資源簡介

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湘教版高中數學必修第一冊-2.1.1.1等式與不等式(1)-學案講義
教材要點
要點一　不等式中的文字語言與符號語言之間的轉換
文字 語言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于
符號 語言 ＞ ≥ ＜ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤
狀元隨筆　不等式a≥b或a≤b的含義
(1)不等式a≥b含義是指“a＞b, 或者a＝b”，等價于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一個正確，則a≥b正確．
(2)不等式a≤b含義是指“a＜b，或者a＝b”，等價于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一個正確，則a≤b正確．
要點二　比較兩個實數a，b大小的依據
1．文字敘述
如果a－b是________，那么a＞b；
如果a－b________，那么a＝b；
如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．
2．符號表示
a－b＞0 a________b；
a－b＝0 a________b；
a－b＜0 a________b.
狀元隨筆　比較兩實數a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關系，與差的具體數值無關．因此，比較兩實數a，b的大小，其關鍵在于經過適當變形，能夠確認差a－b的符號，變形的常用方法有配方、分解因式、通分等．
基礎自測
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)兩個實數a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三種關系中的一種．(　　)
(2)若＞1，則a＞b.(　　)
(3)a與b的差是非負實數，可表示為a－b＞0.(　　)
(4)因為 a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.(　　)
2．某路段豎立的的警示牌，是指示司機通過該路段時，車速v km/h應滿足的關系式為(　　)
A．v＜60 B．v＞60
C．v≤60 D．v≥36
3．設M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關系是(　　)
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．與x有關
4．已知x＜1，則x2＋2與3x的大小關系是________．
題型1　用不等式(組)表示不等關系
例1　(1)某車工計劃在15天里加工零件408個，最初三天中，每天加工24個，則以后平均每天至少需加工多少個，才能在規定的時間內超額完成任務？求解此問題需要構建的不等關系為________．
(2)某鋼鐵廠要把長度為4 000 mm的鋼管截成500 mm和600 mm的兩種鋼管．按照生產的要求，600 mm的鋼管數量不能超過500 mm鋼管的3倍．怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式組呢？
方法歸納
用不等式(組)表示不等關系的步驟
(1)審清題意，明確表示不等關系的關鍵詞語：至多、至少、大于等．
(2)適當的設未知數表示變量．
(3)用不等號表示關鍵詞語，并連接變量得不等式．
此類問題的難點是如何正確地找出題中的隱性不等關系，如由變量的實際意義限制的范圍．
跟蹤訓練1　(1) 中國“神舟七號”宇宙飛船的飛行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示為____________．
(2)已知甲、乙兩種食物的維生素A，B含量如下表：
食物 甲 乙
維生素A/(單位/kg) 600 700
維生素B/(單位/kg) 800 400
設用甲、乙兩種食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物內至少含有56 000單位維生素A和63 000單位維生素B.
試用不等式表示x，y所滿足的不等關系．
題型2　實數(式)的比較大小
例2　已知a＞0，試比較a與的大小．
方法歸納
用作差法比較兩個實數大小的四步曲
跟蹤訓練2　(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，則p與q的大小關系為(　　)
A．p＞q B．p≥q
C．p＜q D．p≤q
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比較與的大小．
題型3　不等關系的轉化及應用
例3　2021年5月1日某單位職工去瞻仰毛澤東紀念館需包車前往．甲車隊說：“如果領隊買全票一張，其余人可享受7.5折優惠”，乙車隊說：“你們屬團體票，按原價的8折優惠．”這兩車隊的原價、車型都是一樣的，試根據單位的人數，比較兩車隊的收費哪家更優惠．
方法歸納
現實生活中的許多問題能夠用不等式解決，其解題思路是將解決的問題轉化成不等關系，利用作差法比較大小，進而解決實際問題．
跟蹤訓練3　甲、乙兩家飯館的老板一同去超市購買兩次大米，這兩次大米的價格不同，兩家飯館老板購買的方式也不同，其中甲每次購進100千克大米，而乙每次用去100元錢．問：誰的購買方式更合算？
課堂十分鐘
1．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．某人月收入x不高于2 000元可表示為“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小華的身高y cm，則小明比小華矮表示為“x＞y”
C．某變量x至少為a可表示為“x≥a”
D．某變量y不超過a可表示為“y≤a”
2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，則m與n的大小關系是(　　)
A．m＜n B．m＞n
C．m≥n D．m≤n
3．某學校為高一3班男生分配宿舍，如果每個宿舍安排3人，就會有6名男生沒有宿舍住，如果每個宿舍安排5人，有一間宿舍不到5名男生，那么該學校高一3班的男生宿舍可能的房間數量是(　　)
A．3或4 B．4或5
C．3或5 D．4或6
4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，則x與y的大小關系是____________．
5．糖水在日常生活中經常見到，可以說大部分人都喝過糖水．下列關于糖水濃度的問題，能提煉出一個怎樣的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加點糖，糖水變甜了；
(2)把原來的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡．
參考答案與解析
要點二
1．正數　等于0　負數
2．>　＝　<
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．答案：C
3．解析：因為M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，所以M>N.故選A.
