資源簡介

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第一章 集合與邏輯
1．1　集合
最新課程標準 學科核心素養
1.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系． 2．針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合． 3．在具體情境中，了解空集的含義． 1.能判斷元素與集合的關系．(邏輯推理) 2．記住并會用常見數集的表示符號．(數學抽象) 3．能用列舉法和描述法表示集合．(數學抽象) 4．能利用集合的基本屬性解題．(邏輯推理)
1.1.1　集合
第1課時　集合與元素
教材要點
要點一　集合與元素的概念
在數學語言中，把一些對象放在一起考慮時，就說這些對象組成了一個________________，這些對象中的每一個，都叫作這個集合的一個________．
要點二　元素與集合的關系
關系 概念 記法 讀法
屬于 如果________________，就說a屬于S ________ a屬于S
不屬于 如果________________，就說a不屬于S ________ a不屬于S
狀元隨筆　a∈S與a S這兩種情況有且只有一種成立．
要點三　元素的基本屬性
(1)互異性：同一集合中的元素是________________．
(2)確定性：集合中的元素是確定的．亦即給定一個集合，任何一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的．
(3)無序性：集合中的元素________．
狀元隨筆　(1)互異性：對于給定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素．
(2)確定性：是指作為一個集合的元素必須是明確的，不能確定的對象不能構成集合，也就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素是確定的．
(3)無序性：對于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的．如1，2，3與3，2，1 構成的集合是同一個集合．
要點四　常用數集及表示符號
名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 ________ ________ ________ ________ ________
狀元隨筆　
要點五　集合的分類
(1)有限集：元素個數________的集合叫有限集(或有窮集)．
(2)無限集：元素________的集合叫無限集(或無窮集)．
(3)空集： 沒有元素的集合叫空集，記作________．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)在一個集合中可以找到兩個相同的元素．(　　)
(2)我班喜歡打籃球的同學不能組成一個集合．(　　)
(3)空集是無限集．(　　)
(4)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根組成的集合中有3個元素.(　　)
2．(多選)下列元素與集合的關系判斷正確的是(　　)
A．0∈N B．π∈Q
C．－1∈Z D． R
3．已知集合A含有三個元素0，1，x－2，則實數x不能取的值是________．
4．若A是不等式4x－5＜3的解集，則1________A，2______A．(用∈或 填空)
題型1　集合概念的理解
例1　判斷下列每組對象能否構成一個集合：
(1)援助湖北抗擊新冠疫情的醫護人員；
(2)我校2021級所有高個子同學；
(3)不小于3 的自然數；
(4)的近似值的全體．
方法歸納
判斷一組對象能否組成集合的策略
(1)注意集合中元素的確定性，看是否給出一個明確的標準，使得對于任何一個對象，都能按此標準確定它是不是給定集合的元素，若具有此“標準”，就可以組成集合；否則，不能組成集合．
(2)注意集合中元素的互異性、無序性．
跟蹤訓練1　(多選)下列對象能構成集合的是(　　)
A．聯合國常任理事國
B．充分接近的實數的全體
C．方程x2＋x－1＝0的實數根
D．全國著名的高等院校
題型2　元素與集合的關系
例2　(1)(多選)由不超過5的實數組成集合A，a＝，則(　　)
A．a∈A B．a2∈A
C．∈A D．a＋1∈A
(2)給出下列關系：①∈R；②|－3| N；③|－|∈Q；④0 N.其中正確的個數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
方法歸納
判斷元素和集合關系的兩種方法
(1)直接法：集合中的元素是直接給出的．
(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．
跟蹤訓練2　(1)給出下列說法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，則－a Z；
③若a∈Q，b∈N，則a＋b∈Q.
其中正確的個數為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)設集合M是由不小于2的數組成的集合，a＝，則下列關系中正確的是(　　)
A．a∈M B．a M
C．a＝M D．a≠M
題型3　集合特性的應用
例3　設A為實數集，且滿足條件：若a∈A，則∈A(a≠1).
求證：(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個元素．
(2)集合A不可能是單元素集．
變式探究　本例前提條件不變，求證以下兩個問題：
(1)若3∈A，則A中必還有另外兩個元素．
(2)若a∈A，則1－∈A.
方法歸納
根據集合中元素的特性求值的三個步驟
跟蹤訓練3　設集合A中含有三個元素3，x，x2－2x，
(1)求實數x應滿足的條件．
(2)若－2∈A，求實數x.
易錯辨析　忽略集合元素的互異性
例4　設a，b∈R，集合A中含有三個元素1，a＋b，a，集合B中含有三個元素0，，b，且A＝B，則a2 021＋b2 021＝________．
解析：易知a≠0，a≠1，則根據兩個集合相等可知a＋b＝0，且b＝1或＝1.若b＝1，由a＋b＝0得a＝－1，經驗證，符合題意；若＝1，則a＝b，結合a＋b＝0，可知a＝b＝0，不符合題意．綜上可知a＝－1，b＝1.故a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋12 021＝0.
