資源簡介

新題型研究之應用性問題（課標版－原創）
【考點知曉】情景應用性問題是中考重要考點之一，是具有實際意義或實用背景的數學問題.由于它來自于生活，生產實踐，因此它反映時代氣息，關注著社會熱點，涉及現實生活各個方面.解決應用性問題的關鍵是正確理解題意，排除一切非數學因素的干擾，努力讀懂題目中的圖形、表格及數量之間的關系，然后捕捉每一個有效的信息，將生活中的語言轉換成數學語言，實際問題轉化為數學問題，并構造出相應數學模型，從而求得問題的正確答案.
【考題漫步】
例1 小杰到學校食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊的人一樣多（設為a人，a > 8），就站到A窗口隊伍的后面. 過了2分鐘，他發現A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人.
（1）此時，若小杰繼續在A窗口排隊，則他到達窗口所花的時間是多少（用含a的代數式表示）？
（2）此時，若小杰迅速從A窗口隊伍轉移到B窗口隊伍后面重新排隊，且到達B窗口所花的時間比繼續在A窗口排隊到達A窗口所花的時間少，求a的取值范圍（不考慮其他因素）.
思路分析：由于小杰從2分鐘后到達A窗口所花的時間并不包括小杰
買好飯的時間，2分鐘后，小杰前面只有a－4×2=(a－8)人，
而1分鐘就有4人離開，因此（a－8）人要分鐘才會離開，
小杰才能到達A窗口；若在2分鐘后小杰從A窗口隊伍中到達
B窗口的隊伍中去，B隊伍同樣有人離開，且2分鐘期間有12人
離開，有5×2=10人加入B隊伍，于是當小杰到達B隊之前，
已有人，每分鐘有6人離開，故當小杰到達B窗口時，所花時間為分鐘，若到達B窗口所花時間比到達A窗口所花時間少，則有.
解：（1）他繼續在A窗口排隊所花的時間為
（分）
（2）由題意，得
.解得 a > 20.
所以，a的取值范圍為 a > 20.
重要提醒：此題的情境學生并不陌生，且立意新穎難度不大，考生在日常生活中經常會遇到賣東西排隊的時候，為了節約時間也往往會挑一條速度較快的隊伍去排，如果題中的字母a是一個具體的數字，則這個問題就相當容易了，而此題主要就是為了考查考生用字母表示數的問題，能夠用含字母的代數式表達所要表達的式子.
觸類旁通：有一個只許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人．一天，王老師到達道口時，發現由于擁擠，每分鐘只能3人通過道口，此時，自己前面還有36個人等待通過（假定先到的先過，王老師過道口的時間忽略不計），通過道口后，還需7分鐘到達學校．
　　（1）此時，若繞道而行，要15分鐘到達學校，從節省時考慮，王老師應選擇繞道去學校，還是選擇通過擁擠的道口去學校？
　　（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過道口），結果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過道口，問維持秩序的時間是多少？
解：（1）∵　＋7＝19＞15，
∴　王老師應選擇繞道而行去學校．
（2）設維持秩序時間為t
則－（t＋）＝6，
解之得t＝3（分）．
　　答：維持好秩序的時間是3分鐘．
例2 馬戲團讓獅子和公雞表演蹺蹺板節目．蹺蹺板支柱AB的高度為1.2米．
（1）若吊環高度為2米，支點A為蹺蹺板PQ的中點，獅子能否將公雞送到吊環上？為什么？
（2）若吊環高度為3.6米，在不改變其他條件的前提下移動支柱，當支點A移到蹺蹺板PQ的什么位置時，獅子剛好能將公雞送到吊環上？
思路分析：（1）由三角形的中位線性質可知，獅子能將公雞送到吊環上；
（2）由相似三角形性質，通過對應邊成比例，問題得解.
解：（1）獅子能將公雞送到吊環上．
如圖1，當獅子將蹺蹺板P端按到底時可得到Rt△PHQ，
∵AB為△PHQ的中位線，AB＝1.2（米）
∴QH＝2.4＞2（米）．
（2）支點A移到蹺蹺板PQ的三分之一處（PA＝PQ），
獅子剛好能將公雞送到吊環上
如圖2，△PAB∽△PQH，
∴QH＝3AH＝3.6（米）
重要提醒：構造三角形，利用三角形的性質解決應用形問題，是中考的命題熱點之一.
觸類旁通：如圖，某一時刻太陽光從教室窗戶射入室內，
與地面的夾角∠BPC為30°，窗戶的一部分在教室地面
所形成的影長PE為3.5米，窗戶的高度AF為2.5米.
求窗外遮陽蓬外端一點D到窗戶上椽的距離AD.
(結果精確到0.1米)
思路分析：從第二個飯碗開始，每增加一個飯碗，增加的高度不變，是很典型的一次函數關系.
重要提醒：代定系數法是常用的數學思想方法，常用來求函數表達式.
觸類旁通：商店里把塑料凳整齊地疊放在一起，據圖3的信息，當有10張塑料凳整齊地疊放在一起時的高度是 50 ．
例4 近年來，由于受國際石油市場的影響，汽油價格不斷上漲．請你根據下面的信息，幫小明計算今年5月份汽油的價格．
思路分析：從對話內容中找出量與量之間的相等關系（即：同樣的錢加的油量不同），是列方程解應用題的關鍵.
解：設今年5月份汽油價格為x元／升，則去年5月份的汽油價格為（x-1.8）元／升．根據題
意，得
整理，得 x2 - l.8x - 14.4 = 0
解這個方程，得x1=4.8，x2=-3分
經檢驗兩根都為原方程的根，但x2＝-3 不符合實際意義，故舍去．分
答：今年5月份的汽油價格為4.8元／升．
重要提醒：列分式方程解應用題應注意兩點，一是要驗根；二是要看結果是否符合題意.
例5 在暑期社會實踐活動中，小明所在小組的同學與一 家玩具生產廠家聯系，給該廠組裝玩具，該廠同意他們組裝240套玩具.這些玩具分為A、B、C三種型號，它們的數量比例以及每人每小時組裝各種型號玩具的數量如圖所示：
若每人組裝同一種型號玩具的速度都相同，根據以上信息，完成下列填空：
（1）從上述統計圖可知，A 型玩具有 套，B型玩具有 套，C型玩具有 套.
（2）若每人組裝A型玩具16套與組裝C型玩具12套所畫的時間相同，那么的值為 ，每人每小時能組裝C型玩具 套.
思路分析：由扇形統計圖可知，B型玩具占20％， C型玩具占25％，再由條形統計圖中C型玩具每人每小時組裝（2a－2）套，可求出a的值.
解：(1) 132,48,60,(2) 4,6,
重要提醒：正確理解條形統計圖和扇形統計圖的特點是解題關鍵.
觸類旁通：如圖是連續十周測試甲、乙兩名運動員體能訓練情況的折線統計圖.教練組規定：體能測試成績70分以上（包括70分）為合格.
⑴請根據圖11中所提供的信息填寫右表：
⑵請從下面兩個不同的角度對運動員體能測試結果進行判斷：
①依據平均數與成績合格的次數比較甲和乙， 的體能測試成績較好；
②依據平均數與中位數比較甲和乙， 的體能測試成績較好.
⑶依據折線統計圖和成績合格的次數，分析哪位運動員體能訓練的效果較好.
平均數
中位數
體能測試成
績合格次數
甲
65
乙
60
解：⑴
平均數
中位數
體能測試成績合格次數
甲
60
65
2
乙
60
57.5
4
⑵①乙；②甲
⑶從折線圖上看，兩名運動員體能測試成績都呈上升趨勢，但是，乙的增長速度比甲快，并且后一階段乙的成績合格次數比甲多，所以乙訓練的效果較好.
【輕松演練】
1.右圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小
等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是 3oa .
2.某品牌電飯鍋成本價為70元，銷售商對其銷售量與定價的關系
進行了調查，結果如下：
定價(元)
100
110
120
130
140
150
銷量(個)
80
100
110
100
80
60
為獲最大利潤，銷售商應該將該品牌電飯鍋定價為 130 元.
