擇兩個(gè)能解決下面問題的條件作為已知，并作答.
（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.
拓展練習(xí)： 如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，點(diǎn)，分別是，
的中點(diǎn)，若，.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
典例5、已知平行四邊形，，，點(diǎn)是 的中點(diǎn).沿把進(jìn)行翻折，使得平面平面.
（1）求證：平面；
（2）點(diǎn)是的中點(diǎn)，棱上一點(diǎn)使得，求二面角的余弦值.
拓展練習(xí)：如圖，斜三棱柱中，為正三角形，為棱上的一點(diǎn)，平面，
平面.
（1）證明：平面；（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.
典例6、如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，
．
（1）證明：；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在， 求與所成角的余弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
拓展練習(xí)：如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為PA的中點(diǎn)，
過C，D，E三點(diǎn)的平面與PB交于點(diǎn)F，且PA=PD=AB=2.
（1）證明：；
（2）若四棱錐的體積為，則在線段上是否存在點(diǎn)G，使得二面角的余弦值為若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
人教A版數(shù)學(xué)--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題一答案
典例1、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）.
解:（1）由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：面，面，則，
又，則為正方形，即，而，
∴面，而面， ∴.
（2）由題設(shè)，，則，
由，且E是棱AB的中點(diǎn)，則，
即，
若E到平面的距離為，則，可得.
（3）構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，
∴，若是面的法向量，
∴，令，則，
又是面的一個(gè)法向量，
∴，則銳二面角的余弦值.
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見解析；（2）；（3）.
解: （1）證明：連接，，如圖，
因?yàn)镋、M分別是、的中點(diǎn)，所以且，
又N是的中點(diǎn)，所以，
結(jié)合長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）因?yàn)椋瑸殚L(zhǎng)方體，
E、M、N分別是、、的中點(diǎn)，
所以，，，
所以為等腰三角形，其底邊上的高為，
所以， 設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，
則，
又， 所以，解得，
所以點(diǎn)C到平面的距離為；
（3）連接，如圖，
由平面可得即為直線與平面所成角，
又，所以,
分別以、、作為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，， 所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令則，
得平面的一個(gè)法向量，
所以，
因?yàn)槎娼菫殁g角， 所以二面角的余弦值為.
典例2、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）依題意，平面，如圖，以為原點(diǎn)，
分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
依題意，可得，，
， ，即；
∵，為的中點(diǎn)，∴
（2），平面,
平面，故為平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面的法向量為，
， 即，
令，得，故. ，
由圖可得二面角為鈍角，
二面角的余弦值為，則二面角的大小為.
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見解析 2（2）
解：（1）證明：連接AN并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，
因?yàn)檎睦忮FP ABCD，所以ABCD為正方形，所以．
又因?yàn)椋裕栽谄矫鍼AE中，，
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接PO，
因?yàn)檎睦忮FP ABCD，所以平面ABCD，
又OA，平面ABCD，所以，，
又正方形ABCD，所以．
以，，為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
因?yàn)椋裕瑒t，，
設(shè)平面AMN的法向量為，則，
取，； ，，
設(shè)平面PBC的法向量為， 則
取，； 所以，
設(shè)平面AMN與平面PBC所成的二面角為， 則，
所以平面AMN與平面PBC所成二面角的正弦值為．
典例3、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）取的中點(diǎn),連接，交于,連接,所以,
因?yàn)椋? 所以且,
所以四邊形為菱形，所以,
因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以,
所以為的二面角的平面角，
因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵? 所以，即,
因?yàn)椋矫?
所以平面,
又因?yàn)槠矫妫?
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以,所以；
（2）由（1）知，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，由,得，
所以， 所以，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，
令，則，，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，，
所以，解得，
由（1）知，為的中點(diǎn)，所以. 所以的長(zhǎng)度為.
拓展練習(xí)：答案：（1）證明過程見解析； （2）存在，.
解：（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接， 因?yàn)槭菆AO的直徑，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以平面，而平面， 所以；
（2）連接，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)闉檎切危闹悬c(diǎn)為， 所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以平面，而平面，
所以，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)， ，
設(shè)平面的法向量為， ，
所以有，
所以，，
假設(shè)存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，
所以有，或（舍去），
即存在，使得直線與平面所成角的正弦值為.
典例4、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）選①②：由，，，易知：，
又，，面，則面；
選①③：由，，，易知：.
又面面，面面，面，
∴平面
（2）由（1）知：，，又四邊形是正方形，則，
如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
∴，，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，即
令，則，，即，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
∴直線與平面所成角的正弦值為.
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取中點(diǎn)，連接，
分別為中點(diǎn)，，；
四邊形為矩形，為中點(diǎn)，，；
且，四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，；
，
即直線與平面所成角的正弦值為.
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：在中，，，，由余弦定理知，
，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
（2）設(shè)是的中點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t為正三角形，
則，，且，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∴.
由題可知，，∴為正三角形，∴.
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，
設(shè)，則，
，，
∵，∴，即，解得.
∴當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)滿足題意，即，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
則，取，得，
又平面的一個(gè)法向量為，
∴， 由圖可知，二面角為銳角，
∴二面角的余弦值是.
拓展練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）設(shè)，則為的中點(diǎn).連結(jié)，則平面平面.
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>平面 平面= ，所以，
從而為的中點(diǎn)，因此.
因?yàn)槠矫妫?因?yàn)椋云矫?
（2）解法1： 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為單位長(zhǎng)，
建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).
則，
，故， .
設(shè)為平面的法向量則
即可取
設(shè)為平面的法向量，則即
可取. 由可得，所以.
設(shè)為平面的法向量，則，
即 可取.
因?yàn)椋远娼堑恼抑禐?
解法2：
在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以平面，故.由（1）及題設(shè)平面，
所以，又，因此平面，所以，
因此.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為單位長(zhǎng)，
建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系，
可知，可得
設(shè)為平面的法向量，則
即{可取
設(shè)為平面的法向量，則，
即可取
因?yàn)椋谑嵌娼堑恼抑?
所以二面角的正弦值.
典例6、答案：（1）證明見解析 （2）存在，且與所成角的余弦值為
解：證明：連接，設(shè)，
因?yàn)椋瑒t，且為等腰直角三角形，
因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫?br/>所以，，則，
平面，平面，，
，平面，平面，.
（2）因?yàn)槠矫妫?br/>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則、、、、，
設(shè)，其中，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，可得，
易知平面的一個(gè)法向量為，
由題意可得，
因?yàn)椋獾茫藭r(shí)，，
，，
所以，，
因此，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，
且與所成角的余弦值為.
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見解析；（2）存在，.
解:（1）證明：由題意得，AB//CD， 又AB 平面PAB，CD平面PAB，
∴CD//平面PAB. 又CD 平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF，
∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD.
（2）取AD的中點(diǎn)為O，連接PO，PA=PD，PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO 平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴VP－ABCD=AB·AD·PO=，則AD·PO=4， 又PO2+=4，∴PO=，AD=2.
取BC的中點(diǎn)為H，以O(shè)A，OH，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，)，B(，2，0)，D(－，0，0)，C(－，2，0)，
∴=(，2，－)， =(0，－2，0).
假設(shè)存在點(diǎn)G，設(shè)，∴，
則，
∴=((1+λ)，2λ，(1－λ))，
設(shè)平面GCD的法向量為，
，可取，
又平面的一個(gè)法向量，二面角G－CD－B為銳角，
∴，解得λ=或λ=3（舍）.
存在點(diǎn)G，使得二面角G－CD－B的余弦值為，此時(shí).
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人教A版數(shù)學(xué)--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題二
知識(shí)點(diǎn)一 證明線面平行,求平面的法向量,面面角的向量求法
典例1、如圖所示多面體中，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，
，是上一點(diǎn)，．
（1）求證：平面； （2）求二面角的正弦值．
拓展練習(xí)：在四棱錐中，，，，，且，
，平面平面.
（1）證明：//平面； （2）求二面角的余弦值.
典例2、如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，，是的中點(diǎn)，，垂足為.
（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求二面角的正弦值.
拓展練習(xí)：如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)到平面的距離； （2）求二面角的余弦值.
典例3、在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，．
（1）證明：；
（2）點(diǎn)F在線段PD上，試確定點(diǎn)F的位置使BF與平面PAB所成的角的正弦值為．
拓展練習(xí)：在如圖所示的多面體中，平面，平面，，且，
是的中點(diǎn)．
（1）求證：．（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角是60°．若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
知識(shí)點(diǎn)二 證明線面平行,線面角的向量求法
典例4、如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，丄平面，且
，，點(diǎn)是的中點(diǎn).
（1）求證:平面; （2）求直線與平面所成角的正弦值.
拓展練習(xí)： 如圖，在直三棱柱中，D，E分別是棱AB，的中點(diǎn)，，．
（1）求證：平面；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得各條件相融．并求直線 與平面所成的角的正弦值．
條件①：； 條件②：； 條件③：到平面的距離為1．
典例5、如圖，中，且，將沿中位線EF折起，使得，連結(jié)AB，
AC，M為AC的中點(diǎn).
（1）證明：平面ABC； （2）求二面角的余弦值.
拓展練習(xí)：如圖，在四棱柱中，四邊形和四邊形都是矩形，，四
邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的菱形，.
（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.
典例6、如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，且．
（1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值；
（3）棱上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角是？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
拓展練習(xí)：請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答．
①AB⊥BC，②FC與平面ABCD所成的角為，③∠ABC．
如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中點(diǎn)為F．
（1）在線段AB上是否存在一點(diǎn)G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由； （2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．
人教A版數(shù)學(xué)--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題二
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)， 則，即，
因?yàn)椋裕遥?br/>所以四邊形為平行四邊形，所以.
又平面，平面， 所以平面.
（2）由題意以為原點(diǎn)，分別以，，
所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，
則，， 即，，
令，，則，，
設(shè)二面角為， 所以，
即，
所以二面角的正弦值為.
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）設(shè)點(diǎn)滿足，即，結(jié)合條件，
即，，即；
由條件，即，可得：，顯然線段不共線，
從而可得四邊形為平行四邊形，即可得：//，平面，
平面，故可得：//平面
（2）過點(diǎn)作作的垂線，垂足為，平面，
平面平面，平面平面，可得：平面
∵，∴，故可得，，，.在直角梯形中，，，可得，在中，根據(jù)余弦定理：，
根據(jù)上述分析可得：，從而可得：.
綜上可得：三條直線兩兩垂直.故以點(diǎn)為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，
方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系.則有點(diǎn)，， ，，，
設(shè)平面的法向量為，則可得：，
即有，令，可得；
平面與平面為同一個(gè)平面，顯然平面的一個(gè)法向量為.
可得：，結(jié)合圖形可知是銳二面角，
從而可得二面角的余弦值為
典例2、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）1.
解：（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，易知為中點(diǎn)，
在中，，分別為，中點(diǎn)，
∴為的一條中位線， ∴，
∵平面，平面， ∴平面.
（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離，
即點(diǎn)到平面的距離，
∵平面，平面， ∴，
又，，平面，平面，
∴平面，則點(diǎn)到平面的距離即為的長(zhǎng)度，
在中，，，故，
又，故，則，
∴， ∴，
∴，即點(diǎn)到平面的距離為.
（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由（2）可得，，，，
∴，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
則可取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
則可取，
∴， ∴二面角的正弦值為1.
拓展練習(xí)：答案： （1）；（2）.
解：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則平面，
是等邊三角形，，
以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為坐標(biāo)軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，，，，0，，，，，，0，，
，，，，0，，，0，，
設(shè)平面的法向量為，，，則，即，
令可得，0，，
點(diǎn)到平面的距離為.
（2），，，，0，，
設(shè)平面的法向量為，，，則，即，
令可得，，， ，，
二面角的余弦值為.
典例3、答案：（1）證明見解析 （2）點(diǎn)F在PD的中點(diǎn)處
解：（1）證明：∵PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，∴
取AB中點(diǎn)E，連接DE，∵，
∴，又∵，∴．
∴△ABD為直角三角形，且AB為斜邊，∴，
又，PD面PAD， AD面PAD，
∴BD⊥面PAD，又PA面PAD，∴
（2）由（1）知，PD，AD，BD兩兩互相垂直，分別以DA，DB，DP為x、y、z軸
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)，
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，
則，則可取．
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是，則BF的坐標(biāo)是(0,－,t)，
設(shè)BF與平面PAB所成的角為，
則
解得或
點(diǎn)F在線段PD上，則，即點(diǎn)F在PD的中點(diǎn)處滿足題意.
拓展練習(xí)：答案：（1）證明見解析； （2）存在，為棱的中點(diǎn).
解：（1）∵，是的中點(diǎn)，∴. 又平面，∴.
∵，平面，平面，∴平面.
∵平面，∴．
（2）以為原點(diǎn)，分別以，為x，y軸，如圖建立坐標(biāo)系.
則：，，，，，
，，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則：，
不妨取，，，所以.
假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角是60°，
設(shè)且，，∴，
∴，，， ∴，
若直線與平面所成的角為60°，
則：，
解得. 即點(diǎn)為棱的中點(diǎn)
所以在棱上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角是60°.
典例4、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）連接BD交AC于F點(diǎn)，連接EF， 在中，∵EF是中位線，∴．
又∵平面AEC，平面AEC， ∴平面AEC．
（2）由題意知，AC，AB，AP兩兩互相垂直，如圖，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC，AB，AP分別為x，y，z軸的正半軸
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則，，， ∴，
易知平面PAB的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線CE與平面PAB所成角為，
則．
∴直線CE與平面PAB所成角的正弦值為．
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取的中點(diǎn)為，連接.
分別是，的中點(diǎn), . D是的中點(diǎn)，
直三棱柱， .，.
四邊形為平行四邊形.
又平面，平面，所以平面.
（2）選擇條件①：；
直三棱柱，平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面.
又，.
以為原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)檩S，軸，軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則， 所以，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量， 則， 即，
令，則，，
設(shè)直線DE與平面所成的角為，
則
所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.
選擇條件②：； 取的中點(diǎn)為，連接.
直三棱柱，分別是，的中點(diǎn),
平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面..
分別是，的中點(diǎn), ，.
以為原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)檩S，軸，軸建立
如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則 ，即，
令，則，，
設(shè)直線DE與平面所成的角為，
則.
所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.
選擇條件③：到平面的距離為1． 過點(diǎn)作,垂足為，
直三棱柱， 平面，平面，，
，平面，
所以平面.平面.所以
由（1）知平面；因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為1，
所以.又，所以
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn), ,所以是的中點(diǎn), .
又，.
以為原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)檩S，軸，軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，
令，則，，
設(shè)直線DE與平面所成的角為，
則.
所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.
典例5、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）設(shè)，則
，，平面
平面，
連接，，，
，
，即
又 ，平面ABC
（2），以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為
，令，則
同理可得，
又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）由矩形得，由矩形得.又，
∴平面.又平面，∴.
又∵四邊形為菱形，∴，而，∴平面.
（2）在菱形ABCD中，，，
由余弦定理可得，則，
于是均為正三角形，取的中點(diǎn)M，易得，且.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸 y軸 z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
則，，.
設(shè)平面的法向量為，
則取，得.
設(shè)平面的法向量為，
則取，得.
設(shè)平面與平面的夾角為，則.
典例6、答案： （1）證明見解析 （2） （3）存在，，理由見解析.
解：（1）在正方形中，，又因?yàn)椋?br/>所以面，因?yàn)槊妫裕?br/>因?yàn)椋悦妫?br/>因?yàn)槊妫裕?因?yàn)椋云矫妫?br/>（2）由已知可得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接，可得，
因?yàn)椋裕?br/>所以，，，，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
由，令，則，，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
由，則，令，則，所以，
所以，
（3）因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為.
存在，理由如下：
假設(shè)在棱上是否存在一點(diǎn)滿足條件，設(shè)，，
則，
因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，
所以
解得：，，
所以在棱上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角是
且的長(zhǎng)為.
