資源簡介

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湘教版高中數學必修第一冊-3.1.3簡單的分段函數-學案講義
教材要點
要點　分段函數
一般地，如果自變量在定義域的不同取值范圍內時，函數由不同的解析式給出，這種函數叫作分段函數．
狀元隨筆　1.分段函數雖然由幾部分構成，但它仍是一個函數而不是幾個函數．
2．分段函數的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．如y＝其“段”是不等長的．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)分段函數由幾個函數構成．(　　)
(2)函數f(x)＝是分段函數．(　　)
(3)分段函數盡管在定義域不同的部分有不同的對應關系，但它們是一個函數．(　　)
(4)分段函數各段上的函數值集合的交集為 .(　　)
2．(多選)下列給出的式子是分段函數的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
3．已知函數f(x)＝則f(2)等于(　　)
A．0　　　　B．　　　　C．1　　　　D．2
4．函數f(x)＝的定義域為________，值域為________．
題型1　分段函數求值問題
角度1　分段函數求值
例1　已知函數f(x)＝
求f(－5)，f(1)，f.
變式探究　本例中的條件不變，若f(a)＝3，求實數a的值．
角度2　解分段函數不等式
例2　已知函數f(x)＝求不等式f(x)＜0的解集．
方法歸納
1．分段函數求值
(1)分段函數求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應的解析式求得．
(2)含有多層“f”的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理．
(3)已知函數值求相應的自變量值時，應在各段中分別求解．
2．解分段函數不等式
要注意分類討論，分類標準是分段函數的分段區間．先假設自變量的值在分段函數定義域的各段上，然后求出在相應各段定義域上自變量的取值范圍，最后取并集即可．
跟蹤訓練1　(1)已知f(x)＝若f(x)＝－1，則x＝________．
(2)已知函數f(x)＝若f(a)＜－3，則a的取值范圍為________．
題型2　分段函數的圖象與應用
例3　已知f(x)＝－x＋3，g(x)＝x＋，h(x)＝x2－4x＋3.
(1)在同一坐標系中畫出函數f(x)，g(x)，h(x)的圖象．
(2) x∈R，令M(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最大者，記作M(x)＝{f(x)，g(x)，h(x)}，請分別利用圖象法和解析法表示函數M(x)，并求M(x)的值域．
方法歸納
分段函數圖象的畫法
(1)對含有絕對值的函數，要作出其圖象，首先應根據絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數轉化為分段函數，然后分段作出函數圖象．
(2)作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意連接點處點的虛實，保證不重不漏．
跟蹤訓練2　已知f(x)＝
(1)作出f(x)的圖象；
(2)求f(x)的值域．
題型3　分段函數的應用
例4　為了節約用水，某市出臺一項水費征收措施，規定每季度每人用水量不超過5噸時，每噸水費收基本價1.2元；若超過5噸而不超過6噸，超過部分的水費加收200%；若超過6噸而不超過7噸，超過部分的水費加收400%.如果某人本季度實際用水量為x(x≤7)噸，試計算本季度他應交的水費(單位：元)．
方法歸納
分段函數應用問題的兩個關注點
(1)應用情境．
日常生活中的出租車計費、自來水費、電費、個人所得稅的收取等，都是最簡單的分段函數．
(2)注意問題．
求解分段函數模型問題應明確分段函數的“段”一定要分得合理．
跟蹤訓練3　甲、乙兩地相距150千米，某貨車從甲地運送貨物到乙地，以每小時50千米的速度行駛，到達乙地后將貨物卸下用了1個小時，然后以每小時60千米的速度返回甲地．從貨車離開甲地起到貨車返回甲地為止，設貨車離開甲地的時間和距離分別為x小時和y千米，試寫出y與x的函數關系式．
易錯辨析　不能正確理解分段函數致誤
例5　已知函數f(x)＝若f(a)＝3，則a的值為________．
解析：當a≤－1時，有a＋2＝3，即a＝1，與a≤－1矛盾；
當－1＜a＜2時，有a2＝3，∴a＝或a＝－(舍去)；
當a≥2時，有2a＝3，∴a＝，與a≥2矛盾．
綜上可知a＝.