3.一個籃球需要m元，買一人排球需要n元，則買3個籃球和5個排球共需要_______元．
3m＋5n
4.如圖為了測量某建筑物AB的高度，在平地上C處測得建筑物頂端A的仰角為30°，沿CB方向前進12m到達D處，在D處測得建筑物頂端A的仰角為45°，則建筑物AB的高度等于
A．6（＋1）m B． 6 (—1) m
C． 12 (＋1) m D．12（－1）m
5.如圖是測量一物體體積的過程：
步驟一，將的水裝進一個容量為的杯子中．
步驟二，將三個相同的玻璃球放入水中，結果水沒有滿．
步驟三，同樣的玻璃球再加一個放入水中，結果水滿溢出．
根據以上過程，推測一顆玻璃球的體積在下列哪一范圍內？
Ａ．以上，以下 Ｂ．以上，以下
Ｃ．以上，以下 Ｄ．以上，以下
6.如圖，小明站在C處看甲乙兩樓樓頂上的點A和點E.C，E，A三點在同一條直線上，點B，E分別在點E，A的正下方且D，B，C三點在
同一條直線上.B，C相距20米，D，C相距40米，
乙樓高BE為15米，甲樓高AD為（ ）米
(小明身高忽略不計).
A、40 B、20 C、15 D、30
7.如示意圖，小華家（點A處）和公路（）之間豎立著一塊
　　35m長且平行于公路的巨型廣告牌（DE）．廣告牌擋住了
　　小華的視線，請在圖中畫出視點A的盲區，并將盲區
　　內的那段公路計為BC．一輛以60km/h勻速行駛的汽車
　　經過公路段的時間是3s，已知廣告牌和公路的距離
　　是40m，求小華家到公路的距離（精確到1m）．
133m
8.如圖，“五一”期間在某商貿大廈上從點A到點B懸掛了
一條宣傳條幅，小明和小雯的家正好住在商貿大廈對面的家屬樓上．
小明在四樓D點測得條幅端點A的仰角為30ｏ，測得條幅端點B的俯角為45o；小雯在三樓C點測得條幅端點A的仰角為45o，測得條幅端點B的俯角為30ｏ．若設樓層高度CD為3米，請你根據小明和小雯測得的數據求出條幅AB的長．（結果精確到個位，參考數據=1．732）
解：過D作DM⊥AE于M，過C作CN⊥AE于N，
則：MN=CD=3米，設AM=x，則AN=x+3，
由題意：∠ADM =30ｏ，∠ACN =45ｏ，
在Rt△ADM中，DM=AM·cot30ｏ=x，
在Rt△ANC中，CN=AN=x+3，
又DM=CN=MB，
∴x=x+3，解之得，x=（+1），·
∴AB=AM+MB=x+x+3=2×（+1）+3=3+6≈11（米）
9.小明與小華在玩一個擲飛鏢游戲，如圖甲是一個把兩個同心圓平均分成8份的靶，當飛鏢擲中陰影部分時，小明勝，否則小華勝（沒有擲中靶或擲到邊界線時重擲）．
（1）不考慮其他因素，你認為這個游戲公平嗎？說明理由．
（2）請你在圖乙中，設計一個不同于圖甲的方案，使游戲雙方公平．
解：（1）這個游戲公平．
根據圖甲的對稱性，陰影部分的面積等于圓面積的一半，
∴這個游戲公平．
（2）把圖乙中的同心圓平均分成偶數等分，再把其中的一半作為陰影部分即可．
綜合題研究之代數與圖形綜合問題（一）（課標版－原創）
【考點知曉】
考查內容：代數與圖形綜合問題重點考查運用函數知識、方程的知識及幾何知識.解決綜合題的能力，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式，同時還要注意自變量的取值范圍，它要求考生具有較強的分析問題的能力，會解答代數與幾何的綜合問題，具有拉大考生分數差距的作用.
考點評說：考查方式多為最后的壓軸題，其難度較大，運算量較大，復習時要注意此類題型的訓練.
【考題漫步】
例1（06，長春）P為正比例函數y=x圖象上的一個動點，⊙P的半徑為3，設點P的坐標為（x，y），
（1）求⊙P與直線x=2相切時點P的坐標，
（2）請直接寫出⊙P與直線x=2相交，相離時x的取值范圍.
思路分析：先求出⊙O的圓心P到直線x=2的距離，再根據直線和圓的位置關系中的圓心到直線的距離與半徑的數量關系進行求解.
解：（1）過P作直線x=2的垂線，垂足為A，
當點P在直線x=2右側時，AP=x-2=3，得x=5，∴P（5，）
當點P在直線x=2左側時，PA=2-x=3，得x=-1，∴P（-1，-）
∴當⊙P與直線 =2相切時，點P的坐標為（5，）或（-1，-）
（2）當-1當x<-1或x>5時, ⊙P與直線x=2相離
重要提醒:此題是一個動點問題,將一次函數與直線和圓的位置關系結合考查,學生容易忽略的是考慮點P在直線x=2的左右兩邊的兩種情況
觸類旁通: (2005年·甘肅省)反比例函數y=-與一次函數y=-x+2的圖象交于A、B兩點，（1）求A、B兩點的坐標；（2）求△AOB的面積.
解： （1）解方程組得， ∴A、B兩點的坐標分別為（-2，4）（4，-2）
（2）∵直線y=-x+2與y軸交點D的坐標是（0，2）.∴S△AOD=×2×2=2，
S△BOD=×2×4=4， ∴S△AOB=2+4=6
例2（05南京）在一塊長方形鏡面玻璃的四周鑲上與它的周長相等的邊框，制成一面鏡子，鏡子的長與寬的比是2：1，已知鏡面玻璃的價格是每平方米120元，邊框的價格是每米30元，另外制作這面鏡子還需加工費45元，設制作這面鏡子的總費用是y元，鏡子的寬是x米.
（1）求y與x之間的關系式；
（2）如果制作這面鏡子共花了195元，求這面鏡子的長和寬.
思路分析：仔細閱讀題目，了解總費用包括鏡面玻璃的價格，邊框的價格以及加工費，然后用代數式準確表達出來，
解：（1）y與x之間的關系式是：y=120×2x×x+30×2（2x+x）+45，
即y=240x2+180x+45
（2）當y=195時，195=240x2+180x+45 解這個方程得：x1=，x2=-，
x2=-不合題意，舍去，當x=時，2x=1.
答：這面鏡子的長為1m，寬為m
重要提醒：這道題難度不大，關鍵是同學們要明白長方形的面積公式，周長公式，熟練地運用代數式表達數量關系.
觸類旁通（05黃岡）張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分則剛好能圍成一個容積為15米3的無蓋長方體運輸箱，且此長方體運輸箱底面的長比寬多2米，現已知購買了這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少錢？
解：設這種運輸箱底部寬為x米，則長為（x+2）米，依題意
得： x（x+2）×1=15 ， 化簡得：x2+2x-15=0
∴x1=-5（舍去）x2=3
∴這種運輸箱底部長為5米，寬為3米，由長方體展開圖知：要購買矩形鐵皮面積為（5+2）×（3+2）=35（m2）
∴做一個這樣的水箱要花35×20=700元錢.
例3（06安徽）汪老師要裝修自己帶閣樓的新居（右圖為新居剖面圖），在建造客廳到閣樓的樓梯 AC 時，為避免上樓時墻角F碰頭，設計墻角 F 到樓梯的豎直距離 FG為 1 . 75m ．他量得客廳高 AB = 2 . 8m，樓梯洞口寬AF=2m., 閣樓陽臺寬 EF = 3m ．請你幫助汪老師解決下列問題：（1）要使墻角F到樓梯的豎直距離FG為1.75m,樓梯底端C到墻角D的距離CD是多少米？
（2）在（1）的條件下，為保證上樓時的舒適感，樓梯的每個臺階小于 20cm，每個臺階寬要大于20cm, 問汪老師應該將樓梯建幾個臺階？為什么？
思路分析：本題為綜合性實際應用題，此類題目要認真分析所給條件，發現△ABC∽△GFA從而求出CD的值.第（2）問可由題意列不等式解決問題.