拓展練習(xí)：答案： （1）存在，G是線段AB的中點(diǎn)，證明見解析；（2）詳見解析
解:(1)在線段AB上存在中點(diǎn)G，使得AF∥平面PCG．
證明如下：如圖所示：
設(shè)PC的中點(diǎn)為H，連結(jié)FH， 因?yàn)椋?，，
所以 所以四邊形AGHF為平行四邊形， 則AF∥GH，
又GH 平面PGC，AF 平面PGC， ∴AF∥平面PGC．
(2)選擇①AB⊥BC： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
由題意知AB，AD，AP彼此兩兩垂直，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PA＝AB＝2， 則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，F(xiàn)(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，
(﹣2，﹣1，1)，
設(shè)平面FAC的一個(gè)法向量為(x，y，z) ∴，
取y＝1，得(﹣1，1，﹣1)， 平面ACD的一個(gè)法向量為(0，0，1)，
設(shè)二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，則cosθ，
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．
選擇②FC與平面ABCD所成的角為：
∵PA⊥平面ABCD，取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，CM，
則FM∥PA，且FM＝1，∴FM⊥平面ABCD，
FC與平面ABCD所成角為∠FCM，∴，
在Rt△FCM中，CM， 又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，
∴AE，AD，AP彼此兩兩垂直， 以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PA＝AB＝2， ∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，
C(，1，0)， D(0，2，0)，
E(，0，0)，F(xiàn)(0，1，1)，P(0，0，2)，
∴(0，1，1)，( ，0，1)，
設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為(x，y，z) 則，
取x，得( ，﹣3，3)，
平面ACD的一個(gè)法向量為：(0，0，1)，
設(shè)二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，
則cosθ． ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．
選擇③∠ABC： ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，
∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，
∵E是BC的中點(diǎn)，∴BC⊥AE， ∴AE，AD，AP彼此兩兩垂直，
以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PA＝AB＝2，∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，
C(，1，0)， D(0，2，0)，
E(，0，0)，F(xiàn)(0，1，1)，P(0，0，2)，
∴(0，1，1)，( ，0，1)，
設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為(x，y，z)，則，
取x，得( ，﹣3，3)，
平面ACD的法向量(0，0，1)，
設(shè)二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ， θ則cosθ．
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題三
知識(shí)點(diǎn)一 求點(diǎn)面距離,面面角的向量求法
典例1、已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為2，M是BC上一點(diǎn)，三角形是以M為直角頂點(diǎn)等腰直角三角形.
（1）證明M是BC中點(diǎn)；（2）求二面角的大小；（3）直接寫出點(diǎn)C到平面的距離.
拓展練習(xí)：如圖，三棱柱的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)在底面的射影O是的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面所成角的余弦值.
典例2、已知四棱錐中，，，，，，面
面ABE，.
（1）求證： （2）求面ADE與面BCE所成的銳二面角的余弦值
拓展練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面，，
，，．
（1）證明：； （2）若，求二面角的余弦值．
典例3、如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，棱交平面于點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；（2）求證：；（3）求二面角的余弦值．
拓展練習(xí)： 如圖，三棱柱中，面面，．過
的平面交線段于點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），交線段于點(diǎn)．
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）若到平面的距離為，求直線與平面所成角的正弦值．
知識(shí)點(diǎn)二 線面角的向量求法,線面平行的性質(zhì)
典例4、如圖，在三棱柱中，，D為中點(diǎn)，四邊形為正方形．
（1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線 與平面所成角的正弦值． 條件①：； 條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
拓展練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，為
的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，平面.
（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線 與平面所成角的正弦值. 條件①：； 條件②：.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
典例5、如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，，點(diǎn)D為棱AC
上動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），平面與棱交于點(diǎn)E.
（1）求證：；
（2）若，從條件① 條件② 條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件作為已知，求直線AB與平面 所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：；條件③：.
拓展練習(xí)：如圖，在四棱錐中，平面，，，，
，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn).
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
典例6、如圖，PO是三棱錐的高，點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)，.
（1）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，證明另一個(gè)條件成立；條件①：平面；條件②：.注：若條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
（2）若，OB平分，，，在（1）的條件下，求平面PAB與平面PAC夾角的余弦值.
拓展練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面是菱形，為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答.
①；②；③與平面所成的角為.
若平面，，且______________，求二面角的余弦值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題三答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）證明：在正三棱柱中，有底面，面，，
又是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形， 且
，面 面，
面， ，
底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形， 點(diǎn)為中點(diǎn)．
（2）過作，交于．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．
由（1）知，，，，
，則、，，，
所以，，，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，
則，取，得，
令面的一個(gè)法向量為， 則，
令，則
設(shè)二面角的大小為，由圖知為銳角，
故，解得． 故二面角的大小為．
（3）過點(diǎn)作，由（1）知且，平面，
平面， 在平面內(nèi)， ，
又，平面， 平面
由（1）知，，，，
， ，
點(diǎn)到平面的距離為．
拓展練習(xí)：答案：（1）；（2）.
解:（1）由點(diǎn)在底面的射影O是的中點(diǎn)，可得平面，
又由是等邊三角形，所以兩兩垂直，
以分別為建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)槿庵睦忾L(zhǎng)都是2，所以得，
可得，所以，
在平面中，，
設(shè)法向量為，則有，可得，
取，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，
記點(diǎn)到平面的距離d，則.
（2）在平面中，，
設(shè)法向量為，則有，可得，
取，可得，所以，
設(shè)平面與平面所成角為，則，
所以平面與平面所成角的余弦值.
典例2、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：過C作交AB于G，連接，
∵面面ABE，且AB為交線，平面， ∴面ABE，
又平面，∴，
∵，∴，
即，
即， ∴，即，
∵平面， ∴面ABCD，
又平面，∴；
（2）過D作交AB于O， ∴，∴面ABE，
由（1）得，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸正方向
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由，，得，，，
∴，，，，，
∴，，，，
設(shè)面ADE，面BCE的法向量分別為，，
∴，即，令，則，
，即，令，則，
∴，
∴面ADE與面BCE所成的銳二面角的余弦值為.
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）．
解：（1）證明：∵，， ∴，，又，，
∴，且四邊形為直角梯形，，則，
∴， ∴，∴，
又∵平面，平面，∴，
又∵，平面，∴平面，
∵平面AOP，∴．
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
，則，，．
易知平面的法向量為．
設(shè)平面的法向量為，
∵，，
由，有，
令，從而，，∴．
設(shè)二面角的平面角為，則，
即二面角的余弦值為．
典例3、答案：（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）
解：（1）在正方體中，平面.
因?yàn)槠矫妫裕?br/>又因?yàn)槭钦叫危裕?br/>又因?yàn)椋云矫妫?br/>又平面，所以平面平面．
（2）在正方體中，平面平面.
又平面平面，平面平面，則．
又因?yàn)榍遥允瞧叫兴倪呅危裕?br/>所以.
（3）因?yàn)榈酌妫詢蓛纱怪? 以所在直線分別為 軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，
則， ，
，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 由得
令， 得.
因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量
所以．
由圖可知，二面角的余弦值．
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）在三棱柱中，，平面，
平面，則平面，
又平面平面，平面，于是得，
而平面平面，平面平面，
平面平面，
則，所以四邊形為平行四邊形.
在平面內(nèi)過點(diǎn)A作，因平面平面，
平面平面，
于是得平面，又，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，
建立如圖所以的空間直角坐標(biāo)系，
因，，則，
，
，
設(shè)平面的法向量，則，
令，得，
點(diǎn)B到平面的距離，
解得，
因此，，而，設(shè)直線與平面所成角為，
于是得，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
典例4、答案： （1）證明見解析； （2）
解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，
在三棱柱中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，
又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>同理可得平面，
又由且平面，所以平面平面，
因?yàn)槠矫妫云矫?
（2）若選條件①：
因?yàn)椋遥矫妫?br/>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫裕?br/>以為原點(diǎn)，以分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：因?yàn)榍宜倪呅螢檎叫危?br/>可得，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
即直線與平面所成角的正弦值為．
若選條件②：因?yàn)樗倪呅螢檎叫吻遥傻茫?br/>又因?yàn)椋裕?由，所以，
以為原點(diǎn)，以分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：因?yàn)榍宜倪呅螢檎叫危?br/>可得，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
即直線與平面所成角的正弦值為．
拓展練習(xí)：答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）取的中點(diǎn)，易知.
因?yàn)槠矫?平面,所以平面.
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面平面.
因?yàn)槠矫妫云矫?
因?yàn)槠矫妫移矫嫫矫妫?
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn).
（2）選擇條件①：，
因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，所以.
因?yàn)槠矫妫云矫?
因?yàn)槠矫妫?
因?yàn)椋詢蓛纱怪保?br/>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
選擇條件②：，
因?yàn)椋?所以.
因?yàn)椋?所以, 所以，即.
因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，所以.
因?yàn)槠矫妫云矫?
因?yàn)槠矫妫?
因?yàn)椋詢蓛纱怪保?br/>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)直線與平面所成角為， 則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
典例5、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）在三棱柱中，，又面，面，
所以平面，又面面，面，
所以.
選①②：連接，取中點(diǎn)，連接，.
在菱形中，所以為等邊三角形.
又為中點(diǎn)，所以，
又面面，面面， 平面，
所以平面，平面， 故，又，所以.
（2）以為原點(diǎn)，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，.
所以，.
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，
令，故.
又，設(shè)直線與面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
選②③：連接，取中點(diǎn)，連接，.
在菱形中，所以為等邊三角形.
又為中點(diǎn)，故，且，又，.
所以，則.
又，面，所以面，
由平面，故，又，所以.
以為原點(diǎn)，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，.
所以，.
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，
令，故.
又，設(shè)直線與面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
選①③：取中點(diǎn)，連接，.
在中，因?yàn)椋裕遥?
又面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，又，， 所以，則.
由，面，則面，
由平面，故，又，所以.
以為原點(diǎn)，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，.
所以，.
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，
令，故.
又，設(shè)直線與面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：因?yàn)槠矫妫詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則，
令，則，，
則平面的一個(gè)法向量為，
所以，則，又平面 平面；
（2）由（1）得，所以，
設(shè)直線與平面所成角為． ．
直線與平面所成角的正弦值為．
典例6、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）選擇條件①：平面PAC，證明條件②：成立. 延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，
因?yàn)槠矫鍼AC，平面，平面PAC平面，則，
∵是PB的中點(diǎn)，∴，
連結(jié)OA，∵，∴，
∵是三棱錐的高，∴平面ABC，、平面ABC，
∴，，∴， ∴，∴；
選擇條件②：，證明條件①：平面成立.
取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)OE、PE、DE，則， ∵PO是三棱錐的高，
∴平面ABC，平面ABC，∴，
又，平面POE，，
∴平面POE，平面POE，∴，
∵，∴，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，
又∵D是PB的中點(diǎn)，又平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，
∵，平面， ∴平面平面PAC，平面，
∴平面PAC；
（2）選擇條件①：由（1）得，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)OE，則，
∵，，∴，，
以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OE，OP所在的直線分別為y軸，z軸，過和平行的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得，，，，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，
∴，令，則，∴，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，
∴，令，則，∴，
∴，由圖，平面與平面夾角為銳二面角，
∴平面與平面夾角的余弦值為.
選擇條件②：由（1）得，∵，，
∴，
以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OE，OP所在的直線分別為y軸，z軸，過和平行的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得，，，，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，
∴，令，則，∴，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，
∴令，則，∴，
∴，平面與平面夾角為銳二面角，
∴平面PAB與平面PAC夾角的余弦值為.
拓展練習(xí)：答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O，因?yàn)槭橇庑危設(shè)為BD的中點(diǎn).
連結(jié)OF.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，所以.
因?yàn)槊妫妫? 所以平面.
（2）過O作.以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向
建立空間直角坐標(biāo)系.
選條件①：.
在菱形中， .因?yàn)椋?.所以,,,,,,.
所以,.
設(shè)為面ACF的一個(gè)法向量，則：，不妨令x=2，則.
顯然為面ACD 的一個(gè)法向量. 設(shè)二面角的平面角為，
由圖示，為銳角，
所以.
選條件②.
在菱形中，，所以,所以.
因?yàn)椋?.
所以,,,,,,.
所以,.
設(shè)為面ACF的一個(gè)法向量，則：，
不妨令x=2，則. 顯然為面ACD 的一個(gè)法向量.
設(shè)二面角的平面角為，由圖示，為銳角，
所以.
選條件③：與平面所成的角為.
因?yàn)槠矫妫詾榕c平面所成的角，即.
在直角三角形中，由可得：.所以,.
所以,,,,,,.
所以,.
設(shè)為面ACF的一個(gè)法向量，則：，
不妨令x=2，則. 顯然為面ACD的一個(gè)法向量.
設(shè)二面角的平面角為，由圖示，為銳角，
所以.
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題四
知識(shí)點(diǎn)一 面面平行證明線線平行,面面角的向量求法,點(diǎn)到平面距離的向量求法
典例1、已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，將沿著翻折，得到四棱錐，平面平面，平面平面.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)C到平面的距離.
拓展練習(xí)： 如圖所示，在中，斜邊，，將沿直線AC旋轉(zhuǎn)得到， 設(shè)二面角的大小為．
（1）取AB中點(diǎn)E，過點(diǎn)E的平面與AC，AD分別交于點(diǎn)F，G，當(dāng)平面平面BDC時(shí)，求FG的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．
（3）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
典例2、如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，，，，．
（1）求證：平面； （2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
拓展練習(xí)：如圖，平面，，，，，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大小；
（3）若為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，求線段的長(zhǎng)．
典例3、如圖，在直三棱柱中，側(cè)面是正方形，且平面平面.
（1）求證：；（2）若直線與平面所成的角為，E為線段的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的大小.
拓展練習(xí)：如圖，直三棱柱，.
（1）證明：；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，，求二面角的余弦值.
知識(shí)點(diǎn)二 證明線面平行,面面角的向量求法
典例4、如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)F為的中點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)G為線段的中點(diǎn)，求證：CF∥平面；
（2）若，直線與平面所成的角為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇幾個(gè)作為已知，使四棱錐唯一確定，求：
（ⅰ）直線到平面的距離； （ⅱ）二面角的余弦值．
條件①：平面； 條件②：； 條件③：平面平面．
拓展練習(xí)：如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且．
（1）證明：平面；
（2）從①三棱錐的體積為1；②與底面所成的角為60°；③異面直線與所成的角為30°這三個(gè)條件中選擇-一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值．
典例5、如圖，在三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn).
（1）證明：平面；（2）若，再?gòu)臈l件①、條件②中選擇一個(gè)作為條件，求直線與平面所成角的正弦值. 條件①：異面直線與所成的角為45°；
條件②：是等腰三角形.
拓展練習(xí)：如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形.再?gòu)臈l件① 條件② 條件③中選擇兩個(gè)能解決下面問題的條件作為已知.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）設(shè)是的中點(diǎn)，棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，說明理由. 條件①：；條件②：；條件③：平面平面.
注：如果選擇多種方案分別解答，那么按第一種方案解答計(jì)分.
典例6、如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E為PB的中點(diǎn)，______．從①；②平面PAD這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題的橫線中，并完成解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答按第一個(gè)解答計(jì)分．
（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形． （2）求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．
（3）在棱PB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
拓展練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，為的中點(diǎn).
（1）證明:平面;
（2）在①，②這兩個(gè)條件中任一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答.若________，求與平面所成的角. 注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題四答案
典例1、答案： （1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）在中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以.
在四棱錐中，因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面.
又平面，平面平面，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?
（2）在四棱錐中，取的中點(diǎn)O，的中點(diǎn)D，連結(jié)，，
因?yàn)椋制矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>平面， 所以平面，
因?yàn)槠矫妫?
以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，，， ，
，.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，，即，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）由（2），點(diǎn)C到平面的距離.
拓展練習(xí)：答案：（1）1；（2）；（3）不存在.
解:（1）如圖所示：
因?yàn)槠矫嫫矫鍮DC，平面平面BDC=BD，
平面平面EFG=EG， 所以，
因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以G為AD的中點(diǎn)，
同理可證F為AC的中點(diǎn)， 所以，
在中，斜邊，，
所以，即， 所以；
（2）過點(diǎn)B作，連接DO，則，面，
因?yàn)椋瑒t平面平面ABC，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC=AC，
所以平面ABC，
以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；
在中，斜邊，，
所以，
則， 所以 ，
設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為， 則，即，
令 ，得 ，則， 因?yàn)槠矫鍭CD，
所以是平面ACD的一個(gè)法向量，
所以.