答案：0
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽略了集合中元素的互異性，當a＝1時，在一個集合中出現了兩個相同的元素． 含有參數的集合問題，涉及的內容多為元素與集合的關系、集合相等，解題時需要根據集合中元素的互異性對參數的取值進行分類討論．
課堂十分鐘
1．下列各組對象可以組成集合的是(　　)
A．數學必修1課本中所有的難題
B．小于8的所有素數
C．直角坐標平面內第一象限的一些點
D．所有小的正數
2．設M是所有偶數組成的集合，則(　　)
A．3∈M B．1∈M
C．2∈M D．0 M
3．下列各組中集合P與Q，表示同一個集合的是(　　)
A．P是由元素1，，π構成的集合，Q是由元素π，1，|－|構成的集合
B．P是由π構成的集合，Q是由3.141 59構成的集合
C．P是由2，3構成的集合，Q是由有序數對(2，3)構成的集合
D．P是滿足不等式－1≤x≤1的自然數構成的集合，Q是方程x2＝1的解集
4．已知集合A中的元素x滿足x≥2，若a A，則實數a的取值范圍是________．
5．已知集合A是由所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的數組成的，判斷－6＋2是不是集合A中的元素．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
　集合或集　元素
要點二
a是集合S的元素　a∈S　a不是集合S中的元素　a S
要點三
　互不相同的　沒有順序
要點四
N　N*或N＋　Z　Q　R
要點五
　有限　無限多　
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：顯然AC正確；π是無理數，B不正確；是實數，D不正確．故選AC.
答案：AC
3．解析：由元素的互異性可知x－2≠0且x－2≠1，即x≠2且x≠3.
答案：2，3
4．解析：由4x－5<3得x<2，則1∈A，2 A.
答案：∈　
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)能構成集合．(2)“高個子”無明確的標準，對于某個人算不算高個子無法客觀地判斷，因此不能構成一個集合．(3)對于任意一個自然數能判斷是不是不小于3，所以能構成集合．(4)“的近似值”沒有明確精確到什么程度，因此很難判斷一個數是不是它的近似值，所以不能構成集合．
跟蹤訓練1　解析：B、D中的元素不能確定，不能構成集合，故選AC.
答案：AC
例2　解析：(1)a＝<＝4<5，
所以a∈A，a＋1<＋1＝5，
所以a＋1∈A，a2＝()2＋2＋()2＝5＋2>5，所以a2 A，
＝＝
<5，所以∈A.故選ACD.
(2)①正確；②③④不正確．故選A.
答案：(1)ACD　(2)A
跟蹤訓練2　解析：(1)實數集中沒有最小的元素，故①不正確；對于②，若a∈Z，則－a也是整數，故－a∈Z，所以②也不正確；只有③正確．
(2)判斷一個元素是否屬于某個集合，關鍵是看這個元素是否具有這個集合中元素的特征，若具有就是，否則不是．∵<2，∴a M.
答案：(1)B　(2)B
例3　證明：(1)若a∈A，則∈A.
又因為2∈A，所以＝－1∈A.
因為－1∈A，所以＝∈A.
因為∈A，所以＝2∈A.
根據集合中元素的互異性可知，A中另外兩個元素為－1，，結論得證．
(2)若A為單元素集，則a＝，
即a2－a＋1＝0，方程無實數解．
所以a≠，所以集合A不可能是單元素集．
變式探究　證明：(1)因為3∈A，
所以＝－∈A，
所以＝∈A，
所以＝3∈A，
根據集合中元素的互異性可知，A中另外兩個元素為－，結論得證．
(2)因為a∈A，所以∈A，
所以＝＝1－∈A.
跟蹤訓練3　解析：(1)由集合中元素的互異性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.
(2)因為－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2.
[課堂十分鐘]
1．解析：A中“難題”的標準不確定，不能構成集合；B能構成集合；C中“一些點”無明確的標準，對于某個點是否在“一些點”中無法確定，因此“直角坐標平面內第一象限的一些點”不能構成集合；D中沒有明確的標準，所以不能構成集合．故選B.
答案：B
2．解析：∵0和2是偶數，∴2∈M，0∈M，故選C.
答案：C
3．解析：由于A中P、Q元素完全相同，所以P與Q表示同一個集合，而B、C、D中元素不相同，所以P與Q不能表示同一個集合．故選A.
答案：A
4．解析：∵x≥2，且a A，∴a<2.
答案：a<2
5．解析：因為－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2＝3×(－2)＋×2是形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的數，即－6＋2是集合A中的元素．
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湘教版高中數學必修第一冊-1.1.3集合的交與并-學案講義
最新課程標準 學科核心素養
1.理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集. 2．能使用Venn圖表達集合的基本運算，體會圖形對理解抽象概念的作用． 1.能用Venn圖表示并集、交集．(直觀想象) 2．掌握有關的術語和符號，并會用它們正確地進行集合的并集與交集運算．(數學運算)
教材要點
要點一　交集
自然語言 把所有既屬于集合A又屬于集合B的____________組成的集合，稱為A與B的交集
符號語言 ________________________(讀作“A交B”)
圖形語言
運算性質 A＝B＝A，A＝ ＝ ，(A＝A ________________
狀元隨筆　集合運算中的“又”與生活用語中的“且”的含義相同，均表示“同時”的含義，即“x∈A且x∈B”表示元素x屬于集合A，同時屬于集合B.
要點二　并集
自然語言 把集合A，B中的元素______________組成的集合，稱為A與B的并集
符號語言 A＝________________(讀作“A并B”)
圖形語言
運算性質 A＝B＝A，A＝ ＝A，A (A＝B ________
狀元隨筆　(1)并集中的“或”與生活中的“或”字含義有所不同，生活中的“或”是只取其一，并不兼存；而并集中的“或”連接的并列成分不一定是互相排斥的，“x∈A或x∈B”包括下列三種情況：①x∈A，但x B；②x A，但x∈B；③x∈A且x∈B.