解： （1）根據題意得：AF∥BC
∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90°
∴△ABC∽△GFA
∴=是 ∴BC=3.2(m),CD=(2+3)-3.2=1.8(m)
(2)設樓梯應建n個臺階,則解得:14∴樓梯應建15個臺階
重要提醒:本題為綜合運用相似、不等式等知識的實際問題,中考中關于實際經濟生活的應用題為一大熱點,題目文字多,數據多,數量關系多,因此理解題意,列出不等式方程是關鍵,往往需要在給出的問題中設計不同的方案,進而比較擇優,尋求最佳方案.
觸類旁通(2005·濟南)如圖，在一個長40m，寬30m的長方形小操場上，王剛從A點出發，沿著A的路線以3m/s的速度跑向C地，當他出發4s后，張華有東西需要交給他，就從A地出發沿王剛走的路線追趕，當張華跑到距B地2m的D處時，他和王剛在陽光下的影子也恰好落在對角線AC上.
（1）求他們的影子重疊時，兩人相距多少米（DE的長）？
（2）求張華追趕王剛的速度是多少（精確到0.1m/s）
解: (1)由陽光與影子的性質可知DE∥AC,
∴∠BDE=∠BAC,∠BED=∠BCA
∴△BDE∽△BAC, ∴
∵AC=
BD=2(m)= (m), AB=40m
∴DE=
(2)BE==2,王剛到達E點所用的時間為
張華到達D點所用時間為14-4=10(s),張華追趕王剛的速度為(40-)÷10≈3.7(m/s)
例4(2006·旅順) 已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF＝2，
BF＝1．試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積．
思路分析：要求矩形PNDM的面積，應設DN=x，NP=y，
則矩形PNDM的面積S=xy再結合已知找出y與x的關系，代入后便可求解.
解：設矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，則矩形PNDM的面積S=xy（2≤x≤4），
易知CN=4-x，EM=4-y，且有
即：∴y=-x+5
S=xy=-x2+5x（2≤x≤4）此二次函數的圖象開口向下，對稱軸為x=5
∴當x≤5時，函數值是隨x的增大而增大.
對2≤x≤4來說，當x=4時，S有最大值，S最大=-×42+5×4=12
重要提醒：此題綜合考查比例線段，二次函數等知識，解決此題的關鍵在于在AB上找一點P，轉變為求PM、PN的長.
觸類旁通（05·連云港）如圖，將一塊直角三角形紙板的直角頂點放在處，兩直角邊分別與軸平行，
紙板的另兩個頂點恰好是直線與雙曲線的交點．
（1）求和的值；
（2）設雙曲線在之間的部分為，讓一把三角尺的直角頂點在上
滑動，兩直角邊始終與坐標軸平行，且與線段交于兩點，請探究是否存在點使得，寫出你的探究過程和結論．
解：（1）∵在雙曲線上，∥軸，∥軸，
∴A，B的坐標分別，．
又點A，B在直線上，∴
解得或
當且時，點A，B的坐標都是，不合題意，應舍去；當
且時，點A，B的坐標分別為,,符合題意．
∴且
（2）假設存在點使得．
∵ ∥軸，∥軸，∴∥，
∴，∴Rt∽Rt,∴,
設點P坐標為（1∴.又，
∴，即　　　
∵方程無實數根，所以不存在點使得．
輕松演練：1如圖，直線y=2x+2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，將△AOB繞點O順時針旋轉90°得到△A1OB1（1）在圖中畫出△A1OB1（2）求經過A、A1、B1三點的拋物線的解析式.
解：（1）圖略
(2)設該拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c
由題意知：A、A1、B1三點的坐標分別
是（-1，0）、（0，1）、（2，0）
∴ 解這個方程組得
∴拋物線的解析式是y=-
2.如圖，邊長為1的正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，將正方形OABC繞點O順時針旋轉30°，使點A落在拋物線y=ax2（a＜0 ＝的圖象上，（1）求拋物線y=ax2的函數關系式.（2）正方形OABC繼續接順時針旋轉多少度時，點A再次落在拋物線y=ax2的圖象上？并求這個點的坐標.
解：設旋轉后點A落在拋物線上點A1處，OA1=1，過A1作A1M⊥x軸于M，則OM=，A1M=，A1（，）
由A1在y=ax2上，則-=a（）2，解得a=- ∴y=-x2
（2）由拋物線關于y軸對稱，再次旋轉后點A落在拋物線點A2處，點A2與點A1關于y軸對稱，因此，再次旋轉120°，點A2的坐標為（-，-）
3.(05淄博市)如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD邊上一點（點E與點A，D不重合），BE的垂直平分線交AB于點M，交DC于點N，
（1）設AE=x，四邊形ADMN的面積為S，寫出S關于x的函數關系式，
（2）當AE為何值時，四邊形ADMN的面積最大？最大值是多少？
解：（1）連結ME，設MN交BE于P，
根據題意得：MB=ME，MN⊥BE，
過點N作NF⊥AB于點F，在Rt△MBP和Rt△MNF中，
∠MBP+∠BMP=90°，∠FNM+∠BMN=90°
∵∠MBP=∠MNF，又AB=FN， ∴R△EBA≌R△MNF
∴MF=AE=x
在R△AME中，由勾股定理得：
ME2=AE2+AM2 ， ∴MB2= x2+AM2
即（2-AM）2= x2+AM2，解得：AM=1-
∴四邊形ADNM的面積S=-，即所求關系式為S=-
（2）S==-=-
4.（2006年·蘭州）在⊙O的內接△ABC中，AB＋AC=12，AD⊥BC，垂足為D，且AD=3，設⊙O的半徑為y，AB的長為x.
(1)求y關于x的函數關系式；
(2)當AB的長等于多少時，⊙O的面積最大，并求出⊙O的最大面積.
解：（1）作直徑AE，連結CE，如圖所示，則∠ACE=90°，
∵AD⊥BC，∴∠ACE=∠ADB=90°
又∠B=∠E
∴△ABD∽△AEC
∴ 即 整理得y=-
(2)由（1）知y=-，則當x=6時，取得最大值，最大值為6
5. (06年·南昌)如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，點B的坐標為（3，0），OA=2，∠AOB=60°
(I) 求點A的坐標：
(2)若直線AB交x軸于點C，求△AOC的面積.
解：(1)過點A作AD⊥x軸，垂足為D
則OD=OA cos60°=2×=1，
AD=OA sin60°=2×=，
∴點A的坐標為(1，)
（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，
則有
∴直線AB的解析式為y
令x=0,得，∴
綜合題研究之圖形綜合問題（課標版－原創）
【考點知曉】
考查內容：本節的內容涉及到三角形、四邊形等圖形的性質與有關證明，還涉及了圖形的旋轉與平移、圓的有關性質與計算等，解決這些問題常需要用到的數學思想有轉化思想、由特殊到一般等，更多時候需要構造全等三角形對所涉及的角、線段進行推理論證.
考點評說：圖形的全等、旋轉、平移為新課標中的必考內容，對圓的證明不作太高要求，與圓有關的綜合問題涉及也較淺顯，但其中基礎部分在中考中仍占一定的份量.
【考題漫步】
例1. △ABC在平面直角坐標系中的位置如圖1所示.
（1）作出△ABC關于軸對稱的△A1B1C1，并
寫出△A1B1C1各頂點的坐標；
（2）將△ABC向右平移6個單位，作出平移后
的△A2B2C2，并寫出△A2B2C2各頂點的坐標；
（3）觀察△A1B1C1和△A2B2C2，它們是否關于某
直線對稱？若是，請在圖上畫出這條對稱軸.
思路分析： 根據軸對稱圖形的性質：對稱點的連線被
對稱軸垂直平分，作出圖形的對稱圖；根據平移前后的圖形中對應線段互相平行，可作出已知圖形平移后的圖形.
解：（1）A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1)
（2）A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1)
（3）△A1B1C1與△A2B2C2關于直線軸對稱.