即二面角的余弦值是．
（3）假設(shè)存在，則，，
，
解得，則， 因?yàn)椋? 所以不存在，使得.
典例2、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）．
解:（1）證明：∵四邊形為直角梯形，四邊形為矩形， ∴，，
又∵平面平面，，且平面平面，
∴平面
以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，
所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，
則，．
∵，， ∴為平面的一個(gè)法向量．
又， ∴，即平面．
（2）由（1）知， 由（1）知，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，∴， ∴平面AEF的一個(gè)法向量，
則，
平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
（3）由（1）知，又平面的一個(gè)法向量，
所以點(diǎn)到平面的距離．
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見解析； （2）； （3）.
解：（1）證明：連接，，， ，
又，四邊形為平行四邊形.
點(diǎn)， 分別為，的中點(diǎn)， ，.
，，為的中點(diǎn)，
，, ，.
四邊形為平行四邊形. .
平面，平面， 平面.
（2）平面，，可以建立以為原點(diǎn)，
分別以，，所在直線為軸，軸，軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
依題意可得，，，，，，，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，即.
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，即.
設(shè)平面與平面夾角為， 則.
所以平面與平面夾角為.
（3）設(shè)，即，
則，所以.
由知平面的法向量為，
由題意可得，
即，整理得， 解得或.
因?yàn)椋? 所以，，
則.
典例3、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）設(shè)，則中點(diǎn)為M，且
∵平面平面且交線為，平面，∴平面，
∵平面，∴， 又直三棱柱，∴，
∵平面， ∴平面，
∵平面，∴.
（2）由（1）知平面， 所以直線與平面所成的角為，
不妨設(shè)
以B為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正向建立坐標(biāo)系，，
設(shè)平面的法向量為 ，故可設(shè)，
設(shè)平面的法向量為， ，故可設(shè)，
設(shè)平面與平面所成銳二面角為， ∴.
拓展練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）直三棱柱， 平面，并且平面 ，
又，且，平面 平面，
又平面， .
（2），，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，則，所以的中點(diǎn)，則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，
則，因所求角為鈍角，
所以二面角的余弦值為.
典例4、答案：（1）證明過程見詳解 （2）（ⅰ）；（ⅱ）.
解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，，；
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，平面，
平面，所以平面，
又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，
所以且，則四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，所以平面，
因?yàn)椋矫妫云矫嫫矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫云矫?
（2）選擇條件①和③
（ⅰ）因?yàn)槠矫妫约礊橹本€與平面所成的角，
由題意可知：，又，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫妫?br/>所以，所以平面，平面，所以,
則四邊形為矩形，因?yàn)椋裕?br/>設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由平面可知：，
在中，，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
所以，，
因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫?br/>所以點(diǎn)到平面的距離也就是直線到平面的距離.
因?yàn)椋矗?br/>也即，所以 故直線到平面的距離為.
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，
則有，也即，令，則；
則有，也即，令，則，
則，
由圖可知：二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值為.
拓展練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋謩e是棱，的中點(diǎn)，
則，， 四邊形為平行四邊形，
， 平面，平面， 平面．
（2）在平面ACC1中過點(diǎn)作于，連接，
平面平面，平面平面， 平面，
選擇條件①：
三棱錐的體積，，
在中，， 點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
故以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，
，平面平面，平面， 平面，
平面即平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，， ，
顯然二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．
選擇條件②：
與底面所成的角為，，， 點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
故以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，
，平面平面，平面，
平面，
平面即平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，， ，
顯然二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．
選擇條件③：
， 即為異面直線與所成的角，即，
，， ，即，，
故以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，
，平面平面，平面， 平面，
平面即平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，，， ，
顯然二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．
典例5、答案： （1）證明見解析 （2）答案見解析
解：（1）取的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以且， 又因?yàn)榍遥?br/>所以且，
所以四邊形是平行四邊形， 即，平面
而平面，所以平面.
因?yàn)椋遥矫妫? 所以，
（2）又因?yàn)椋苑謩e以，，
所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
選擇條件①，因?yàn)闉楫惷嬷本€與所成的角，即，
所以，，
設(shè)，則， 解得， 所以，，
，， 所以，，，
設(shè)平面的法向量，則
令，則，，即，
所以.
選擇條件②，設(shè)，則，，，
因?yàn)槭堑妊切危陨鲜街兄荒埽矗?br/>所以，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則
令，則，，即，
所以.
拓展練習(xí)：答案： （1）證明見詳解 （2） （3）存在點(diǎn)；
解：（1）因所求問題包括線面角大小，需要求出邊長(zhǎng)，故①必選，
選②缺垂直條件，因?yàn)椋炙倪呅问沁呴L(zhǎng)為4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面
所以，選①②無(wú)法證明平面；
故只能選擇①③，理由如下：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以，所以平面，
又因?yàn)槠矫妫裕裕?br/>又因?yàn)椋裕矫妫?br/>所以平面；
（2）由（1）知兩兩垂直，故以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，
方向?yàn)檩S，
建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，，設(shè)平面的方向量為，則，即，令，得，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為；
（3）假設(shè)存在設(shè)點(diǎn)，使得平面，則，因?yàn)槠矫妫裕裕獾茫剩?br/>所以存在點(diǎn)，為中點(diǎn)，使得平面，此時(shí).
典例6、答案：（1）證明見解析 （2） （3）存在，
解：（1）選擇①：證明：平面，平面，，，
因?yàn)椋?br/>，，，
，平面，平面，
平面，， ，，
四邊形是直角梯形．
選擇②：證明：平面，平面，，，
，，， ，，
，平面，平面，
平面，， ，四邊形是直角梯形．
（2）過作的垂線交于點(diǎn)， 平面，，，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，2，，，2，，，0，，，，，
為的中點(diǎn)，，，，
，，，，2，，，2，，
設(shè)平面的法向量為，，，則，
令，得，1，，
設(shè)直線與平面所成角為， 則，．
直線與平面所成角的正弦值為．
（3）設(shè)，則，，，，，
，，， 平面，，
，解得． 故存在點(diǎn)F，且．
拓展練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）
解:（1）連接，交于，連接，
底面是菱形，為中點(diǎn)， 為中點(diǎn)，，
平面，平面，平面；
（2）選①：
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
底面是菱形，，，，
則，
設(shè)平面的法向量為， 則，
取可得，
設(shè)與平面所成的角為， 則，
所以與平面所成的角為；
選②：
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
取中點(diǎn)，連接，
底面是菱形，，，平面，為的中點(diǎn)，
，平面，，，
，
則，
設(shè)平面的法向量為， 則，
取可得，
設(shè)與平面所成的角為，
則，
所以與平面所成的角為；
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題五
知識(shí)點(diǎn)一 錐體體積的有關(guān)計(jì)算,證明線面垂直,已知面面角求其他量
典例1、如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長(zhǎng)直徑到點(diǎn)，使得，分別過點(diǎn)、作底面圓的切線，兩切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是切線與圓的切點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積．
隨堂練習(xí)：已知平面四邊形，，（如圖1所示），現(xiàn)將 沿邊折起，使得平面平面，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，（如圖2所示）．
（1）求證：平面；
（2）若二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．
典例2、已知，如圖四棱錐中，底面ABCD為菱形，，，平面ABCD，E，M分別是BC，PD中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）證明：平面PAD；
（2）請(qǐng)確定F點(diǎn)的位置，使得直線AF與平面PCD所成的角取最大值．
隨堂練習(xí)：已知正方體和平面，直線平面，直線平面.
（1）證明：平面平面；
（2）點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的最大值.
典例3、如圖，圓錐的高為是底面圓的直徑，為圓錐的母線，四邊形是底面圓的內(nèi)接等腰梯形，且，點(diǎn)在母線上，且．
（1）證明：平面平面； （2）求平面與平面的夾角的余弦值．
隨堂練習(xí)：如圖所示，在四棱錐中，，且平面.
（1）證明：平面平面； （2）求平面與平面夾角的余弦值.
知識(shí)點(diǎn)二 證明線面垂直,線面垂直證明線線垂直,已知面面角求其他量
典例4、如圖，在四棱錐中，平面平面，點(diǎn)在棱上，設(shè).
（1）證明：.
（2）設(shè)二面角的平面角為，且，求的值.
隨堂練習(xí)：如圖，四棱錐的底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面與平面相互垂直，、分別為、的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）若二面角的余弦值為，求的值.
典例5、如圖，在直三棱柱中，E，F(xiàn)，G分別為線段及的中點(diǎn)，P為線段上的點(diǎn)，，三棱柱的體積為240．
（1）求點(diǎn)F到平面的距離；
（2）試確定動(dòng)點(diǎn)P的位置，使直線與平面所成角的正弦值最大．
隨堂練習(xí)：如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，已知，．
（1）證明：平面； （2）求與平面所成角的正弦值；
（3）求到平面的距離．
典例6、在三棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn)，，，分別為，，的中點(diǎn)，平面，與平面所成的角為．
（1）求證：平面； （2）求平面與平面的夾角的余弦值．
隨堂練習(xí)：在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．
（1）求證：∥平面；
（2）求平面與平面EDC所成的二面角的正弦值．
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題五答案
典例1、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）由題設(shè)，底面圓，又是切線與圓的切點(diǎn)，
∴底面圓，則，且，而， ∴平面.
（2）由題設(shè)，若，可構(gòu)建為原點(diǎn)，
、、為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，
又，可得，
∴，，，有，，
若是面的一個(gè)法向量，則，
令，則， 又面的一個(gè)法向量為，
∴，可得，
∴該圓錐的體積．
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：因?yàn)椋?所以為等邊三角形，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以． 因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>平面平面平面， 所以平面，
又平面，所以，
又因?yàn)槠矫妫? 所以平面．
（2）如圖所示以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，．
所以，，
設(shè)， 則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則，即 ，
取，有， 即．
平面的一個(gè)法向量．
設(shè)二面角的平面角為，
則，
解得，即為中點(diǎn)． 此時(shí)，
又因?yàn)椋?br/>所以．
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：在正方形中有，，，
，又因?yàn)椋云矫妫矫妫?br/>所以平面平面.
（2）連接MN,由題意可得，，
，由，所以為直角三角形，
即，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，
，即，得，
即四棱錐的體積為
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）連接，因?yàn)椋?
又因?yàn)椋裕?
又因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以 BC，
又因?yàn)槠矫鍼CD，，
所以平面PCD,又因?yàn)槠矫鍼BC， 所以平面PCD⊥平面PBC.
（2）在直角三角形中，
在直角三角形中，
所以，
所以， 所以.
典例3、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）連接，由已知，，且，
∴四邊形為菱形，∴，
在圓錐中，∵平面，平面， ∴．
∵，平面，平面， ∴平面．
又∵平面， ∴平面平面．
(2）取中點(diǎn)，易知平面，，
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
∵，∴，
∴， ∴，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
因?yàn)樗裕睿瑒t，， ∴，
易知平面即平面，∴平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
∴平面與平面的夾角的余弦值為．
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：平面平面.
. 平面，
平面.
又平面平面平面.
（2）由（1）易知兩兩垂直.
如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則.
.
設(shè)平面的法向量為，
則即取，得.
易知平面的一個(gè)法向量為， ,
由圖可知，平面與平面的夾角為銳角，
平面與平面夾角的余弦值為.
典例4、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接. 因?yàn)椋?
又，所以四邊形是平行四邊形，從而.
因?yàn)椋裕瑥亩?
因?yàn)椋裕瑒t.
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>平面，
所以平面，平面，從而.
又，平面，
所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?br/>（2）由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
，
，可得.
設(shè)平面的法向量為， 由，
不妨令，則.
因?yàn)槠矫妫钥扇∑矫娴囊粋€(gè)法向量為，
因?yàn)椋裕?br/>解得或（舍去）.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析； （2）6.
解：（1）在四棱錐中，是正三角形，是的中點(diǎn)，則，
又平面平面，平面平面，平面，
則有平面，而平面， 所以.
（2）取的中點(diǎn)，連接，
在直角梯形中，，、分別為、的中點(diǎn)，
則，又，即有，
由（1）知平面，又、平面，則，.
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
，設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，
由（1）知，平面，則是平面的一個(gè)法向量，
，
因二面角的余弦值為，則，又，
解得，的值是6.
典例5、答案：（1） （2）P為中點(diǎn)
解：（1）在中，，為的中點(diǎn)，，即，
由直三棱柱的體積，
則=240 解得，
以為原點(diǎn)，并分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
由為的中點(diǎn)，則，由為的中點(diǎn)，則，
在平面中，取，，設(shè)該平面的法向量為，
則，即，令，則，
故平面的一個(gè)法向量為，
取，由點(diǎn)面距公式，
可得到平面的距離.
（2）由（1）可知：，，，，，
由，平面，則設(shè)，，
設(shè)，即，，
在平面內(nèi)，取，，設(shè)其法向量，
則，即，令，則，
故平面的一個(gè)法向量，取，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
則
當(dāng)時(shí)，P與B重合， 當(dāng)時(shí)，，
令，
當(dāng)時(shí)，即，P為中點(diǎn)時(shí)，
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）證明：連接，，連接，
在直三棱柱中為矩形，則為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，所以，
平面，平面． 平面．
（2），，，，．
由直三棱柱中，底面，底面，
，．
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，
所以，
設(shè)與平面所成的角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為；
（3）設(shè)到平面的距離為，則；
典例6、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）連結(jié)． ∵，分別為，的中點(diǎn)，
∴，即四邊形是梯形，
∵，為分別為，的中點(diǎn)，
∴，而平面，平面
∴平面，
∵、為分別為 、的中點(diǎn)，
∴，而平面，平面
∴平面，又，平面，平面，
∴平面平面，平面， ∴平面；
（2）∵，為的中點(diǎn)， ∴，
∵平面，故，，兩兩垂直．
分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)，由得，，
∵與平面所成的角為，而平面， ∴，∴，
∴，，，
易知為平面的法向量， ，，
設(shè)為平面的法向量， ∴，
令，則為平面的一個(gè)法向量，
∴，
∴平角與平面的夾角的余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）見解析； （2）.
解：（1）如圖，連接，，連接，
∵BC∥且BC＝，∴四邊形是平行四邊形，
∴∥且，
∵E是中點(diǎn)，G是中點(diǎn)，∴∥CG且，
∴四邊形是平行四邊形，∴∥CE，
∵平面，CE平面，∴CE∥平面；
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，取；
設(shè)平面EDC的法向量為，
則，
取，則；
設(shè)平面與平面EDC所成的二面角的平面角為α，
則， ∴
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題六
知識(shí)點(diǎn)：證明線面垂直,線面垂直證明線線垂直,線面角的向量求法
典例1、如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，E為AC的中點(diǎn)，將沿AC翻折使點(diǎn)D至點(diǎn).
（1）求證：平面平面ABC；
（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，四棱錐中，平面，，．過點(diǎn)作直線的平行線交于為線段上一點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面所成二面角的大小．
典例2、如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E為PB的中點(diǎn)，______．從①；②平面PAD這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題的橫線中，并完成解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答按第一個(gè)解答計(jì)分．
（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形． （2）求直線AE與平面PCD所成角的正弦值．
（3）在棱PB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，為的中點(diǎn).
（1）證明:平面;
（2）在①，②這兩個(gè)條件中任一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答.若________，求與平面所成的角. 注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
典例3、如圖，在四棱柱中，點(diǎn)M是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn).
（1）設(shè)G為棱上的一點(diǎn)，問：當(dāng)G在什么位置時(shí)，平面平面？
（2）設(shè)三棱錐的體積為，四棱柱的體積為，求.
隨堂練習(xí)：已知正三棱柱中，，是的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，當(dāng)與平面所成的角的正切值為時(shí)，求三棱錐的體積．
典例4、如圖，在七面體中，四邊形是菱形，其中，，，是等邊三角形，且.
（1）證明：； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，點(diǎn)在上．
（1）求證：； （2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值．
典例5、如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，，M，N分別是對(duì)角線BD，AE上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）求證：直線平面CDE；
（2）當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求二面角A-MN-D的正弦值．
隨堂練習(xí)：如圖，等腰直角△ACD的斜邊AC為直角△ABC的直角邊，E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上．將三角形ACD沿AC翻折，分別連接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，
（1）證明：平面ABD；
（2）若，求二面角的余弦值．
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題六答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：在菱形中，，∴和均為等邊三角形，
又∵E為AC的中點(diǎn)，∴，，，平面，
∴平面， 又∵平面ABC， ∴平面平面ABC.