答案：
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽視對a的討論致誤． 涉及自變量為參數的分段函數求參數問題，應根據參數與分段函數的定義域的關系分類討論．
課堂十分鐘
1．f(x)＝|x－1|的圖象是(　　)
2．著名的Dirichlet函數D(x)＝則D(D(x))等于(　　)
A．0 B．1
C． D．
3．在股票買賣過程中，經常用到兩種曲線：一種是即時價格曲線y＝f(x)，另一種是平均價格曲線y＝g(x)．例如，f(2)＝3是指開始買賣2小時的即時價格為3元；g(2)＝3是指開始買賣2小時內的平均價格為3元．下圖給出的四個圖象中，實線表示y＝f(x)，虛線表示y＝g(x)，其中可能正確的是(　　)
4．設函數f(x)＝，則f(f(－1))的值為______．
5．已知函數f(x)＝求使f(x)＜2成立的x的值組成的集合．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：由分段函數的概念可知，各分段上x的范圍沒有公共部分，AD是分段函數，故選AD.
答案：AD
3．解析：f(2)＝＝1.
答案：C
4．解析：函數的定義域為{x|x≠0}，當x>0時，x2∈(0，＋∞)；
當x<0時，y＝－2，故值域為{－2}
答案：(－∞，0)　{－2}
題型探究·課堂解透
例1　解析：由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
變式探究　解析：當a≤－2時，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合題意，舍去；當－2例2　解析：當x≥2時，x－4<0，解得2≤x<4.當x<2時，x2－4x＋3<0，解得1跟蹤訓練1　解析：(1)當x>1時，－x＋1＝－1，解得x＝2∈(1，＋∞)；當x≤1時，x2－1＝－1，解得x＝0∈(－∞，1].綜上，x＝0或x＝2.
(2)當a≤－2時，f(a)＝a<－3，此時不等式的解集為(－∞，－3)；
當－2當a≥4時，f(a)＝3a<－3，此時不等式無解．
故a的取值范圍為(－∞，－3)．
答案：(1)0或2　(2)(－∞，－3)
例3　解析：(1)由題意可以畫出函數f(x)＝－x＋3，g(x)＝x＋，h(x)＝x2－4x＋3在同一坐標系下的圖象：
(2)由圖中函數的取值情況，結合函數M(x)的定義，可得M(x)的圖象為：
結合圖象得函數M(x)＝
且最小值在x＝1處取得，最小值是2，故值域為[2，＋∞)．
跟蹤訓練2　解析：(1)利用描點法，作出f(x)的圖象，如圖所示．
(2)由條件知，函數f(x)的定義域為R.
由圖象知，當－1≤x≤1時，f(x)＝x2的值域為[0，1]，
當x>1或x<－1時，f(x)＝1，
所以f(x)的值域為[0，1].
例4　解析：設本季度他應交的水費為y元，當0≤x≤5時，y＝1.2x；
當5第一部分收基本水費1.2×5元，
第二部分由基本水費與加價水費組成，
即1.2(x－5)＋1.2(x－5)×200%＝1.2(x－5)×(1＋200%)元，
所以y＝1.2×5＋1.2(x－5)×(1＋200%)＝3.6x－12；
當6綜上，可得y＝
跟蹤訓練3　解析：由題意，可知貨車從甲地前往乙地用了3小時，而從乙地返回甲地用了2.5小時．
(1)當貨車從甲地前往乙地時，由題意，
可知y＝50x(0≤x≤3)；
(2)當貨車卸貨時，y＝150(3(3)當貨車從乙地返回甲地時，由題意，知
y＝150－60(x－4)(4≤x≤6.5)．
所以y＝
[課堂十分鐘]
1．解析：因為f(x)＝|x－1|＝當x＝1時，f(1)＝0，可排除A、C.又當x＝－1時，f(－1)＝2，排除D.故選B.
答案：B
2．解析：∵函數D(x)＝
∴D(x)∈{0，1}
∴D(x)是有理數
∴D(D(x))＝1.故選B.
答案：B
3．解析：開始時平均價格與即時價格一致，排除C、D，即時價格減少時，平均價格不可能增大，排除B.故選A.
答案：A
4．解析：∵f(x)＝，
∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝22＋2－2＝4.
答案：4
5．解析：由題意可得
或
由解得1≤x<；
由
解得x<－或綜上所述，使f(x)<2成立的x的值組成的集合為.