重要提醒：
平移圖形時只要將各特殊點按指定方向平移，
再將平移后所得的對應點連接起來就得到平移后
的圖形。
觸類旁通：
如圖2是規格為8×8的正方形網格，請在所給網格中按下列要求操作：
（1）請在網格中建立平面直角坐標系，使A點坐標為（－2，4），B點坐標為（－4，2）；
（2）在第二象限內的格點上畫一點C，使點C與線段AB組成一個以AB為底的等腰三角形，且腰長是無理數，則C點坐標是_______ ，△ABC的周長是_______（結果保留根號）；
（3）畫出△ABC以點C為旋轉中心、旋轉180°后的△A′B′C，連結AB′和A′B，試說出四邊形ABA′B′是何特殊四邊形，并說明理由。
解：（１）圖略
　　（２）圖略；（－１，１）　
　　（３）∵△Ａ′Ｂ′Ｃ是由△ABC以點Ｃ為旋轉中心，
旋轉180°得到的，∴A、C、A′三點共線，B、C、B′三
點共線，且∠A′AB=∠AA′B′，AB=A′B′，
∴AB∥A′B′，即ABA′B′，∴四邊形ABA′B′是
平行四邊形，又∵△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，A′C=B′C，∴AA′=BB′，
∴四邊形ABA′B′是矩形。
例2. 如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；
（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。
思路分析：在有兩角相等的前提下，構造全等三角形只需截取一對對應相等的邊即可，利用這種思路可在圖2中截取AG=AE，得全等三角形，圖3中雖然二個角發生變化，但∠B的大小未變，故結論不會改變。
解：圖略；
（1）FE與FD之間的數量關系為FE=FD.
（2）（1）中的結論仍然成立.
證明：在AC上截取AG=AE，連結FG，如圖.∵∠1=∠2,AF為公共邊，可證△AEF≌△AGF.
∴∠AFE=∠AFG,FE=FG.由∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，可得∠2+∠3=60°，∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，∴∠CFG=60°，由∠3=∠4及FC為公共邊，可得△CFG≌△CFD，∴FG=FD，∴FE=FD.
重要提醒：此題也可由“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”來作出輔助線進行證明.
觸類旁通：如圖，是等邊三角形內的一點，連結，以為邊作，且，連結．
（1）觀察并猜想與之間的大小關系，并證明你的結論．
（2）若，連結，試判斷的形狀，并說明理由．
解：（1）猜想：
　　　　證明：在與中，
　　　　，，
　　　　
　　　　
　　　　
　（2）由　　可設，，
　　　　連結，在中，由于，且
　　　　為正三角形　　　
　　　　于是在中，
　　　　是直角三角形
例3．如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，∠DEF＝90°，DE＝EF＝4。
(1)移動△DEF，使邊DE與AB重合(如圖①)，再將△DEF沿AB所在直線向左平移，使點F落在AC上(如圖②)，求BE的長；
(2)將圖②中的△DEF繞點A順時針旋轉，使點F落在BC上，連結AF(如圖③)。請找出圖中的全等三角形，并說明它們全等的理由(不再添加輔助線，不再標注其它字母)。
思路分析：（1）由圖形的平移可知EF∥BC，則存在相似三角形，由相似三角形對應邊成比例可先求出AE；（2）找全等三角形必須要先從形狀相同的三角形著手，再看其對應邊是否相等.
解：（1）∵EF∥BC，∴∠FEA=∠B=90°，∠CAB=∠FAE，∴△AEF∽△ABC，，∵AB=4，BC=6，DE=EF=4，∴，AE=，∴BE=AB－AE=4－=.
（2）Rt△AEF≌Rt△FBA.
在Rt△AEF和Rt△FBA中，EF=BA，AF=FA，∠B=∠E=90°，∴Rt△AEF≌Rt△FBA.
重要提醒：求線段的長通常可由相似三角形對應線段成比例或利用全等三角形對應邊相等來解決.
觸類旁通：如圖，△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝BC＝1，將△ABC繞點C逆時針旋轉角α.
(0o＜α＜90o＝得到△A1B1C，連結BB1.設CB1交AB于D，AlB1分別交AB、AC于E、F.
(1)在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請你找出一對全等的三角形，并加以證明(△ABC與△A1B1C1全等除外)；
(2)當△BB1D是等腰三角形時，求α；
(3)當α＝60o時，求BD的長．
解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或
AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等.
以證明△CBD≌△CA1F為例：
證明：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°，
∴∠A1CF=∠BCD，∵A1C=BC，∴∠A1=∠CBD=45°，∴△CBD≌△CA1F
（2）在△CBB1中，∵CB=CB1，∴∠CBB1=∠CB1B=（180°－），又△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°
若B1B=B1D，則∠B1DB=∠B1BD，∵∠B1BD=45°+，∠B1BD=∠CBB1－45°=
（180°－）－45°=45°－，∴45°+=45°－，∵=0°（舍去）
②∵∠BB1C=∠B1BC＞∠B1BD，∴BD＞B1D，即BD≠B1D.
若BB1=BD，則∠BDB1=∠BB1D，即45°+=（180°－），=30°
由①②③可知，當△BB1D為等腰三角形時，=30°
（3）作DG⊥BC于G，設CG=，
在Rt△CDG中，∠DCG==60°，∴DG=tan60°=，∵AC=BC=1，∴+=1
=，∴DB=
例4．如圖，⊙O的直徑，D是 線段BC的中點，
（1）試判斷點D與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）過點D作，垂足為點E，求證直線DE是⊙O的切線。
思路分析：連接OD，過點O作于點F，則△OBD為等腰三角形，
利用解直角三角形的方法可求出BF及DF的長，再用勾股定理求出OD長.
在（2）中只要能證明到OD⊥DE則說明DE是⊙O的切線.
解：（1）點D在⊙O上，
連接OD，過點O作于點F.
在Rt△BOF中，，
∴.
∵，∴.
在Rt△ODF中，∵，
∴點D在⊙O上
（2）∵D是BC的中點，O是AB的中點，
∴OD∥AC
又∵，∴，
又∵OD是⊙O的半徑， ∴DE是⊙O的切線.
重要提醒：此題也可連結AD，利用“直徑所對的圓周角為直角”來構造二角三角形，利用勾股定理解決此問題.
輕松演練：
1．如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形， △ABC與△A′ B′ C′是關于點0為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
(1)畫出位似中心點0；
(2)求出△ABC與△A′B′C′的位似比；
(3)以點0為位似中心，再畫一個△A1B1C1，使它與△ABC的位似比等于1．5．
解：（1）如圖；
（2）1∶2
（3）如圖.
2.如圖，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連接AF、BD.
　　(1)觀察圖形，猜想AF與BD之間有怎樣的關系，并證明你的猜想；
(2)若將正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉，使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，題(1)中猜想的結論是否仍然成立？若成立，直接寫出結論，不必證明；若不成立，請說明理由.
解：(1)猜想：AF=BD且AF⊥BD.
　　　 證明：設AF與DC交點為G.
　　　 ∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
　　　 ∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
　　 　∴∠BCD=∠ACF.
　　 　∴△ACF≌△BCD.
　　　 ∴AF=BD.
　　　 ∴∠AFC=∠BDC.
　　　 ∵∠AFC+∠FGC=90°, ∠FGC=DGA，
　　 　∴∠BDC+∠DGA=90°.
　　 　∴AF⊥BD.
　　 　∴AF=BD且AF⊥BD.
　　 　(2)結論：AF=BD且AF⊥BD.
　　 　圖形不惟一，只要符合要求即可.
　　 　如：　①CD邊在△ABC的內部時；　②CF邊在△ABC的內部時.
　　　 3．已知：將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖①擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點。將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉角α﹝0°＜α＜90°﹞，在旋轉過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H.
（1）當α＝30°時(如圖②)，求證：AG=DH；
（2）當α＝60°時(如圖③)，(1)中的結論是否成立？
請寫出你的結論，并說明理由；
（3）當0°＜α＜90°時，(1)中的結論是否成立？請寫出你的結論，并根據圖④說明理由.
解：（1）∵∠A=∠ADM=30°，
∴AM=MD.