（2）過作于點(diǎn)，∵平面平面ABC，平面，
∴平面ABC.
∴.
過M作于點(diǎn)，連接，
∵平面ABC，∴，∵平面，
∴平面，
∵平面，∴. ∴即為二面角的平面角，
，∴，，
∴，∴.
故二面角的余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明過程見解析 （2）
解：（1）因?yàn)槠矫妫珹B平面ABCD， 所以PA⊥AB，
因?yàn)椋? 所以⊥AD， 因?yàn)镻AAD=A，平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因?yàn)镃FAB，所以CF⊥平面PAD，
因?yàn)镃F平面CFG， 所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）平面，AD，AC平面ABCD， 所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因?yàn)椋?br/>由勾股定理得：，則∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD為等邊三角形，，
故，，，
過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，連接DE，
在△BCP中，由余弦定理得：，
則，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因?yàn)椋訢E⊥PC，
所以∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：，
故平面與平面所成二面角的大小為.
典例2、答案：（1）證明見解析 （2） （3）存在，
解：（1）選擇①：證明：平面，平面，，，
因?yàn)椋?br/>，，，
，平面，平面，
平面，， ，，
四邊形是直角梯形．
選擇②：證明：平面，平面，，，
，，，
，，
，平面，平面，
平面，， ，四邊形是直角梯形．
（2）過作的垂線交于點(diǎn)， 平面，，，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，2，，，2，，，0，，，，，
為的中點(diǎn)，，，， ，，，
，2，，，2，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，令，得，1，，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，．
直線與平面所成角的正弦值為．
（3）設(shè)，則，，，，，
，，， 平面，，
，解得． 故存在點(diǎn)F，且．
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）
解:（1）連接，交于，連接，
底面是菱形，為中點(diǎn)， 為中點(diǎn)，，
平面，平面，平面；
（2）選①：
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
底面是菱形，，，，
則，
設(shè)平面的法向量為， 則，
取可得，
設(shè)與平面所成的角為， 則，
所以與平面所成的角為；
選②：
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
取中點(diǎn)，連接，
底面是菱形，，，平面，為的中點(diǎn)，
，平面，，，
，
則，
設(shè)平面的法向量為， 則，
取可得，
設(shè)與平面所成的角為，
則， 所以與平面所成的角為；
典例3、答案：（1）G為中點(diǎn)時(shí)，平面平面； （2）
解：（1）G為中點(diǎn)時(shí)，平面平面，
理由如下：連接，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則，
平面，平面，則平面，
同理可得，平面，平面，則平面，
又，平面，則平面平面；
（2）由F是的中點(diǎn)得，
又，平面，平面，則平面，
又點(diǎn)M是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
則，
則，則.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危瑒t為的中點(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
平面，平面，故平面.
（2）因?yàn)槠矫妫c平面所成的角為，
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，
平面，平面，，則，
所以，，
平面，，
所以，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
則.
典例4、答案：（1）證明見解析；（2）.
解:（1）取中點(diǎn)，連接，，，所以，
由余弦定理得：，得，
，又，且，則平面，
故，又，所以平面，
則，由等邊三角形得，且，
則平面，故， 又，因此.
（2）連接，過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，連接，，
由平面得平面平面，
則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影位于直線上，
由等邊三角形得點(diǎn)在平面內(nèi)的射影位于的中垂線上，
因此，由幾何關(guān)系可確定點(diǎn)在平面內(nèi)的射影位于的重心，
又由（1）知平面，平面，則，，，，五點(diǎn)共面，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以射線，為，軸的正半軸，
建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，
不妨設(shè)，則，，，
在和中，由余弦定理得，，
則， 解得，
因此，，，
設(shè)平面的法向量， 由得，
取，
設(shè)直線與平面所成角為，則 ，
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析；（2）
解:（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，
所以四邊形為平行四邊形，，
又，，
又平面，平面，
且，平面，平面
又平面，
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
設(shè)，易得，
設(shè)平面的法向量為，，
則，令則．
又平面的法向量為，
由題知，解得，
即， 而是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)直線與平面所成的角為， 則．
故直線與平面所成的角的正弦值為．
典例5、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）過N作與ED交于點(diǎn)，過M作與CD交于點(diǎn)，連接．
由已知條件，可知矩形ABCD與矩形ADEF全等．
∵，，
∴ ∴
又，則四邊形為平行四邊形， 所以．
∵平面CDE，平面CDE， ∴平面CDE．
（2）由平面ABCD⊥平面ADEF，平面平面，
又平面ADEF，AF⊥AD， ∴AF⊥平面ABCD．
以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AF為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
過M點(diǎn)作MG⊥AD，垂足為G，連接NG，易知NG⊥AD，設(shè)
可得，， ∴，
可知當(dāng)時(shí)，MN長(zhǎng)最小值為． 此時(shí)，，
又，， ∴，，
設(shè)平面AMN的法向量為， 由可得，
令，可得
設(shè)平面MND的法向量為， 由可得，
令，可得 ∴，
∴ 則二面角A-MN-D的正弦值為．
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：過D作，垂足為G，
∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF，
∴平面ABC，∵平面ABC，∴，
∵E是等腰直角三角形ADC斜邊AC的中點(diǎn)，
∴，又，DE，平面DEF，
∴平面DEF，∵平面DEF，∴，
∵，∴， ∵平面ABD，平面ABD，∴平面ABD．
（2）由題意可知，在等腰直角三角形ADC中， ∵，∴，
由（1）可知，EF為直角三角形BAC的中位線，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴， ∴，．
以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面CDF的法向量，
則，，，，，
由得，令，則，
顯然，平面ABC的法向量，．
二面角的余弦值．
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題七
知識(shí)點(diǎn)：證明線面平行,線面角的向量求法
典例1、如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，，點(diǎn)D為棱AC上動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），平面與棱交于點(diǎn)E.
（1）求證：；
（2）若，從條件① 條件② 條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件作為已知，求直線AB與平面 所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：；條件③：.
隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，平面，，，，
，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn).
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
典例2、如圖，已知底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，D為AB中點(diǎn)，E為CC1的中點(diǎn).
（1）證明:平面CDC1⊥平面C1AB；（2）求二面角A-BC1-E的余弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且，E是MN的中點(diǎn).
（1）求證：平面AEC⊥平面AMN； （2）求二面角M-AC-N的余弦值.
典例3、如圖所示，在直三棱柱中，
（1）當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；
（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積.
隨堂練習(xí)：如圖，在三棱柱中，側(cè)棱平面，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（1）求證：平面； （2）求三棱錐的體積．
典例4、在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)的投影F恰好在直線上．
（1）證明：． （2）求直線與平面所成角的正弦值．
隨堂練習(xí)：如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，，.現(xiàn)將 沿翻折至，得四棱錐.
（1）證明：； （2）若，求直線與平面所成角的正切值
典例5、四棱雉 中， 平面， 底面 是 等腰梯形，
且， 點(diǎn) 在棱 上.
（1）當(dāng) 是棱 的中點(diǎn)時(shí)， 求證: 平面;
（2）當(dāng)直線 與平面 所成角 最大時(shí)， 求二面角 的大小.
隨堂練習(xí)：在如圖所示的圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，、、 都是圓柱的母線．
（1）求證：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題七答案
典例1、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）在三棱柱中，，又面，面，
所以平面，又面面，面，
所以.
選①②：連接，取中點(diǎn)，連接，.
在菱形中，所以為等邊三角形.
又為中點(diǎn)，所以，
又面面，面面， 平面，
所以平面，平面， 故，又，所以.
（2）以為原點(diǎn)，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，.
所以，.
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，
令，故.
又，設(shè)直線與面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
選②③：連接，取中點(diǎn)，連接，.
在菱形中，所以為等邊三角形.
又為中點(diǎn)，故，且，又，.
所以，則.
又，面，所以面，
由平面，故，又，所以.
以為原點(diǎn)，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，.
所以，.
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，
令，故.
又，設(shè)直線與面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
選①③：取中點(diǎn)，連接，.
在中，因?yàn)椋裕遥?
又面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
在中，，又，， 所以，則.
由，面，則面，
由平面，故，又，所以.
以為原點(diǎn)，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，.
所以，.
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，
令，故.
又，設(shè)直線與面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：因?yàn)槠矫妫詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，，
則平面的一個(gè)法向量為，
所以，則，又平面 平面；
（2）由（1）得，所以，
設(shè)直線與平面所成角為． ．
直線與平面所成角的正弦值為．
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）∵△ABC為等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)， ∴AB⊥CD.
∵CC1⊥平面ABC，AB 平面ABC， ∴CC1⊥AB.
∵CC1 平面CDC1，CD 平面CDC1，CC1∩CD=C， ∴AB⊥平面CDC1.
∵AB 平面C1AB， ∴平面CDC1⊥平面C1AB；
（2）解法一：取BC的中點(diǎn)O，連接AO，則AO⊥BC，作OH⊥BC1于點(diǎn)H，連接AH.
∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，，
∴AO⊥平面BCC1B1，
又平面，，,平面，
平面，
所以平面，又平面， ∴AH⊥BC1，AO⊥OH，
∴∠AHO為二面角A-BC1-E的平面角.
設(shè)AB=2a，那么AO=a，BO=a. ∵AA1=AB， ∴∠C1BC=45°， ∴OH=BO=a.
在Rt△AOH中，tan∠AHO=， ∴cos∠AHO=，
故二面角A-BC1-E的余弦值為；
解法二：取BC的中點(diǎn)O，連接AO， 則AO⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC， ∴AO⊥平面BCC1B1.
以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸、OB所在直線為y軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
易知平面BC1E的一個(gè)法向量為.
設(shè)AB=2a，則. ∵AA1=AB，
∴C1. ∴.
設(shè)平面ABC1的法向量為. 則，即，
取y=，則x=1，z=， ∴為平面ABC1的一個(gè)法向量，
∴， 易知二面角A-BC1-E為銳二面角，
∴二面角A-BC1-E的余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：因?yàn)镸D⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD， 所以∥，
又因?yàn)椋倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，
所以四邊形為矩形，
所以，
又因?yàn)镋是MN的中點(diǎn)， 所以⊥，⊥，
又因?yàn)椋?所以⊥平面, 又因?yàn)槠矫鍭MN
所以平面AEC⊥平面AMN；
（2）連接BD交AC與點(diǎn)O，連接MO，NO，則O為AC中點(diǎn)，
因?yàn)槎际沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形， 所以,
所以為二面角M-AC-N的平面角， 在中，，
所以.
典例3、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槔庵?br/>所以四邊形為平行四邊形，
所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫? 所以∥平面..
（2）因?yàn)闉橹崩庵云矫妫矫妫?br/>所以，
又，交于C點(diǎn)， 平面，
所以平面，同理平面，
又平面，所以，
因?yàn)椋?平面，
所以平面，平面，所以
在直棱柱中.，則，
所以，則. 所以，
所以
又，平面，
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析； （2）4.
解：（1）證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，
∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，
∵平面，平面，∴平面．
（2）取的中點(diǎn)，連接，，
直三棱柱中，平面，而平面， 故，
∵為的中點(diǎn)，∴且．
又∵，，， ∴平面，
∴平面．
∵， ∴．
典例4、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）因?yàn)椋珽為的中點(diǎn)，所以，
所以四邊形為長(zhǎng)方形，，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又因?yàn)椋云矫妫? 平面，所以．
（2）連接，由（1）平面，平面，所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，即，，，
所以，即，
過做交于，分別以所在的直線為軸的正方向
建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，即，令，則， 所以，
設(shè)直線PB與平面PAD所成角的為，所以
，
所以直線PB與平面PAD所成角的正弦值為．
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）7
解:（1）設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則，
故，則， 又，則，
所以是的角平分線，且三點(diǎn)共線.
由，且,得面，則；
（2）法一：連結(jié). 由平面得，平面平面，交線為，
所以在面上的射影點(diǎn)在上， 為直線與平面所成角.
在中，，由余弦定理得，
，故，，
又，在得，由余弦定理得，則，
所以，
由（1）得為角平分線，
在中，，由余弦定理得，則，
所以，所以直線與平面所成角的正切值為7.
法二：如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
，
設(shè)，由， 得，
得.,
平面法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以
，,則，
所以直線與平面所成角的正切值為7.
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）取中點(diǎn)， 的中點(diǎn)為， ，且，
∴四邊形是平行四邊形， ，平面，
平面；
（2）等腰梯形中，，
作于，則中，
由余弦定理得，，，即，
底面，則兩兩垂直
如圖，以為原點(diǎn)，為軸、軸、軸為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則， ，
設(shè)平面法向量，則
∴平面的一個(gè)法向量，
設(shè)，則，
，
，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值， ，
設(shè)平面法向量，則
∴平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面法向量，則，
∴平面的一個(gè)法向量，
， ∴二面角的大小為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：連接、， 在圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
則，且，
故、、均為等邊三角形，
所以，在底面中，，則，
平面，平面，所以，平面，
因?yàn)椤ⅰ⒍际菆A柱的母線，則，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因?yàn)槠矫妫虼耍矫?
（2）連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，
因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫?br/>，，
因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
易知平面的一個(gè)法向量為，所以，，
由圖可知，二面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題八
知識(shí)點(diǎn)一 證明線面垂直,求線面角,面面垂直證線面垂直,線面角的向量求法
典例1、如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，是線段上一點(diǎn)．
（1）若平面，求；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大？
隨堂練習(xí)：如圖，在三棱柱中，底面，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），，，.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
典例2、如圖，在三棱柱中，平面，四邊形為菱形．
（1）證明：平面；
（2）若，，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．
隨堂練習(xí)：如圖所示，在三棱錐中，，為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求三棱錐的體積.
典例3、如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）試確定點(diǎn)的位置，使平面與平面所成的銳二面角為．
隨堂練習(xí)：如圖，在直三棱柱中，，，.
（1）證明：平面平面； （2）求二面角的大小.
知識(shí)點(diǎn)二 求點(diǎn)面距離,線面角的向量求法,點(diǎn)到平面距離的向量求法
典例4、如圖，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知 ，動(dòng)點(diǎn) 在棱 上，點(diǎn) 在棱 上，且 .
（1）求證： ;
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值;
（3）在滿足（2）的條件下，求點(diǎn)到平面的距離.
隨堂練習(xí)：如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，
點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
典例5、如圖，在四面體中，是正三角形，是直角三角形，．
（1）求證：；
（2）已知點(diǎn)E在棱上，且，設(shè)，若二面角的余弦值為，求．
隨堂練習(xí)：如圖，在三棱錐中， 二面角是直二面角， ， 且， 為上一點(diǎn)， 且平面．分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)， 且．
（1）證明： ；
（2）若平面與平面所成角的余弦值為， 求的值．
典例6、如圖1，已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)如圖2所示的點(diǎn)P的位置，M為DP邊的中點(diǎn)．
（1）證明：平面MEF．
（2）若平面平面BCED，求平面MEF與平面PDE所成銳二面角的余弦值．
隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐E-ABCD中，，，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點(diǎn)），平面平面ABCD，M，N分別為DE，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABE；
（2）當(dāng)四棱錐E-ABCD體積最大時(shí)，求二面角N-AE-B的余弦值．
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題八答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OD，，因?yàn)椋?br/>所以為等邊三角形，所以.
又因?yàn)椋c(diǎn)O，D分別為線段AC，BC的中點(diǎn)，
所以，所以，
因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>∵平面，則，
又因?yàn)椋矫鍭BC，所以平面ABC，
又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫鍭BC.
（2）如圖，過B作于點(diǎn)G，由（1）得平面平面ABC，
且平面平面，平面，所以平面，
在直角ABC中，，，，所以，
由，
又因?yàn)辄c(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D到平面的距離h為點(diǎn)B到平面的距離BG的一半，即.
因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段，的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋缘拿娣e為，，
所以三棱錐的體積為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）因?yàn)閭?cè)面是矩形，則，又因?yàn)椋?br/>即有，則，又，平面，
因此平面，而平面， 所以平面平面．
（2）由（1）知，平面，而平面，則，
因?yàn)椋谑堑茫沁呴L(zhǎng)為2的菱形，
因此是正三角形，，
所以三棱柱的體積.