(2)對于A不能認為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合，因為A與B可能有公共元素，每一個公共元素只能算一個元素．
基礎自測
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)集合A中的元素個數一定等于集合A和B的元素個數的和．(　　)
(2)若集合A，B沒有公共元素，則這兩個集合就沒有交集．(　　)
(3)若A＝A，B≠ ，則B中的每個元素都屬于集合A.(　　)
(4)若A＝C則A＝C.(　　)
2．設集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，則A＝(　　)
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4} D．{1，3，4}
3．設集合A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，則A等于(　　)
A．{5，8} B．{3，6}
C．{4，7} D．{3，5，6，8}
4．設集合A＝{x|2≤x＜5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，則A＝________．
題型1　并集的運算
例1　(1)已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，則A＝(　　)
A．{x|－1＜x＜1} B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞－1} D．{x|x＞1}
(2)已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0，x∈Z}，B＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈Z}，若A＝{2，3，5}，則A＝________，B＝________.
方法歸納
并集的運算技巧
(1)若集合中元素個數有限，則直接根據并集的定義求解，但要注意集合中元素的互異性．
(2)若集合中元素個數無限，可借助數軸，利用數軸分析法求解，但要注意是否去掉端點值．
跟蹤訓練1　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＝0}，B＝{1，2，3}，則A＝(　　)
A．{3} B．{1，2，3}
C．{0，2，3} D．{0，1，2，3}
(2)若集合A＝{2，4，x}，B＝{2，x2}，且A＝{2，4，x}，則x＝________．
題型2　交集的運算
例2　(1)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，則A＝(　　)
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|2＜x≤3}
(2)設集合A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，則＝(　　)
A．{1，－2，4} B．{(－2，4)}
C．{(1，1)，(－2，4)} D．
方法歸納
求交集的基本思路
首先要識別所給集合，其次要化簡集合，使集合中的元素明朗化，最后再依據交集的定義寫出結果，有時要借助于Venn圖或數軸寫出交集．借助于數軸時要注意數軸上方“雙線”(即公共部分)下面的實數組成了交集．
跟蹤訓練2　(1)已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，則A＝(　　)
A．{－2，－1，0} B．{－1，0，1}
C．{－1，0} D．{0，1}
(2)若集合A＝{x|－5≤x≤5}，B＝{x|x≤－2或x＞3}，則＝________________________．
題型3　交集、并集性質的應用
例3　(1)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A＝A，則實數a＝________．
(2)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若 ?(A且A＝ ，求a的值．
方法歸納
求集合運算中參數的思路
(1)將集合中的運算關系轉化為兩個集合之間的關系．若集合中的元素一一列舉，則可用觀察法得到不同集合中元素之間的關系；與不等式有關的集合，則可利用數軸得到不同集合之間的關系．
(2)將集合之間的關系轉化為方程或不等式是否有解，或解集為怎樣的范圍的問題．
(3)解方程(組)或解不等式(組)來確定參數的值或范圍，解題時，需注意兩點：
①由集合間的運算得到的新集合一定要滿足集合中元素的互異性，在求解含參數的問題時，要注意這一隱含的條件．
②對于涉及A＝A或A＝B的問題，可利用集合的運算性質，轉化為相關集合之間的關系求解，注意空集的特殊性．
跟蹤訓練3　(1)設集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，若A則實數a的取值范圍為________．
(2)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A＝R，則實數a的取值范圍是________．
易錯辨析　利用數軸求參數時忽略端點值能否取到
例4　已知集合A＝{x|x≥4或x＜－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若A＝B，則實數a取值范圍為________．
解析：∵A＝B，∴B A.
利用數軸法表示B A.
如圖所示．
由數軸知a＋3＜－5或a＋1≥4，
解得a＜－8或a≥3.
∴實數a的取值范圍為{a|a＜－8或a≥3}．
答案：{a|a＜－8或a≥3}
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
在求解過程中易忽略端點值的取舍，誤得a＋3≤－5或a＋1≥4，解得a≤－8或a≥3. 正確的做法就是把端點值代入原式，看是否符合題目要求．
課堂十分鐘
1．設集合A＝{x|－2A．{2} B．{2，3}
C．{3，4} D．{2，3，4}
2．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，則A＝(　　)
A．{x|x≥－5} B．{x|x≤2}
C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－5≤x≤2}
3．(多選)已知集合M＝{1，2，3，4，5}，M＝{4，5}，則N可能為(　　)
A．{1，2，3，4，5} B．{4，5，6}
C．{4，5} D．{3，4，5}
4．設集合A＝{1，2}，則滿足A＝{1，2，3}的集合B的個數是________．
5．已知集合A＝{x|3≤x≤6}，B＝{x|a≤x≤8}．
(1)在①a＝7，②a＝5，③a＝4這三個條件中選擇一個條件，使得A并求A；
(2)已知A＝{x|3≤x≤8}，求實數a的取值范圍．
集合的新定義問題
集合新定義問題的類型：
(1)新定義概念，(2)新定義性質，(3)新定義運算．
解決集合新定義問題的著手點：
(1)正確理解新定義：剝去新定義、新法則、新運算的外表，轉化為我們熟悉的集合知識．
(2)合理利用集合性質：運用集合的性質(如元素的性質、集合的運算性質等)是破解新定義型集合問題的關鍵．
(3)對于選擇題，可結合選項，通過驗證、排除、對比、特值法等進行求解或排除錯誤選項，當不滿足新定義的要求時，只需通過舉反例來說明．
一、新定義集合的概念
例1　若X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于τ，空集 屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ.
則稱τ是集合X上的一個拓撲．已知集合X＝{a，b，c}，對于下面給出的四個集合τ：
①τ＝{ ，{a}，{c}，{a，b, c}}；
②τ＝{ ，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{ ，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{ ，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的一個拓撲的集合τ的所有序號是________.