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湘教版高中數學必修第一冊-3.1.2表示函數的方法-學案講義
最新課程標準 學科核心素養
1.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數． 2．理解函數圖象的作用． 1.會用解析法、列表法、圖象法表示函數．(數學建模) 2．會求函數的解析式．(邏輯推理、數學運算) 3．能作出函數的圖象．(直觀想象)
教材要點
要點　函數的表示法
表示法 定義
解析法 用________來表示函數的方法
列表法 用________來表示兩個變量之間的對應關系的方法
圖象法 用________來表示兩個變量之間的對應關系的方法
狀元隨筆　1.解析法是表示函數的一種重要方法，這種表示方法從“數”的方面簡明、全面地概括了變量之間的數量關系．
2．由列表法和圖象法的概念可知：函數也可以說就是一張表或一張圖，根據這張表或這張圖，由自變量x的值可查找到和它對應的唯一的函數值y.
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)列表法表示y＝f(x)，y對應的那一行數字可能出現相同的情況．(　　)
(2)任何一個函數都可以用圖象法表示出來．(　　)
(3)任何一個函數都可以用解析法表示出來．(　　)
(4)函數的圖象一定是連續不斷的曲線．(　　)
2．函數f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的圖象是(　　)
A．直線 B．射線
C．線段 D．離散的點
3．一個面積為100 cm2的等腰梯形，上底長為x cm，下底長為上底長的3倍，則把它的高y(單位：cm)表示成x的函數為(　　)
A．y＝50x(x＞0) B．y＝100x(x＞0)
C．y＝(x＞0) D．y＝(x＞0)
4．已知函數f(x)，g(x)分別由下表給出．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
則f(g(1))的值為______．當g(f(x))＝2時，x＝________．
題型1　函數的表示法
例1　某商場新進了10臺彩電，每臺售價3 000元，試求收款y(元)與臺數x(臺)之間的函數關系，分別用列表法、解析法和圖象法表示出來．
方法歸納
理解函數的表示法應關注三點
(1)列表法、圖象法、解析法均是函數的表示方法，無論用哪種方式表示函數，都必須滿足函數的概念．
(2)判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數的關鍵在于是否滿足函數的定義．
(3)函數的三種表示方法互相兼容或補充，許多函數是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主．
跟蹤訓練1　已知函數f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，試分別用圖象法和列表法表示函數y＝f(x)．
題型2　函數圖象的畫法
例2　作出下列函數的圖象
(1)y＝，x∈[2，＋∞)；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．
方法歸納
(1)畫函數圖象時首先關注函數的定義域，即在定義域內作圖．
(2)圖象是實線或實點，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象．
(3)要標出某些關鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等．要分清這些關鍵點是實心點還是空心圈．
注意：函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．
跟蹤訓練2　作出下列函數的圖象．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)
(2)y＝2x2－4x－3，(x∈[0，3))．
題型3　求函數的解析式
角度1　已知函數類型求函數解析式
例3　求函數的解析式：
(1)已知f(x)是一次函數，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)；
(2)已知二次函數f(x)滿足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的兩根的平方和為10，圖象過點(0，3)，求f(x)．
角度2　已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式
例4　(1)若f＝，則當x≠0，且x≠1時，函數的解析式f(x)＝________；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)＝________．
角度3　已知式中含f(x)，f或f(x)，f(－x)形式的式子，求f(x)的解析式
例5　已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，則f(x)＝________．
方法歸納
1．待定系數法求解析式
根據已知的函數類型，設出函數的解析式，再根據條件求系數，常見的函數設法：
正比例函數 y＝kx，k≠0
反比例函數 y＝，k≠0
一元一次函數 y＝kx＋b，k≠0
一元二次函數 一般式：y＝ax2＋bx＋c，a≠0
頂點式：y＝a(x－h)2＋k，a≠0
兩點式：y＝a(x－x1)(x－x2)，a≠0
2.換元法求函數的解析式
已知復合函數f(g(x))的解析式，令t＝g(x)，
當x比較容易解出時，可以解出x換元代入；
當x不容易解出時，可以考慮先構造，
如f＝x2＋＝－2，令t＝x＋，換元代入．
換元法還要注意換元t的范圍．
3．解方程組法求函數的解析式
方程組法(消去法)，適用于自變量具有對稱規律的函數表達式，如互為相反數的f(－x)，f(x)的函數方程，通過對稱規律再構造一個關于f(－x)，f(x)的方程，聯立解出f(x).