答案：A
4．解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)，
又x＜1，∴x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2＞3x.
答案：x2＋2＞3x
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)設該車工3天后平均每天需加工x個零件，加工(15－3)天共加工12x個零件，15天里共加工(3×24＋12x)個零件，則3×24＋12x＞408.故不等關系表示為72＋12x＞408.
(2)設截得500 mm的鋼管x根，截得600 mm的鋼管y根．根據題意，應有如下的不等關系：①截得兩種鋼管的總長度不超過4 000 mm.②截得600 mm鋼管的數量不能超過500 mm鋼管數量的3倍．③截得兩種鋼管的數量都不能為負．要同時滿足上述的三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示：
答案：(1)72＋12x＞408　(2)見解析
跟蹤訓練1　解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示為：7.9≤v＜11.2.
(2)x kg甲種食物含有維生素A 600x單位，含有維生素B 800x單位，y kg乙種食物含有維生素A 700y單位，含有維生素B 400y單位，則x kg甲種食物與y kg乙種食物配成的混合食物總共含有維生素A(600x＋700y)單位，含有維生素B(800x＋400y)單位，則有即
答案：(1)7.9≤v＜11.2　(2)見解析
例2　解析：因為a－＝
＝，a＞0
所以當a＞1時，＞0，有a＞；
當a＝1時，＝0，有a＝；
當0＜a＜1時，＜0，有a＜.
綜上，當a＞1時，a＞；
當a＝1時，a＝；
當0＜a＜1時，a＜.
跟蹤訓練2　解析：(1)由題意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，則p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p(2)作差：＝＝.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m>0，∴＜0，∴＜.
答案：(1)C　(2)見解析
例3　解析：設該單位職工有n人(n∈N*)，全票價為x元，坐甲車隊的車需花y1元，坐乙車隊的車需花y2元．
由題意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
因為y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx＝x，
當n＝5時，y1＝y2；
當n＞5時，y1＜y2；
當n＜5時，y1＞y2，
所以，當單位去的人數為5人時，兩車隊收費相同；多于5人時，選甲車隊更優惠；少于5人時，選乙車隊更優惠．
跟蹤訓練3　解析：設兩次大米的價格分別為a元/千克，b元/千克(a＞0，b＞0，a≠b，)
則甲兩次購買大米的平均價格(元/千克)是：＝.
乙兩次購買大米的平均價格(元/千克)是：＝＝，
因為＝＝＞0，所以＞.
所以乙飯館的老板購買大米的方式更合算．
[課堂十分鐘]
1．解析：對于A，x應滿足x≤2 000，故A錯；對于B，x，y應滿足x答案：CD
2．解析：∵n－m＝x2≥0，∴n≥m.故選D.
答案：D
3．解析：設宿舍房間數量為x，男生人數為y，則，解得x＝4，5.所以宿舍可能的房間數量為4或5.故選B.
答案：B
4．解析：因為x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x答案：x5．解析：(1)設糖水b克，含糖a克，易知糖水濃度為，加入m克糖后的糖水濃度為，則提煉出的不等式為：若b＞a＞0，m＞0，則＜.
