資源簡介

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湘教版高中數學必修第一冊-2.3.1.1一元二次不等式及其解法(1)-學案講義
教材要點
要點　一元二次不等式
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念：我們把只含有________未知數，并且未知數的最高次數是______的不等式，稱為一元二次不等式．
(2)形式：
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
狀元隨筆　一元二次不等式的二次項系數 a有a＞0或a＜0兩種，注意a≠0.當a＜0時，我們通常將不等式兩邊同乘以－1，化為二次項系數大于0的一元二次不等式，但要注意不等號要改變方向，這樣我們只需要研究二次項系數大于0的一元二次不等式．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為{x|x1＜x＜x2}，則必有a＞0.(　　)
(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1和x2.(　　)
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.(　　)
2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　)
A． B．{x|x＜1或x＞2}
C．{x|x＞1} D．
3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集為________．
題型1　不含參數的一元二次不等式的解法
例1　解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；
(2)4x2－4x＋1≤0.
方法歸納
解不含參數的一元二次不等式的步驟
1．通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數為正．
2．對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．
3．求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程有無實根．
4．根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數圖象的草圖．
5．根據圖象寫出不等式的解集．
記憶口訣：
設相應的二次函數的圖象開口向上，并與x軸相交，則有口訣：大于取兩邊；小于取中間．
跟蹤訓練1　(1)不等式＜0的解集為(　　)
A．{x|x＜－1或x＞2}　　　B．
C．{x|x＜－2或x＞1} D．
(2)不等式－x2－3x＋4＜0的解集為(　　)
A．{x|x＞1或x＜－4} B．{x|x＞－1或x＜－4}
C．{x|－4＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞4}
題型2　利用不等式解集求系數
例2　已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求關于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
方法歸納
一元二次不等式與其對應的函數與方程之間存在著密切的聯系，在解決具體的數學問題時，要注意三者之間的相互聯系，并在一定條件下相互轉換．
(1)若一元二次不等式的解集為區間的形式，則區間的端點值恰是對應一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項系數的聯系．
(2)若一元二次不等式的解集為R或 ，則問題可轉化為恒成立問題，此時可以根據二次函數圖象與x軸的交點情況確定判別式的符號，進而求出參數的范圍．
跟蹤訓練2　已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集為，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
題型3　解含參數的一元二次不等式
角度1　對判別式“Δ”進行討論
例3　解關于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
角度2　對根的大小進行討論
例4　解關于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．
角度3　對二次項系數進行討論
例5　設a∈R，解關于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.
方法歸納
解含參數的一元二次不等式的步驟
跟蹤訓練3　解關于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R.
易錯辨析　忽視二次項系數致誤
例6　若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集為(　　)
A．{x|－2＜x＜1} B．{x|x＜－2或x＞1}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|0＜x＜3}
解析：因為不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，
所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，且a＜0，
所以－＝－1＋2＝1，＝－2，即b＝－a，c＝－2a，
代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax整理得a(x2－3x)＞0，
因為a＜0，所以x2－3x＜0，所以0＜x＜3.故選D.
答案：D
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽視a的范圍致誤，易錯選C. 根據題中所給的二次不等式的解集，結合三個二次的關系得到a＜0，由根與系數的關系求出a，b，c的關系，再代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，求解即可．
課堂十分鐘
1．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，則＝(　　)
A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
2．關于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－3＜x＜1}，則關于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集為(　　)
A． B．
C． D．
3．已知2a＋1＜0，則關于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是(　　)
A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a}
C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a}
4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集內，則k的取值范圍是________．
5. 已知函數y＝x2－(a＋b)x＋2a.
(1)若關于x的不等式y＜0的解集為{x|1＜x＜2}，求a，b的值；
(2)當b＝2時，解關于x的不等式y＞0.
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
一個　2
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：原不等式化為(2x＋1)(x－1)>0，所以x<－或x>1.故選A.
