資源簡介

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1．2.2　充分條件和必要條件
最新課程標準 1.通過對典型數學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系． 2．通過對典型數學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關系． 學科核心素養
1.能對充分條件、必要條件、充要條件進行判斷．(邏輯推理) 2．能從集合的觀點理解充分條件、必要條件．(直觀想象) 3．能利用充分條件、必要條件、充要條件求參數的取值范圍．(邏輯推理)
教材要點
要點一　充分條件與必要條件
命題真假 “若p，則q”是真命題 “若p，則q”是假命題
推出關系 由p可以推出q，記為：________ 由p不能推出q，記為：________
條件 關系 p是q的____________ p不是q的____________
q是p的____________ q不是p的____________
狀元隨筆　若p q，則p是q的充分條件，所謂“充分”，即要使q成立，有p成立就足夠了；q是p的必要條件，所謂“必要”，即q是p成立的必不可少的條件，缺其不可．
要點二　充要條件
如果既有p q，又有q p，就記作________．即p既是q的充分條件，又是q的必要條件，此時我們稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．換句話說，如果一個命題和它的________都成立，則此命題的條件和結論互為充分必要條件．
狀元隨筆　對于充要條件，要熟悉它的同義語“p是q的充要條件”可以說成“p與q是等價的”“q成立當且僅當p成立”“q成立必須且只需p成立”．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個邏輯關系，只是說法不同．(　　)
(2)p是q的必要條件的含義是：如果p不成立，則q一定不成立．(　　)
(3)p是q的充分條件只反映了p q，與q能否推出p沒有任何關系．(　　)
(4)若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的充要條件．(　　)
2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
3．“x＞0”是“x＞1”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．△ABC是銳角三角形是∠ABC為銳角的________條件．
題型1　充分條件、必要條件的判斷
例1　下列各題中，p是q的什么條件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是矩形；
(3)p：平行四邊形，q：正方形；
(4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0無實根．
方法歸納
充分條件、必要條件判斷方法
(1)定義法
①分清命題的條件和結論：分清哪個是條件，哪個是結論．②找推式：判斷“p q”及“q p”的真假．
③根據推式及條件得出結論．
(2)集合法：寫出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合間的包含關系進行判斷．
(3)特殊值法：對于選擇題，可以取一些特殊值或特殊情況，用來說明由條件(結論)不能推出結論(條件)，但是這種方法不適用于證明題．
跟蹤訓練1　(1)祖暅原理：”冪勢既同，則積不容異”，它是中國古代一個涉及幾何體體積的原理，意思是兩個等高的幾何體，若在同高處的截面積恒相等，則體積相等．設A，B為兩個等高的幾何體，p：A，B的體積相等．q：A，B在同高處的截面積恒相等．根據祖暅原理可知，q是p的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(多選)設x∈R，則使x＞3.14成立的一個充分條件是(　　)
A．x＞3.5 B．x＜3
C．x＞4 D．x＜4
題型2　充要條件的判斷
例2　(1)(多選)下列結論中，正確的有(　　)
A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分條件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件
C．若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件
D．x，y均為奇數是x＋y為偶數的必要不充分條件
(2)已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么：
①s是q的什么條件？
②r是q的什么條件？
③p是q的什么條件？
方法歸納
判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法
(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．
(2)集合法：利用集合的包含關系判斷．
(3)等價法：利用p q與q p的等價關系，對于條件和結論是否定形式的命題，一般運用等價法．
(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要條件也有傳遞性．
跟蹤訓練2　(1)a，b中至少有一個不為零的充要條件是(　　)
A．ab＝0 B．ab＞0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0
(2)如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么(　　)
A．丙是甲的充分不必要條件
B．丙是甲的必要不充分條件
C．丙是甲的充要條件
D．丙是甲的既不充分又不必要條件
題型3　充分條件、必要條件和充要條件的證明
例3　求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一負根的充要條件是ac＜0.
方法歸納
充要條件的證明思路
(1)根據充要條件的定義，證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明．
一般地，證明“p成立的充要條件為q”；
①充分性：把q當作已知條件，結合命題的前提條件，推出p；
②必要性：把p當作已知條件，結合命題的前提條件，推出q.
解題的關鍵是分清哪個是條件，哪個是結論，然后確定推出方向，至于先證明充分性還是先證明必要性則無硬性要求．
(2)在證明過程中，若能保證每一步推理都有等價性( )，也可以直接證明充要性．
跟蹤訓練3　求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.
題型4　充分條件、必要條件和充要條件的應用
例4　設p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
變式探究　設p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
方法歸納
根據充分條件、必要條件求參數的取值范圍時，主要根據充分條件、必要條件與集合間的關系，將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系，然后建立關于參數的不等式(組)進行求解．
跟蹤訓練4　集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．
易錯辨析　混淆條件與結論致誤
例5　使不等式0＜x＜2成立的一個充分但不必要條件是(　　)
A．0＜x＜1 B．－＜x＜1
C．－1＜x＜2 D．0＜x＜2
解析：設命題p所對應的集合為A，命題q所對應的集合為B，則“p成立的充分不必要條件是q” B?A，所以不等式0＜x＜2成立的充分不必要條件對應的集合是集合{x|0＜x＜2}的真子集，根據選項，只有A符合要求，故選A.