(2)設淡糖水b1，含糖a1克，濃糖水b2克，含糖a2克，
易知淡糖水濃度為，濃糖水濃度為，
則混合后的糖水濃度為，
則提煉出的不等式為：若b1＞a1＞0，b2＞a2＞0，且＜，則＜＜.
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湘教版高中數學必修第一冊-2.1.1.1等式與不等式(2)-學案講義
教材要點
要點　不等式的性質
性質1(對稱性)　a＞b ________．
性質2(傳遞性)　a＞b，b＞c ________．
性質3(加法法則)　a＞b ________
推論1　如果a＋b＞c，那么a＞c－b
推論2　如果a＞b，c＞d，那么________．
性質4(乘法法則)　 ________； ________．
推論3　 ________．
推論4(乘方法則)　a＞b＞0 ________(n∈N＋)
性質5(開方法則)　a＞b＞0 ________(n∈N＋)
性質6　 ________； ________．
狀元隨筆　(1)注意不等式的單向性和雙向性．性質1和3是雙向的，其余的在一般情況下是不可逆的．
(2)在應用不等式時，一定要搞清它們成立的前提條件．不可強化或弱化成立的條件．要克服“想當然”“顯然成立”的思維定勢．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)a，b，c為實數，在等式中，若a＝b，則ac＝bc；在不等式中，若a＞b，則ac＞bc.(　　)
(2)a＞b ac2＞bc2.(　　)
(3)同向不等式相加與相乘的條件是一致的．(　　)
(4)設a，b∈R，且a＞b，則a3＞b3.(　　)
2．已知x＜a＜0，則一定成立的不等式是(　　)
A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax
3．(多選)若a＞b＞0，d＜c＜0，則下列不等式成立的是(　　)
A．ac＞bc B．a－d＞b－c
C．＜ D．a3＞b3
4．用不等號填空．
(1)如果a＞b ＞0，那么________；
(2)如果a＞b＞c＞0，那么________.
題型1　利用不等式的性質判斷命題的真假
例1　(1)已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是(　　)
A．若a＞b，則ac2＞bc2
B．若＞，則a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，則＞
D．若a2＞b2且ab＞0，則＜
(2)(多選)設a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式成立的是(　　)
A．ac2＞bc2 B．＜
C．a－c＞b－c D．＞
方法歸納
(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當然隨意捏造性質．
(2)解決有關不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．
跟蹤訓練1　(1)已知實數0＜a＜1，則下列正確的是(　　)
A．＞a＞a2 B．a＞a2＞
C．a2＞＞a D．＞a2＞a
(2)(多選)已知實數a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，則下列不等式一定成立的是(　　)
A．ab＞ac B．c＞0
C．ac＜0 D．cb2＜ab2
題型2　證明不等式
例2　若bc－ad≥0，bd＞0，求證：.
方法歸納
1．不等式證明的實質是比較兩個實數(代數式)的大小．
2．證明不等式可以利用不等式性質證明，也可以用作差比較法證明，利用不等式性質證明時，不可省略條件或跳步推導．
跟蹤訓練2　(1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求證：f－ac＜e－bc.
(2)若a＜b＜0，求證：＜.
題型3　利用不等式的性質求范圍
例3　已知－2＜a≤3，1≤b＜2，試求下列代數式的取值范圍：
(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
方法歸納
利用不等式性質求范圍的一般思路
(1)借助性質，轉化為同向不等式相加進行解答；
(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；
(3)結合不等式的傳遞性進行求解．
跟蹤訓練3　已知實數x，y滿足：1＜x＜2＜y＜3，
(1)求xy的取值范圍；
(2)求x－2y的取值范圍．
易錯辨析　多次使用同向不等式相加致誤
例4　已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范圍．
解析：2a－4b＝3(a－b)－(a＋b)，
因為－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，所以－5＜－(a＋b)＜1，
－12＜3(a－b)＜6，
所以－17＜2a－4b＜7.