∵∠BDC=90°－∠ADM=60°=∠B,
∴CB=CD，∵MG⊥AD，NH⊥BD，
∴AG=，DH=，
∵AD=BD，∴AG=DH
（2）結論成立.
∵∠ADM=60°，∴∠BDN=30°
在△AMD和△DNB中，∵∠ADM=∠B，AD=DB，∠A=∠BDN
∴△AMD≌△DNB ∴AM=DN ∵MG⊥AD，∴NH⊥BD，
∴△AMG≌△DNH ∴AG=DH
（3）結論成立
∵Rt△AGM∽Rt△NHB，∴Rt△DGM∽Rt△NHD
∴ ，，∴ ，∴ ，∴AG=DH
4．如圖，在的外接圓中，是的中點，交于點，連結．
（1）列出圖中所有相似三角形；
（2）連結，若在上任取一點（點除外），連結交于點，是否成立？若成立，給出證明；若不成立，舉例說明．
解：（1），，
（2）
證明：是的中點，如圖，
，
又，
，
又，
，
，．
綜合題研究之代數與圖形綜合問題（二）（課標版－原創）
【考點知曉】
考查內容：代數與圖形綜合問題重點考查運用函數知識、方程的知識及幾何知識.解決綜合題的能力，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式，同時還要注意自變量的取值范圍，它要求考生具有較強的分析問題的能力，會解答代數與幾何的綜合問題，具有拉大考生分數差距的作用.
考點評說：考查方式多為最后的壓軸題，其難度較大，運算量較大，復習時要注意此類題型的訓練.
【考題漫步】
例1（2006年江西24題）一條拋物線y=+mx+n經過點（0，）與（4，）
（1）求這條拋物線的解析式并寫出它的頂點坐標.
（2）現有一條半徑為1，圓心P在拋物線上運動的動圓，當⊙P與坐標軸相切時，求圓心P的坐標.
思路分析：（1）要確定拋物線y=+mx+n的解析式就是要求出m，n的值，所以需要找關于m，n的兩個方程.根據函數圖象上的點的坐標與函數解析式的關系容易得到關于m，n的兩個方程.由二次函數的解析式可得出拋物線的的頂點坐標.方法有三種.即頂點坐標公式、配方法、半用公式半不用公式.要求圓心的坐標即需要求它的橫坐標a，縱坐標b，所以要建立a，b的兩個方程，由圓心P在拋物線上再根據圖象上的點的坐標與函數解析式的關系可得一個方程，根據切線的判定定理抓住圓與坐標軸相切得到圓心P到坐標軸的距離等于半徑1，建立方程由于坐標軸包含x軸和y軸，所以要用到分類討論的思維方法，使問題得到解決.
解：（1）由拋物線經過（0，），（4，）兩點得 解得
∴拋物線的解析式是y=-x+ 由y=-x+=（x-2）2+
得拋物線的頂點坐標為（2，）
（2）設點P的坐標為（a,b）當⊙P與y軸相切時有：=1 a=±1
由a=1得b=×12-1+= 由a=-1得b=×（-1）2-（-1）+=
此時點P的坐標P1（1，），P2（-1，）
當⊙P與x軸相切時有=1 ∵拋物線的開口向上，頂點在x軸上方 ∴b>0
∴b=1 由b=1得a2-a+=1 解得a=2±
∴點P的坐標為P3（2-，1），P4（2+，1）
綜上所述，圓心P的坐標為P1（1，），P2（-1，），P3（2-，1），P4（2+，1）
重要提醒：函數圖象上的點的坐標與函數解析式的關系.
因為⊙P與坐標軸相切包含了⊙P與x軸相切和⊙P與y軸相切兩種情形，所以必須要分類討論.
觸類旁通（2006年重慶市27題）已知：m、n是方程x2-6x+5=0的兩個實數根且m（1）求這個拋物線的解析式
（2）設（1）中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標和△BCD的面積.
（3）P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出點P的坐標
答案：（1）y=-x2-4x+5 （2）S△BCD=15（3）P點的坐標為（-，0）或（-，0）
例2（2006年山西26題）
如圖1，已知拋物線C1與坐標軸的交點依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8），
（1）求拋物線C1關于原點對稱的拋物線C2的解析式.
（2）設拋物線C1的頂點為M，拋物線C2與x軸分別交于C、D兩點（點C在點D的左側）頂點為N，四邊形MDNA的面積為S，若點A、點D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點M、點N同時以每秒2個單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運動，直到點A與點D重合為止，求四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關系式，并寫出自變量t的取值范圍.
（3）當t為何值時，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值.
（4）在運動過程中四邊形MDNA能否為矩形？若能，求出此時t的值.若不能，請說明理由.
思路分析：（1）要確定拋物線C2的解析式需要知道拋物線上的三個點的坐標，由條件可知，拋物線C2上有三個點恰好是拋物線C1上三個點A、B、E關于原點對稱點.根據點關于原點的對稱的點的坐標特征找到A、B、E關于原點的對稱點分別為D（4，0），C（2，0），F（0，-8）.
（2）要確定四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關系式，實際上就是要建立關于s、t之間的等量關系，因為s表示四邊形的面積，所以要想到四邊形是什么四邊形，其面積公式怎樣？如果沒有公式直接可導則要轉化為有公式可導的圖形的面積和或差使問題得到解決，然后根據函數關系式結合實際問題本身確定自變量t的取值范圍.
（3）根據函數關系式及自變量的取值范圍來確定函數的最大值.
（4）要判斷四邊形MDNA能否成為矩形，要根據矩形的判定定理，使四邊形MDNA滿足某個判定定理的條件建立方程，求出t的值.
解：（1）點A（-4，0），點B（-2，0），點E（0，8）關于原點的對稱點分別為D（4，0），C（2，0），F（0，-8），設拋物線C2的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)
則解得
∴所求拋物線的解析式為：y=-x2+6x-8
（2）由（1）可計算得點M（-3，-1），N（3，1）過N作NH⊥AD垂足為H，當運動到時刻t時，AD=2OD=8-2t， NH=1+2t，根據中心對稱性質OA=OD，OM=ON，所以四邊形MDNA是平行四邊形， ∴S=2S△ADN， ∴S=（8-2t）（1+2t）=-4t2+14t+8
因為運動至點A與點D重合為止 ∴0≤t＜4 ∴所求關系式是S=-4t2+14t+8(0≤t＜4)
（3）S=-4（t-）2+（0≤t＜4） ∴t=時,S最大=
（4）在運動的過程中四邊形MDNA能成矩形.
由（2）知四邊形MDNA是平行四邊形，對角線AD,MN 所以當AD=MN時四邊形MDNA是矩形，所以OD=ON，所以ON2=OD2=OH2+NH2
∴t2+4t-2=0 ∴t1=-2 t2=--2（舍去）
所以在運動過程中四邊形MDNA可以成矩形，此時t=-2.
重要提醒：拋物線C1關于原點對稱的拋物線C2，說明拋物線C1上所有的點關于原點對稱的點都在拋物線C2上.
四邊形MDNA能否成為矩形實質上就是指四邊形MDNA能否滿足矩形判定定理的某個定理中所需要的條件.
觸類旁通（2006年海南24題）如圖2所示，已知二次函數圖象的頂點坐標為C（1，0）直線y=x+m與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中A（3，4），B點在y軸.
（1）求m的值及這個二次函數的關系式.
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點E，設線段PE的長為h，點P的橫坐標為x，求h與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.
（3）D為直線AB與這個二次函數圖象對稱軸的交點在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求此時P點的坐標，若不存在，請說明理由.
答案：（1）m=1,y=x2-2x+1 (2)h=-x2+3x(0例3（2006年德州市）如圖3所示，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（4，0），（4，3）動點M、N分別從O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動，其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點M作MP⊥OA，交AC于P，連結NP，已知動點運動了x秒.（1）P點的坐標為（＿，＿）；（用含x的代數式表示）
（2）試求△NPC的面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的X值.
（3）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由.