典例2、答案：（1）證明見解析；（2）.
解:（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑危裕?br/>因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又因?yàn)椋矫妫矫妫?所以平面．
（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，BC所在的直線為x軸和z軸，
以過B點(diǎn)垂直平面的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．
設(shè)，則，，， ．
所以，．
設(shè)平面的法向量為，則
即令，得．
由條件知為平面的一個(gè)法向量．
設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角．
則，解得．
所以．
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）在三棱錐中，，O為的中點(diǎn).
，且，連接，
，得，
則，又，得，
，平面ABC.
（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸
建立空間直角坐標(biāo)系
由已知得，
，取平面的一個(gè)法向量
設(shè)，則
設(shè)平面的法向量為，
取，得，
二面角為，
解得：（舍去）或，則，
所以，
典例3、答案：（1）見解析； （2）為的中點(diǎn).
解：（1）因?yàn)榈酌妫酌妫剩?br/>而，平面，，
故平面，而平面，故，
，為的中點(diǎn)，故，
平面，，故平面，
因平面，故平面平面.
（2）因?yàn)榈酌妫士山⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則， ，，
設(shè)平面的法向量為，
則即，取，則即.
設(shè)平面的法向量為，
則即，取，則即.
因?yàn)槠矫媾c平面所成的銳二面角為，
故，解得即為的中點(diǎn).
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）.
解：（1）連接，由三棱柱為直三棱柱可得平面，
平面，所以，
因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋运倪呅问钦叫危裕?br/>又因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）因?yàn)椋鶕?jù)勾股定理可知：，
從而有：，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，
分別以，，所在直線為軸，
軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，，，
設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?br/>則，， 令，則，
設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?br/>則，，令，則，
設(shè)二面角的平面角為， 根據(jù)幾何體特征可知為銳角，
所以， 所以二面角的大小為.
典例4、答案：（1）證明見解析； （2）； （3）點(diǎn)到平面的距離為.
解：（1）因?yàn)樗倪呅问蔷匦危裕?br/>又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，
平面，， 所以平面，又，
所以兩兩相互垂直，
以為原點(diǎn)，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，,
設(shè)，則，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，， 則，，
取，可得，
設(shè)直線 與平面的夾角為，
則，
所以， 化簡(jiǎn)可得，又，
所以，所以；
（3）由(2) 平面的法向量為，，又，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為， 則.
所以點(diǎn)到平面的距離為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2） （3）1
解：（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O， 又P，O分別為DF和DB的中點(diǎn)， 所以BF//PO，
因?yàn)镻O 平面APC，BF 平面APC， 所以BF//平面APC；
（2）直線AF⊥平面，AB 平面ABCD， 所以AF⊥AB，
由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB， 所以以A為原點(diǎn)，
AB，AD，AF所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系， ，
所以，，，
設(shè)平面BCF的法向量，則 ，
令，則
設(shè)直線DE與平面BCF所成角的正弦值θ，
所以 ，
所以直線DE與平面BCF所成角的正弦值；
（3）由（2），
設(shè)平面APC的法向量為，則，
令，則
所以平面APC的法向量，
則點(diǎn)E到平面APC的距離，
所以E到平面APC的距離1．
典例5、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：因?yàn)槭钦切危?br/>因?yàn)椋策叄裕裕?br/>因?yàn)槭侵苯侨切危裕?br/>取的中點(diǎn)O，連接，，則，，
因?yàn)槭钦切危裕?br/>因?yàn)椋云矫妫?br/>又因?yàn)槠矫妫裕?br/>（2）在直角中，，
因?yàn)椋裕裕?br/>以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則．
可得平面的法向量為
設(shè)，由，可得，
可得
設(shè)面的法向量為，則，
取，可得，所以，
則，
又因?yàn)椋獾茫?br/>隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：平面平面，平面平面，，
且平面，
平面， 又平面， ，
又平面，平面， ，
且，平面，
平面， 又平面， ．
（2）如圖，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，
過點(diǎn)且與平面垂直的直線為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則， ，，，，
則，，，
由，可得，
，
，，
因?yàn)槠矫媾c平面所成角的余弦值為，所以，
設(shè)為平面的法向量，則，
即，令，則，，
所以，
取平面的法向量， 則，
令，則，化簡(jiǎn)得，即（負(fù)值舍去），
所以．
典例6、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：連接DF，DC，設(shè)DC與EF交于點(diǎn)，連接MQ．
因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC邊的中點(diǎn)，所以且，
則四邊形DFCE為平行四邊形，所以為DC的中點(diǎn)，
因?yàn)闉镈P的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)槠矫妫矫鍹EF，所以平面MEF
（2）取DE的中點(diǎn)，連接OP，OF，則，
因?yàn)槠矫嫫矫鍮CED，平面平面，
所以平面BCED，PO，OD，OF兩兩垂直．
如圖所示，以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，．
設(shè)平面MEF的法向量為，則，
即令，得．
易知為平面PDE的一個(gè)法向量，由，
得平面MEF與平面PDE所成銳二面角的余弦值為．
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：如圖所示，取EC的中點(diǎn)的F，連接MF，NF，
因?yàn)镸，F(xiàn)分別為ED和EC的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>同理可得平面，
因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面平面，
因?yàn)槠矫妫云矫?
（2）如圖所示，過E作交AB于O，
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，故EO為四棱錐E-ABCD的高，
要使四棱錐E-ABCD體積最大，則E為弧的中點(diǎn)，所以O(shè)與AB的中點(diǎn)，
取CD的中點(diǎn)G，連接OG，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，，所以EO，AB，OG兩兩垂直，
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以AB為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)G為z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，所以，
可得，，，則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可得，
令，則平面的一個(gè)法向量為，
平面的一個(gè)法向量為，則，
由圖可知二面角的平面角為銳角，
所以二成角的余弦值為．
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題九
知識(shí)點(diǎn)一 證明面面垂直,面面角的向量求法
典例1、如圖1，在梯形ABCD中，，，，現(xiàn)將沿AC翻折成直二面角，如圖2．
（1）證明：平面平面PAC；
（2）若異面直線PC與AB所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．
隨堂練習(xí)：如圖，圖1是由正方形，直角梯形組成的一個(gè)平面圖形，其中，將正方形沿折起，使得.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
典例2、在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，為棱上的點(diǎn)，且．
（1）求證：平面；
（2）若二面角的平面角的正切值為，求的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，若為線段上一點(diǎn)，求與面所成角為，求的最大值．
隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，.
（1）證明：平面；
（2）若，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.
典例3、如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，G為的重心，M為線段的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面；
（2）當(dāng)平面與平面所成銳二面角為時(shí)，求三棱錐的體積．
隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，M是的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若，且二面角的大小為30°，求四棱錐的體積．
知識(shí)點(diǎn)二 證明線面平行,面面角的向量求法
典例4、如圖1，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，沿DE把 折起，得到如圖2所示的四棱錐.
（1）證明：平面.
（2）若二面角的大小為60°，求平面與平面的夾角的大小.
隨堂練習(xí)：已知正方形的邊長(zhǎng)為4，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角，點(diǎn)M在線段AB上．
（1）若M為AB的中點(diǎn)，且直線MF與由A，D，E三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為O，試確定點(diǎn)O的位置，并證明直線平面EMC；
（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為；若存在，求此時(shí)二面角的余弦值，若不存在，說明理由．
典例5、已知是銳角三角形，分別以為直徑作三個(gè)球.這三個(gè)球交于一點(diǎn).
（1）若，求到平面的距離；
（2）記直線與平面的夾角為，直線與平面的夾角為，直線與平面的夾角為，證明：為定值.
隨堂練習(xí)：如圖所示，在三棱柱中，，，，平面平面，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
（3）若點(diǎn)在線段上，且平面，求點(diǎn)到平面的距離.
典例6、三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)在線段上.
（1）求證：；
（2）若點(diǎn)在上，滿足，點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)使得二面角 的余弦值為.
隨堂練習(xí)：如圖，四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，.
（1）求證：平面ABCD；
（2）設(shè)，當(dāng)平面PAM與平面PBD夾角的余弦值為時(shí)，求的值.
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題九答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：取AB的中點(diǎn)E，連接CE， 因?yàn)锳B＝4，CD＝2， 則AE＝DC，AE∥DC，
故四邊形ADCE為平行四邊形， 所以CE＝AD＝2 則CE＝AE＝EB，
故∠ACB＝90°，即CB⊥CA，
又平面PAC⊥平面ACB，且平面PAC∩平面ACB＝AC，CB 平面ACB，
故CB⊥平面PAC， 又CB 平面， 故平面平面PAC；
（2）取AC的中點(diǎn)O，連接OE，則OE∥CB， 所以O(shè)E⊥AC，且OP⊥AC，
則OC，OE，OP兩兩互相垂直， 故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)|OC|＝a（a＞0）， 則，，，
故， 所以
因?yàn)楫惷嬷本€PC與AB所成角的余弦值為 所以，解得，
故 ，
設(shè)面的法向量為， 則，
令，可得
設(shè)面的法向量為，
，令，可得
又由圖可知二面角為銳角， 故二面角的余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）如圖：連，
在直角三角形中，，
在三角形中，，，，滿足，
所以，
又，， 所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>又，， 所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?br/>因?yàn)椋云矫?
因?yàn)槠矫妫?所以平面平面.
（2）由（1）知，兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
則，，，， ，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
平面的一個(gè)法向量為，
由，得， 取，得，得，
由，得， 取，得，得，
典例2、答案：（1）見解析； （2）
解：（1）因?yàn)樵谄矫嬷校剩?br/>因?yàn)椋剩?br/>，平面，故平面.
因?yàn)槠矫妫剩? 因?yàn)椋剩?br/>因?yàn)椋矫妫势矫?
因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，故，
而，故，
故四點(diǎn)共面，而平面， 故平面平面.
（2）取的中點(diǎn)為，連接， 由（1）可得，，
故，而平面，
故平面，故為直線與平面所成的角， 故，
因?yàn)槠矫妫矫妫剩?br/>故為等腰直角三角形，而，故，故，
故直角梯形的面積.
又平面，故平面平面，
而為等邊三角形，故，且.
因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫? 故平面，
故四棱錐的體積為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析. （2）.
解：（1）由題意底面， ,， 則底面為直角梯形，
連接 ，則,故四邊形為矩形，
則 ， 所以四邊形為正方形，所以 ，
因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，O是 的中點(diǎn)，
所以 ，平面，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕? 因?yàn)槠矫?，
所以平面， 因?yàn)槠矫?，所以平面平面.
（2）因?yàn)榈酌嬷校?,，
側(cè)面 為等邊三角形，O是的中點(diǎn)，
所以,,, ，
因?yàn)槠矫妫矫妫?所以 ，
所以 ，
因?yàn)?， 所以,所以 ,
設(shè)點(diǎn)到平面的距離分別為，
因?yàn)?，所以 ,
即，故，
因?yàn)槿忮F的體積為，
所以 所以 ，解得，
所以，即 因?yàn)椋?.
典例3、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）延長(zhǎng)交于N，連接，
因?yàn)镚為的重心， 所以點(diǎn)N為的中點(diǎn)，且，
因?yàn)椋剩裕? 故，故，
因?yàn)槠矫妫裕? 因?yàn)榈酌鏋榫匦危裕?br/>又因?yàn)椋云矫妫剩?br/>因?yàn)椋裕? 又因?yàn)椋?br/>所以平面，所以平面.
（2）以C為原點(diǎn)，以所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)G到平面的距離為，
則，
故，
設(shè)平面的法向量為，則,即，
取，則，即，
設(shè)平面的法向量為，則,即，
取，則，則，所以，
解得， 又，
故點(diǎn)G到平面的距離為，
因?yàn)椋裕? 所以.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）．
解：（1）因?yàn)閭?cè)面底面， 側(cè)面底面，
又底面為矩形， 所以，平面，
平面，平面， 所以，
又側(cè)面是正三角形，M是的中點(diǎn)，
所以，，，平面， 所以平面．
（2）取中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作的平行線連接， 由（1）同理知平面，
以O(shè)為原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，
，，，
記平面的法向量，則，，
從而，則可得，
因?yàn)槠矫妫? 則平面的法向量跟共線，可取，
因?yàn)槎娼堑拇笮?0°，
， 解得，
所以四棱錐的體積為．
典例4、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以，
則在圖2中，，而平面，平面，
所以平面.
（2）依題意，是正三角形，四邊形是菱形，
取DE的中點(diǎn)M，連接，F(xiàn)M，如圖，
則，，即是二面角的平面角，，
取中點(diǎn)N，連接，則有，在中，
由余弦定理得：，
于是有，，即，
而，，，
平面，則平面，
又平面，從而有平面平面，
因平面平面，平面，
因此，平面，過點(diǎn)N作，則兩兩垂直，
以點(diǎn)N為原點(diǎn)，射線分別為x，y，z軸非負(fù)半軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，則，
令，得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，得，
顯然有，即，
所以平面與平面的夾角為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）點(diǎn)O在EA的延長(zhǎng)線上，且，證明見解析；（2）存在，.
解：（1）依題意，四邊形是矩形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，如圖1，延長(zhǎng)FM與EA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，
又平面ADE，即有平面ADE，因，且，
因此點(diǎn)A為線段EO中點(diǎn)，即AO=2，M為線段FO的中點(diǎn)，
連接DF交CE于N，連接MN，矩形CDEF中，N是線段DF中點(diǎn)，
于是得，而平面，平面， 所以平面.
（2）依題意，，，，平面，平面，
則平面，且為二面角的平面角，即.
連接，而，
即有為正三角形，取的中點(diǎn)H，連接DH，則，
由平面，平面，得平面平面，
又平面，平面平面，于是得平面，
取BF中點(diǎn)G，連接HG，由矩形得，即有兩兩垂直，
以點(diǎn)H為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2，
則點(diǎn)，，.
假設(shè)存在點(diǎn)M滿足條件，因點(diǎn)M在線段AB上，設(shè)，，
，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
令，得，
因直線DE與平面EMC所成的角為60°，
則，解得或，
即存在點(diǎn)滿足直線DE與平面EMC所成的角為60°，
點(diǎn)為線段AB的靠近點(diǎn)A或B的四等分點(diǎn).
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
令，得，
則.
令平面MEC與平面ECF的夾角為，
則，
顯然或時(shí)，. 由圖可知，二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
典例5、答案：（1）； （2）證明見解析.
解：（1）依題意得，故可以為軸，為軸，
為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
而，故，故，
則，
設(shè)平面的法向量為 則，
故，
設(shè)到平面的距離為d，則.
（2）按（1）方式建系，設(shè)，
則，故，
設(shè)平面的法向量為，
同（1）可得：，
，，
故
故為定值.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以平面，所以平面，
因?yàn)椋允钦切危?br/>又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以.可以建立以為原點(diǎn)，
分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），
可得，，，，，
，，，
證明：，，設(shè)為平面的法向量，
則，即， 不妨令，可得，
又，故， 因此平面.
（2）依意，，由（I）知為平面的法向量.
因此，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）依題意，設(shè)，，
所以，因此
，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，
不妨令，可得，
，因?yàn)槠矫妫裕獾茫?br/>所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，
則， 所以點(diǎn)到平面的距離為.
典例6、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：因?yàn)椋瑒t且，
，平面，
所以為直線與平面所成的線面角，即，
，故，，
，平面， 平面，因此，.
（2）設(shè)，由（1）可知且，，
因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、 軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，則，
由已知可得，解得.
當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角為銳角，合乎題意.
綜上所述，.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取CD的中點(diǎn)E，連接BE，
四邊形ABCD為直角梯形，，
且E為CD的中點(diǎn)，且，所以，四邊形ABED為矩形，
， ，
，
，
，平面，平面，平面PAD，
平面PAD，，
，平面，平面，平面ABCD；
（2）由（1）可知，PA AB AD兩兩垂直，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB AD AP所在直線為x y z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則， 所以，，
設(shè)平面PBD的法向量為， 由，得，
令，得.
，
設(shè)平面PAM的法向量為，
由，得，
令，則， ，
由于平面PAM與平面PBD夾角的余弦值為，
則，整理可得，
，解得.