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
錯解：－1＜a＋b＜5① －4＜a－b＜2② －2＜b－a＜4③ ①＋②再除以2得－＜a＜ ①＋③再除以2得－＜b＜ 所以－23＜2a－4b＜13 錯誤在于“－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2”與“－＜a＜，－＜b＜”并不等價． 同向(異向)不等式的兩邊可以相加(減)，但這種轉化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，就有可能擴大其取值范圍，所以我們選用不等式的性質求代數式的取值范圍時務必小心謹慎，必要時改換求解的思路和方法．
課堂十分鐘
1．與a＞b等價的不等式是(　　)
A．|a|＞|b| B．a2＞b2
C．＞1 D．a3＞b3
2．下列結論正確的是(　　)
A．若a＞b，c＞b，則a＞c B．若a＞b，則a2＞b2
C．若a＞b，c＞d，則ac＞bd D．若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d
3．(多選)如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是(　　)
A．＞ B．＜
C．ac2＞bc2 D．a－c＞b－c
4．設x＞1，－1＜y＜0，試將x，y，－y按從小到大的順序排列如下：________．
5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3.求a＋3b的取值范圍．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
bc　a＋c>b＋c　a＋c>b＋d　ac>bc　acbd　an>bn　><>
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因為xa2；不等號兩邊同時乘x，則x2>ax，故x2>ax>a2.故選B.
答案：B
3．解析：因為a>b>0，c<0，所以acb>0，－d>－c>0，所以a－d>b－c，B正確；因為d，C錯誤；因為a>b>0，所以a3>b3，D正確．故選BD.
答案：BD
4．解析：(1)∵a＞b＞0，
∴a2＞b2＞0，
∴＜.
(2)∵a＞b＞0，
∴0＜＜，
又c＞0，
∴＜.
答案：(1)＜　(2)＜
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)A中，若a>b，則ac2>bc2(錯)，若c＝0，則A不成立；B中，若>，則a>b(錯)，若c<0，則B不成立；C中，若a3>b3，且ab<0，則>(對)，若a3>b3且ab<0，則；D中，若a2>b2，且ab>0，則<(錯)，若則D不成立．故選C.
(2)對A，當c＝0時，ac2>bc2不成立，A錯誤；對B，當a＝－1，b＝－2時，<不成立，B錯誤；對C，因為a>b，兩邊同時減去c有a－c>b－c成立，故C正確；對D，由于>0，又a>b，故>，故D正確．
答案：(1)C　(2)CD
跟蹤訓練1　解析：(1)∵0(2)因為實數a，b，c滿足c所以a>0，c<0，
由b>c，a>0，得ab>ac，故A正確；
由b0，故B正確；
由a>c，ac<0，得ac<0，故C正確；
由a>c，b2≥0，得cb2≤ab2，當b＝0時，等號成立，故D錯誤；
故選ABC.
答案：(1)A　(2)ABC
例2　證明：(法一)∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，
∴bc＋bd≥ad＋bd，
即b(c＋d)≥d(a＋b)．
又bd＞0，兩邊同除以bd，得.
(法二)∵＝＝≤0，
∴.
跟蹤訓練2　證明：(1)因為a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.
又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.
(2)由于＝＝，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
例3　解析：(1)0≤|a|≤3；
(2)－1(3)依題意得－2(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3②
由①②得，－10<2a－3b≤3.
跟蹤訓練3　解析：(1)∵1(2)由(1)知1[課堂十分鐘]
1．解析：可利用賦值法．令a＝1，b＝－2，
滿足a>b，但|a|<|b|，a2所以A，B，C都不正確．故選D.
答案：D
2．解析：若a＝1，b＝0，c＝2，則a>b，c>b成立，而此時a－2，12<(－2)2，B錯誤；4>1，－1>－2，4×(－1)<1×(－2)，C錯誤；由不等式同向可加性知D正確．故選D.
答案：D
3．解析：由不等式的性質，AD顯然正確，又a>b>0 a2>b2>0 <，B正確，當c＝0時，ac2＝0＝bc2，C錯誤．故選ABD.