答案：A
3．解析：由題意可知a>0，且－7和－1為方程ax2＋8ax＋21＝0的兩個根，∴由根與系數的關系得(－7)×(－1)＝，解得a＝3.故選C.
答案：C
4．解析：∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0無解．即函數y＝x2＋6x＋10的圖象在x軸上方，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集為R.
答案：R
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)不等式可化為3x2－6x＋2＜0.對應方程3x2－6x＋2＝0.因為Δ＝36－4×3×2＝12＞0，所以它有兩個實數根．解得x1＝1－，x2＝1＋.畫出二次函數y＝3x2－6x＋2的圖象(如圖①)，結合圖象得不等式3x2－6x＋2＜0的解集是.所以不等式－3x2＋6x－2＞0的解集是.
(2)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，畫出二次函數y＝4x2－4x＋1的圖象(如圖②)，結合圖象得不等式4x2－4x＋1≤0的解集是.
跟蹤訓練1　解析：(1)因為<0，
所以對應的方程為(x＋1)(x－2)＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
所以不等式<0的解集為，
故選B.
(2)原不等式變為x2＋3x－4>0，因式分解得：(x－1)(x＋4)>0，解得x>1或x<－4.故原不等式的解集為{x|x>1或x<－4}．故選A.
答案：(1)B　(2)A
例2　解析：方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為.
方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2跟蹤訓練2　解析：因為x2＋px＋q<0的解集為，
所以x1＝－與x2＝是方程x2＋px＋q＝0的兩個實數根，
由根與系數的關系得
解得.
所以不等式qx2＋px＋1>0即為－x2＋x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集為{x|－2例3　解析：Δ＝a2－16，下面分情況討論：
(1)當Δ＜0，即－4＜a＜4時，方程2x2＋ax＋2＝0無實根，所以原不等式的解集為R.
(2)當Δ＝0，即a＝±4時，若a＝－4，則原不等式等價于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，則原不等式等價于(x＋1)2＞0，故x≠－1；
(3)當Δ＞0，即a＞4或a＜－4時，方程2x2＋ax＋2＝0的兩個根為x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
此時原不等式等價于(x－x1)(x－x2)＞0，
∴x＜x1或x＞x2.
綜上，當－4＜a＜4時，原不等式的解集為R；
當a＝－4時原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠1}；
當a＞4或a＜－4時，原不等式的解集為{x|x＜(－a－)，或x＞(－a＋)}；
當a＝4時，原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠－1}．
例4　解析：原不等式等價于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.
(1)當－1－a＜－1＋a，
即a＞0時，－1－a≤x≤－1＋a；
(2)當－1－a＝－1＋a，
即a＝0時，不等式即(x＋1)2≤0，
∴x＝－1；
(3)當－1－a＞－1＋a，即a＜0時，－1＋a≤x≤－1－a.
綜上，當a＞0時，原不等式的解集為{x|－1－a≤x≤－1＋a}；
當a＝0時，原不等式的解集為{x|x＝－1}；
當a＜0時，原不等式的解集為{x|－1＋a≤x≤－1－a}．
例5　解析：(1)當a＝0時，不等式可化為x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集為{x|x＞2}．
(2)當a≠0時，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的兩根分別為2和－.
①當a＜－時，解不等式得－＜x＜2，
即原不等式的解集為；
②當a＝－時，不等式無解，即原不等式的解集為 ；
③當－＜a＜0時，解不等式得2＜x＜－，
即原不等式的解集為；
④當a＞0時，解不等式得x＜－或x＞2
即原不等式的解集為.
跟蹤訓練3　解析：原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0，a∈R，
當a>1或a<0時，a2>a，原不等式的解集為{x|xa2}；
當0a}
當a＝1時，原不等式的解集為{x|x≠1}；
當a＝0時，原不等式的解集為{x|x≠0}．
[課堂十分鐘]
1．解析：由題意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2答案：C
2．解析：因為不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(－3，1)，所以即不等式cx2＋bx＋a＞0等價于3x2－2x－1＞0，
解得x<－或x＞1.故選C.