跟蹤訓練3　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，則f(x)＝______．
(2)已知函數y＝f(x)是一次函數，且[f(x)]2－3f(x)＝4x2－10x＋4，則f(x)＝________．
(3)已知函數f(x)對于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，則f(x)＝________．
易錯辨析　換元時忽略函數的定義域致誤
例6　已知函數f(＋2)＝x＋4＋5，則f(x)的解析式為(　　)
A．f(x)＝x2＋1　　B．f(x)＝x2＋1(x≥2)
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2(x≥2)
解析：∵f(＋2)＝x＋4＋5
令＋2＝t≥2，則＝t－2，
∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＋5＝t2＋1(t≥2)
∴f(x)＝x2＋1(x≥2)，故選B.
答案：B
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
換元時，令＋2＝t，忽略了t的范圍，錯選A. 已知函數y＝f(g(x))的解析式，求函數y＝f(x)的解析式時，若函數y＝g(x)的值域不是全體實數，則所求得的函數y＝f(x)的解析式必須帶有定義域(即函數y＝g(x)的值域)．
課堂十分鐘
1．已知函數f(x)由下表給出，則f(11)＝(　　)
x 0≤x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x≤20
f(x) 2 3 4 5
A.2 B．3
C．4 D．5
2．y與x成反比，且當x＝2時，y＝1，則y關于x的函數關系式為(　　)
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，則f(x)的表達式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
4．已知函數f(2x－1)＝3x－5，若f(x0)＝4，則x0＝________．
5．已知函數f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)畫出f(x)圖象的簡圖；
(2)根據圖象寫出f(x)的值域．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
解析式　表格　圖象
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：∵f(x)＝3x－1為一次函數，圖象為一條直線，而x∈[1，5]，則此時的圖象為線段．故選C.
答案：C
3．解析：由題意知，×y＝100，得2xy＝100，∴y＝(x>0)，故選C.
答案：C
4．解析：由于函數關系是用表格形式給出的，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1　1
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)列表法：
x(臺) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)圖象法：如圖所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
跟蹤訓練1　解析：用圖象法表示函數y＝f(x)，如圖所示：
用列表法表示如下：
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
例2　解析：(1)列表
x 2 3 4 5 …
y 1 …
當x∈[2，＋∞)時，圖象是反比例函數y＝的一部分．
(2)列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
畫圖象，圖象是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x<2之間的部分．
跟蹤訓練2　解析：(1)因為x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0，1，2}，
所以該函數圖象為直線y＝1－x上的孤立點(如圖①)．
(2)因為y＝2(x－1)2－5，所以當x＝0時，y＝－3；
當x＝3時，y＝3；當x＝1時，y＝－5.
因為x∈[0，3)，故圖象是一段拋物線(如圖②)．
例3　解析：(1)因為f(x)是一次函數，設f(x)＝ax＋b(a≠0)，
則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因為f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.
所以解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(2)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以
因為f(0)＝f(4)
所以4a＋b＝0.①
因為圖象過點(0，3)，所以c＝3.②
設f(x)＝0的兩實根分別為x1，x2，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×＝10.
即b2－2ac＝10a2③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.
所以f(x)＝x2－4x＋3.
例4　解析：(1)設t＝(t≠0，且t≠1)，則x＝，
∴f(t)＝＝，
∴f(x)＝(x≠0，且x≠1)．
(2)令＋1＝t(t≥1)，則x＝(t－1)2≥0，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案：(1)(x≠0且x≠1)　(2)x2－1(x≥1)
例5　解析：用替換式子中的x，
可得f＋2f(x)＝.
于是有
∴消去f得f(x)＝(x≠0)．
答案：(x≠0)
跟蹤訓練3　解析：(1)設x＋1＝t，則x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
(2)設f(x)＝kx＋b(k≠0)
則[f(x)]2－3f(x)＝(kx＋b)2－3(kx＋b)
＝k2x2＋(2kb－3k)x＋b2－3b
＝4x2－10x＋4，
所以解得或
∴f(x)＝－2x＋4或f(x)＝2x－1.
(3)用－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，
由
消去f(－x)得f(x)＝x－1.
答案：(1)x2－5x＋6　(2)－2x＋4或2x－1　(3)x－1
[課堂十分鐘]
1．解析：由圖表可知f(11)＝4.故選C.
答案：C
2．解析：設y＝(k≠0)，當x＝2時，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.故選C.
答案：C
3．解析：方法一：設t＝x－1，則x＝t＋1.