解析：①τ＝{ ，{a}，{c}，{a，b，c}}，因為{a}＝{a，c} τ，故①中的τ不是集合X上的拓撲；②滿足集合X上的拓撲的定義；③中{a，b}＝{a，b，c} τ，故③中的τ不是集合X上的拓撲；④滿足集合X上的拓撲的定義，故答案為②④.
答案：②④
二、新定義集合的性質
例2　(1)若集合A具有以下性質：
①0∈A，1∈A；②若x∈A，y∈A，則x －y∈A，且x≠0時，∈A.則稱集合A是“好集”．給出下列說法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理數集Q是“好集”；③設集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，則x＋y∈A.其中，正確說法的個數是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若數集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性質P：對任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj與兩數中至少有一個屬于A，則稱集合A為“權集”．則(　　)
A.{1，3，4}為“權集”
B．{1，2，3，6}為“權集”
C．“權集”中元素可以有0
D．“權集”中一定有元素1
解析：(1)①假設集合B是“好集”，當－1∈B，1∈B時，－1－1＝－2 B，這與－2∈B矛盾，所以集合B不是“好集”．②因為0∈Q，1∈Q，對任意x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0時，∈Q，所以有理數集Q是“好集”．③因為集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，則0－y∈A，即－y∈A，所以x －(－y)∈A，即x＋y∈A.
(2)由于3×4與均不屬于數集{1，3，4}，故A不正確；由于1×2，1×3，1×6，2×3，都屬于數集{1，2，3，6}，故B正確；由“權集”的定義可知需有意義，故不能有0，同時不一定有1，C，D錯誤．
答案：(1)C　(2)B
三、新定義集合的運算
例3　(1)定義集合運算：AB＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，設A ＝{， }，B ＝{1, }，則集合AB的真子集個數為(　　)
A．8 B．7
C．16 D．15
(2)已知集合A ＝{x∈N|－1≤x≤3}，B ＝{1，3}，定義集合A，B之間的運算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，則A*B中的所有元素之和為(　　)
A．15 B．16
C．20 D．21
解析：(1)由題意A＝{}，B＝{1，}，則AB中的元素有(＋1)×(－1)＝1，()×()＝0.(＋1)×(－1)＝2，()×()＝1四種結果，則由集合中元素的互異性可知，集合AB中有3個元素，故集合AB真子集的個數為23－1＝7.故選B.
(2)A＝{0，1，2，3}，B＝{1，3}，
∴A*B中的元素有：
0 ＋1＝1，0 ＋3＝3，1 ＋1＝2，1 ＋3＝4，2 ＋1＝3(舍去)，2 ＋3＝5，3 ＋1＝4(舍去)，3 ＋3＝6
∴A*B＝{1，2，3，4，5，6}
∴A*B中的所有元素之和為
1 ＋2＋ 3 ＋4 ＋5 ＋6＝21.故選D.
答案：(1)B　(2)D
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
元素　A＝{x|x∈A且x∈B}　A B
要點二
放在一起　{x|x∈A或x∈B}　A B
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A＝{1，2，3，4}．
答案：A
3．解析：A＝{5，8}．
答案：A
4．解析：∵A＝{x|2≤x<5}，
B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，
∴A＝{x|3≤x<5}．
答案：{x|3≤x<5}
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)將集合A，B在數軸上表示出來，如圖所示．
所以A＝{x|x>－1}．故選C.
(2)設A＝{x1，x2}，B＝{x3，x4}，
因為x1，x2是方程x2－px＋15＝0的兩根，
所以x1x2＝15，由已知條件可知
x1，x2∈{2，3，5}，所以x1＝3，x2＝5或x1＝5，x2＝3，所以A＝{3，5}，
因為x3，x4是方程x2－5x＋q＝0的兩根，
所以x3＋x4＝5，由已知條件可知
x3，x4∈{2，3，5}，
所以x3＝3，x4＝2或x3＝2，x4＝3，
所以B＝{2，3}．
答案：(1)C　(2){3，5}　{2，3}
跟蹤訓練1　解析：(1)∵A＝{x|x2－3x＝0}＝{0，3}，∴A＝{0，1，2，3}．故選D.
(2)因為A＝{2，4，x}，B＝{2，x2}，且A＝{2，4，x}，所以B A，所以x2＝4或x2＝x.解得x＝0，1或±2.由元素的互異性知x≠2，所以x＝0，1或－2.
答案：(1)D　(2)0，1或－2
例2　解析：(1)∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，
∴A＝{x|0＜x＜2}．故選A.
(2)由A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}得解得或∴A＝{(1，1)，(－2，4)}．故選C.
答案：(1)A　(2)C
跟蹤訓練2　解析：(1)由題意A＝{－1，0}．故選C.
(2)在數軸上表示出集合A與B，如下圖．
由交集的定義可得A＝{x|－5≤x≤－2或3答案：(1)C　(2){x|－5≤x≤－2或3例3　解析：(1)∵集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，A＝A，
∴B A，
∴a＋2＝3，或a＋2＝a2，
解得a＝1，或a＝2，
當a＝1時，A＝{1，3，1}，不成立；
當a＝2時，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，成立．
故實數a＝2.
(2)A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，
B＝{2，3}，C＝{－4，2}．
因為 ?(A且A＝ ，
那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.
即a2－3a－10＝0.所以a＝－2或a＝5.
當a＝－2時A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合題意．
當a＝5時A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，
不符合A＝ .綜上知，a＝－2.
答案：(1)2　(2)－2
跟蹤訓練3　解析：(1)由A借助于數軸可知a≥－1.
(2)∵A＝R，畫出數軸，如圖．
由數軸可知，表示實數a的點必須與表示1的點重合或在表示1的點的左邊，所以a≤1.
答案：(1)a≥－1　(2)a≤1
[課堂十分鐘]
1．解析：由題設有A＝，故選B.