答案：C
3．解析：∵2a＋1<0，∴a<－，∴－a>5a.由x2－4ax－5a2＝(x－5a)(x＋a)>0得x<5a或x>－a，∴原不等式的解集為{x|x<5a或x>－a}．故選A.
答案：A
4．解析：由題意知：k2－6k＋8≥0
解得k≥4或k≤2
∴k的取值范圍是k≥4或k≤2.
答案：k≤2或k≥4
5．解析：(1)∵y<0的解集為{x|1由韋達定理知：，解得：.
(2)當b＝2時，y＝x2－(a＋2)x＋2a＝(x－a)(x－2)>0，
當a<2時，y>0的解集為{x|x2}；
當a＝2時，y>0的解集為{x|x<2或x>2}；
當a>2時，y>0的解集為{x|x<2或x>a}．
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湘教版高中數學必修第一冊-2.3.1.2一元二次不等式及其解法(2)-學案講義
教材要點
要點一　二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1＜x2) 有兩個相等的實數根x1＝x2＝－ 沒有實數根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ____________ {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ____________ ________
狀元隨筆　一元二次不等式的解法：
(1)圖象法：一般地，當a＞0時，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：
①確定對應方程ax2＋bx＋c＝0的解；②畫出對應函數y＝ax2＋bx＋c的圖象簡圖；③由圖象得出不等式的解集．
對于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取類似a＞0時的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項系數為正的一元二次不等式，再求解．
(2)代數法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當p＜q時，若(x －p)(x －q)＞0，則x＞q或x＜p；若(x －p)(x －q)＜0，則p＜x＜q.有口訣如下“大于取兩邊，小于取中間\”．
要點二　分式不等式的解法
(1)≥0 ________；
(2)>0 ________．
基礎自測
1.不等式<0的解集是(　　)
A．{x|x>0} B．{x|x<2}
C．{x|x>2或x<0} D．{x|02．不等式>1的解集為(　　)
A．{x|x<1} B．{x|0C．{x|x>1} D．{x|x>0}
3．關于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集的條件是(　　)
A． B．
C． D．
4．若不等式x2－ax＋1＞0對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是________．
題型1　解分式不等式
例1　解下列不等式：
(1)≥0；
(2)>1.
方法歸納
(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元二次不等式組求解，但要注意分母不為零．
(2)對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．
跟蹤訓練1　(1)不等式≥0的解集為(　　)
A．{x|－6≤x≤1} B．{x|x≥1或x≤－6}
C．{x|－6≤x＜1} D．{x|x＞1或x≤－6}
(2)不等式≤2的解集為________．
題型2　不等式恒成問題
角度1　在R上恒成立問題
例2　一元二次不等式2kx2＋kx－＜0對一切實數x都成立，則k的取值范圍為(　　)
A．{k|－3＜k≤0} B．{k|－3≤k＜0}
C．{k|－3≤k≤0} D．{k|－3＜k＜0}
角度2　在給定范圍內的恒成立問題
例3　設函數y＝mx2－mx－1.
(1)若對于一切實數x，y＜0恒成立，求m的取值范圍；
(2)對于x∈{x|1≤x≤3}，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍．
方法歸納
一元二次不等式恒成立問題的常見類型及解法
(1)在R上恒成立問題．
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立
(2)在給定區間上的恒成立問題．
方法一：①a＞0時，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數值同時小于0.
②a＜0時，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數值同時大于0.