答案：A
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
混淆條件與結論容易得出錯誤答案C. 弄清此類題的條件與結論．本題條件是“選項”，結論是“ 0＜x＜2”，所以“選項”是“0＜x＜2”的真子集．
課堂十分鐘
1．命題：p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，則p是q的(　　)
A．充分條件
B．必要條件
C．充要條件
D．既不是充分條件也不是必要條件
2．已知x∈R，則“x＜2”是“＞1”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．“m是有理數”是“m是實數”的充分條件
B．“x∈A”是“x∈A”的必要條件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要條件
D．“x＞3”是“x2＞4”的充分條件
4．函數y＝x2－2x－a的圖象與x軸無交點的充要條件是________.
5．若“x＞m”是“x＞3或x＜1”的充分條件但不是必要條件，求m的取值范圍．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
p q　pq　充分條件　充分條件　必要條件　必要條件
要點二
p q　逆命題
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：x＝1時，x2－2x＋1＝0成立，故是充分的，又當x2－2x＋1＝0時，即(x－1)2＝0，x＝1故是必要的，因此是充要條件．
答案：A
3．解析：∵x>0 D /x>1但x>1 x>0.∴“x>0”是“x>1”的必要不充分條件．故選B.
答案：B
4．解析：∵△ABC是銳角三角形說明△ABC的三個內角都是銳角．∴△ABC是銳角三角形 ∠ABC為銳角，反之不一定．
答案：充分不必要
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)∵a＋b＝0 a2＋b2＝0；a2＋b2＝0 a＋b＝0，∴p是q的必要不充分條件．
(2)∵四邊形的對角線相等四邊形是矩形；四邊形是矩形 四邊形的對角線相等，∴p是q的必要不充分條件．
(3)由圖可知B?A，所以p是q的必要不充分條件．
(4)若方程x2－x－m＝0無實根，則Δ＝1＋4m<0，即m<－.∵m<－1 m<－，m<－D /m<－1，∴p是q的充分不必要條件．
跟蹤訓練1　解析：(1)設A為正方體，其棱長為2，體積為8，B為長方體，底面為邊長為1的正方形，高為8，顯然A，B在等高處的截面面積不相等，所以q是p的不必要條件；當A，B在同高處的截面積恒相等時，根據祖暅原理有A，B的體積相等，所以充分性成立，因此q是p的充分不必要條件．故選A.
(2)∵x>3.5 x>3.14，x>4 x>3.14.∴x>3.14成立的一個充分條件是x>3.5或x>4.故選AC.
答案：(1)A　(2)AC
例2　解析：(1)A中，x2>4 x<－2或x>2D /x3<－8，但x3<－8 x2>4.A正確；B中，AB2＋AC2＝BC2 △ABC為直角三角形，反之不一定，B不正確；C中，a2＋b2≠0 a，b不全為0，C正確；D中，x，y均為奇數 x＋y為偶數，反之不一定，D不正確．故選AC.
(2)①∵q是r的必要條件，∴r q.
∵s是r的充分條件，∴s r，
∴s r q，又∵q是s的充分條件，∴q s.
∴s是q的充要條件．
②由r q，q s r，知r是q的充要條件．
③∵p是r的必要條件，∴r p，
∴q r p.
∴p是q的必要條件．
答案：(1)AC　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：(1)a2＋b2>0，則a，b不同時為零；a，b中至少有一個不為零，則a2＋b2>0.故選D.
(2)如圖所示，∵甲是乙的必要條件，∴乙 甲．又∵丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，∴丙 乙，但乙丙．綜上，有丙 乙 甲，甲 丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件．故選A.
答案：(1)D　(2)A
例3　證明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0，有兩不相等的實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根．
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一負根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.綜上可知，關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一負根的充要條件是ac<0.
跟蹤訓練3　證明：設p：a＋b＋c＝0；q：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，
(1)充分性(p q)：因為a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1.
(2)必要性(q p)：
因為方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，
所以x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.
例4　解析：由|4x－1|≤1得－1≤4x－1≤1，故0≤x≤，由q是p的必要不充分條件，即p q，qp，
即?{x|a≤x≤a＋1}．
∴且“＝”不能同時成立，
解得－≤a≤0，
故實數a的取值范圍是.
變式探究　解析：∵q是p的充分不必要條件，
∴q p，pq，
∴{x|a≤x≤a＋1}?，
∴，且“＝”不能同時成立，
∴此不等式組無解．
故實數a的取值范圍是 .
跟蹤訓練4　解析：A＝
＝，
B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}，
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，
∴A?B，∴1－m2≤.
解得m≥或m≤－.
故m的取值范圍為m≤－或m≥.
[課堂十分鐘]
1．解析：由命題p：(a＋b)·(a－b)＝0，得：|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要條件．
答案：B
2．解析：當x＝－1時，“x<2”成立，但<0 ，故“<1”，故“x<2”不是“>1”的充分條件，
“>1”等價于<0 01能推出x<2，
∴“x<2”是“>1”的必要條件，
故“x<2”是“>1”的必要不充分條件，
故選B.
答案：B
3．解析：A正確，因為“m是有理數” “m是實數”，所以“m是有理數”是“m是實數”的充分條件；B不正確，因為“x∈A” “x∈A”，所以“x∈A”不是“x∈A”的必要條件；C正確，由于“x＝3” “x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要條件；D正確，由于“x＞3” “x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分條件．故選ACD.