答案：ABD
4．解析：∵－1又x>1，∴y<－y答案：y<－y5．解析：設a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，則解得λ1＝，λ2＝－.
又－(a＋b)≤，
－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.
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湘教版高中數學必修第一冊-2.1.3基本不等式的應用-學案講義
最新課程標準 結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題． 學科核心素養 會用基本不等式解決實際問題．(邏輯推理、數學運算)
教材要點
要點　基本不等式與最值
已知x，y都為正數，則
(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y時，和x＋y有________；
(2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y時，積xy有________．
狀元隨筆　利用基本不等式求最值要牢記三個關鍵詞：一正、二定、三相等．
(1)一正：各項必須為正．
(2)二定：各項之和或各項之積為定值．
(3)三相等：必須驗證取等號時條件是否具備．
題型1　利用基本不等式求最值
例1　(1)已知正數x，y滿足x＋y＝4，求的最小值．
(2)已知＝1(x>0，y>0)，求x＋y的最小值．
方法歸納
應用基本不等式解此類題的關鍵是“1”的整體代入的變形技巧．
跟蹤訓練1　(1)若a>0，b>0，a＋3b＝1，則的最小值為(　　)
A．2 B．2
C．4 D．3
(2)若正數x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是________.
題型2　利用基本不等式解決恒成立問題
例2　已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，則m的最大值等于(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
方法歸納
恒成立問題常采用分離參數的方法求解，若a≤y恒成立，則a≤ymin；若a≥y恒成立，則a≥ymax.將問題轉化為求y的最值問題，可能會用到基本不等式．
跟蹤訓練2　已知兩個正數x，y滿足x＋y＝4，則使不等式≥m恒成立的實數m的范圍是________．
題型2　利用基本不等式解決實際問題
例3　某廠家舉行大型的促銷活動，經測算某產品當促銷費用為x萬元時，銷售量P萬件滿足P＝3－(其中0≤x≤2)．現假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品P萬件還需投入成本(10＋2P)萬元(不含促銷費用)，產品的銷售價格定為(4＋)萬元/萬件．
(1)將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；
(2)當促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大利潤．
方法歸納
利用基本不等式解決實際問題的步驟
解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉化為數學問題，再利用數學知識(函數及不等式性質等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：
(1)理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數．
(2)建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題．
(3)在定義域內，求出函數的最大值或最小值．
(4)正確寫出答案．
跟蹤訓練3　2016年11月3日20點43分我國長征運載火箭在海南文昌發射中心成功發射，它被公認為我國已從航天大國向航天強國邁進的重要標志．長征五號運載火箭的設計生產采用了很多新材料，甲工廠承擔了某種材料的生產，并以x千克/時的速度勻速生產(為保證質量要求1≤x≤10)，每小時可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小時生產1千克該產品時，消耗A材料10千克．
(1)設生產m千克該產品，消耗A材料y千克，試把y表示為x的函數．
(2)要使生產1 000千克該產品消耗的A材料最少，工廠應選取何種生產速度？并求消耗的A材料最少為多少？
(消耗的A材料＝生產時間×每小時消耗的A材料．)
易錯辨析　多次使用基本不等式求最值時忽略等號同時成立的條件
例4　已知實數m>0，n>0，且滿足2m＋n＝2，則的最小值是________．
解析：∵m>0，n>0，2m＋n＝2，∴m＋＝1.∴＝·＝5＋≥5＋2＝9.當且僅當＝，即m＝，n＝時取等號．
答案：9
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
錯解：∵m>0，n>0， ∴2＝2m＋n≥2， ∴mn≤，∴≥2， ∴≥2≥2＝8 故的最小值為8. 上述求解過程中使用了兩次基本不等式，但這兩次取等號的條件不能同時成立，所以等號取不到． 連續應用基本不等式求最值時，要注意各不等式取等號時條件是否一致，若不能同時取等號，則連續用基本不等式是求不出最值的，此時要對原式進行適當的拆分或合并，直到取到等號的條件成立．
課堂十分鐘
1．若正實數a，b滿足a＋b＝1，則的最小值為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．2 C．5 D．4
2．當x＞1時，不等式x＋≥a恒成立，則實數a的取值范圍是(　　)
A．{a|a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|a≥3} D．{a|a≤3}
3．某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800元．若每批生產x件，則平均倉儲時間為天，且每件產品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品(　　)
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
4．已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.