方法二：分離參數，轉化為函數的最值問題．
跟蹤訓練2　(1)設a為常數， x∈R，ax2＋ax＋1＞0，則a的取值范圍是(　　)
A．{x|0＜a＜4} B．{x|0≤a＜4}
C．{x|a＞0} D．{x|a＜4}
(2)若對于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，則實數m的取值范圍是________．
題型3　簡單的高次不等式的解法
例4　(1)不等式≥0的解集為(　　)
A．(1，2]
C．[－3，1)
(2)不等式≤0的解集為(　　)
A．{x|－3B．{x|x<－3或1≤x≤2}
C．{x|x＝4或－3D．{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2}
方法歸納
簡單高次不等式a(x－b1)(x－b2)…(x－bn)>0的解法：穿線法．
注意：系數化正，右上往左下，奇穿偶不穿，單獨考慮孤立點．
跟蹤訓練3　(1)不等式x>的解集是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1，0)
D．(－∞，－1)
(2)不等式＜0的解集為________．
易錯辨析　解分式不等式時忽略“分母不等于0”致誤
例5　不等式≥0的解集為(　　)
A．{x|x≥－1} B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|x≥－1且x≠1} D．{x|x≥1或x≤－1}
解析：∵(x－1)2≥0，
∴原不等式等價于，
解得x≥－1且x≠1.故選C.
答案：C
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽視了(x－1)2≠0，只認為(x－1)2≥0，原不等式等價于x＋1≥0，解得x≥－1，錯選A. 解分式不等式時要先移項再通分，不要去分母，使不等式右邊化為0.且記“只要解分式不等式，分母都不為零”．
課堂十分鐘
1．不等式＞0的解集為(　　)
A．{x|x<－2或x>1} B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|－22．已知集合A＝，集合B＝{x|x>0}，則A＝(　　)
A．{x|x≥－2} B．{x|x>－2}
C．{x|x≥0} D．{x|x>0}
3．不等式≤1的解集為(　　)
A． B．
C． D．
4．不等式2x2－kx－k>0對于一切實數恒成立，則k的取值范圍為(　　)
A．(－8，0) B．(0，8)
C．(－∞，－8)
5．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集為{x|－3＜x＜1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；
(2)ax2＋bx＋3＞0的解集為R，求b的取值范圍．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
{x|xx2}　{x|x1要點二
　f(x)·g(x)>0
[基礎自測]
1．解析：不等式<0等價于x(x－2)<0，0則不等式<0的解集是{x|0答案：D
2．解析：依題意>1 －1>0 >0 x(1－x)>0 x(x－1)<0 0答案：B
3．解析：要使ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，則需滿足
答案：B
4．解析：因為不等式x2－ax＋1>0對任意實數x恒成立，
所以Δ＝a2－4<0，解得－2答案：(－2，2)
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)原不等式可化為≤0，
∴
∴，即－3故原不等式的解集為{x|－3(2)原不等式可化為－1>0.
∴>0，∴>0，則x<－2.
故原不等式的解集為{x|x<－2}．
跟蹤訓練1　解析：(1)原不等式變為：≤0 (x＋6)(x－1)≤0且x－1≠0.解得－6≤x<1，故原不等式的解集為{x|－6≤x<1}．故選C.
(2)移項得－2≤0，即≥0，
此不等式等價于(x－5)(x－2)≥0且x－2≠0，
解得x<2或x≥5.
故原不等式的解集為{x|x<2或x≥5}．
答案：(1)C　(2){x|x<2或x≥5}
例2　解析：∵2kx2＋kx－<0為一元二次不等式，∴k≠0，
又2kx2＋kx－<0對一切實數x都成立，
則必有
解得－3答案：D
例3　解析：(1)若m＝0，顯然－1<0恒成立；
若m≠0，則 －4∴m的取值范圍為{m|－4(2)y<－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵函數y＝＝在1≤x≤3時的最小值為.
∴只需m<即可．
∴m的取值范圍為.
跟蹤訓練2　解析：(1)①當a＝0時，1>0恒成立，即a＝0時滿足題意；
②當a≠0時，則有，解得0綜上得a的取值范圍是{x|0≤a<4}．故選B.