答案：ACD
4．解析：Δ＝4＋4a＜0，∴a＜－1.
答案：a＜－1
5．解析：由已知條件，如{x|x>m}?{x|x>3或x<1}．∴m≥3.∴m的取值范圍是[3，＋∞)．
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第2課時　含量詞命題的否定
教材要點
要點　含量詞命題的否定
命題的類型 全稱命題 特稱命題
命題的符號表示 p： x∈I，p(x) p： x∈I，p(x)
命題的否定 的符號表示 p：________________ p：________________
命題的否定 的類型 特稱命題 全稱命題
狀元隨筆　特稱命題的否定，一般是在存在量詞前加“不”或者把存在量詞改為全稱量詞的同時對判斷詞進行否定，特稱命題的否定是全稱命題；全稱命題的否定，一般是在全稱量詞前加上“并非”，或把全稱量詞改為存在量詞的同時對判斷詞進行否定，全稱命題的否定是特稱命題．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)用自然語言描述的全稱命題的否定形式是唯一的．(　　)
(2)命題 p的否定是p.(　　)
(3) x∈M，p(x)與 x∈M， p(x)的真假性相反．(　　)
(4)對全稱命題或特稱命題進行否定時，量詞不需要變，只否定結論即可．(　　)
2．命題： n∈N，n2＞3n＋5，則該命題的否定為(　　)
A． n∈N，n2＞3n＋5 B． n∈N，n2≤3n＋5
C． n∈N，n2≤3n＋5 D． n∈N，n2＜3n＋5
3．已知命題p： x∈R，x2－x＋1＞0，則 p(　　)
A． x∈R，x2－x＋1≤0 B． x∈R，x2－x＋1≤0
C． x∈R，x2－x＋1＞0 D． x∈R，x2－x＋1≥0
4．命題“有些三角形的三條中線相等”的否定是________________________．
題型1　全稱命題的否定
例1　(1)命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為(　　)
A．對任意x∈R，都有x2＜0
B．不存在x∈R，使得x2＜0
C．存在x∈R，使得x2≥0
D．存在x∈R，使得x2＜0
(2)寫出下列全稱命題的否定：
①任何一個平行四邊形的對邊都平行．
② a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有實數根．
③ a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
④可以被5整除的整數，末位是0.
方法歸納
全稱命題的否定的兩個關注點
(1)寫出全稱命題的否定的關鍵是找出全稱命題的全稱量詞和結論，把全稱量詞改為存在量詞，結論變為否定的形式就得到命題的否定．
(2)有些全稱命題省略了量詞，在這種情況下，千萬不要將否定寫成“是”或“不是”．
跟蹤訓練1　(1)設x∈Z，集合A是奇數集，集合B是偶數集．若命題p： x∈A，2x∈B，則(　　)
A． p： x∈A，2x∈B　　　　B． p： x A，2x∈B
C． p： x∈A，2x B D． p： x A，2x B
(2)命題“ x＞0，＞0”的否定是(　　)
A． x＞0，≤0 B． x＞0，0≤x≤1
C． x＞0，≤0 D． x＜0，0≤x≤1
題型2　特稱命題的否定
例2　(1)命題p： x＞0，x＋＝2，則 p為(　　)
A． x＞0，x＋＝2 B． x＞0，x＋≠2
C． x≤0，x＋＝2 D． x≤0，x＋≠2
(2)寫出下列特稱命題的否定，并判斷其真假．
①p：存在x∈R，2x＋1≥0.
②q：存在x∈R，x2－x＋＜0.
③r：有些分數不是有理數．
方法歸納
特稱命題否定的方法及關注點
(1)方法：與全稱命題的否定的寫法類似，要寫出特稱命題的否定，先確定它的存在量詞，再確定結論，然后把存在量詞改寫為全稱量詞，對結論作出否定就得到特稱命題的否定．
(2)關注點：注意對不同的存在量詞的否定的寫法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一個”的否定是“所有的”或“任意一個”等．
跟蹤訓練2　(1)命題“ x∈ RQ，x3∈Q”的否定是(　　)
A． x∈ RQ，x3 Q
B． x RQ，x3∈Q
C． x RQ，x3 Q
D． x∈ RQ，x3 Q
(2)寫出下列特稱命題的否定，并判斷真假：
① x，y∈Z，3x－4y＝20.
②在實數范圍內，有些一元二次方程無解．
題型3　根據全稱命題、特稱命題的否定求參數
例3　已知命題p： x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q： x∈R，ax2＋ax＋1≤0.
(1)若 p為真命題，求實數a的取值范圍；
(2)若 q為真命題，求實數a的取值范圍．
變式探究　本例條件不變，若 p與 q同時為真命題，求實數a的取值范圍．
方法歸納
根據命題真假求參數的范圍的兩個關注點
(1)命題和它的否定的真假性只能一真一假，解決問題時可以相互轉化．
(2)求參數范圍問題，通常根據有關全稱命題和特稱命題的意義列不等式求范圍．
跟蹤訓練3　已知命題p： x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且 p是假命題，求實數a的取值范圍．
易錯辨析　對含量詞的命題否定不準確致誤
例4　命題“ x＜1，＜1”的否定是________．
解析：特稱命題的否定是全稱命題，否定時，既改量詞，又否結論，∴原命題的否定是 x＜1，0≤x≤1.