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十
知識(shí)點(diǎn)一 證明線面垂直,面面角的向量求法
典例1、如圖，在四棱錐中，底面是矩形且，M為的中點(diǎn)，，．
（1）證明：平面；
（2）若，與平面所成的角為45°，求二面角的正弦值．
隨堂練習(xí)：如圖，四邊形是正方形，平面，，，．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
典例2、邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)M，N分別是DC，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿AN，AM折起，使得B，D兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P，連接PC，得到四棱錐.
（1）證明：平面平面； （2）求四棱錐的體積.
隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，．
（1）證明：平面PCD⊥平面PBC； （2）若，求三棱錐的體積．
典例3、如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為的等腰三角形．
（1）求二面角的大小；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置并證明，若不存在請(qǐng)說明理由．
隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知，，，為棱上的一點(diǎn)．
（1）求證：平面平面； （2）求二面角的余弦值．
知識(shí)點(diǎn)二 面面垂直證線面垂直,線面角的向量求法
典例4、如圖，在四棱錐 中， 已知底面， 底面是正方形，.
（1）求證： 直線 平面； （2）求直線 與平面所成的角的正弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，在直三棱柱中，，，，交于點(diǎn)E，D為的中點(diǎn).
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
典例5、如圖，四棱錐的底面是梯形，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，平面是中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）若，三棱錐的體積為，求點(diǎn)到平面的距離.
隨堂練習(xí)：邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)M，N分別是DC，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿AN，AM折起，使得B，D兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P，連接PC，得到四棱錐.
（1）證明：平面平面； （2）求四棱錐的體積.
典例6、已知矩形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，，且.
（1）求證：； （2）求平面與平面夾角的余弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐P - ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AC = CD = 2，，，PC = 3.
（1）證:AD⊥PC
（2）求平面PAB與平面PCD的夾角的正弦值.
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十答案
典例1、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）因?yàn)樵诤蚏t中，
，， 所以，
因?yàn)椋? 所以，
因?yàn)椋矫妫? 所以平面，
因?yàn)槠矫妫? 所以，
因?yàn)椋矫妫? 所以平面．
（2）因?yàn)椋? 所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫? 所以，
因?yàn)椋矫妫? 所以平面，
所以為與平面所成的角， 則， 所以，
由勾股定理知：，
可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，
所以，，
由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，
即，
取，得， 所以，
設(shè)二面角的大小為， 則．
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）四邊形是正方形，有，
而平面，平面，則，
又，平面， 所以平面.
（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)分別為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，，
即有，，，
由（1）知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)平面與平面夾角為，
則有
所以平面與平面夾角的余弦值為.
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）F為PC的中點(diǎn)
解：（1）連接AC，∵底面ABCD為菱形，， ∴△ABC為正三角形，
∵E是BC的中點(diǎn)，∴， 又， ∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
∵，PA、平面PAD， ∴平面PAD，
（2）由（1）知，AE、AD、AP兩兩垂直，以AE、AD、AP所在直線分別x，y，z軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
∴，，．
設(shè)，．
設(shè)平面PCD的法向量為， 則
令，則，， ∴．
設(shè)直線AF與平面PCD所成的角為，
則
當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)F為PC的中點(diǎn)．
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）最大值為.
解:（1）證明：連接，則，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又因?yàn)椋云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>同理；因?yàn)椋云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫^直線作平面與平面相交于直線，則；
所以平面；又平面， 所以平面平面；
（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
，，分別為，，軸正方向
建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，.
設(shè)平面的法向量為， 則，即，
取，則；
設(shè)，則，因?yàn)椋?br/>所以；
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以當(dāng)時(shí)，取到最大值為，此時(shí)的最大值為.
典例3、答案： （1） （2）存在；設(shè)是的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)；證明見解析.
解：（1）如圖，設(shè)分別是和的中點(diǎn)，連接，，,
則, ∵，是的中點(diǎn), ∴;
又在正方形中有, ∴為二面角的平面角,
∵，，是的中點(diǎn), ∴,
同理可得，又, ∴是等邊三角形，故,
∴二面角為.
（2）存在點(diǎn)，使平面平面，此時(shí)為線段的中點(diǎn)．
證明如下 :設(shè)，，分別為，和的中點(diǎn)，連接，，，,
由（1）知是等邊三角形，故,
為的中點(diǎn)，故，
又∵，平面,
∴平面,平面 ，故,又,
平面,∴平面,
∵，分別為和的中點(diǎn) ∴ ,
又為線段的中點(diǎn),∴，故四邊形為平行四邊形,
∴,∴平面,又平面,
∴平面平面.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則 ，
因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫?平面，
所以平面，而 平面，所以，
因?yàn)椋?，
因?yàn)?平面且 平面， 所以 平面，
又因?yàn)?平面，所以平面平面；
（2）取PD的中點(diǎn)F，則 ，由（1）的結(jié)論知： 平面，
平面PAD，
， 平面PBD， 平面PBD， ，
平面 PBD，即平面 PAB在平面PBD上的投影是PBF，
在 中， ， ，
在 中， ， ， ，
設(shè)二面角的平面角為，由面積射影法， ，
即二面角的余弦值為；
典例4、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）因?yàn)?平面， 且平面，所以 .
在正方形 中，. 而,
平面， 故 平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
設(shè) ，則，
從而.
設(shè)平面 的法向量為， ，令 ， 則.
設(shè)直線 與平面所成的角為，則，
故直線 與平面的所成角的正弦值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）在直三棱柱中，平面，
因?yàn)槠矫妫?所以 ．因?yàn)?，
，平面,
所以 平面，因?yàn)槠矫妫?br/>所以 ．又因?yàn)?，
平面， 所以平面.
（2）由（1）知知 兩兩垂直，
則以點(diǎn)A為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向
建立空間直角坐標(biāo)系，
則 ，
設(shè) ,, ，
因?yàn)?，∴ ，故,
由（1）知平面 故平面的一個(gè)法向量為 ，,
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）連接，
平面平面，
同理，，，
.
又平面,平面.
平面.
取的中點(diǎn)，連接為的中點(diǎn)， ，.
， ，
為的中點(diǎn)， .
又平面，平面.
平面.
（2）.
，且四邊形為矩形，即，
又由（1），平面，， 平面.
∴.
連接，中，中.
為中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離中，
.
由（1）知面， 在中，，
中， ∴，
.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則即，
解得.所以點(diǎn)到平面的距離為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：在正方形中有，，，
，又因?yàn)椋云矫妫矫妫?br/>所以平面平面.
（2）連接MN,由題意可得，，
，由，所以為直角三角形，
即，
，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，
，即，得，
即四棱錐的體積為
典例6、答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）如圖，在上取一點(diǎn)H，使得 ，連接,
因?yàn)? ，
所以,平面,平面,
故平面，
因?yàn)?, ，再由條件知，所以是平行四邊形，
所以 ，平面,平面,故平面，
又平面 ， 所以平面平面.
由條件可知 ，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為 ，平面,
所以平面，所以平面，平面, 所以.
（2）由（1）知平面，而，故平面，
故分別以 所在直線為 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則 ， 則 ,
設(shè)平面的法向量為 ，
則 ， 令 ，得 ，
平面的一個(gè)法向量為 ，
設(shè)平面與平面 的夾角為 ，
則 .
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明詳見解析 （2）
解：（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接.
由于，所以，
由于平面平面且交線為，
平面，所以平面，
由于平面，所以，則， 所以，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以.
（2）在三角形中，延長(zhǎng)，過作，交的延長(zhǎng)線于，
由于，所以，
，所以，
，則，
所以.
平面平面且交線為，，
以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則平面的法向量可設(shè)為， ，
，
設(shè)平面的法向量為， 則，故可設(shè)，
設(shè)平面和平面的夾角為，
則，所以.
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十一
知識(shí)點(diǎn)一 錐體體積的有關(guān)計(jì)算,證明面面垂直
典例1、如圖，在三棱柱中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為線段BC，，的中點(diǎn)，且.
（1）證明：平面平面ABC； （2）若，求三棱錐的體積.
隨堂練習(xí)：如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，是邊長(zhǎng)為2的菱形，，．
（1）證明：平面平面； （2）若，求三棱柱的體積．
典例2、已知四棱錐 中，底面 ，平面平面 ，，.
（1）求證：平面 ；
（2）若 ，求二面角的余弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，分別為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面； （2）求二面角的正弦值．
典例3、如圖，已知底面為正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，D為AB中點(diǎn)，E為CC1的中點(diǎn).
（1）證明:平面CDC1⊥平面C1AB；（2）求二面角A-BC1-E的余弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且，E是MN的中點(diǎn).
（1）求證：平面AEC⊥平面AMN； （2）求二面角M-AC-N的余弦值.
知識(shí)點(diǎn)二 證明線面垂直,求點(diǎn)面距離,證明面面垂直
典例4、如圖,在四棱錐中,已知棱兩兩垂直且長(zhǎng)度分別1,1,2,,．
（1）若中點(diǎn)為,證明:平面; （2）求點(diǎn)到平面的距離．
隨堂練習(xí)：在邊長(zhǎng)為2的正方形外作等邊（如圖1），將沿折起到的位置，使得（如圖2）.
（1）求證：平面平面；
（2）若F，M分別為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離.
典例5、如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求平面與平面所成角的正弦值.
隨堂練習(xí)：已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，，F(xiàn)為棱PC上的點(diǎn)，過AF的平面分別交PB，PD于點(diǎn)E，G，且BD∥平面AEFG．
（1）證明：EG⊥平面PAC．
（2）若F為PC的中點(diǎn)，，求直線PB與平面AEFG所成角的正弦值．
典例6、如圖1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且，如圖
（1）證明： （2）求二面角余弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，在直三棱柱，，．
（1）證明：；
（2）若三棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十一答案
典例1、答案：（1） （2）當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大.
解：（1），所以，解得，
由于三角形是等邊三角形，圓是其外接圓，是圓的直徑，
所以垂直平分，，
在三角形中，由正弦定理得，則，
由于平面，所以， 由于，
所以三角形是等腰直角三角形，
所以, 所以.
（2）由（1）得，設(shè)，，
結(jié)合圓錐的幾何性質(zhì)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，
設(shè)， 則，
設(shè)平面的法向量為， 則，
故可設(shè)，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
由于，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，
即當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）.
解:（1）因?yàn)椋?
因?yàn)榈酌妫矫妫?
又因?yàn)椋?
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面.
（2）如圖，取的中點(diǎn)E，連接. 由，可得平面，
又由，可得，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由，，可得， 所以，，
，，.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，平面的法向量為.
由，，有，
取，則，，可得平面的法向量.
又由，設(shè)直線與平面所成的角為.
由，，， 有.
令，， 有
， 故當(dāng)時(shí)，，的最大值為，
故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明；因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>在平面內(nèi)作，則 平面，平面，
所以.
因?yàn)镻A⊥底面ABCD，平面，所以,
平面，則平面，
因?yàn)?∴平面.
（2）由（1）可知平面,平面,所以，
以A為原點(diǎn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋? 則，
所以
設(shè)平面的法向量為，則 ,即 ,
令，則取.
設(shè)平面 的法向量為，則,即,
令,則取.
所以，
由圖可知所求二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析； （2）.
解：（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，
則, 因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫矫?br/>所以平面,
因?yàn)槠矫妫?, 又因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，所以，
又，平面PGB， 所以平面，平面，
所以， ，為的中點(diǎn)，
所以，又，平面，
平面， 所以平面.
（2）不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，
垂直于的直線為軸，為軸建立空間坐標(biāo)系，
則,
，
設(shè)平面與平面的法向量分別為，夾角為，
則
不妨設(shè),所以，
， 所以.
典例3、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）∵△ABC為等邊三角形，D是AB的中點(diǎn)， ∴AB⊥CD.
∵CC1⊥平面ABC，AB 平面ABC， ∴CC1⊥AB.
∵CC1 平面CDC1，CD 平面CDC1，CC1∩CD=C， ∴AB⊥平面CDC1.
∵AB 平面C1AB， ∴平面CDC1⊥平面C1AB；
（2）解法一：取BC的中點(diǎn)O，連接AO，則AO⊥BC，作OH⊥BC1于點(diǎn)H，連接AH.
∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，
，∴AO⊥平面BCC1B1，
又平面，，,
平面，平面，
所以平面，又平面， ∴AH⊥BC1，AO⊥OH，
∴∠AHO為二面角A-BC1-E的平面角.
設(shè)AB=2a，那么AO=a，BO=a. ∵AA1=AB， ∴∠C1BC=45°， ∴OH=BO=a.
在Rt△AOH中，tan∠AHO=，
∴cos∠AHO=， 故二面角A-BC1-E的余弦值為；
解法二：取BC的中點(diǎn)O，連接AO， 則AO⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC， ∴AO⊥平面BCC1B1.
以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸、OB所在直線為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
易知平面BC1E的一個(gè)法向量為.
設(shè)AB=2a，則. ∵AA1=AB，
∴C1. ∴.
設(shè)平面ABC1的法向量為. 則，即，
取y=，則x=1，z=， ∴為平面ABC1的一個(gè)法向量，
∴， 易知二面角A-BC1-E為銳二面角，
∴二面角A-BC1-E的余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：因?yàn)镸D⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD， 所以∥，
又因?yàn)椋倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，
所以四邊形為矩形，
所以，
又因?yàn)镋是MN的中點(diǎn)， 所以⊥，⊥，
又因?yàn)椋?所以⊥平面,
又因?yàn)槠矫鍭MN 所以平面AEC⊥平面AMN；
（2）連接BD交AC與點(diǎn)O，連接MO，NO，則O為AC中點(diǎn)，
因?yàn)槎际沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形， 所以,
所以為二面角M-AC-N的平面角， 在中，，
所以.
典例4、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明:取中點(diǎn)為,連接,如圖所示:
分別為中點(diǎn), ,且,
,, ,
故四邊形為平行四邊形, 故,
不含于平面,平面, 故平面;
（2）連接,兩兩垂直且長(zhǎng)度分別為1,1,2,
且,, ,
將底面拿出考慮如下:
,,,
, , ,
記到平面的距離為, 則,
解得:, 故到平面的距離為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）由于，所以，
由于四邊形是正方形，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面， 所以平面平面.
（2）連接，由于三角形是等邊三角形，所以，
由于平面平面且交線為，平面，
所以平面.
由于是的中點(diǎn)，所以到平面的距離是，
且到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)這個(gè)距離為.
由于平面，所以，
所以，，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，，
在三角形中，，
則為銳角，，
所以，
， 由得，
解得， 所以點(diǎn)P到平面的距離為.
典例5、答案：（1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)，分別以，為軸，軸,
過D作AP平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，得，
，，
所以，，即，，又，
所以平面；
（2）由可是，
由，可得，所以，
設(shè)為平面的法向量，
則不妨設(shè)，則，故，
設(shè)直線與平面所成角為，所以，
則直線與平面所成角的正弦值為；
（3）因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄浚O(shè)二面角的大小為，
所以，所以.則二面角的正弦值為．
隨堂練習(xí)：答案：（1）見解析 （2）
解：（1）連接相交于，連接,
因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以，又，為中點(diǎn)，
所以,,平面，所以平面,
又平面平面,平面 ,BD∥平面AEFG,
因此,所以 EG⊥平面PAC
（2）由，為的中點(diǎn),故， 又，
且為的中點(diǎn)，所以，
平面 所以平面，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則，
所以，，，
故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，,,
，，，
所以，，，
記平面的法向量為，所以即，
令，解得，，所以，
記直線與平面所成的角是，
則．
所以直線與平面所成的角的正弦值為．
典例6、答案：（1）證明見解析 （2）或
解：（1）在直角梯形ABCD中，連接AC交BE于F，
由題意知：且，四邊形CEAB是平行四邊形，
又 ，，四邊形CEAB是菱形
故，即在折疊后端的圖形中，
又 ，面
面，又平面，
（2）由 可得，又
設(shè)二面角的平面角為，則，或
過作于則面 ，則可過點(diǎn)作軸
如圖建系：或，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則
則
或取
而面ABD的一個(gè)法向量為
或
由圖可知二面角為銳角
則二面角余弦值為或.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）連接，如下圖：
由直三棱柱的性質(zhì)可知，，
因?yàn)椋? 所以平面．
因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋瑒t四邊形為正方形， 所以，
又因?yàn)椋矫妫矫妫? 所以平面，
因?yàn)槠矫妫? 所以．
（2）由（1）得平面，從而點(diǎn)到平面的距離為，
故，即.