5．某呼吸機生產企業計劃投資固定成本500萬元引進先進設備，用于生產救治新冠患者的無創呼吸機，需要投入成本f(x)(單位：萬元)與年產量x(單位：百臺)的函數關系式為f(x)＝，據以往出口市場價格，每臺呼吸機的售價為3萬元，且依據國外疫情情況，預測該年度生產的無創呼吸機能全部售完．
(1)求年利潤g(x)(單位：萬元)關于年產量x的函數解析式(利潤＝銷售額－投入成本－固定成本)；
(2)當年產量為多少時，年利潤最大？并求出最大年利潤．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
　最小值2　最大值
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)＝·＝，當且僅當＝，即x＝4－4，y＝8－4時取等號．
(2)x＋y＝(x＋y)·＝3＋≥3＋2，當且僅當＝，即x＝1＋，y＝2＋時取等號．
跟蹤訓練1　解析：(1)∵a>0，b>0，a＋3b＝1，∴＝·(a＋3b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.當且僅當a＝3b時等號成立，所以的最小值為4.
(2)∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋2＝5，
當且僅當＝，即x＝2，y＝1時取等號．
答案：(1)C　(2)5
例2　解析：∵a＞0，b＞0
∴等價于(2a＋b)≥m
又＝5＋≥5＋2＝9，
當且僅當＝，即a＝b時取等號．
∴m≤9.故選B.
答案：B
跟蹤訓練2　解析：∵x>0，y>0，x＋y＝4，∴＝·(x＋y)＝＝(5＋4)＝.當＝即x＝，y＝時取等號，∴的最小值是.∴m≤.
答案：m≤
例3　解析：(1)當促銷費用為x萬元時，
付出的成本是：x＋10＋2
銷售收入是：，
故y＝×(4＋)－
整理可得y＝16－，0≤x≤2.
(2)根據(1)中所求，
y＝16－≤16－(2－1)＝16－3＝13，當且僅當x＝1時取得最大值．
故當促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大，最大利潤為13萬元．
跟蹤訓練3　解析：(1)由題意，得k＋9＝10，即k＝1.
生產m千克該產品需要的時間是.
所以y＝(x2＋9)＝m，1≤x≤10.
(2)由(1)知，生產1 000千克該產品消耗的A材料為：
y＝1 000≥1 000×2＝6 000
(當且僅當x＝，即x＝3時等號成立)
故工廠應選取3千克/時的生產速度，消耗的A材料最少，最少為6 000千克．
[課堂十分鐘]
1．解析：因為正實數a，b滿足a＋b＝1，
所以＝＝＋3≥2＋3＝5，
當且僅當b＝3a＝時，取等號，
所以的最小值為5.故選C.
答案：C
2．解析：∵當x>1時，不等式x＋≥a恒成立，即a≤x＋對一切實數x>1均成立，由于x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當且僅當x＝2時取等號，故x＋的最小值等于3，∴a≤3.故選D.
答案：D
3．解析：設每件產品的平均費用為y元，由題意得y＝≥2＝20.
當且僅當＝(x>0)，即x＝80時“＝”成立．故選B.
答案：B
4．解析：y＝4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，當且僅當4x＝，即x＝時等號成立，此時y取得最小值4.又由已知x＝3時，y的最小值為4，所以＝3，即a＝36.
答案：36
5．解析：(1)當0當x≥20時，g(x)＝300x－＋1 700－500＝1 200－.