(2)作出二次函數y＝x2＋mx－1的草圖，對于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}，都有x2＋mx－1<0，
則
解得－答案：(1)B　(2)
例4　解析：(1)由≥0，
解得x≥－6且x≠1，
所以不等式的解集為[－6，1)
(2)∵≤0，
即，即，
當x＝4時不等式成立，又∵(x－4)2≥0恒成立，
不等式，
利用穿針引線畫出y＝(x＋3)(x－1)(x－2)的簡圖如圖所示：
解得此不等式的解集為{x|x<－3或1≤x≤2}，
故原不等式的解集為：{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2} .
答案：(1)B　(2)D
跟蹤訓練3　解析：(1)因為x>，所以x－＝>0，
所以x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)>0.
畫出示意圖如圖．
所以解集為(－1，0)故選C.
(2)∵(x－1)2≥0，
所以不等式<0，等價于，即，
解得：－所以不等式的解集為：.
答案：(1)C　(2)
[課堂十分鐘]
1．解析：因為>0等價于(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，
即不等式>0的解集為{x|x<－1或x>2}．
答案：B
2．解析：≤0 －2∵A＝{x|－20}，∴A＝{x|x>－2}．
答案：B
3．解析：不等式≤1可化為≤0，
即
解得：x≤或x>2，
故不等式的解集為.
答案：D
4．解析：∵2x2－kx－k>0對于一切實數恒成立，
∴Δ＝(－k)2－4×2×(－k)＝k2＋8k<0，
得－8即k∈(－8，0)．
答案：A
5．解析：若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集為{x|－3則(1－a)x2－4x＋6＝0的根為－3，1，
∴＝－3×1，解得a＝3，
(1)代入a＝3，不等式2x2＋(2－a)x－a>0為2x2－x－3>0，
解得x<－1或x>，
即不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集為；
(2)代入a＝3，不等式ax2＋bx＋3>0為3x2＋bx＋3>0，
∵3x2＋bx＋3>0的解集為R，
∴Δ＝b2－4×3×3<0，
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湘教版高中數學必修第一冊-2.3.2一元二次不等式的應用-學案講義
最新課程標準 1.經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程； 2．能將實際問題轉化為數學問題，建立不等式模型． 學科核心素養 能解決一元二次不等式的實際問題．(邏輯推理、數學建模)
題型1　一元二次不等式的應用
例1　汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個重要因素．
在一個限速為40 km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎車，但還是相碰了．事后現場勘查測得甲車的剎車距離略超過12 m，乙車的剎車距離略超過10 m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.問：甲、乙兩車有無超速現象？
例2　某地方政府為地方電子工業發展，決定對某一進口電子產品征收附加稅，已知這種電子產品國內市場零售價為每件250元，每年可銷售40萬件，若政府征收附加稅率為t%時，則每年減少t萬件．
(1)將稅金收入表示為征收附加稅率的函數；
(2)在該項經營中每年征收附加稅金不低于600萬元，那么附加稅率應控制在什么范圍？
方法歸納
解不等式應用題的四步驟
(1)審：認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系．
(2)設：引進數學符號，用不等式表示不等關系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答實際問題．
特別提醒：確定答案時應注意變量具有的“實際含義”．
跟蹤訓練1　某工廠的固定成本為3萬元，該工廠每生產100臺某產品的生產成本為1萬元，設生產該產品x(百臺)，其總成本為p萬元(總成本＝固定成本＋生產成本)，并且銷售收入y滿足y＝
假定該產品產銷平衡，根據上述統計規律求：
(1)要使工廠有盈利，產品數量x應控制在什么范圍？
(2)工廠生產多少臺產品時盈利最大？
題型2　一元二次不等式與基本不等式的綜合應用
例3　某單位有員工1 000名，平均每人每年創造利潤10萬元，為了增加企業競爭力，決定優化產業結構，調整出x(x∈N*)名員工從事第三產業，調整后他們平均每人每年創造利潤為10(a－0.8x%)萬元(a>0)，剩下的員工平均每人每年創造的利潤可以提高0.4x%.