以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸
建立如圖空間直角坐標(biāo)系:
則，，，，
設(shè)平面的法向量為，，
則，
令，則，即，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，
令，則，，即，
設(shè)平面與平面夾角為， 則，
故平面與平面夾角的余弦值為．
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十二
知識(shí)點(diǎn)一 證明面面垂直,求二面角
典例1、如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，E為AC的中點(diǎn)，將沿AC翻折使點(diǎn)D至點(diǎn).
（1）求證：平面平面ABC；
（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，四棱錐中，平面，，．過點(diǎn)作直線的平行線交于為線段上一點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面所成二面角的大小．
典例2、如圖，已知在四棱錐中，，，，，E，F(xiàn)分別為棱PB，PA的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面EFDC；
（2）若直線PC與平面PAD所成的角為45°，求四棱錐的體積．
隨堂練習(xí)：如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）點(diǎn)在棱上，滿足且三棱錐的體積為，求的值.
典例3、如圖，已知等邊中，E，F(xiàn)分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，N為BC邊上一點(diǎn)，且，將沿EF折到的位置，使平面平面，M為EF中點(diǎn).
（1）求證：平面平面； （2）求二面角的余弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.
1、證明：平面；
2、若為上一點(diǎn)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的2倍，求平面與平面夾角的余弦值.
知識(shí)點(diǎn)二 線面垂直證明線線垂直,面面垂直證線面垂直,面面角的向量求法
典例4、四棱錐，底面為矩形，側(cè)面底面，．
（1）證明：；
（2）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小．
隨堂練習(xí)：如圖，直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別是AB，的中點(diǎn)．
（1）證明：EF⊥BC；
（2）若，直線EF與平面ABC所成的角為，求平面與平面FEC夾角的余弦值．
典例5、如圖，在四棱錐中，底面ABCD，梯形ABCD中，，，E是PD的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面PBC； （2）若，求P到平面AEC的距離.
隨堂練習(xí)：如圖，D，O是圓柱底面的圓心，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為圓柱的一條母線，P為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，
（1）若，證明：平面；
（2）設(shè)，圓柱的側(cè)面積為，求點(diǎn)B到平面的距離.
典例6、如圖，在四棱錐中，底面為正方形，點(diǎn)在底面內(nèi)的投影恰為中點(diǎn)，且．
（1）若，求證：面；
（2）若平面與平面所成的銳二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．
隨堂練習(xí)：三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為．
（1）求側(cè)棱的長(zhǎng)；
（2）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正切值為，若存在，判斷點(diǎn)的位置并證明；若不存在，說明理由．
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十二答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：在菱形中，，∴和均為等邊三角形，
又∵E為AC的中點(diǎn)，∴，，，平面，
∴平面， 又∵平面ABC， ∴平面平面ABC.
（2）過作于點(diǎn)，∵平面平面ABC，平面，
∴平面ABC.
∴.
過M作于點(diǎn)，連接，
∵平面ABC，∴，∵平面，
∴平面，
∵平面，∴. ∴即為二面角的平面角，
，∴，，
∴，∴.
故二面角的余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明過程見解析 （2）
解：（1）因?yàn)槠矫妫珹B平面ABCD， 所以PA⊥AB，
因?yàn)椋? 所以⊥AD，
因?yàn)镻AAD=A，平面PAD， 所以AB⊥平面PAD，
因?yàn)镃FAB，所以CF⊥平面PAD，
因?yàn)镃F平面CFG， 所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）平面，AD，AC平面ABCD， 所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因?yàn)椋?br/>由勾股定理得：，則∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD為等邊三角形，，
故，，，
過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，連接DE，
在△BCP中，由余弦定理得：，
則，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因?yàn)椋訢E⊥PC，
所以∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：，
故平面與平面所成二面角的大小為.
典例2、答案：（1）證明見解析 （2） （3）
解：（1）因?yàn)槠矫妫妫裕?br/>因?yàn)椋詢蓛纱怪保?br/>如圖以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，，
所以，，，
因?yàn)椋裕?br/>即，，因?yàn)椋云矫?br/>（2）由（1）知：平面，取平面的法向量，
因?yàn)椋?br/>設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，取，則，，所以，
設(shè)二面角的平面角為，且為銳角， 則，所以
所以，
整理可得：，解得：，所以的長(zhǎng)為.
（3）由（2）知的長(zhǎng)為，即，
因?yàn)闉榫€段上一點(diǎn)，所以，設(shè)，
所以，
平面的一個(gè)法向量，
則 ，
當(dāng)時(shí)，最小為，
所以最大值為， 綜上所述：的最大值為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）.
解: （1）取，中點(diǎn)，，連接，，.
由，得，，
又， 所以平面.
由，知四邊形是平行四邊形，則，
平面，平面，所以平面，
同理平面，且，
所以平面平面， 所以平面.
（2）由， 知四邊形是以的等腰梯形.
連接，則， 又平面，所以，
所以平面，又平面， 所以平面平面，
于是點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在上.
（在平面中，，點(diǎn)在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)）
取中點(diǎn)，則， 于是當(dāng)?shù)酌鏁r(shí)，
四棱錐的體積最大.
如圖，以為原點(diǎn)，分別以射線，，為，，軸的正半軸，
建立空間直角坐標(biāo)系.
由題意得，，， ，.
所以，，.
設(shè)平面的法向量， 由，得，
取，則.
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
典例3、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：因?yàn)闉榈冗叺倪叺闹悬c(diǎn)，
所以是等邊三角形，且，，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，
又由于平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
因?yàn)椋裕遥?br/>則四邊形是平行四邊形，則，
在正中，知，所以，
而，所以平面.
又因?yàn)槠矫妫? 所以平面平面.
（2）設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為4，取中點(diǎn)，連接，
由題設(shè)知，由（1）知平面，
又平面，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則由，得，令，則，
平面的一個(gè)法向量為，
所以，
顯然，二面角的平面角為銳角，
二面角的平面角的余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）在梯形ABCD中取AD中點(diǎn)N，連接CN，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又因?yàn)椋裕?br/>所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以.
又因?yàn)椋矫? 所以平面.
（2）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋裕?br/>由（1）得平面，又因?yàn)槊妫?br/>所以平面面，因?yàn)闉閮善矫娼痪€， 所以面，
以為原點(diǎn)，為軸，過且與垂直的直線為軸，為軸
建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，
由，得， 所以，
設(shè)平面的法向量為， 所以，即，
取，則，，所以，
又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚? 所以,
因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以其余弦值為.
典例4、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）取中點(diǎn)，連接，由，故，
而平面平面，平面平面，平面，
平面，而平面，，
而，故，故，
而平面，平面，，平面，
又平面，，
（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，設(shè)，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，
而與平面所成的角為，故，
解得，
而，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令得，
同理得平面的一個(gè)法向量為 則，
而二面角為鈍角，故二面角大小為
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取BC中點(diǎn)H，分別連結(jié)EH，F(xiàn)H，因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槿庵鶠橹崩庵云矫鍭BC，所以FH⊥平面ABC，
由平面ABC，所以FH⊥BC，
又E為AB的中點(diǎn)，則，且，所以，
因?yàn)镋H，平面EFH，，
所以BC⊥平面EFH，因?yàn)槠矫鍱FH，所以．
（2）由（1）知∠FEH為EF與平面ABC所成的角，所以，
由，得．
如圖，以CA，CB，分別為x軸，y軸，z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，，
，，，
，，，
設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為，
由得，取，
平面的法向量為，
由得，取，
設(shè)平面CEF與平面的夾角為，則．
所以平面CEF與平面夾角的余弦值為.
典例5、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）∵PC⊥平面ABCD，平面ABCD，∴.
取AB的中點(diǎn)M，連接CM， ∵，，∴，，
∴四邊形ADCM為平行四邊形.
∵，∴為菱形，∴.
∵，∴四邊形BMDC為平行四邊形, ∴,
∴.又有，平面PBC,
∴AC⊥平面PBC.平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.
（2）∵，，，∴，
又有，，，∴.
，E為PD的中點(diǎn)，，
∴在中，.
由, 得,
求得.
在中，，則，∴的面積.
設(shè)P到平面AEC的距離為d，又，解得.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）∵D，O為圓柱底面的圓心， ∴平面.
而為圓柱的一條母線， ∴.
又∵P為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，
∴， ∴四邊形為平行四邊形， ∴.
又∵P在上，而平面， ∴O為P在內(nèi)的投影，
且是圓內(nèi)接正三角形. ∴三棱錐為正三棱錐.
∴， ∴，
即. ∵，平面.
∴平面，
∵， ∴平面.
（2）設(shè)點(diǎn)B到面的距離為h，設(shè)圓柱底面半徑為r，
由母線及圓柱的側(cè)面積為， 得，解得，
則.
在中，， 則，
， 又，
且， ∴，解得.
故點(diǎn)B到平面的距離為.
典例6、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）如圖，連接，.
已知，不妨設(shè)，.
已知點(diǎn)在底面的投影落在中點(diǎn)，所以四棱錐為正四棱錐，
即，
底面為正方形，，得，同理得，
為的中點(diǎn)，，，得，
，，同理可得，
平面，平面，且，平面.
（2）如圖，過點(diǎn)做底面垂線，垂足為中點(diǎn).
以所在直線為軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，
以所在直線為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨假設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為，.
因此得，，，，，.
，，，，
設(shè)平面的法向量為，
由，得，解得：，，，故；
設(shè)平面的法向量為，
由，得，解得：，，，故；
由平面與平面所成的銳二面角為，
得，解得或（舍）.
得，，設(shè)直線與平面所成角為，
則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）2； （2）在側(cè)棱上存在點(diǎn)，證明見解析.
解：（1），. 側(cè)面為矩形，，
，平面，平面，
平面，則.
則 是二面角的平面角，則，
所以，.
設(shè). ，， ，
， ，
又，
在中，由余弦定理
得：， 即，
平方整理得，得或（舍， 即側(cè)棱的長(zhǎng)為2.
（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
過作底面. ，，則，
， 則，.
所以，0，，，0，，，，，，，
則，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，，
則，令，則，即，0，， ，0，，
設(shè)，0，，，
，，，0，，，，
與平面所成角的正切值，.
即
平方得，得，即在處．
即在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正切值為．
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十三
知識(shí)點(diǎn) 證明面面垂直,面面角的向量求法
典例1、如圖，圓錐的高為是底面圓的直徑，為圓錐的母線，四邊形是底面圓的內(nèi)接等腰梯形，且，點(diǎn)在母線上，且．
（1）證明：平面平面； （2）求平面與平面的夾角的余弦值．
隨堂練習(xí)：如圖所示，在四棱錐中，，且平面.
（1）證明：平面平面； （2）求平面與平面夾角的余弦值.
典例2、如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，.再?gòu)臈l件①：、條件②：、條件③：平面平面、中選擇兩個(gè)能解決下面問題的條件作為已知，并作答.
（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.
隨堂練習(xí)： 如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若，.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
典例3、如圖，在三棱柱中，平面，，．
（1）求證：平面；
（2）記和的交點(diǎn)為M，點(diǎn)N在線段上，滿足平面，求直線與平面所成角的正弦值．
隨堂練習(xí)：如圖，在三棱柱中，F(xiàn)是 的中點(diǎn)．
（1）證明：； （2）求與平面所成角的正弦值．
典例4、在高為、底面半徑為的圓錐內(nèi)作一內(nèi)接圓柱體．則圓柱體的半徑為多大時(shí)：
（1）圓柱體的體積最大？ （2）圓柱體的表面積最大？
隨堂練習(xí)：如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為5，該紙片上的正方形的中心為，，，， 為圓上的點(diǎn)，，，，分別是以，，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，，為折痕折起，，，，使得，，，重合，得到四棱錐，設(shè)．
（1）試把四棱錐的體積表示為的函數(shù)； （2）多大時(shí)，四棱錐的體積最大？
典例5、如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面，分別是，的中點(diǎn).
（1）記平面與平面的交線為，求證：直線平面；
（2）若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，且，，，M，N， P，D分別為，BC，，的中點(diǎn).
（1）求證：面；
（2）求平面PMN與平面所成銳二面角的余弦值.
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十三答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）連接，由已知，，且，
∴四邊形為菱形，∴，
在圓錐中，∵平面，平面， ∴．
∵，平面，平面， ∴平面．
又∵平面， ∴平面平面．
(2）取中點(diǎn)，易知平面，，
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
∵，∴，
∴， ∴，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
因?yàn)樗裕睿瑒t，， ∴，
易知平面即平面，∴平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
∴平面與平面的夾角的余弦值為．
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：平面平面.
.
平面， 平面.
又平面平面平面.
（2）由（1）易知兩兩垂直.
如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則.
.
設(shè)平面的法向量為，
則即取，得.
易知平面的一個(gè)法向量為， ,
由圖可知，平面與平面的夾角為銳角，
平面與平面夾角的余弦值為.
典例2、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）選①②：由，，，易知：，
又，，面，則面；
選①③：由，，，易知：.
又面面，面面，面，
∴平面
（2）由（1）知：，，又四邊形是正方形，則，
如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
∴，，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，即
令，則，，即，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
∴直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取中點(diǎn)，連接，
分別為中點(diǎn)，，；
四邊形為矩形，為中點(diǎn)，，；
且，四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，
可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，；
，
即直線與平面所成角的正弦值為.
典例3、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：∵在三棱柱中，平面，因?yàn)槠矫妫剩?br/>因?yàn)椋云矫妫?br/>∵平面，∴，因?yàn)椤危裕?br/>因?yàn)椋仕倪呅螢榱庑危剩?br/>∵，∴平面
（2）由平面，平面，平面平面，
故，又M為中點(diǎn)，故N為中點(diǎn).
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則
，，設(shè)平面的法向量，
由，得，取，
又，設(shè)直線與平面所成的角大小為，
則
即直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取中點(diǎn)為G，連接，在中，
根據(jù)勾股定理可得， 因此，
而已知平面，
∴，∴，
由余弦定理可得， 故 ,
因此平面，
而平面， ∴．
（2）由（1）得，，又平面，
故以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別 為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則：， ，
設(shè)平面的法向量為，則 ，
令，可取，又，
所以與平面所成角的正弦值
．
典例4、答案：（1）；（2）.
解:（1）當(dāng)圓柱的底面半徑為時(shí)，設(shè)圓柱體的高為，
可得，所以，
圓柱的體積 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以圓柱的最大體積為.
（2）由（1）可得：圓柱體的表面積
則，
①當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，所以函數(shù) 沒有最大值；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．
隨堂練習(xí)：答案： （1）；（2）．
解：（1）連接，交于點(diǎn)，
，， 四棱錐的高，
∴．
（2）， 令，，
， 令得，
當(dāng)時(shí)，，在上遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上遞減，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，．
典例5、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn) 所以，
又因?yàn)槠矫妫矫? 所以平面
又平面，平面與平面的交線為， 所以，
而平面，平面， 所以平面
（2）如圖，因?yàn)槭菆A的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)橹本€平面 所以
所以以為原點(diǎn)，直線，，分別為軸，軸，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，，
所以，
設(shè)平面的法向量，則，即
令，則 得
因?yàn)橹本€平面 所以為平面的法向量
所以 所以二面角的正弦值為
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）解法一： 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB AC 所在直線分別為x y z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，.
取向量為平面的一個(gè)法向量，，
∴， ∴.
又∵平面， ∴平面.
解法二： ∵P，D分別為，的中點(diǎn)，
∴，且平面，平面， ∴平面，
∵D，N分別為，BC的中點(diǎn)， ∴，
且平面，平面，
∴平面，又， ∴平面平面，
又∵平面PDN， ∴平面.
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB AC 所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，.
∴，,
取向量為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，
令，則，，則，
∴，
由圖示可知平面PMN與平面的夾角為銳角，
∴平面PMN與平面所成銳二面角的余弦值為.