答案： x＜1，0≤x≤1
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
易出現的錯誤是：①改量詞的同時錯改范圍，即寫成 x≥1；②“＜1”的否定寫成“>1”，忽略“＜1”的否定是“0≤x≤1”． 牢記命題的否定與原命題的真假性相反，可以以此來檢驗命題的否定是否正確．
課堂十分鐘
1．命題：“ x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A． x＜0，x3＋x＜0 B． x＜0，x3＋x≥0
C． x≥0，x3＋x＜0 D． x≥0，x3＋x≥0
2．命題p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　)
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等邊三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
3．下列四個命題中，真命題是(　　)
A． x∈R，x＋≥2
B． x∈R，x2－x＞5
C． x∈R，|x＋1|＜0
D． x∈R，|x＋1|＞0
4．命題p： x∈R，x2＋3x＋2＜0，則命題p的否定為________．
5．已知命題“ x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命題，求實數a的取值范圍．
生活中的命題及邏輯推理問題
例1　除夕夜，萬家團圓之時，中國人民解放軍陸、海、空三軍醫療隊馳援武漢．“在疫情面前，我們中國人民解放軍誓死不退！不獲勝利決不收兵！”這里“獲取勝利”是“收兵”的(　　)
A．充分條件
B．必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：由題意可得，“獲取勝利”是“收兵”的必要條件．
答案：B
例2　設S是由任意n(n≥5)個人組成的集合，如果S中任意4個人當中都至少有1個人認識其余3個人(本題中的認識是相互的，即不存在甲認識乙而乙不認識甲的情況)，那么下面的判斷中正確的是(　　)
A．S中沒有人認識S中所有的人
B．S中至少有1人認識S中所有的人
C．S中至多有2人認識不全S中所有的人
D．S中至多有2人認識S中所有的人
解析：如果S中所有人都相互認識，顯然這樣的S符合題目條件，從而A，D都是錯誤的；又設a，b，c是S中的三個人，a，b，c三人間相互不認識，而除a，b，c之外其他(n－3)個人認識所有的人，顯然這樣的集合符合要求，故C是錯誤的．若集合S中任何兩個人不都互相認識，則不妨設甲、乙互相不認識．任取另外兩個人，設為丙、丁．依題意知，甲、乙、丙、丁這四個人必有一個人認識其余3個人，顯然，這個人不可能是甲，也不可能是乙，不妨設為丙，則丙認識丁(當然也認識甲和乙)．再在剩下的人中另取一個人戊，并考慮甲、乙、丙、戊，依題意知丙與戊也必相互認識，從而可知丙認識S中所有的人，故B是正確的．
答案：B
例3　運動會上，甲、乙、丙三名同學各獲得一枚獎牌，其中1人得金牌、1人得銀牌、1人得銅牌．王老師曾猜測“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得銅牌”，結果王老師只猜對了一人，那么甲、乙、丙分別獲得______、______、______牌．
解析：先設王老師猜對的是“甲得金牌”，則“乙不得金牌”是錯的，故乙也得金牌，產生矛盾．再設“乙不得金牌”是對的，則“甲得金牌”是錯的，故甲也不得金牌，只有丙得金牌，而“丙不得銅牌”是錯的，故丙得銅牌，產生矛盾．故猜對的是“丙不得銅牌”，此時甲、乙、丙分別得銅、金、銀牌．
答案：銅　金　銀
例4　住同一房間的四名女生A，B，C，D，在某天下午課外活動時間中，有一人在看書，有一人在梳頭發，有一人在聽音樂，另外一人在修剪指甲，每個人都做著不一樣的事情，有以下五個命題：
(1)A不在修剪指甲，也不在看書；
(2)B不在聽音樂，也不在修剪指甲；
(3)若C在修剪指甲，則A在聽音樂；
(4)D不在看書，也不在修剪指甲；
(5)C不在看書，也不在聽音樂．
若上面的命題都是真命題，問：她們各自在干什么？
解析：由以上五個命題都是真命題，我們可以列表如下：
A B C D
修剪指甲 不在做 不在做 不在做
看書 不在做 不在做 不在做
梳頭發
聽音樂 不在做 不在做
由表格看出，C在修剪指甲，B在看書，又由命題(3)可知A在聽音樂，最后推出D在梳頭發．
答案：見解析
例5　主人邀請張三、李四、王五三個人吃飯，時間到了，只有張三、李四準時赴約，王五打電話說：“臨時有急事，不能去了，”主人聽了，隨口說了句：“該來的沒有來．”張三聽了臉色一沉，起來一聲不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不該走的又走了．”李四聽了大怒，拂袖而去．請你用邏輯學原理解釋二人離去的原因．
解析：張三走的原因是：“該來的沒有來”的等價命題是“來了不該來的”，張三覺得自己是不該來的．李四走的原因是：“不該走的又走了”的等價命題是“沒走的應該走”，李四覺得自己是應該走的．
答案：見解析
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
x∈I， p(x)　 x∈I， p(x)
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：否定為： n∈N，n2≤3n＋5.故選B.
答案：B
3．解析： p： x∈R，x2－x＋1≤0.故選A.