∵f(x－1)＝x2＋4x－5
∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
∴f(x)的表達式是f(x)＝x2＋6x；
方法二：∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表達式是f(x)＝x2＋6x.
故選A.
答案：A
4．解析：令t＝2x－1，則x＝，f(t)＝－5＝t－.所以f(x)＝x－.
因為f(x0)＝4，所以x0－＝4，解得x0＝5.
答案：5
5．解析：(1)f(x)圖象的簡圖如圖所示．
(2)由f(x)的圖象可知，f(x)所有點的縱坐標的取值范圍是[－1，3]，則f(x)的值域是[－1，3].
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湘教版高中數學必修第一冊-3.1.1對函數概念的再認識-學案講義
最新課程標準 學科核心素養
1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念． 2．體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用． 3．了解構成函數的要素． 4．能求簡單函數的定義域． 1.了解函數的有關概念．(數學抽象) 2．會求函數的定義域和簡單的值域．(數學運算) 3．會判斷函數是否是同一個函數．(數學運算)
教材要點
要點一　函數的概念
概念 一般地，設A，B是兩個非空的________，如果按照某種確定的對應關系f，對于集合A中的任何一個數x，在集合B中都有________的數y和它對應，那么稱這樣的對應f：A→B為定義于A取值于B的函數．
三 要 素 對應關系 y＝f(x)，(x∈A，y∈B)
定義域 ________的取值范圍
值域 與x∈A對應的函數值組成的集合{f(x)|x∈A}
狀元隨筆　對函數概念的4點說明：
(1)非空性：函數定義中的集合A，B必須是兩個非空實數集．
(2)任意性：即定義域中的每一個元素都有函數值．
(3)單值性：每一個自變量有唯一的函數值與之對應．
(4)方向性：函數是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定的關系就不一定是函數關系．
要點二　兩個函數相等
兩個函數f(x)和g(x)，當且僅當有相同的定義域U且對每個x∈U都有f(x)＝g(x)時，叫作相等．
狀元隨筆　由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以確定一個函數只需要兩個要素：定義域和對應關系．即要檢驗給定的兩個變量(變量均取數值)之間是否具有函數關系，只要檢驗：
(1)定義域和對應關系是否給出；
(2)根據給出的對應關系，自變量x在定義域中的每一個值是否都有唯一的函數值y和它對應．
要點三　常見函數的定義域和值域
1．一次函數f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域為________，值域是________．
2．二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是__________，當a＞0時，值域為__________________，當a＜0時，值域為__________________．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)函數的定義域和值域一定是無限集合．(　　)
(2)任何兩個集合之間都可以建立函數關系．(　　)
(3)函數的定義域必須是數集，值域可以為其他集合．(　　)
(4)兩個函數的定義域和值域相同就表示同一函數．(　　)
2．下列可作為函數y＝f(x)的圖象的是(　　)
3．函數y＝的定義域是(　　)
A．{x|x≥1} B．{x|x≤1}
C．{x|x＞1} D．{x|x＜1}
4．若f(x)＝x－，則f(3)＝________．
題型1　函數關系的判斷
例1　(1)下列從集合A到集合B的對應關系f是函數的是(　　)
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的數平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的數開方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數取倒數
D．A＝{平行四邊形}，B＝R，f：求A中平行四邊形的面積
(2)設A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤2}，能表示從集合A到集合B的函數關系的是(　　)
方法歸納
(1)判斷所給對應是否為函數的方法
①首先觀察兩個數集A，B是否非空；
②其次驗證對應關系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，既不能沒有數y對應數x，也不能有多于一個的數y對應x.