所以g(x)＝
(2)當0故當x＝15時，g(x)取得最大值g(15)＝－5×(15－15)2＋625＝625；
當x≥20時，∵x＋≥2＝160，
當且僅當“x＝”，即“x＝80”時等號成立，
∴g(x)＝1 200－≤1 200－160＝1 040，
即當x＝80時，g(x)取得最大值g(80)＝1 040，
綜上所述：當年產量為8000臺時，年利潤最大，且最大年利潤為1040萬元．
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湘教版高中數學必修第一冊-2.1.2基本不等式-學案講義
最新課程標準 學科核心素養
掌握基本不等式(a＞0，b＞0)． 1.理解基本不等式的幾何意義及其推導過程．(直觀想象、邏輯推理) 2．會用基本不等式解決最值問題．(邏輯推理、數學運算)
教材要點
要點　基本不等式
定理：對任意a，b∈R，必有a2＋b2≥____________，當且僅當a＝b時，等號成立．
推論：對任意a，b≥0，必有____________，當且僅當a＝b時，等號成立．
其中稱為正數a，b的________，稱為正數a，b的____________．
狀元隨筆　不等式與不等式a2＋b2≥2ab的異同
a2＋b2≥2ab
適用 范圍 a，b∈R a＞0，b＞0
文字 敘述 兩數的平方和不小于它們積的2倍 兩個正數的算術平均值大于等于它們的幾何平均值
“ ＝”成 立的條件 a＝b a＝b
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)當a，b同號時，≥2.(　　)
(2)函數y＝x＋的最小值為2.(　　)
(3)6和8的幾何平均數為2.(　　)
(4)不等式a2＋b2≥2ab與有相同的適用范圍．(　　)
2．已知a，b∈R，且ab＞0，則下列結論恒成立的是(　　)
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2
C．＞ D．≥2
3．若a＞1，則a＋的最小值是(　　)
A．2 B．a
C． D．3
4．已知x，y都是正數．
(1)如果xy＝15，則x＋y的最小值是________．
(2)如果x＋y＝15，則xy的最大值是________．
題型1　利用基本不等式比較大小
例1　若a≥b＞0，試比較a, ，b的大小．
方法歸納
一般地，若給出的數(式)涉及兩個正數的和、積或兩個實數的平方和，則可考慮利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式(a＞0，b＞0)來比較它們的大小，但此時應特別注意能否取到等號．
跟蹤訓練1　(1)若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，則a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的一個是(　　)
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
(2)已知a＞b＞c，則與的大小關系是________________.
題型2　利用基本不等式證明不等式
例2　已知a，b，c＞0，求證：≥a＋b＋c.
方法歸納
(1)在利用a＋b≥2時，一定要注意是否滿足條件a＞0，b＞0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2或(a＞0，b＞0)時要注意對所給代數式通過添項配湊，構造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解題時還要注意不等式性質和函數性質的應用．
跟蹤訓練2　已知實數x，y均為正數，求證：(x＋y)()≥25.
題型3　利用基本不等式求最值
例3　(1)對于代數式＋4x.
①當x>0時，求其最小值；
②當x<0時，求其最大值．
(2)設0(3)已知x>2，求x＋的最小值．
方法歸納
應用基本不等式解題的關鍵在于“拼”、“湊”、“拆”、“合”等變形，構造出符合基本不等式的條件結構．
跟蹤訓練3　(1)若0A． B．
C．1 D．4
(2)已知x＜，則2x＋的最大值是________．
(3)已知x>1，求y＝的最小值．
課堂十分鐘
1．關于命題p： a，b∈R，ab≤，下列說法正確的是(　　)
A． p： a，b∈R，ab≥
B．不能判斷p的真假
C．p是假命題
D．p是真命題
2．下列命題中正確的是(　　)
A．當a，b∈R時，≥2＝2
B．當a＞0，b＞0時，(a＋b)≥4
C．當a＞4時，a＋≥2＝6
D．當a＞0，b＞0時，
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等號成立的條件是(　　)
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
4．已知t>0，則y＝的最小值為________．
5．設a>0，b>0，證明：≥a＋b.
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
2ab　　算術平均數　幾何平均數
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：對于A，當a＝b時，a2＋b2＝2ab，所以A錯誤；對于B，C，雖然ab>0，只能說明a，b同號，當a，b都小于0時，B，C錯誤；對于D，因為ab>0，所以＞0，＞0，所以≥2(當且僅當a＝b時取等號)，即≥2成立．故選D.