答案：A
4．解析：特稱命題的否定為全稱命題，故命題的否定為：“所有三角形的三條中線都不相等．”
答案：所有三角形的三條中線都不相等
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)全稱命題的否定是特稱命題．“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為“存在x∈R，使得x2<0”．故選D.
(2)①存在一個平行四邊形，它的對邊不都平行．
② a∈R，方程x2＋ax＋2＝0沒有實數根．
③ a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
④存在被5整除的整數，末位不是0.
答案：(1)D　(2)見解析
跟蹤訓練1　解析：(1)全稱命題的否定是特稱命題，將“ ”改為“ ”，“2x∈B”否定為“2x B”，即 p： x∈A，2x B.故選C.
(2)∵>0，∴x<0或x>1，∴命題“ x>0，>0”的否定是“ x>0，0≤x≤1”．故選B.
答案：(1)C　(2)B
例2　解析：(1)特稱命題的否定是全稱命題，“ x＞0，x＋＝2”的否定為“ x＞0，x＋≠2”．故選B.
(2)①任意x∈R，2x＋1<0，為假命題．②任意x∈R，x2－x＋≥0，因為x2－x＋＝≥0，所以是真命題．③一切分數都是有理數，是真命題．
答案：(1)B　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：(1)“ x∈ RQ，x3∈Q”的否定是“ x∈ RQ，x3 Q”．故選D.
(2)①該命題的否定： x，y∈Z，3x－4y≠20，當x＝4，y＝－2時，3x－4y＝20.因此這是一個假命題．②該命題的否定：在實數范圍內，所有的一元二次方程都有解，這是一個假命題．
答案：(1)D　(2)見解析
例3　解析：(1)因為命題p： x∈R，ax2＋2x＋1≠0，所以 p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0.
因為 p為真命題，
所以a＝0，或
解得a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1，
即實數a的取值范圍為{a|a≤1}．
(2)因為命題q： x∈R，ax2＋ax＋1≤0.
所以 q： x∈R，ax2＋ax＋1>0.
因為 q為真命題，
所以a＝0，或
解得a＝0，或0即實數a的取值范圍為{a|0≤a<4}．
變式探究　解析：由本例解題過程可知{a|a≤1}≤a<4}＝{a|0≤a≤1}，即實數a的取值范圍為{a|0≤a≤1}．
跟蹤訓練3　解析： p是假命題即p是真命題．
即 x∈{x|－3≤x≤2}，x∈{x|a－4≤x≤a＋5}成立，
所以解得－3≤a≤1，
所以實數a的取值范圍為－3≤a≤1.
[課堂十分鐘]
1．解析：命題“ x≥0，x3＋x≥0”為全稱命題，該命題的否定為“ x≥0，x3＋x<0”．故選C.
答案：C
2．解析：在寫命題的否定時，一是更換量詞，二是否定結論．更換量詞：“有些”改為“所有”，否定結論：“是等腰三角形”改為“不是等腰三角形”，故否定為“所有三角形不是等腰三角形”．故選C.
答案：C
3．解析：選項A，當x<0時，x＋≥2不成立，所以A錯；選項C，絕對值恒大于等于0，故C錯；選項D，當x＝－1時，|x＋1|＝0，所以D錯．故選B.
答案：B
4．解析：命題p是特稱命題，根據特稱命題的否定是改量詞，否結論，則是 x∈R，x2＋3x＋2≥0.
答案： x∈R，x2＋3x＋2≥0
5．解析：因為命題“ x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命題，所以其否定“ x∈R，2x2＋3x＋a>0”是真命題，等價于方程2x2＋3x＋a＝0無實根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故實數a的取值范圍是a>.
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1．2.3　全稱量詞和存在量詞
最新課程標準 學科核心素養
1.通過已知的數學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義． 2．能正確使用存在量詞對全稱命題進行否定． 3．能正確使用全稱量詞對特稱命題進行否定． 1.理解全稱命題與特稱命題的概念，并能用數學符號表示．(數學抽象) 2．能判斷全稱命題與特稱命題的真假．(邏輯推理) 3．能對含有一個量詞的全稱命題或特稱命題進行否定．(邏輯推理) 4．能利用命題或它的否定求參數．(邏輯推理、數學運算)
第1課時　含有量詞的命題
教材要點
要點一　全稱量詞和全稱命題
全稱量詞 __________、__________、__________、__________
符號
全稱命題 含有____________的命題
形式 “對M中任一個元素x，有p(x)成立”，可用符號簡記為“________________”
要點二　存在量詞和特稱命題
存在量詞 __________、__________、__________、__________
符號表示
特稱命題 含有____________的命題
形式 “存在M的某個元素x，使p(x)成立”，可用符號簡記為“________________”
狀元隨筆　全稱命題與特稱命題的區別
(1)全稱命題中的全稱量詞表明給定范圍內所有對象都具有某一性質，無一例外，強調“整體、全部”．
(2)特稱命題中的存在量詞則表明給定范圍內的對象有例外，強調“個別、部分”．
基礎自測
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)全稱命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題.(　　)
(2)特稱命題是陳述某集合中存在一個或部分元素具有某種性質的命題．(　　)
(3)在全稱命題和特稱命題中，量詞都可省略．(　　)
(4)全稱命題“自然數都是正整數”是真命題．(　　)
2．下列全稱命題為真命題的是(　　)
A．所有的質數是奇數
B． x∈R，x2＋1≥1
C．對每一個無理數x，x2也是無理數
D．所有的能被5整除的整數，其末位數字都是5
3．下列命題中的假命題是(　　)
A． x∈R，|x|≥0
B． x∈N*，(x－1)2＞0
C． x∈R，x＋2 019＜1
D． x∈R，2x＞2
4．下列命題中，是全稱命題的是____________；是特稱命題的是____________．
①正方形的四條邊相等；②有兩個角相等的三角形是等腰三角形；③正數的平方根不等于0；④至少有一個正整數是偶數．
題型1　全稱命題及其真假判斷
例1　判斷下列命題哪些是全稱命題，并判斷其真假．
(1)對任意x∈R，x2＞0；
(2)有些無理數的平方也是無理數；
(3)對頂角相等；
(4)對任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0.