(1)若要保證剩余員工創造的年總利潤不低于原來1 000名員工創造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業？
(2)若要保證剩余員工創造的年總利潤不低于原來1 000名員工創造的年總利潤條件下，若要求調整出的員工創造出的年總利潤始終不高于剩余員工創造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？
方法歸納
解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答．
跟蹤訓練2　近年來，某西部鄉村農產品加工合作社每年消耗電費24萬元．為了節能環保，決定修建一個可使用16年的沼氣發電池，并入該合作社的電網．修建沼氣發電池的費用(單位：萬元)與沼氣發電池的容積x(單位：米3)成正比，比例系數為0.12.為了保證正常用電，修建后采用沼氣能和電能互補的供電模式用電．設在此模式下，修建后該合作社每年消耗的電費C(單位：萬元)與修建的沼氣發電池的容積x(單位：米3)之間的函數關系為C(x)＝(x≥0，k為常數)．記該合作社修建此沼氣發電池的費用與16年所消耗的電費之和為F(單位：萬元)．
(1)解釋C(0)的實際意義，并寫出F關于x的函數關系；
(2)該合作社應修建多大容積的沼氣發電池，可使F最小，并求出最小值．
(3)要使F不超過140萬元，求x的取值范圍．
課堂十分鐘
1．若產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產量是(　　)
A．100臺 B．120臺
C．150臺 D．180臺
2．以每秒a m的速度從地面垂直向上發射子彈，t s后的高度x m可由x＝at－4.9t2確定，已知5 s后子彈高245 m，子彈保持在245 m以上(含245 m)高度的時間為(　　)
A．4 s B．5 s
C．6 s D．7 s
3．某種雜志原以每本3元的價格銷售，可以售出10萬本．根據市場調查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就減少1 000本．設每本雜志的定價為x元，要使得提價后的銷售總收入不低于42萬元，則x應滿足(　　)
A．6≤x≤7 B．5≤x≤7
C．5≤x≤6 D．4≤x≤6
4.
如圖所示，某學校要在長為8米，寬為6米的一塊矩形地面上進行綠化，計劃四周種花卉，花卉帶的寬度相同，均為x米，中間植草坪．為了美觀，要求草坪的面積大于矩形土地面積的一半，則x的取值范圍為________．
5．你能用一根長為100 m的繩子圍成一個面積大于600 m2的矩形嗎？
一元二次方程根的分布
研究一元二次方程根的分布時，可通過作圖分析根的取值情況，注意數形結合思想的應用．
二次方程根的分布問題既可以轉化為方程的根，借助判別式和根與系數的關系解決，也可以轉化為二次函數，利用圖象列關于參數的不等式(組)解決，但無論哪種轉化，都要注意轉化的等價性．
例1　已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的兩根都大于2，求實數m的取值范圍．
解析：解法一　設y＝x2＋2mx－m＋12，則
即
∴－＜m≤－4.
故實數m的取值范圍為.
解法二　設方程x2＋2mx－m＋12＝0的兩根為x1，x2.
由題意知即
解得－＜m≤－4.
∴實數m的取值范圍為{m|－＜m≤－4}．
例2　關于x的方程(a＋1)x2＋(4a＋2)x＋1－3a＝0有兩個異號的實根，且負根的絕對值較大，求實數a的取值范圍．
解析：設方程的兩個根分別為x1，x2，
由題意知，實數a滿足條件：
即解得a＜－1或a＞.
參考答案與解析
題型探究·課堂解透
例1　解析：由題意知，對于甲車，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不合實際意義，舍去)，這表明甲車的車速超過30 km/h.但根據題意剎車距離略超過12 m，由此估計甲車車速不會超過限速40 km/h.