(2)根據圖形判斷對應是否為函數的方法步驟
①任取一條垂直于x軸的直線l；
②在定義域內平行移動直線l；
③若l與圖形有且只有一個交點，則是函數；若在定義域內沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數．
跟蹤訓練1　(1)(多選)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，給出下列四個對應關系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|.其中不能構成從M到N的函數的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
(2)圖中所給圖象是函數圖象的個數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
題型2　求函數的定義域
例2　(1)函數f(x)＝的定義域為(　　)
A．{x|－3＜x≤0}
B．{x|－3＜x≤1}
C．{x|x＜－3或－3＜x≤0}
D．{x|x＜－3或－3＜x≤1}
(2)函數f(x)＝＋的定義域為(　　)
A．
B．{x|x≥－2}
C．
D．{x|x＞－2}
方法歸納
求給出解析式的函數的定義域的基本步驟
常見函數的定義域
(1)f(x)為整式型函數時，定義域為R；
(2)由于分式的分母不為0，所以當f(x)為分式型函數時，定義域為使分母不為零的實數的集合；
(3)由于偶次根式的被開方數非負，所以當f(x)為偶次根式型函數時，定義域為使被開方數為非負的實數的集合；
(4)函數y＝x0中的x不為0；
(5)如果函數是由一些簡單函數通過四則運算構成的，那么它的定義域是各個簡單函數定義域的交集．
跟蹤訓練2　(1)函數f(x)＝的定義域為(　　)
A．{x|x≤0}
B．
C．
D．
(2)函數y＝的定義域為________．
題型3　兩個函數是相等函數的判斷
例3　(多選)下列各組函數是相等函數的是(　　)
A．f(x)＝與g(x)＝x·
B．f(x)＝x與g(x)＝
C．f(x)＝x0與g(x)＝
D．f(x)＝x2－x＋1與g(t)＝t2－t＋1
方法歸納
判斷相等函數的三個步驟和兩個注意點
(1)判斷相等函數的三個步驟
(2)兩個注意點：
①在化簡解析式時，必須是等價變形；
②與用哪個字母表示無關．
跟蹤訓練3　下列函數中與函數y＝x2是相等函數的是(　　)
A．u＝v2 B．y＝x·|x|
C．y＝ D．y＝()4
題型4　函數值與函數的值域
例4　(1)設f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，求：
①f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)；
②g(f(2))，f(g(2))．
(2)求下列函數的值域．
①y＝3－4x，x∈(－1，3]；
②y＝；
③y＝x－.
方法歸納
1．函數求值的方法
(1)已知f(x)的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值應遵循由里往外的原則．
2．求函數值域的常用方法
(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察法得到．
(2)配方法：是求“二次函數”類值域的基本方法．
(3)換元法：運用新元代換，將所給函數化成值域易確定的函數，從而求得原函數的值域．對于f(x)＝ax＋b±(其中a，b，c，d為常數，且ac≠0)型的函數常用換元法．
(4)分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域．
跟蹤訓練4　(1)下列函數中，值域為(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
(2)已知函數f(x)＝.
求f(2)；f(f(1))．
易錯辨析　忽略參數取值范圍致誤
例5　若函數f(x)＝的定義域為R，則實數m的取值范圍是________．
解析：函數f(x)＝的定義域為R，
即mx2－mx＋2＞0恒成立．
當m＝0時，易知成立，
當m≠0時，需滿足
∴0＜m＜8，
綜上所述，0≤m＜8.
答案：0≤m＜8
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
漏掉了m＝0的情況致誤， 錯誤答案：0＜m＜8. 由函數的定義域求參數時，若二項系數含有參數，一定要分情況討論，否則容易發生錯誤．
課堂十分鐘
1．下列各圖中，一定不是函數圖象的是(　　)
2．函數f(x)＝的定義域為(　　)
A． B．
C． D．
3．下列各組函數中，表示相等函數的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝，g(x)＝|x|
C．f(x)＝1，g(x)＝x0
D．f(x)＝，g(x)＝
4．已知函數f(x)＝，又知f(t)＝6，則t＝________．
5．已知函數f(x)＝.
(1)求f(x)的定義域；
(2)若a＞0，求f(a－1)的值．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
實數集　唯一確定　x
要點三
1．R　R
2．R　
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由函數的定義可知D正確．
答案：D
3．解析：要使函數y＝有意義，
則必須∴x>1，
故選C.
答案：C
4．解析：f(3)＝3－＝3－2＝1.
答案：1
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)對B，集合A中的元素1對應集合B中的元素±1，不符合函數的定義；對C，集合A中的元素0取倒數沒有意義，在集合B中沒有元素與之對應，不符合函數的定義；對D，A集合不是數集，故不符合函數的定義．綜上，選A.
(2)A中，函數的值域為{y|0≤y≤2}，不滿足條件；B中，函數的值域為{y|0≤y≤2}，不滿足條件；C中，在0≤x<2內，一個x有兩個y與之對應，不滿足條件；D中，每個x都有唯一確定的y與之對應，是函數關系．故選D.