方法歸納
1．判斷全稱命題的關鍵有兩點：一是是否具有命題所要求的量詞或形式；二是根據命題的含義判斷指的是不是全體．
2．要判斷全稱命題“ x∈M，p(x)”為真，需要對集合M每個元素x，證明p(x)成立．
3．要判斷全稱命題“ x∈M，p(x)”為假，只需在M中找到一個x0，使p(x0)不成立，即“舉反例”．
跟蹤訓練1　用量詞符號“ ”表示下列命題，并判斷其真假．
(1)實數都能寫成小數形式；
(2)平行四邊形的對角線互相平分．
題型2　特稱命題及其真假判斷
例2　判斷下列命題哪些是特稱命題，并判斷其真假．
(1)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(2)凸多邊形的外角和等于360°；
(3)有一個實數x，使＝0；
(4)至少有一個集合A，滿足A?{1，2，3}．
方法歸納
1．命題中含有存在量詞，則該命題是特稱命題．
2．有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其具備 “有些”“有一個”等含義，這樣的命題都是特稱命題．
3．要判斷特稱命題“ x∈M，p(x)”為真，只需在M中找到一個x0，使p(x0)成立，即“找特例”．
4．要判斷特稱命題“ x∈M，p(x)”為假，需要對集合M中每個元素x，證明p(x)都不成立．
跟蹤訓練2　以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是(　　)
A．銳角三角形的內角是銳角或鈍角
B．至少有一個實數x，使x2≤0
C．兩個無理數的和必是無理數
D．存在一個負數x，使＞2
題型3　根據含有量詞的命題的真假求參數的取值范圍
例3　(1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命題“ x∈A，一次函數y＝x＋m的圖象在x軸上方”是真命題，則實數m的取值范圍是________．
(2)若命題“ x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命題，求實數a的取值范圍．
變式探究　若命題“ x∈R，使得方程“x2＋2x＋2＝m”，求實數m的取值范圍．
方法歸納
利用含量詞的命題的真假求參數的取值范圍
(1)含參數的全稱命題為真時，常與不等式恒成立有關，可根據有關代數恒等式(如x2≥0)，確定參數的取值范圍．
(2)含參數的特稱命題為真時，常轉化為方程或不等式有解問題來處理，可借助根的判別式等知識解決．
跟蹤訓練3　(1)已知命題p：“ x∈R，mx2≥0”是真命題，則實數m的取值范圍是____________．
(2)若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命題，則實數m的取值范圍是____________．
課堂十分鐘
1．(多選)下列四個命題中是全稱命題的有(　　)
A．y＝ xy＝1
B．矩形都不是梯形
C． x，y∈R，x2＋y2≤1
D．等腰三角形的底邊的高線、中線重合
2．下列四個命題中為真命題的是(　　)
A． x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立
B．x∈Q，x2＝2
C． x∈R，x2＋1＝0
D． x∈R，4x2＞2x－1＋3x2
3．命題“存在實數x，使得2x大于3x”用符號語言可表示為________.
4．“任意一個不大于0的數的立方不大于0”用“ ”或“ ”符號表示為________________．
5．命題：3mx2＋mx＋1＞0恒成立是真命題，求實數m的取值范圍．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
所有　任意　每一個　任給　全稱量詞　 x∈M，p(x)
要點二
存在某個　至少有一個　有些　有的　存在量詞　 x∈M，p(x)
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：A中，2是質數，但2不是奇數，A不正確；B中，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，B正確；C中，x＝是無理數，x2＝2是有理數，C不正確；D中，個位數是0的整數能被5整除，D不正確．故選B.
答案：B
3．解析：當x＝1時，(x－1)2＝0，所以B項為假命題．故選B.
答案：B
4．解析：①可表述為“每一個正方形的四條邊都相等”，是全稱命題；②是全稱命題，即“凡是有兩個角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述為“所有正數的平方根都不等于0”，是全稱命題；④是特稱命題．
答案：①②③　④
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)(3)(4)是全稱命題，(1)是假命題，∵x＝0時，x2＝0.(3)是真命題．(4)是真命題．
跟蹤訓練1　解析：(1) x∈R，x能寫成小數形式，因為無理數不能寫成小數形式，所以該命題是假命題．
(2) x∈{x|x是平形四邊形}，x的對角線互相平分，由平行四邊形的性質可知此命題是真命題．
例2　解析：(1)(3)(4)是特稱命題，(1)是真命題，(3)是假命題，(4)是真命題．
跟蹤訓練2　解析：A中，銳角三角形中的內角都是銳角，A為假命題；B中，是特稱命題，當x＝0時，x2＝0成立，B為真命題；C中，因為＋(－)＝0，所以C為假命題；D中，對于任何一個負數x，都有<0，所以D為假命題．故選B.