答案：B
2．解析：結合數軸(如圖)得A＝{x|x≥－5}．
答案：A
3．解析：由題意，集合M＝{1，2，3，4，5}，M＝{4，5}，可得集合N必含有元素4和5，但不能含有1，2，3，根據選項，可得集合N可能為{4，5，6}，{4，5}．故選BC.
答案：BC
4．解析：易知3∈B，除此之外，1，2可以在B中，也可不在B中，共有22種可能，故集合B的個數為4.
答案：4
5．解析：(1)選擇條件②a＝5(或③a＝4)．
若選②，則A＝{x|3≤x≤6}≤x≤8}＝{x|5≤x≤6}．
若選③，則A＝{x|3≤x≤6}≤x≤8}＝{x|4≤x≤6}．
(2)因為A＝{x|3≤x≤8}，A＝{x|3≤x≤6}，B＝{x|a≤x≤8}．
結合數軸可得3≤a≤6，
故實數a的取值范圍為3≤a≤6.
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湘教版高中數學必修第一冊-1.1.2子集和補集-學案講義
最新課程標準 學科核心素養
1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集． 2．能使用Venn圖表達集合的基本關系，體會圖形對理解抽象概念的作用． 3．在具體情境中，了解空集的含義． 4．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集． 1.能識別給定集合的子集、真子集．(邏輯推理) 2．會列舉有限集的所有子集、真子集的方法．(邏輯推理) 3．會判斷集合間的關系，并能用符號和Venn圖表示．(直觀想象) 4．掌握有關的術語和符號，并會用它們正確地進行集合的補集運算．(數學運算)
教材要點
要點一　子集
文字語言 符號語言 圖形語言
如果集合A的________元素都是集合B的元素，就說A包含于B，或者說B包含A，則稱A是B的一個子集． 由x∈A，能推出x∈B，就說__________，讀作____________或____________
狀元隨筆　(1)集合A為集合B的子集，表明集合A如果存在元素，則它們都是集合B的元素，但集合B的元素則不一定是集合A的元素；(2)符號“∈”“ ”和“ ”“ ”的使用范圍是不一樣的，前者用于表示元素和集合的關系，后者用于表示集合和集合的關系．
要點二　集合相等
如果A B并且B A，就說兩個集合相等，記作A＝B.
狀元隨筆　
1．若A B，且B A，則A＝B；反之，如果A＝B，則A B，且B A.
2．若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關．
要點三　真子集
如果A B但A≠B，就說A是B的真子集，記作________．
狀元隨筆　在真子集的定義中，A ?B首先要滿足A B，其次至少有一個x∈B，但x A.
要點四　子集的性質
1．每一個集合都是它自己的子集，即A A.
2．空集是任一集合的子集．
3．對于集合A，B，C，若A B，B C，則A C；若A?B，B?C，則A?C.
要點五　全集與補集
1．全集：如果在某個特定的場合，要討論的對象都是集合U的元素和子集，就可以約定把集合U叫作全集(或基本集)．
狀元隨筆　全集不是固定不變的，是相對于研究的問題而言的，如在整數范圍內研究問題，Z是全集；在實數范圍內研究問題，R是全集；在具體題目中，全集一般是給定的．
2．補集
自然語言 若A是全集U的子集，U中不屬于A的元素組成的子集叫作A的補集，記作________
符號語言 UA＝________________________
圖形語言
運算性質 A∪( UA)＝________，A∩( UA)＝________， U( UA)＝A， UU＝ ， U ＝U
狀元隨筆　(1)補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是相互依存、不可分割的兩個概念．
(2) UA包含三層意思：①A U；② UA是一個集合，且( UA) U；③ UA是由U中所有不屬于A的元素構成的集合．
(3)若x∈U，則x∈A或x∈( UA)，二者必居其一．
基礎自測
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1){0，1}＝{1，0}＝{(0，1)}．(　　)
(2)如果集合B A，那么若元素a不屬于A，則必不屬于B.(　　)
(3)任何集合都有子集和真子集．(　　)
(4)在全集U中存在某個元素x0，既有x0 A，又有x0 ( UA)．(　　)
2．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4個子集，則實數m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(多選)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，則下列式子表示正確的是(　　)
A．1∈A B．{－1}∈A
C． A D．{－1，1} A
4．設全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，則 UA＝________．
題型1　集合的子集、真子集問題
例1　(1)滿足{a，b}?M?{a，b，c，d，e}的集合M的個數為(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，試寫出A的所有子集．
方法歸納
1．假設集合A中含有n個元素，則有：
(1)A的子集有2n個；
(2)A的非空子集有(2n－1)個；
(3)A的真子集有(2n－1)個；
(4)A的非空真子集有(2n－2)個．
2．求給定集合的子集的兩個注意點：
(1)按子集中元素個數的多少，以一定的順序來寫；
(2)在寫子集時要注意不要忘記空集和集合本身．
跟蹤訓練1　(1)若集合A＝{x∈Z|－1＜x＜2}，則A的真子集個數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)寫出滿足{3，4}?P {0，1，2，3，4}的所有集合P.
題型2　集合間關系的判斷
例2　指出下列各組集合之間的關系：
(1)A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|0＜x＜5}；
(2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}；
(3)A＝{(x，y)|xy＞0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＞0或x＜0，y＜0}；
(4)A＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}．
方法歸納
判斷集合間關系的方法
(1)用定義判斷
首先，判斷一個集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是，則A B，否則A不是B的子集；
其次，判斷另一個集合B中的任意元素是否屬于第一個集合A，若是，則B A，否則B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，則A＝B.