思路分析：（1）根據點的坐標的定義，不難找出P點的橫坐標，問題的關鍵是找P點的縱坐標，即求PM的長，則需要構建關于PM的方程，可由P在直線AC上必須滿足直線AC的解析式或由△PMA∽△COA對應邊成比例來構建方程求解.
（2）抓住三角形的面積公式構建S與x之間的等量關系，不難發現關鍵是求出CN邊上的高.
（3）要保證△NPC是等腰三角形，只要依靠定義和判定定理來保證，根據條件可知用定義來做依據為簡，即要使△NPC有兩邊相等，隨著我們思維展開發現需要分類討論.
解：（1）由題意可知C（0，3），M（x，0），N（4-x，3）
∴P點坐標為（x，3-x）
（2）設△NPC的面積為S，在△NPC中NC=4-x，邊上的高為x，其中0≤x≤4
∴S=（4-x）×x=（-x2+4x）=-（x-2）2+ ∴當x=2時，S最大值=
（3）延長MP交CB于Q則有PQ⊥BC ①若NP=CP ∵PQ⊥BC ∴NQ=CQ=x ∴3x=4
∴x= ②若CP=CN則CN=4-x, PQ=x, CP=x, 4-x=x ∴x=
③若CN=NP則CN=4-x ∵PQ=x,NQ=4-2x ∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2
∴（4-x）2=(4-2x)2+(x)2 ∴x=
綜上所述x=或x=或x=
重要提醒：一個三角形是等腰三角形，它必須滿足有兩條邊相等或兩個角相等，而兩條邊相等并沒有指明哪兩條邊，因而要對a=b或b=c或a=c三種情況討論.
觸類旁通（2006年廣東省）如圖4所示，在平面直角坐標中，四邊形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，點P為x軸上的—個動點，點P不與點0、點A重合．連結CP，過點P作PD交AB于點D．
(1)求點B的坐標；
(2)當點P運動什么位置時，△OCP為等腰三角形，求這時點P的坐標；
(3)當點P運動什么位置時，使得∠CPD=∠OAB，且=，求這時點P的坐標.
答案：（1）B（5，），（2）OP=4，P（4，0），（3）P（1，0）或P（6，0）
例4（2005年廣東省佛山市）“三等分角”是數學史上一個著名問題，但僅用尺規不可能“三等分角”下面是數學家帕普斯借助函數給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖），將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中，；邊OB在x軸上，邊OA與函數y=的圖象交于點P，以P為圓心，以2PO為半徑作弧交圖象于R分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB，要明白帕普斯的方法請研究以下問題：
（1）設P（a,）,R(b,) 求直線OM對應的函數表達式（用含a，b的代數式表示）.
（2）分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q，請說明Q點在直線OM上，并據此證明∠MOB=∠AOB.
（3）應用上達方法得到的結論，你如何三等分一個鈍角（用文字簡要說明）
思路分析：（1）由兩點確定直線的解析式，因為O（0，0） ∴直線OM的解析式是正比例函數，可設直線OM的解析式為y=kx，由題設可求出M點的坐標，再把M點坐標代入y=kx可求到K.（2）判定一點是否在函數的圖象上，只需將這點坐標代入解析式，會滿足則在，否則不在，要證明∠MOB=∠AOB，這是證明角的倍分問題，實際上就是要證明∠AOM=2∠BOM∵∠BOM=∠RQM=∠SRQ 不難看出∠PSQ=2∠BOM， 故只需證∠POS=∠PSO， 故只需證明OP=PS 由此可見證明角的倍分問題要想辦法轉化為相等問題來證.（3）把問題轉化即把鈍角的問題轉化為銳角的問題.
解：（1）設直線OM的函數關系式為y=kx,P(a,) R(b,) ∴M(b, )
∴K=÷b= ∴直線OM的函數關系式為y=x
(2)∵Q的坐標（a, ）滿足y=x ∴Q點在直線OM上，
∵四邊形PQRM是矩形， ∴SP=SQ=SR=SM=PR ∴∠POS=∠PSO， ∵∠PSQ是△SQR的一個外角 ∴∠PSQ=2∠SQR ∴∠POS=2∠SQR
∵QR∥OB ∴∠SOB=∠SQR ∴∠POS=2∠SOB
∴∠SOB=∠AOB 即∠MOB=∠AOB
（3）方法一：利用鈍角的一半是銳角，然后利用上述結論把銳角三等分的方法即可
方法二：也可把鈍角減去一個直角得到一個銳角，然后利用上述結論把銳角三等分，再將直角利用等邊三角形將其三等分即可.
重要提醒：點在圖象上點的坐標必須滿足解析式
轉化思想在解題中的應用，如：角的倍分問題要想辦法轉化為相等問題來證，鈍角的三等分要轉化為銳角的三等分.
輕松訓練
1.（2006年·吉林省）如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，在對稱中心O處有一釘子.動點P、Q同時從點A出發，點P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度運動，到點C停止，點Q沿A→D方向以每秒1cm的速度運動，到點D停止.P、Q兩點用一條可伸縮的細橡皮筋聯結，設x秒后橡皮筋掃過的面積為ycm2.
(1)當0≤x≤1時，求y與x之間的函數關系式；
(2)當橡皮筋剛好觸及釘子時，求x值；
(3)當1≤x≤2時，求y與x之間的函數關系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子到運動停止時∠POQ的變化范圍；
解：1.(1)當0≤x≤1時,AP=2x,AQ=x,y=AQ·AP=x2,即y=x2
(2)S四邊形ABPQ =S四邊形ABCD時,橡皮盤剛好觸及釘子.
BP=2x-2，AQ=x，（2x-2+x）×2=×22 ∴x=
（3）當1≤x≤時，AB=2,PB=2x-2, AQ=x, y=×AB=3x-2
即 y=3x-2
當≤x≤2時，過O作OE⊥AB于E，則BP=2x-2，AQ=x，OE=1，
Y=S梯形BEOP+S梯形OEAQ=x， 即y=x
90°≤∠POQ≤180° 或180°≤∠POQ≤270°
2.（2006年·無錫市）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm．點P從點A出發，以2cm/s的速度沿AB向終點B運動；點Q從點C出發，以1cm/s的速度沿CD、DA向終點A運動(P、Q兩點中，有一個點運動到終點時，所有運動即終止)．設P、Q同時出發并運動了t秒．
(1)當PQ將梯形ABCD分成兩個直角梯形時，求t的值；
(2)試問是否存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半?若存在，求出這樣的t的值，若不存在，請說明理由.
解：（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F ∵四邊形ABCD是等腰梯形
∴四邊形CDEF是矩形. ∴DE=CF 又∵AD=BC是 ∴Rt△ADE≌Rt△BCF
AE=BF 又CD=2㎝，AB=8㎝， ∴EF=CD=2㎝， ∴AE=BF=（8-2）=3㎝
若四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形.
∵CQ=t ∴DQ=EP=2-t ∵AP=AE+EP ∴2t=3+2-t，∴t=
(2) Rt△ADE中，DE==3（㎝）
S梯形ABCD=×（8+2）×3=15（㎝2）
當S四邊形PBCQ=S梯形ABCD時
①Q在CD上，即0≤t≤2 則CQ=t，BP=8-2t,
×(t+8-2t) ×3= t=3 (不合舍去) ②若Q在AD上 即 2DQ=t-2, QH=DQSin60°=
由題意知S四邊形PBCQ=S△APQ+S△CDQ=×2t×+×2×=
即t2-9t+17=0, 解得t1= 使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半.
3.（2006年·濰坊市）已知二次函數圖象的頂點在原點，對稱軸為軸．一次函數y=kx+1的圖象與二次函數的圖象交于兩點（在的左側），且點坐標為(-4,4)．平行于軸的直線過(0,-1)點．
（1）求一次函數與二次函數的解析式；
（2）判斷以線段為直徑的圓與直線的位置關系，并給出證明；
（3）把二次函數的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位（t>0），二次函數的圖象與軸交于兩點，一次函數圖象交軸于點．當為何值時，過三點的圓的面積最小？最小面積是多少？
解：（1）把A(-4,4)代入y=kx+1得k=-，
∴一次函數的解析式為y=-x+1；易求出二次函數的解析式為：y=x2
（2）由
解得或，
，
先求出AB的長，由此得出AB的長等于AB的中點到直線l的距離的2倍
∴以線段AB為直徑的圓與l相切.