答案：B
例3　解析：(1)當1≤x≤2時，1＋m≤x＋m≤2＋m，因為一次函數y＝x＋m的圖象在x軸上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以實數m的取值范圍是{m|m>－1}．
(2)由題意得，關于x的方程ax2＋2x－1＝0有實數根，當a＝0時，方程為2x－1＝0，顯然有實數根，滿足題意；當a≠0時，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.綜上知，實數a的取值范圍是{a|a≥－1}．
答案：(1){m|m>－1}　(2)見解析
變式探究　解析：依題意，方程x2＋2x＋2－m＝0有實數解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1.
跟蹤訓練3　解析：(1)當x∈R時，x2≥0，若“ x∈R，mx2≥0”是真命題，則有m≥0.
(2)當m≤5時，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命題．
答案：(1)m≥0　(2)m≤5
[課堂十分鐘]
1．解析：ABD是全稱命題，C是特稱命題．
答案：ABD
2．解析： A中x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，故A為真命題；B中因為x＝±時，x2＝2，而±為無理數，故B為假命題；C中因為x2＋1>0(x∈R)恒成立，故C為假命題；D中原不等式可化為x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，當x＝1時(x－1)2＝0，故D為假命題．
答案：A
3．解析：命題“存在實數x，使得2x大于3x”用符號語言可表示為： x∈R，2x>3x.
答案： x∈R，2x>3x
4．解析：命題“任意一個不大于0的數的立方不大于0”，表示只要小于等于0的數，它的立方就小于等于0，用“ ”符號可以表示為 x≤0，x3≤0.
答案： x≤0，x3≤0
5．解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命題，需對m進行分類討論．
當m＝0時，1>0恒成立，所以m＝0滿足題意；
當m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0綜上所述，實數m的取值范圍是0≤m<12.
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1．2　常用邏輯用語
1．2.1　命題
最新課程標準 1.了解命題的概念，會判斷給定命題的真假． 2．理解命題的一般結構． 學科核心素養 1.通過具體實例了解命題的概念．(數學抽象) 2．能判斷命題的真假．(邏輯推理)
教材要點
要點一　命題
1．命題的概念：可以____________________的語句叫作命題．
2．命題的分類
(1)真命題：________的命題叫作真命題．
(2)假命題：________的命題叫作假命題．
(3)猜想：________________的命題可以叫作猜想．
狀元隨筆　(1)命題是一個陳述句，疑問句或祈使句等均不是命題，如“你今天快樂嗎？”“請坐下！”等都不是命題，它們分別是疑問句和祈使句；(2)命題不一定是正確的，但可以作出正確與否的判斷，常說的定理、公理等都是正確的，所以是真命題．可以作出判斷，只是暫時作不出的陳述句也是命題，如著名的哥德巴赫猜想就是一個命題．
要點二　命題的條件和結論
如果將命題寫成“若p，則q”的形式，就將p叫作命題的條件，q叫作命題的結論．
命題“若p，則q”為真，則記作p q，讀作“p推出q”；命題“若p，則q”為假，則記作pq，讀作“p推不出q”．
狀元隨筆　(1)命題的否定就是否定命題的結論，它仍然是一個命題；(2)如果將命題的條件和結論交換一個位置，所得到的命題稱為原來命題的逆命題．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)并非任何語句都是命題，只有能判斷真假的陳述句才是命題.(　　)
(2)一個命題不是真命題就是假命題．(　　)
(3)有的命題只有結論沒有條件．
2．(多選)下列語句中是命題的是(　　)
A．空集是任何集合的真子集
B．請起立！
C．單位向量的模為1
D．你是高二的學生嗎？
3．下列命題是真命題的是(　　)
A．所有素數都是奇數
B．若a>b，則a－6>b－6成立
C．對任意的x∈N，都有x3>x2成立
D．方程x2＋x＋1＝0有實根
4．命題“若a>1，則a>0”的逆命題是________________．
題型1　命題及其真假的判斷
例1　判斷下列語句是否為命題？若是，請判斷其真假，并說明理由．
(1)求證是無理數；
(2)若x∈R，則x2＋4x＋4≥0；
(3)你是高一的學生嗎？
(4)并非所有的人都喜歡吃蘋果；
(5)若xy是有理數，則x，y都是有理數；
(6)60x＋9>4.