答案：D
3．解析：a>1，所以a－1>0，
所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.
當且僅當a－1＝即a＝2時取等號．故選D.
答案：D
4．解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；當且僅當x＝y＝時取最小值．
(2)xy≤＝＝，
即xy的最大值是.
當且僅當x＝y＝時xy取最大值．
答案：(1)2　(2)
題型探究·課堂解透
例1　解析：∵a≥b>0，∴ ≤ ＝a，∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
∴.
又a>0，b>0，則 ≥ ＝.
由a>0，b>0，得，
∵≥ ，∴，
∵－b＝≥0，∴≥b，
∴a≥ ≥b.
跟蹤訓練1　解析：(1)方法一　∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故選D.
方法二　取a＝，b＝，則a2＋b2＝，
2＝，2ab＝，a＋b＝，
顯然最大，故選D.
(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝，當且僅當a－b＝b－c，即2b＝a＋c時等號成立．
答案：(1)D　(2)
例2　證明：∵a，b，c，均大于0，
∴＋b≥ 2＝2a，
當且僅當＝b時等號成立．
＋c≥2＝2b，
當且僅當＝c時等號成立．
＋a≥2＝2c，
當且僅當＝a時等號成立．
相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴≥a＋b＋c.
跟蹤訓練2　證明：(x＋y)＝4＋9＋＝13＋，
又因為x>0，y>0，所以>0，>0，
由基本不等式得，≥2＝12，當且僅當＝時，取等號，
即2y＝3x時取等號，所以(x＋y)≥25.
例3　解析：(1)①∵x>0，∴>0，4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
當且僅當＝4x，即x＝時取最小值8，
∴當x>0時，原式的最小值為8.
②∵x<0，∴－x>0.
則－＝＋(－4x)≥2＝8，當且僅當＝－4x時，即x＝－時取等號．
∴＋4x≤－8.
∴當x<0時，原式的最大值為－8.
解析：(2)∵00，∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝.
當且僅當2x＝3－2x，即x＝時取等號．
∴y的最大值為.
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝6.
當且僅當x－2＝，
即x＝4時，x＋取最小值6.
跟蹤訓練3　解析：(1)∵00，
∴y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤·＝，
當且僅當2x＝1－2x，即x＝時取等號．(也可用二次函數配方法求解．)
(2)∵x<，∴1－2x>0，
∵2x＋＝2x－1＋＋1＝－＋1，
∴1－2x＋≥2＝2(當且僅當x＝0時，等號成立)．
∴2x＋≤－2＋1＝－1.
(3)∵x>1，令t＝x－1(t>0)，則x＝t＋1，
所以y＝＝＝＝4t＋≥2＝4.
當且僅當4t＝，即t＝，x＝時取等號．
所以y＝的最小值為4.
答案：(1)B　(2)－1　(3)見解析
[課堂十分鐘]
1．解析：∵命題p： a，b∈R，ab≤，
∴ p： a，b∈R，ab＞，故A錯誤；
當a，b一正一負時，ab＜0，≥0，ab≤；
當a，b中至少一個為0時，ab＝0，≥0，ab≤；
當a，b均為負數時，a＋b＝－(－a－b)≤－2，
整理得ab≥，當且僅當a＝b時取等號；
當a，b均為正數時，a＋b≥2，整理得ab≤，當且僅當a＝b時，取等號．
∴命題p： a，b∈R，ab≤是假命題，故B，D均錯誤，C正確．故選C.
答案：C
2．解析：A項中，可能<0，所以不正確；B項中，因為a＋b≥2>0，≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，當且僅當a＝b時等號成立，所以正確；C項中，a＋≥2＝6中的等號不成立，所以不正確；D項中，由基本不等式知，(a>0，b>0)，所以D不正確．故選B.
答案：B
3．解析：由基本不等式知等號成立的條件為＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
答案：C
4．解析：依題意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，當且僅當t＝1時等號成立，即函數y＝(t>0)的最小值是－2.
答案：－2
5．證明：∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a，∴≥a＋b.
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