（3）平移后二次函數解析式為y=(x-2)2-t，
令y=0，得，x1=2-2，x2=2+2，
過三點的圓的圓心一定在直線x=2上，點為定點，
∴要使圓面積最小，圓半徑應等于點到直線x=2的距離，此時，半徑為2，面積為，
綜合題研究之代數綜合題（課標版－原創）
【專題導引】
綜合題考查內容包括①以方程、函數等有關知識解決數學問題；②以平行線、三角形、四邊形、圓等有關知識解決數學問題；③在直角坐標系內,運用點的坐標、距離、函數、方程等代數知識，并結合所學的幾何知識解決數學問題；④在幾何圖形中運用有關幾何知識，并結合所學的代數知識解決數學問題.常用到的數學思想方法有：化歸思想、分類思想、數形結合思想、代入法、待定系數法、配方法等.
代數綜合題
【考點知曉】
考查內容：代數綜合題是指以代數知識為主的或以代數變形技巧為主的一類綜合題，主要包括方程、函數、不等式等內容，解代數綜合題注意歸納整理代數中的基礎知識，基本技能，基本方法，要注意各知識點之間的聯系，注意數學思想方法、解題技巧的靈活運用、要抓住題意、化整為零、層層深入、各個擊破，加強知識間的橫向聯系，從而達到解決問題的目的.
考點評說：代數綜合題歷年來是中考試題中的重點題型，由于這類題型能較全面反映學生的綜合能力并具有較好的區分度，因此是各地中考的熱點題型.
【考題漫步】
例1（2006年安徽省）老師在黑板上寫出三個算式： 5一 3= 8×2，9-7=8×4，15-3=8×27，王華接著又寫了兩個具有同樣規律的算式：11 5 =8×12，15-7=8×22，……
(1)請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規律的算式；
(2)用文字寫出反映上述算式的規律；
(3 )證明這個規律的正確性．
思路分析：通過觀察、對比每個等式可知左邊是兩個奇數的平方差，右邊是8與某個因數的乘積，同時左邊的兩個奇數不一定是連續的，所以不能用2n-1或2n+1表示，于是只有用兩個不同的字母m，n來表示，并且要針對m，n的奇偶性討論.
解（1）如：152-112=8×13；172-152=8×8
（2）規律：任意兩個奇數的平方差等于8的倍數
（3）證明：設m，n為整數，兩個奇數可表示為2m+1和2n+1，則
（2m+1）2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1)
(a)當m,n同是奇數或偶數時，m-n一定為偶數，所以4（m-n）一定是8的倍數
(b)當m、n為一奇一偶時，則m+n+1一定為偶數，所以4（m+n+1）一定是8的倍數.故任意兩個奇數的平方差是8的倍數.
重要提醒：本題雖然第一、第二個等式的左邊均是兩個連續奇數，但其它的等式左邊卻不是，因而在探索規律時，不能眼睛只盯住其中一個或兩個甚至更多個的規律，應該是總攬全局，要觀察、分析出每一個都具有的規律，同時本題證明時，應注意分類討論的思想.
觸類旁通：（2006年浙江省）如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么
　　稱這個正整數為“神秘數”．如：4=22-02，
　　12=42-22，
　　20=62-42，
　　因此4，12，20都是“神秘數”.
　（1）28和2 012這兩個數是“神秘數”嗎？為什么？
　（2）設兩個連續偶數為2k+2和2k（其中k取非負整數），由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數嗎？為什么？
　（3）兩個連續奇數的（取正數）平方差是神秘數嗎？為什么？
解：（1）是，如28=4×7=82-62；2012=4×503=5042-5022
（2）是，（2k+2）2-（2k）2=4（2k+1）
（3）不是.
例2(2006·齊齊哈爾)某公司經營甲、乙兩種商品，每件甲種商品進價12萬元，售價14.5萬元;每件乙種商品進價8萬元,售價10萬元,且它們的進價和售價始終不變,現準備購進甲、乙兩種商品共20件,所用資金不低于180萬元,不高于200萬元.
(1)該公司有哪幾種進貨方案?
(2)該公司采用哪種進貨方案可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)若用(2)中所求得的利潤再次進貨,請直接寫出獲得最大利潤的進貨方案.
思路分析:“進貨方案”實質上是指在甲、乙兩種商品共20件的基礎上分配進甲、乙各多少件?有幾種分配方法?于是設購甲或乙任一種商品的件數為x,由總件數得出另一種商品的件數;由資金列出不等式組,即可求出件數x的取值范圍,再求出利潤與件數的函數關系式,再應用函數性質或代入驗證求利潤的最大值及設計方案.
解：（1）設購進甲種商品x件，乙種商品（20-x）件 則：
190≤12x+8(20-x)≤200
解得:7.5≤x≤10
因為x非負整數,可得x取8,9,10
故有三種進貨方案:購甲種商品8件, 乙種商品12件
購甲種商品9件, 乙種商品11件
購甲種商品10件, 乙種商品10件
(2) 甲商品每件利潤為14.5-12=2.5萬元
乙商品每件利潤為10-8=2萬元
方法一:利潤W=2.5x+2(20-x)=0.5x+40
∵W是x的一次函數,且x的系數0.5>0,故W隨著x的增大而增大
故當x為最大值10時,W有最大值為45
方法二: (1)中三種方案的利潤分別是44萬元,44.5萬元,45萬元,故購甲種商品10件, 乙種商品10件時,可獲最大利潤45萬元.
(3)購甲種商品1件, 乙種商品4件時,可獲得最大利潤
重要提醒:本題遷涉數量關系四個: 甲商品件數+乙商品件數=總件數，商品件數×進價=總價，售價-進價=每件商品的利潤，每件商品的利潤×商品件數=總利潤；同時注意弄清哪些量是已知的，哪些量可用代數式表式，并且數據較多,防止混淆.
觸類旁通(2006年·貴陽市)某汽車租賃公司要購買轎車和面包車共10輛,其中轎車至少要購買3輛,轎車每輛7萬元;面包車每輛4萬元;公司可投入的購車款不超過55萬元.
(1)符合公司要求的購買方案有哪幾種?請說明理由.
有三種方案:
(2)如果每輛轎車的日租金為200元;每輛面包車的日租金為110元;假設新購買的這10輛車每日都可租出,要使這10輛車的日租金收入不低于1500元,那么應選擇以上哪種購買方案?