方法歸納
判斷一個語句是否是命題，關鍵是看它是否符合兩個條件：“是陳述句”“可以判斷真假”，祈使句、疑問句、感嘆句等都不是命題．判斷命題的真假，往往要綜合運用日常生活和生產實踐中的知識經驗或數學的知識方法．
跟蹤訓練1　判斷下列命題的真假，并說明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)當x＝4時，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，則(x－3)(x－7)＝0；
(4)一個等比數列的公比大于1時，該數列一定為遞增數列．
題型2　命題結構的分析與轉化
例2　把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假．
(1)實數的平方是非負數；
(2)等底等高的兩個三角形是全等三角形；
(3)當ac>bc時，a>b；
(4)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
方法歸納
(1)將命題改寫為“若p，則q”形式的方法及原則
(2)命題改寫中的注意點
若命題不是以“若p，則q”這種形式給出時，首先要確定這個命題的條件p和結論q，進而再寫成“若p，則q”的形式．
跟蹤訓練2　把下列命題改寫成“若p，則q”的形式：
(1)各位數字之和能被9整除的整數，可以被9整除；
(2)能被6整除的數既能被3整除也能被2整除；
(3)鈍角的余弦值是負數．
題型3　寫出一個命題的否定和逆命題
例3　寫出下列命題的否定和逆命題，并判斷它們的真假．
(1)正數的平方根都不等于0；
(2)當x＝－2時，x2－x－6＝0；
(3)實數的平方是非負數；
(4)若x，y都是奇數，則x＋y是偶數．
方法歸納
(1)如果一個命題不是“若p，則q”的形式，則改寫成這個形式后更有利于對它進行分析；(2)將一個命題的條件和結論交換位置，就變為這個命題的逆命題；將一個命題的條件不變而否定結論，就變為這個命題的否定．
跟蹤訓練3　寫出下列命題的否定和逆命題，并判斷它們的真假．
(1)若a＝b，則a2＝b2；
(2)若|2x＋1|≥1，則x2＋x>0.
課堂十分鐘
1．下列語句為命題的是(　　)
A．對角線相等的四邊形 B．同位角相等
C．x≥2 D．x2－2x－3<0
2．下列命題中的真命題是(　　)
A．互余的兩個角不相等
B．相等的兩個角是同位角
C．若a2＝b2，則|a|＝|b|
D．三角形的一個外角等于和它不相鄰的一個內角
3．給出命題“方程x2＋ax＋1＝0沒有實數根”，則使該命題為真命題的a的一個值可以是(　　)
A．4 B．2
C．0 D．－3
4．命題“若x2<1，則－15．將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假．
(1)6是12和18的公約數；
(2)當a>－1時，方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實根；
(3)平行四邊形的對角線互相平分；
(4)已知x，y為非零自然數，當y－x＝2時，y＝4，x＝2.
參考答案與解析
要點一
1．判斷成立或不成立
2．(1)成立　(2)不成立　(3)暫時不知道真假
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×
2．解析：AC是命題．
答案：AC
3．答案：B
4．答案：若a>0，則a>1
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)是祈使句，不是命題．
(2)因為x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，所以可以判斷其真假，是命題，而且是真命題．
(3)是疑問句，不是命題．
(4)是命題，而且是真命題，有的人喜歡吃蘋果，有的人不喜歡吃蘋果．
(5)是命題，而且是假命題，如×(－)＝－7是有理數，但和－都是無理數．
(6)不是命題．這種含有未知數的語句，無法確定未知數的取值能否使不等式成立．
跟蹤訓練1　解析：(1)是真命題．由正方形的定義知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命題．x＝4時，不滿足2x＋1<0.
(3)是真命題．x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命題．因為當首項a1<0，公比q>1時，該數列為遞減數列．
例2　解析：(1)若一個數是實數，則它的平方是非負數．真命題．
(2)若兩個三角形等底等高，則這兩個三角形是全等三角形，假命題．
(3)若ac>bc，則a>b.假命題．
(4)若一個點是一個角的平分線上的點，則該點到這個角的兩邊的距離相等．真命題．
跟蹤訓練2　解析：(1)若一個整數的各位上數字之和能被9整除，則這個整數可以被9整除．
(2)若一個數能被6整除，則這個數既能被3整除也能被2整除．
(3)若一個角是鈍角，則這個角的余弦值是負數．
例3　解析：(1)命題p：“若a為正數，則a的平方根不等于0”，
p：“若a為正數，則a的平方根不存在或等于0”，是真命題；
逆命題：“若a的平方根不等于0，則a為正數”，是真命題．
(2)命題p：“若x＝－2，則x2－x－6＝0”，
p：“若x＝－2，則x2－x－6≠0”，是假命題；
逆命題：“若x2－x－6＝0，則x＝－2”，是假命題．
(3)命題p：“若x∈R，則x2≥0”，
p：“若x∈R，則x2<0”，是假命題；
逆命題：“若x2≥0，則x∈R”，是真命題．
(4) p：“若x，y都是奇數，則x＋y不是偶數”，是假命題．
逆命題：“若x＋y是偶數，則x，y都是奇數”，是假命題．
跟蹤訓練3　解析：(1) p：“若a＝b，則a2≠b2”，是假命題．
逆命題：若a2＝b2，則a＝b，該命題是假命題．
(2) p：“若|2x＋1|≥1，則x2＋x≤0”，是假命題．
逆命題：若x2＋x>0，則|2x＋1|≥1，該命題是真命題．
[課堂十分鐘]
1．解析：A、C、D不能判斷真假，所以不是命題，故選B.
答案：B
2．解析：由平面幾何知識可知A、B、D三項都是錯誤的．
答案：C
3．解析：方程無實根時，應滿足Δ＝a2－4<0.故a＝0時適合條件．
答案：C
4．答案：若－15．解析：(1)若一個數是6，則它是12和18的公約數，是真命題．
(2)若a>－1，則方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實根，是假命題．
(3)若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分，是真命題．
(4)已知x，y為非零自然數，若y－x＝2，則y＝4，x＝2，是假命題．
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