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第二十二章 二次函數
22.2 二次函數與一元二次方程
學習目標：1.通過探索，理解二次函數與一元二次方程(不等式)之間的聯系.
2.能運用二次函數及其圖象、性質確定方程的解或不等式的解集.
3.了解用圖象法求一元二次方程的近似根.
要點探究
探究點1：二次函數與一元二次方程的關系
問題 如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，小球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有關系：
h=20t－5t2，
考慮以下問題：
(1) 小球的飛行高度能否達到15 m？如果能，需要多少飛行時間？
(2) 小球的飛行高度能否達到20 m？如果能，需要多少飛行時間？
(3) 小球的飛行高度能否達到20.5 m？為什么？
(4) 小球從飛出到落地要用多少時間？
探究點2：利用二次函數深入討論一元二次方程
思考 觀察思考下列二次函數的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標是多少？當x取公共點的橫坐標時，函數的值是多少？由此你能得出相應的一元二次方程的根嗎？
(1) y=x2+x－2； (2) y=x2－6x+9； (3)y=x2－x+1.
要點歸納：二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的公共點與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關系：
二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的公共點 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2－4ac
有_______個公共點 有____個_______的實數根 b2－4ac＞0
有_______個公共點 有_______個_______的實數根 b2－4ac=0
_______公共點 _______實數根 b2－4ac＜0
根據拋物線與x軸的交點個數求字母系數的取值范圍
例1若拋物線y＝x2－2x＋m－1與x軸有交點，求m的取值范圍．
變式1(1)若拋物線y＝(m－1)x2－2x＋1與x軸有交點，則m 的取值范圍為________________．
(2)已知拋物線y＝－4x2＋2x＋m與x軸沒有交點，求m的取值范圍．
二次函數與一元二次方程的解
例2 已知拋物線y＝x2－bx＋c與x軸交于點A(1，0)，B(－3，0)，則關于x的方程x2－bx＋c＝0的解是(　　)
A．x1＝－1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝3　　C．x1＝1，x2＝－3　　 D．x1＝1，x2＝3
變式2 (1)若方程ax2＋bx＋c＝0的解為x1＝4，x2＝1，則拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點為_______________．
(2)已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解為____________．
探究點3：利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解
例3 利用函數圖象求方程x2+2x-1=0的實數根(結果保留小數點后一位).
例4 已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根為(　　)
x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
探究點4：二次函數與一元二次不等式的關系(拓展)
問題1 函數y=ax2+bx+c的圖象如圖，那么：
方程ax2+bx+c=0的根是 ；
不等式ax2+bx+c>0的解集是 ；
不等式ax2+bx+c<0的解集是 .
拓廣探索：
函數y=ax2+bx+c的圖象如圖，那么：
方程ax2+bx+c=2的根是 ______________；
不等式ax2+bx+c>2的解集是_________________；
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________________.
問題2 如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切實數，那么函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有 個公共點，坐標是 ；方程ax2+bx+c=0的根是 .
問題3 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數根，那么函數y=ax2+bx+c的圖象與 x軸有______個公共點；不等式ax2+bx+c<0的解集是什么？
試一試：利用函數圖象解下列方程和不等式.
(1) ①－x2+x+2=0； ②－x2+x+2>0； ③－x2+x+2<0.
(2) ①x2－4x+4=0； ②x2－4x+4>0； ③x2－4x+4<0.
(3) ①－x2+x－2=0； ②－x2+x－2>0； ③－x2+x－2<0.
利用拋物線與x軸的交點解不等式
例5如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋3的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點為A(－1，0)．
(1)點B的坐標為________；
(2)當x＝________時，y＝0；
(3)當x滿足___________時，y＞0；
(4)當x滿足_______________時，y≤0.
例6如圖，二次函數y1＝x2＋2x與一次函數y2＝x＋2的圖象相交于(－2，0)，(1，3)兩點，觀察圖象回答下列問題：
(1)當x＝________時，y1＝y2；
(2)當x滿足______________時，y1＞y2.
當堂檢測
1．拋物線y＝－x2＋6x－4與坐標軸的公共點個數為_____．
2．若函數y＝(m－1)x2－6x＋m的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為(　　)
A．－2或3 B．－2或－3 C．1或－2或3 D．1或－2或－3
3．如圖，二次函數y1＝mx2＋nx與一次函數y2＝ax＋b的圖象相交于A，B兩點，觀察圖象回答下列問題：
(1)當____________時，y1＝y2；
(2)當______________時，y1≥y2；
(3)y1＞0的解集為______________.
4．已知拋物線y＝x2－4x＋m.
(1)該拋物線的對稱軸是__________；
(2)若該拋物線與x軸交于點A，B，已知A(－3，0)，則線段AB＝________．
5．求拋物線y＝－x2＋4x＋5和直線y＝x＋1的交點坐標．
6．已知拋物線y＝x2－2mx＋m2＋1(m是常數)．
(1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸沒有公共點；
(2)把該拋物線沿y軸向下平移a個單位長度后，得到的函數圖象與x軸只有一個公共點，求a的值．

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