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十四
知識(shí)點(diǎn)：證明線面平行,線面角的向量求法
典例1、如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，丄平面，且，，點(diǎn)是的中點(diǎn).
（1）求證:平面; （2）求直線與平面所成角的正弦值.
隨堂練習(xí)： 如圖，在直三棱柱中，D，E分別是棱AB，的中點(diǎn)，，．
（1）求證：平面；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得各條件相融．并求直線 與平面所成的角的正弦值．
條件①：； 條件②：； 條件③：到平面的距離為1．
典例2、在直角梯形中，，，，，M為線段中點(diǎn)，將 沿折起，使平面平面，得到幾何體.
（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
隨堂練習(xí)：如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD為折痕把△ABD折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PC⊥BC．
（1）證明：PD⊥平面BCD；
（2）若M為PB的中點(diǎn)，二面角P﹣BC﹣D等于60°，求直線PC與平面MCD所成角的正弦值．
典例3、如圖所示的幾何體中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐中，平面，，為等邊三角形，．
（1）求證：平面，且平面．
（2）已知，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
典例4、如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.
（1）證明：平面；
（2）若，設(shè)為棱的中點(diǎn)，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時(shí)與所成角的正切值.
隨堂練習(xí)：如圖，已知是以的直角三角形鐵皮，米，分別是邊上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，且.現(xiàn)將鐵皮沿折起至的位置，使得平面平面，連接，如圖所示.現(xiàn)要制作一個(gè)四棱錐的封閉容器，其中鐵皮和直角梯形鐵皮分別是這個(gè)封閉容器的一個(gè)側(cè)面和底面，其他三個(gè)側(cè)面用相同材料的鐵皮無(wú)縫焊接密封而成（假設(shè)制作過程中不浪費(fèi)材料，且鐵皮厚度忽略不計(jì)）．
（1）若為邊的中點(diǎn)，求制作三個(gè)新增側(cè)面的鐵皮面積是多少平方米？
（2）求這個(gè)封閉容器的最大體積．
典例5、如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）試確定點(diǎn)的位置，使平面與平面所成的銳二面角為．
隨堂練習(xí)：如圖，在直三棱柱中，，，.
（1）證明：平面平面； （2）求二面角的大小.
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十四答案
典例1、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）連接BD交AC于F點(diǎn)，連接EF， 在中，∵EF是中位線，∴．
又∵平面AEC，平面AEC， ∴平面AEC．
（2）由題意知，AC，AB，AP兩兩互相垂直，如圖，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC，AB，AP分別為x，y，z軸的正半軸
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則，，， ∴，
易知平面PAB的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線CE與平面PAB所成角為，
則．
∴直線CE與平面PAB所成角的正弦值為．
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）取的中點(diǎn)為，連接.
分別是，的中點(diǎn), . D是的中點(diǎn)，
直三棱柱， .，.
四邊形為平行四邊形.
又平面，平面，所以平面.
（2）選擇條件①：；
直三棱柱，平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面.
又，.
以為原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)檩S，軸，軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量， 則， 即，
令，則，，
設(shè)直線DE與平面所成的角為，
則
所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.
選擇條件②：； 取的中點(diǎn)為，連接.
直三棱柱，分別是，的中點(diǎn),
平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面..
分別是，的中點(diǎn), ，.
以為原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)檩S，軸，軸建立
如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則 ，即，
令，則，，
設(shè)直線DE與平面所成的角為，
則.
所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.
選擇條件③：到平面的距離為1． 過點(diǎn)作,垂足為，
直三棱柱， 平面，平面，，
，平面，
所以平面.平面.所以
由（1）知平面；因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為1，
所以.又，所以
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn), ,所以是的中點(diǎn), .
又，.
以為原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)檩S，軸，軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，
令，則，，
設(shè)直線DE與平面所成的角為，
則.
所以直線DE與平面所成的角的正弦值為.
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：在直角梯形中，，，，
∴，，從而
又平面平面，且平面平面
∴平面，平面，∴.
又，且，∴平面
（2）取的中點(diǎn)O，連接，
由題設(shè)知為等腰直角三角形，
又平面平面，且平面平面，平面
連接，因?yàn)镸，O分別為和的中點(diǎn)，
由（1）可知，以分別為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則
設(shè)直線與平面所成角為θ，
故直線與平面所成角的正弦值為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）∵BC⊥CD，BC⊥PC，且PC∩CD＝C， ∴BC⊥平面PCD，
又∵PD 平面PCD，∴BC⊥PD．
∵PD⊥BD，BD∩BC＝B， ∴PD⊥平面BCD；
（2）∵PC⊥BC，CD⊥BC， ∴∠PCD是二面角P﹣BC﹣D的平面角，則∠PCD＝60°，
因此， 取BD的中點(diǎn)O，連接OM，OC，
由已知可得OM，OC，OD兩兩互相垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OD，OM所在直線為x，y，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)OB＝1，則P（0，1，），C（1，0，0），D（0，1，0），M（0，0，），
，，．
設(shè)平面MCD的一個(gè)法向量為，
由，取z，得．
∴cos．
故直線PC與平面MCD所成角的正弦值為．
典例3、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：分別取的中點(diǎn)，連接，
設(shè)，則， ，
又平面平面，平面平面平面，
平面，
同理可證平面，，
又因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅危?br/>又平面平面，平面；
（2）如圖，取的中點(diǎn)為，則，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則， 則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則，
令，得平面的一個(gè)法向量為
設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則，
令，得平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）平面，平面，，
又，，平面，平面；
為等邊三角形，，又，，
平面，平面，平面.
平面，平面，；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，作軸，
可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，，；
設(shè)平面的法向量，
則，令，則，，；
，
平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
典例4、答案： （1）證明見解析 （2）6
解：（1）過點(diǎn)作交與點(diǎn)，
平面平面，且兩平面的交線為
平面 又平面
又且 平面
（2）過點(diǎn)作交與點(diǎn),連接
平面平面，且兩平面的交線為
平面 又平面 到平面的距離相等
且，平面
又， 令
則，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.
如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以.
設(shè)與所成角為，則，則，
即當(dāng)幾何體體積最大時(shí)，與所成角的正切值為6.
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）
解:（1）由于，且，則，即，
又平面平面，且平面平面，所以平面，
易得，又為邊的中點(diǎn)，
則米，米，
于是得米，米，米，
取的中點(diǎn)為，則，且米，
則（平方米），（平方米），
（平方米），
故制作三個(gè)新增側(cè)面的鐵皮面積是平方米．
（2）依題意，設(shè)米，則米，且．
由，知與相似，則，得米．
由（1）知，底面，
則四棱錐的體積（），
則，
易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則立方米．
故這個(gè)封閉容器的最大體積是立方米．
典例5、答案：（1）見解析； （2）為的中點(diǎn).
解：（1）因?yàn)榈酌妫酌妫剩?br/>而，平面，，
故平面，而平面，故，
，為的中點(diǎn)，故，
平面，，故平面，
因平面，故平面平面.
（2）因?yàn)榈酌妫士山⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則， ，，
設(shè)平面的法向量為，
則即，取，則即.
設(shè)平面的法向量為，
則即，取，則即.
因?yàn)槠矫媾c平面所成的銳二面角為，
故，解得即為的中點(diǎn).
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析 （2）.
解：（1）連接，由三棱柱為直三棱柱可得平面，
平面，所以，
因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋运倪呅问钦叫危裕?br/>又因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）因?yàn)椋鶕?jù)勾股定理可知：，
從而有：，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，
分別以，，所在直線為軸，
軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，，，
設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?br/>則，， 令，則，
設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?br/>則，，令，則，
設(shè)二面角的平面角為， 根據(jù)幾何體特征可知為銳角，
所以， 所以二面角的大小為.
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2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十五
知識(shí)點(diǎn)：證明線面平行,面面角的向量求法
典例1、如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，四邊形為菱形，平面平面，，，．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
隨堂練習(xí)：如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
典例2、如圖所示，在直三棱柱中，D是的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）設(shè)，求三棱錐的體積．
隨堂練習(xí)：已知四棱錐中，，平面，點(diǎn)為三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），，，.
（1）求證：平面； （2）求三棱錐的體積．
典例3、在①平面平面，②，③平面這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.
如圖，在四棱錐中，底面是梯形，點(diǎn)在上，，，，，且______.
（1）求證：平面平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值.
隨堂練習(xí)： 已知底面為菱形的四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面 ABCD，E，F(xiàn)分別是棱PC，AB上的點(diǎn).
（1）從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立；
①F是AB的中點(diǎn)；②E是PC的中點(diǎn)；③平面PFD.
（2）若.求PB與平面PDC所成角的正弦值.
典例4、蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值．
隨堂練習(xí)：雙層的溫室大棚具有很好的保溫效果，某農(nóng)業(yè)合作公司欲制作這樣的大棚用于蔬菜的種植，
如圖（1）所示，工人師傅在地面上畫出一個(gè)圓，然后用鋼絲網(wǎng)編織出一個(gè)網(wǎng)狀空心球的上部分鋼結(jié)
構(gòu)，使得地面上的圓為空心球的一個(gè)截面圓，同時(shí)在其外部用塑料薄膜覆蓋起來作外部保溫.如圖（1）
所示，用塑料薄膜覆蓋起來的內(nèi)部保溫層鋼結(jié)構(gòu)為一個(gè)圓柱面，制作方法如下：工人師傅將圓柱
面的下底面圓置于球O在地面上的截面圓內(nèi)（可與截面圓重合），把下底面的圓心固定在球
O在地面上截面圓的圓心位置上，圓柱面的上底面圓的圓周固定在球的內(nèi)壁上，已知球O的半
徑為3．如圖（2），取圓柱的軸截面為矩形PQRS，．
（1）設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，RO與底面所成的角為，將圓柱體積V表示為的函數(shù)并判斷的范圍； （2）求V的最大值．
典例5、如圖1，在梯形ABCD中，，，，現(xiàn)將沿AC翻折成直二面角，如圖2．
（1）證明：平面平面PAC；
（2）若異面直線PC與AB所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．
隨堂練習(xí)：如圖，圖1是由正方形，直角梯形組成的一個(gè)平面圖形，其中，將正方形沿折起，使得.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
2025高考--空間向量和立體幾何（一輪復(fù)習(xí)）專題十五答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，
平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因?yàn)槠矫妫矫?
（2）取的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，
因?yàn)椋瑒t為等邊三角形，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，同理可得，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
、、所在直線分別為、、軸
建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、，
設(shè)平面的向量為，，，
則，取，可得，
易知平面的一個(gè)法向量為，則.
因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）見解析；（2）.
解:（1）連接，
，分別為，中點(diǎn) 為的中位線
且
又為中點(diǎn)，且 且
四邊形為平行四邊形
，又平面，平面 平面
（2）設(shè)， 由直四棱柱性質(zhì)可知：平面
四邊形為菱形
則以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
則：，，，D（0，-1,0）
取中點(diǎn)，連接，則
四邊形為菱形且 為等邊三角形
又平面，平面
平面，即平面
為平面的一個(gè)法向量，且
設(shè)平面的法向量，又，
，令，則，
二面角的正弦值為：
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）.
解： （1）連，交于，則為的中點(diǎn)，連，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以， 因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面.
（2）因?yàn)椋裕? 所以，
所以.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）取三等分點(diǎn)，
所以，，即
又因?yàn)椋?br/>所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面， 即平面.
（2）因?yàn)闉槿确贮c(diǎn)，所以，
，平面，平面平面，
且平面平面，過點(diǎn)作的垂線交延長(zhǎng)線于，
如下圖所示：
由線面垂直的性質(zhì)有平面，
所以點(diǎn)到平面的距離為，記，
因?yàn)椋?br/>所以，，，
.
即三棱錐的體積為.
典例3、答案：選條件①（1）證明見解析；（2）；選條件②（1）證明見解析；（2）；選條件③（1）證明見解析；（2）.
解:方案一：選條件①.
（1）∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面. 又，∴，，兩兩垂直.
以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面. 又平面，
∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為， 又，
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
方案二：選條件②.
（1）∵底面為梯形，，∴兩腰，必相交.
又，，，平面，
∴平面.
又，∴，，兩兩垂直.
以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，. 又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為， 又，
設(shè)直線與平面所成角為， 則.
方案三：選條件③.
（1）∵平面，平面，∴.
又，，平面，， ∴平面.
又，∴，，兩兩垂直.
以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面
（2）由（1）可得平面的一個(gè)法向量為， 又，
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
隨堂練習(xí)：答案： （1）答案見解析 （2）
解：（1）選①F是AB的中點(diǎn)，②E是PC的中點(diǎn)為已知條件，證明③平面PFD，
取的中點(diǎn)，連接， 所以，，
，所以四邊形是平行四邊形，，
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫鍼FD.
選②E是PC的中點(diǎn)，③平面PFD為已知條件，證明 ①F是AB的中點(diǎn)，
取的中點(diǎn)，連接，
所以，因?yàn)椋裕?br/>即平面平面，
因?yàn)槠矫鍼FD，所以，
所以四邊形是平行四邊形，，
（2）因?yàn)椋? 即F是AB的中點(diǎn).
選①F是AB的中點(diǎn)，③平面PFD為已知條件，證明 ②E是PC的中點(diǎn)，
取的中點(diǎn)，連接， 所以，
四邊形是平行四邊形，，
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫鍼FD，
因?yàn)槠矫鍼FD，，所以平面平面，
平面，所以平面，
平面平面，所以，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以E是PC的中點(diǎn).
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榈酌鏋榱庑危裕?br/>是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，
所以平面，以為原點(diǎn)，
分別以所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，
則， 所以，
設(shè)PB與平面PDC所成角的為，
所以.
所以PB與平面PDC所成角的正弦值為.
典例4、答案： （1）；（2）；
解:（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個(gè)菱形的7個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，根據(jù)定義其度量值等于 減去三個(gè)菱形的內(nèi)角和，再減去6個(gè)直角梯形中的兩個(gè)非直角內(nèi)角和，
即蜂房曲頂空間的彎曲度為.
（2）設(shè)底面正六邊形的邊長(zhǎng)為1， 如圖所示，連接AC，SH，則，
設(shè)點(diǎn)在上底面ABCDEF的射影為O，則,
令，則， 菱形SAHC的面積，
的面積為，
令正六棱柱的側(cè)面積為定值時(shí)， 蜂房的表面積為，
，令得到，
經(jīng)研究函數(shù)的單調(diào)性， 得到函數(shù)在處取得極小值，
此時(shí)， 在中，令，
由余弦定理得, 頂點(diǎn)的曲率為，
其余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）， （2）
解：（1）由題意，，，
所以，
即，
（2）當(dāng)P、Q點(diǎn)落在球面被地面所截得的圓周上時(shí)，
RO與地面所成的角取得最小值為，
此時(shí)，所以，所以；
因?yàn)椋粤睿? ，
所以，因?yàn)椋?br/>所以，
所以在時(shí)單調(diào)遞減，
所以時(shí)，．
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明：取AB的中點(diǎn)E，連接CE， 因?yàn)锳B＝4，CD＝2， 則AE＝DC，AE∥DC，
故四邊形ADCE為平行四邊形， 所以CE＝AD＝2 則CE＝AE＝EB，
故∠ACB＝90°，即CB⊥CA，
又平面PAC⊥平面ACB，且平面PAC∩平面ACB＝AC，CB 平面ACB，
故CB⊥平面PAC， 又CB 平面， 故平面平面PAC；
（2）取AC的中點(diǎn)O，連接OE，則OE∥CB， 所以O(shè)E⊥AC，且OP⊥AC，
則OC，OE，OP兩兩互相垂直， 故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)|OC|＝a（a＞0）， 則，，，
故， 所以
因?yàn)楫惷嬷本€PC與AB所成角的余弦值為 所以，解得，
故 ，
設(shè)面的法向量為，
則，令，可得
設(shè)面的法向量為，
，令，可得
又由圖可知二面角為銳角， 故二面角的余弦值為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）如圖：連，
在直角三角形中，，
在三角形中，，，，
滿足， 所以，
又，， 所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>又，， 所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?br/>因?yàn)椋云矫?
因?yàn)槠矫妫?所以平面平面.
（2）由（1）知，兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
則，，，， ，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
平面的一個(gè)法向量為，
由，得， 取，得，得，
由，得， 取，得，得，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
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