答案：(1)A　(2)D
跟蹤訓練1　解析：(1)①中，當x＝4時，y＝42＝16 N，故不能構成函數．②中，當x＝－1時，y＝－1＋1＝0 N，故不能構成函數；③中，當x＝－1時，y＝－1－1＝－2 N，故不能構成函數；④中，當x＝±1時，y＝|x|＝1∈N，當x＝2時，y＝|x|＝2∈N，當x＝4時，y＝|x|＝4∈N，故構成函數．故選ABC.
(2)根據函數的概念可知③④是函數的圖象．故選B.
答案：(1)ABC　(2)B
例2　解析：(1)要使函數f(x)有意義，
則解得x≤1且x≠－3，
所以函數f(x)的定義域為{x|x≤1且x≠－3}，即{x|x＜－3或－3＜x≤1}．故選D.
(2)要使函數f(x)有意義，
則解得x≥－2且x≠，故選A.
答案：(1)D　(2)A
跟蹤訓練2　解析：(1)要使函數f(x)有意義，
則解得x≤0且x≠－，故選C.
(2)∵函數解析式為y＝，
∴x＋3≥0且x≠2，
∴x≥－3且x≠2.
答案：(1)C　(2){x|x≥－3且x≠2}
例3　解析：A中，定義域都是(－∞，0]，但解析式不相同；B中，g(x)＝＝|x|與f(x)＝x解析式不同；C、D是相等函數．
答案：CD
跟蹤訓練3　解析：函數y＝x2的定義域為R，對于A項，u＝v2的定義域為R，對應法則與y＝x2一致，則A正確；對于B項，y＝x·|x|的對應法則與y＝x2不一致，則B錯誤；對于C項，y＝的定義域為{x|x≠0}，則C錯誤；對于D項，y＝()4的定義域為{x|x≥0}，則D錯誤；故選A.
答案：A
例4　解析：(1)①f(2)＝2×22＋2＝10；
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20；
g(a)＋g(0)＝；
②g(f(2))＝g(10)＝＝；
f(g(2))＝f＝2×＋2＝.
(2)①因為x∈(－1，3]，所以－12≤－4x<4，所以－9≤3－4x<7，
所以函數y＝3－4x，x∈(－1，3]的值域是[－9，7)．
②因為y＝＝＝2－≠2，
所以函數y＝的值域為{y|y≠2}．
③設＝t，則t≥0，x＝，
所以y＝－t＝(－t2－2t＋1)＝－(t＋1)2＋1，
因為t≥0，所以y≤，
所以函數y＝x－的值域為.
跟蹤訓練4　解析：(1)A中，由x≥0得y＝≥0，∴y＝(x≥0)的值域為[0，＋∞)，A不符合；B中，設＝t，由x>0得t＝>0，由y＝(t>0)的圖象知其值域為(0，＋∞)，B符合；C中，由y＝(x≠0)的圖象知，y＝的值域為(－∞，0)不符合；D中，y＝x2＋1≥1，值域為[1，＋∞)，不符合．
(2)①f(2)＝＝；
②∵f(1)＝＝；
∴f(f(1))＝f＝＝.
答案：(1)B　(2)見解析
[課堂十分鐘]
1．解析：對于A選項，由圖象可知，存在x同時對應兩個函數值y，A選項中的圖象不是函數圖象；對于B選項，由圖象可知，每個x有唯一的函數值y與之對應，B選項中的圖象是函數圖象；對于C選項，由圖象可知，每個x有唯一的函數值y與之對應，C選項中的圖象是函數圖象；對于D選項，由圖象可知，每個x有唯一的函數值y與之對應，D選項中的圖象是函數圖象．故選A.
答案：A
2．解析：要使f(x)有意義，只需滿足
即x≤且x≠0.故選D.
答案：D
3．解析：對于選項A：f(x)＝的定義域為R，g(x)＝()2的定義域為[0，＋∞)，定義域不同不是相等函數，故A不正確；對于選項B：f(x)＝＝|x|，g(x)＝|x|是相等函數，故B正確；對于選項C：f(x)＝1定義域為R，g(x)＝x0＝1，定義域為{x|x≠0}，定義域不同不是相等函數，故C不正確；對于選項D：f(x)＝的定義域為{x|x≠±1}，g(x)＝的定義域為{x|x≠1}，定義域不同不是相等函數，故D不正確；故選B.
答案：B
4．解析：由f(t)＝6，得＝6，即t＝－.
答案：－
5．解析：(1)由，解得x≥－2且x≠－1，
故f(x)的定義域為且；
(2)若a>0，f(a－1)＝＝.
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