(2)數形結合判斷
對于不等式表示的數集，可在數軸上標出集合的元素，直觀地進行判斷，但要注意端點值的取舍．
跟蹤訓練2　(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，則M與T的關系是(　　)
A．M?T B．M?T
C．M＝T D.M T
(2)設M＝{菱形}，N＝{平行四邊形}，P＝{四邊形}，Q＝{正方形}，則這些集合之間的關系為(　　)
A．P N M Q B．Q M N P
C．P M N Q D．Q N M P
題型3　補集運算
例3　(1)設集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜－2}，則 UM＝(　　)
A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞2} D．{x|x≤－2或x≥2}
(2)設U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，則實數m＝________．
方法歸納
求補集的原則和方法
(1)一個基本原則．
求給定集合A的補集，從全集U中去掉屬于集合A的元素后，由所有剩下的元素組成的集合即為A的補集．
(2)兩種求解方法：
①若所給的集合是有關不等式的集合，則常借助于數軸，把已知集合及全集分別表示在數軸上，然后再根據補集的定義求解，注意端點值的取舍．
②若所給的集合是用列舉法表示，則用Venn圖求解．
跟蹤訓練3　已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，則 UA＝________．
易錯辨析　忽略空集的特殊性致誤
例4　設M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N M，求所有滿足條件的a的取值集合．
解析：由N M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，
得N＝ 或N＝{－1}或N＝{3}．
當N＝ 時，ax－1＝0無解，即a＝0.
當N＝{－1}時，由＝－1，得a＝－1.
當N＝{3}時，由＝3，得a＝.
故滿足條件的a的取值集合為.
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽略了N＝ 這種情況． 空集是任何集合的子集，解這類問題時，一定要注意“空集優先”的原則．
課堂十分鐘
1．集合A＝{－1，0，1}，在A的子集中，含有元素0的子集共有(　　)
A．2個 B．4個
C．6個 D．8個
2．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．0∈ B． {0}
C．若a∈N，則－a N D．π Q
3．已知集合A＝{x|ax＝x2}，B＝{0，1，2}，若A B，則實數a的值為(　　)
A．1或2 B．0或1
C．0或2 D．0或1或2
4．設集合A＝{x∈R|x2＋x－1＝0}，B＝{x∈R|x2－x＋1＝0}，則集合A，B之間的關系是________．
5．已知集合A＝{x|－11}，求 RA， RB.
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
每個　A B(或B A)　A包含于B　B包含A
要點三
A?B
要點五
UA　{x|x∈U，且x A}　U　
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：根據題意，集合M有4個子集，則M中有2個元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素為大于等于1而小于等于m的全部整數，則m＝2.
答案：B
3．解析：由A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}知A、C、D正確，B錯誤．故選ACD.
答案：ACD
4．解析：由題意，得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故 UA＝{4，6，7，9，10}．
答案：{4，6，7，9，10}
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)根據題意，滿足{a，b}?M?{a，b，c，d，e}的集合M有：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}共6個．
(2)因為A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．所以A的子集有： ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
答案：(1)A　(2)見解析
跟蹤訓練1　解析：(1)∵集合A＝{x∈Z|－1＜x＜2}＝{0，1}，
∴集合A＝{x∈Z|－1＜x＜2}的真子集為 ，{0}，{1}，
所以A的真子集個數為3.故選C.
(2)由題意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三個元素的集合，因此所有滿足題意的集合P為：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}．
答案：(1)C　(2)見解析
例2　解析：(1)將集合A，B在數軸上表示出來，如圖所示．
∴B?A.
(2)∵A是偶數集，B是4的倍數集，∴B?A.
(3)集合A中的元素是平面直角坐標系中第一、三象限內的點，集合B中的元素，也是平面直角坐標系中第一、三象限內的點，故A＝B.
(4)對于任意x∈A，有x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5
∵a∈N*，∴a＋2∈N*.∴x∈B.由子集的定義知A B.
設1∈B，此時a2－4a＋5＝1，
解得a＝2∈N*，∵1＋a2＝1在a∈N*時無解，
∴1 A.綜上所述，A?B.
跟蹤訓練2　解析：(1)∵M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，T＝{－1，0，1}，
∴M?T.
(2)∵有一個角是直角的菱形是正方形．
∴正方形應是菱形的一部分，
∵正方形、菱形都屬于平行四邊形，
∴它們之間的關系是：Q M N P.
答案：(1)A　(2)B
例3　解析：(1)如圖，在數軸上表示出集合M，
可知 UM＝{x|－2≤x≤2}．故選A.
(2)∵ UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，∴m＝－3.
答案：(1)A　(2)－3
跟蹤訓練3　解析：借助數軸得 UA＝{x|x＝－3，或x>4}．
答案：{x|x＝－3或x>4}
[課堂十分鐘]
1．解析：含有元素0的子集有：{0}，{0，－1}，{0，1}，{－1，0，1}，共4個．故選B.
答案：B
2．解析：空集中沒有元素，A錯誤；空集是任何集合的子集，B正確；若a＝0，0∈N，C錯誤；π不是有理數，D正確．故選BD.
答案：BD
3．解析：依題意，當a＝0時，A＝{0}，滿足A B.
當a≠0時，若A B，則1∈A，或者2∈A，若1∈A，則a×1＝12，得a＝1；若2∈A，則2a＝22得a＝2，
綜上：a＝0，1或a＝2.故選D.
答案：D
4．解析：由已知A＝，B＝ ，故B?A.