對于乙車，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不合實際意義，舍去)，這表明乙車的車速超過40 km/h，超過規定限速．
例2　解析：(1)當征收附加稅率為t%時，每年的銷售量為萬件，每件產品的征收附加稅金為(250×t%)元，設稅金收入為y萬元，則所求函數關系為y＝250×t%×＝100t－4t2.
(2)由題意可知，y＝100t－4t2≥600，
即t2－25t＋150≤0，解得10≤t≤15，
即稅率應控制在10%到15%之間．
跟蹤訓練1　解析：(1)依題意得p＝x＋3，設利潤函數為z，則
z＝y－p，所以z＝
要使工廠有盈利，則有z>0，
因為z>0 或 或 或
則3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工廠盈利，產品數量應控制在大于300臺小于1 050臺的范圍內．
(2)當3＜x≤7時，z＝－0.5(x－6)2＋4.5，故當x＝6時，z有最大值4.5，而當x＞7時，z＜10.5－7＝3.5，所以當工廠生產600臺產品時盈利最大．
例3　解析：(1)由題意，得10(1 000－x)(1＋0.4x%)≥10×1 000，
即x2－750x≤0，又x>0，所以0即最多調整出750名員工從事第三產業．
(2)從事第三產業的員工創造的年利潤為10x萬元，
從事原來產業的員工的年總利潤為10(1 000－x)萬元，
則10x≤10(1 000－x)，
所以ax－≤1 000＋4x－x－x2，
所以ax≤＋1 000＋3x，
即a≤＋3在x∈(0，750]時恒成立，因為≥2＝4，當且僅當＝，
即x＝500時等號成立，
∴a≤7，
又a>0，
∴0∴a的取值范圍為(0，7].
跟蹤訓練2　解析：(1)C(0)的實際意義是修建這種沼氣發電池的面積為0時的用電費用，
即未修建沼氣發電池時，該合作社每年消耗的電費；
由題意可得，C(0)＝＝24，則k＝1 200；
所以該合作社修建此沼氣發電池的費用與16年所消耗的電費之和為
F＝16×＋0.12x＝＋0.12x，x≥0；
(2)由(1)得，F＝＋0.12x＝＋0.12(x＋50)－6
≥2－6＝90，
當且僅當＝0.12(x＋50)，即x＝350時，等號成立，
即該合作社應修建容積為350立方米的沼氣發電池時，
可使F最小，且最小值為90萬元；
(3)為使F不超過140萬元，只需F＝＋0.12x≤140，
整理得3x2－3 350x＋305 000≤0，
則(3x－3 050)(x－100)≤0，解得100≤x≤，
即x的取值范圍是.
[課堂十分鐘]
1．解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故選C.
答案：C
2．解析：因為5 s后子彈高245 m，所以有245＝a·5－4.9×52 a＝73.5，
即x＝73.5t－4.9t2，
由題意可知：x＝73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10，子彈保持在245 m以上(含245 m)高度的時間為10－5＝5.
答案：B
3．解析：提價后雜志的定價設為x元，則提價后的銷售量為： 10－×0.1萬本，
因為銷售的總收入不低于42萬元，
列不等式為：x≥42，
即(x－6)(x－7)≤0，即6≤x≤7.
答案：A
4．解析：設花卉帶寬度為x米(0根據題意可得(8－2x)·(6－2x)>×8×6，
整理得：x2－7x＋6>0，
即(x－6)(x－1)>0，
解得06，
x>6不合題意，舍去，
故所求花卉帶寬度的范圍為0答案：05．解析：設圍成的矩形一邊的長為x m，則另一邊的長為(50－x) m，且0＜x＜50.由題意，得圍成矩形的面積S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.
所以，當矩形一邊的長在(20，30)的范圍內取值時，能圍成一個面積大于600 m2的矩形．
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