解：（1）①轎車3輛,面包車7輛②轎車4輛,面包車6輛③轎車5輛,面包車5輛
（2）選方案三
例3 為了保護環境，某企業決定購買10臺污水處理設備，現有A、B兩種型號的設備，其中每臺的價格、月處理污水量及年消耗費如下表：
A型
B型
價格（萬元/臺）
12
10
處理污水量（噸/月）
240
200
年消耗費（萬元/臺）
1
1
經預算，該企業購買設備的資金不高于105萬元．
（1）請你設計該企業有幾種購買方案；
（2）若企業每月產生的污水量為2040噸，為了節約資金，應選擇哪種購買方案；
（3）在第（2）問的條件下，若每臺設備的使用年限為10年，污水廠處理費為每噸10元，請你計算，該企業自己處理污水與將污水排到污水廠處理相比較，10年節約資金多少萬元？（注：企業處理污水的費用包括購買設備的資金和消耗費）．
思路分析： 若企業購買A型號的設備x臺，則購買B型號的設備(10－x)臺，根據表格給出的A、B兩種型號設備的有關信息，即可求出企業購買設備的資金．
解：（1）設購買污水處理設備A型x臺，則B型(10－x)臺．
由題意知，12x+10(10－x) ≤105，解得x≤2.5．
∵x取非負整數，x可取0，1，2．
∴有三種購買方案：購A型0臺，B型10臺；購A型1臺，B型9臺；購A型2臺，B型8臺．
(2)由題意，得240x+200(10－x)≥2040，解得x≥1．∴x為1或2．
當x=1時，購買資金為12×1+l0×9=102(萬元)；
當x=2時，購買資金為12×2+ l0×8=104(萬元)．
∴為了節約資金，應選購A型1臺，B型9臺．
(3)10年企業自己處理污水的總資金為102+10×10=202(萬元)．
若將污水排到污水廠處理，10年所需費用
2040×12×10×l0=2448000(元)=244.8(萬元)．
244.8－202=42.8(萬元)，∴能節約資金42．8萬元．
重要提醒：對于不同的購買方案，何種最優？最好的辦法就是分類討論．
觸類旁通：某企業為了適應市場經濟的需要，決定進行人員結構調整，該企業現有生產性行業人員100人，平均每人全年創造產值a元，現欲從中分流出x人去從事服務性行業．假設分流后，繼續從事生產性行業的人員平均每人全年創造產值可增加20%，而分流從事服務性行業的人員平均每人全年可創造產值3.5a元．如果要保證分流后，該廠生產性行業的全年總產值不少于分流前生產性行業的全年總產值，而服務性行業的全年總產值不少于分流前生產性行業的全年總產值的一半，試確定分流后從事服務性行業的人數．
解：設分流后從事服務性行業的人數為x人，可創造產值3.5a元，則企業生產性人員還有（100－x）人，可創產值（1＋20%）a（100－x）．分流前共創產值100a元，于是可列不等式組求解．
由題意，得
即解得．
∵ x為正整數，∴x的取值為15，16．
答：從事服務性行業的人員為15人或16人．
例4（2006年浙江紹興市）某校部分住校生，放學后到學校鍋爐房打水，每人接水2升，他們先同時打開兩個放水籠頭，后來因故障關閉一個放水籠頭.假設前后兩人接水間隔時間忽略不計，且不發生潑灑，鍋爐內的余水量y(升)與接水時間x(分)的函數圖象如圖.
請結合圖象，回答下列問題：
根據圖中信息，請你寫出一個結論；
問前15位同學接水結束共需要幾分鐘？
小敏說：“今天我們寢室的8位同學去鍋爐房連續接完水恰好用了3分鐘.”你說可能嗎？請說明理由.
思路分析：（1）由平面直角坐標系的橫軸（x軸）表示接水的時間，縱軸（y軸）表示鍋爐內的余水量，容易得出圖象中的三個點的坐標所表示的意義等.（2）前15位同學需接水15×2=30升，又由圖象知接水分：開放兩個水龍頭和一個水龍頭前后兩個過程，且第一個過程96-80=16不夠，因而還需在第二個過程中，故要求第二個過程的解析式；但此時知道剩余水y=96-15×2=66，即可求得x的值；（3）小敏寢室8位同學去接水應分三種情況討論，即：（一）全部在第一個過程，（二）有在第一個過程，又有在第二個過程，（三）全部在第二個過程.
解：（1）鍋爐內原有水96升，接水2分鐘后，鍋爐內的余水量為80升；接水4分鐘后，，鍋爐內的余水量為72升；2分鐘前的水流量為每分鐘8升等.
（2）當0≤x≤2，
設函數解析式為y=k1x+b1,
把x=0，y=96，x=2，y=80代入得：
解得：
∴y=-8x+96(0≤x≤2).
當x>2時，
設函數解析式為y=k2x+b2,
把x=2,y=80和x=4,y=72代入得：
解得
∴y=-4x+88(x>2)
因為前15位同學接完水時，余水量為96-15×2=66（升），所以66=-4x+88,x=5.5
答：前15位同學接完水需5.5分鐘.
(3)①若小敏他們是一開始接水時,則接水時間斷8×2÷8=2(分),即8位同學接完水,只需要2分鐘,與接水時間恰好3分鐘不符.②若小敏他們是在若干位同學接完水后開始接水的,設8位同學從t分鐘開始接水.
當0則8(2-t)+4[3-(2-t)]=8×2,
16-8t+4+4t=16,
∴t=1（分）
∴(2-t)+[ 3-(2-t)]=3(分)符合
③當t>2時,則8×2÷4=4(分).即8位同學接完水需4分鐘,與接水時間恰好3分鐘不符.所以小敏的說法是可能的,即從1分鐘開始8位同學連續接完水愉好用了3分鐘.
觸類旁通：（2006年·湖州市）為了鼓勵小強勤做家務，培養他的勞動意識，小強每月的費用都是根據上月他的家務勞動時間所得獎勵加上基本生活費從父母那里獲取的.若設小強每月的家務勞動時間為x小時，該月可得（即下月他可獲得）的總費為y元，則y（元）和x（小時）之間的函數圖像如圖所示.
（1）根據圖像，請你寫出小強每月的基本生活費為多少元；父母是如何獎勵小強家務勞動的？
（2）寫出當0≤x≤20時，相對應的y與x之間的函數關系式；
（3）若小強5月份希望有250元費用，則小強4月份需做家務多少時間？
解：（1）如小強父母給小強每月的基本生自學成才費150元，又如小強每月家務勞動時間不超過20小時，每小時獎等
（2）y=2.5x+150
（3）32.5小時
【輕松演練】
1.(2006年·河北省) 觀察下列的點陳圖形和與之相對應的等式,探究其中的規律;
(1)請你在④和⑤后面的橫線上分別寫出相應的等式
①4×0+1=4×1-3
②4×1+1=4×2-3
③4×2+1=4×3-3
④
⑤
(2)通過猜想:寫出第n個圖形相對應的等式.
解：（1）④4×3＋1=4×4-3，⑤4×4＋1=4×5－3
（2）4×(n-1)+1=4n-3
2.（2006年·河南省）甲、乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優惠方案：在甲超市累計購買商品超出300元后，超出部分按原價8折優惠；在乙超市累計購買商品超出200元之后，超出部分按原價8.5折優惠;設顧客預計累計購物x元(x>300)
（1）請用含x的代數式分別表示顧客在兩家超市購物所付的費用.
(2)試比較顧客到哪家超市購物更優惠?說明你的理由
解：⑴y甲=300+0.8(x-300)=0.8x+60 y乙=200+0.85(x-200)=0.85x+30
⑵當x=600時,兩家一樣；當x>600時, 甲更優惠；當3003.由于電力緊張,某地決定對工廠實行鼓勵錯峰用電,規定:在每天的7:00至24:00為用電高峰期,電價為a元／度,每天0:00至7:00為用電平穩期,電價為b元／度,下表為某廠4、5月份的用電量和電費情況統計表：
月份
用電量（萬度）
電費（萬元）
4
12
6.4
5
16
8.8
(1)若4月份在平穩期用電量占當月用電量的,5月份在平穩期的用電量占當用用電量的,求a,b的值;
(2)若6月份該廠預計用電20萬度,為將電費控制在10萬元至10.6萬元之間(不含10萬元和10.6萬元),那么該廠6月份在平穩期的用電量占當月用電量的比例應在什么范圍.
解：（1）a=0.6; b=0.4
（2）設比例為k,則10<20(1-k)×0.6+20k×0.4<10.6
解得:0.354.東方專賣店專銷某種品牌的計算器,進價為12元／個,售價為20元／個,為了促銷,專賣店決定：凡是買10個以上的,每多買一個,售價就降低0.10元(例如,某人買20個計算器,于是每個降價0.10×(20-10)=1元,就可以按19元／個的價格購買),但是最低價為16元／個.
(1)求顧客一次至少買多少個,才能以最低價購買?
(2)寫出當一次購買x(x>10)個時,利潤y(元)與購買量x(個)之間的函數關系式;
(3)有一天,一位顧客買了46個,另一位顧客買了50個,專賣店發現賣了50個反而比賣46個賺的錢少,為了使每次賣得多賺錢也多,在其他促銷條件不變的情況下,最低價16元／個至少要提高到多少?為什么?
解：（1）50個
（2）當10當x>50時,y=(16-12)x=4x
（3）利潤y=-0.1x2+9x=-0.1(x-45)2+202.5 故x=45時 最低售價為20-0.1(45-10)=16.5元

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