答案：B?A
5．解析： RA＝{x|x≤－1或x≥2}， RB＝{x|x≤1}．
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湘教版高中數學必修第一冊-1.1.1.2表示集合的方法-學案講義
教材要點
要點一　集合的表示方法
1．列舉法
把集合中的元素____________出來，叫作________．常用格式是在一個大括號里寫出每個元素的名字，相鄰的名字用逗號分隔．
狀元隨筆　列舉法表示集合時的4個關注點
(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．
(2)集合中的元素必須是明確的．
(3)集合中的元素不能重復．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
把集合中元素________，也只有該集合中元素才有的屬性描述出來，以確定這個集合．這叫作________．一般的格式是在一個大括號里寫出集合中元素的共有屬性，有些集合用一句描述起來不方便，通常在大括號里先寫出集合元素的一般屬性或形式，再畫一條豎線，然后在豎線后面列出這些元素要滿足的相關條件．
狀元隨筆　描述法表示集合時的3個關注點
(1)寫清楚集合中元素的符號，如數或點等；
(2)說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數式或幾何圖形等；
(3)不能出現未被說明的字母．
要點二　區間
1．區間的幾何表示(a定義 名稱 符號 數軸表示
{x|a≤x≤b} 閉區間 ________
{x|a＜x＜b} 開區間 ________
{x|a≤x＜b} 半開半閉區間 ________
{x|a＜x≤b} 半開半閉區間 ________
2．實數集R的區間表示
實數集R可以用區間表示為________，“∞”讀作“無窮大”(或“無窮”)；“－∞”讀作“負無窮大”(或“負無窮”)；“＋∞”讀作“正無窮大”(或“正無窮”)．
3．無窮大的幾何表示
定義 區間 數軸表示
{x|x≥a} ________
{x|x＞a} ________
{x|x≤b} ________
{x|x＜b} ________
狀元隨筆　關于區間的3點說明：
(1)區間實質上是一類特殊數集的另一種表示，并不是所有的數的集合都能用區間表示，如{0，1，2}就不能用區間表示．
(2)區間的左端點必須小于右端點，有時我們將b－a 稱為區間(a，b)或[a，b]的長度．
(3)用“－∞”或“＋∞”作為區間端點時，需用開區間符號．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)由1，1，2，3組成的集合可用列舉法表示為{1，1，2，3}．(　　)
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.(　　)
(3)∞是一個符號，不是數，以－∞或＋∞作為區間一端時，這一端必須是小括號．(　　)
(4)集合{x|x＞3}與集合{t|t＞3}相等．(　　)
2．集合{x∈N|x－3＜2}用列舉法表示是(　　)
A．{1，2，3，4}　　　　　B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
3．把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列舉法表示為(　　)
A．{1，3} B．{x|x＝1，x＝3}
C．{x2－4x＋3＝0} D．{x＝1，x＝3}
4．把集合{x|x≥0}用區間表示為________．
題型1　列舉法表示集合
例1　用列舉法表示下列集合：
(1)不大于10的非負偶數組成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有實數解組成的集合；
(3)直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合；
(4)由所有正整數構成的集合．
方法歸納
用列舉法表示集合應注意的兩點
(1)應先弄清集合中的元素是什么．是數，是點，還是其他元素．
(2)若集合中的元素是點時，則應將有序實數對用小括號括起來表示一個元素．
跟蹤訓練1　用列舉法表示下列給定的集合：
(1)大于1且小于6的整數組成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的實數根組成的集合B；
(3)一次函數y＝x＋2與y＝－2x＋5的圖象的交點組成的集合D.
題型2　描述法表示集合
例2　用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有非負整數構成的集合；
(2)數軸上與原點的距離大于3的點構成的集合；
(3)平面直角坐標系中第二、四象限內的點構成的集合；
(4)集合{1，3，5，7，…}．
方法歸納
1．用描述法表示集合時應弄清楚集合的屬性，即它是數集、點集還是其他的類型．一般地，數集用一個字母代表其元素，點集用一個有序實數對代表其元素．
2．若描述部分出現代表元素以外的字母，則要對新字母說明其含義或指出其取值范圍．
跟蹤訓練2　用描述法表示下列集合：
(1)正偶數集；
(2)被3除余2的正整數集合；
(3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合．
題型3　集合表示方法的綜合應用
角度1　用適當的方法表示集合
例3　用適當的方法表示下列集合
(1)被3除余1的自然數組成的集合；
(2)自然數的平方組成的集合；
(3)方程組的解集；
(4)二次函數y＝x2＋2x－10的圖象上所有點的集合．
方法歸納
根據集合中元素所具有的屬性選擇適當的方法，列舉法的特征是能清楚地展現集合的元素，通常用于元素個數較少的集合，當集合中元素個數較多或無限時，通常不宜采用列舉法，應選擇描述法．描述法形式簡單，用于元素具有明顯的共同特征的集合，當元素的共同特征不易尋找，或元素的限制條件較多時，則不宜采用描述法．
跟蹤訓練3　用適當的方法表示下列集合：
(1)所有奇數組成的集合B；
(2)二次函數y＝x2的圖象上所有點的縱坐標組成的集合；
(3)D＝{(x，y)|x＋y＝5，x∈N*，y∈N*}．
(4)構成英文單詞mathematics的全體字母．
角度2　已知集合中元素個數求參數
例4　已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一個，求m的取值范圍．
變式探究　已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一個，求m的取值范圍．
方法歸納
1．解答與描述法有關的問題時，明確集合中代表元素及其共同特征是解題的切入點及關鍵點．
2．解集合與含有參數的方程的綜合問題時，一般要求對方程中最高次項的系數的取值進行分類討論，確定方程的根的情況，進而求得結果，需特別關注判別式在一元二次方程的實數根個數的討論中的作用．
跟蹤訓練4　已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一個元素，試求實數k的值，并用列舉法表示集合A.
易錯辨析　混淆點集與數集致誤
例5　用列舉法表示集合正確的是(　　)
A．(－1，1)，(0，0) B．{(－1，1)，(0，0)}
C．{x＝－1或0，y＝1或0} D．{－1，0，1}
解析：解方程組可得或故答案為{(－1，1)，(0，0)}．故選B.
答案：B
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
沒弄清描述法中代表元素是數還是點，導致錯選． 首先要明確集合中元素的屬性，即把握住集合的代表元素是什么，然后明確元素具有怎樣的共同特征．
課堂十分鐘
1．用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為(　　)
A．{1，1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
2．設集合A＝{－1，1，2}，集合B＝{x|x∈A且2－x A}，則B＝(　　)
A．{－1} B．{2}
C．{－1，2} D．{1，2}
3．下列集合的表示方法正確的是(　　)
A．第二、四象限內的點集可表示為{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集為{x＜5}
C．{全體整數}
D．實數集可表示為R
4．用區間表示下列數集：
(1){x|2＜x≤4}＝________；
(2){x|x＞－1，且x≠2}＝________．
5．用另一種方法表示下列集合．
(1){絕對值不大于2的整數}；
(2){能被3整除，且小于10的正數}；
(3){x|x＝|x|，x＜5且x∈Z}；
(4){(x，y)|x＋y＝6，x，y均為正整數}；
(5){－3，－1，1，3，5}．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
1．一一列舉　列舉法
2．共有的　描述法
要點二
1．[a，b]　(a，b)　[a，b)　(a，b]
2．(－∞，＋∞)
3．[a，＋∞)　(a，＋∞)　(－∞，b]　(－∞，b)
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由x－3<2得x<5，又x∈N，所以集合表示為{0，1，2，3，4}．
故選D.
答案：D
3．解析：解方程x2－4x＋3＝0得x＝1或x＝3，用列舉法表示解集為{1，3}．
答案：A
4．答案：[0，＋∞)
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)因為不大于10是指小于或等于10，非負是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負偶數集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解組成的集合為{0，2}．
(3)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交點是(0，1)，故交點組成的集合為{(0，1)}．
(4)正整數有1，2，3，…，所求集合為{1，2，3，…}．
跟蹤訓練1　解析：(1)因為大于1且小于6的整數包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}．
(2)方程x2－9＝0的實數根為－3，3，
所以B＝{－3，3}．
(3)由得
所以一次函數y＝x＋2與y＝－2x＋5的交點為(1，3)，所以D＝{(1，3)}．
例2　解析：(1)小于10的所有非負整數構成的集合，用描述法可表示為{x|0≤x<10，x∈Z}；
(2)數軸上與原點的距離大于3 的點構成的集合，用描述法可表示為{x||x|>3}；
(3)平面直角坐標系中第二、四象限內的點的特征是橫、縱坐標符號相反，因此，構成的集合用描述法可表示為{(x，y)|xy<0}；
(4)集合{1，3，5，7，…}內的元素是全體正奇數，用描述法可表示為{x|x＝2k－1，k∈N＋}．
跟蹤訓練2　解析：(1)偶數可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此題要求為正偶數，故限定n∈N＋.所以正偶數可表示為{x|x＝2n，n∈N＋}．
(2)設被3除余2的數為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數，故n∈N，所以被3除余2的正整數集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐標軸上的點(x，y)的特點是橫、縱坐標中至少有一個為0，即xy＝0，故平面直角坐標系中坐標軸上的點的集合可表示為{(x，y)|xy＝0}．
例3　解析：(1)描述法：{x|x＝3k＋1，k∈N}．
(2)列舉法：{0，12，22，32，…}，也可用描述法：{x|x＝n2，n∈N}．
(3)列舉法：{(2，1)}．描述法：
(4)描述法：{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
跟蹤訓練3　解析：(1)描述法：B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}．
(2)描述法：{y|y＝x2}．
(3)列舉法：{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．
(4)列舉法：{m，a，t，h，e，i，c，s}．
例4　解析：①當m＝0時，原方程為－2x＋3＝0，x＝，符合題意；
②當m≠0時，方程mx2－2x＋3＝0為一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得m≥，即當m≥時，方程mx2－2x＋3＝0無實根或有兩個相等的實數根，符合題意．由①②知m＝0或m≥.
變式探究　解析：A中至少有一個元素，即A中有一個或兩個元素，由例題可知，當m＝0或m＝時，A中有一個元素；當A中有兩個元素時，Δ＝4－12m>0，即m<且m≠0.所以A中至少有一個元素時，m的取值范圍為m≤.
跟蹤訓練4　解析：(1)當k＝0時，方程kx2－8x＋16＝0變為－8x＋16＝0，解得x＝2，A＝{2}；(2)當k≠0時，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一個元素，則方程kx2－8x＋16＝0只有一個實數根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此時集合A＝{4}．綜上所述，k＝0時，集合A＝{2}；k＝1時，集合A＝{4}．
[課堂十分鐘]
1．解析：∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，選B.
答案：B
2．解析：當x＝－1時，2－(－1)＝3 A；當x＝1時，2－1＝1∈A；當x＝2時，2－2＝0 A.∴B＝{－1，2}．故選C.
答案：C
3．解析：選項A中應是xy＜0；選項B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規范格式，缺少了豎線和豎線前面的代表元素x；選項C的“{　}”與“全體”意思重復．故選D.
答案：D
4．答案：(1)(2，4]　(2)(－1，2)
5．答案：(1){－2，－1，0，1，2}；
(2){3，6，9}；
(3){0，1，2，3，4}；
(4){(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}；
(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．
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