資源簡介

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湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊-4.1.1有理數(shù)指數(shù)冪-學(xué)案講義
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　根式
1．a(chǎn)的n次方根定義
若一個(實)數(shù)x的n次方(n∈N，且n≥2)等于a，即________．則稱x是a的n次方根．
2．a(chǎn)的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根 的表示符號 a的取值范圍
n為奇數(shù) ________ a∈R
n為偶數(shù) ________ ________
3.根式：式子__________叫作根式，n叫作__________，a叫作__________．
狀元隨筆　(1)在n次方根的概念中，關(guān)鍵是數(shù)a的n次方根x滿足xn ＝a，因此求一個數(shù)a的n次方根，就是求一個數(shù)的n次方等于a.
(2)n次方根實際上就是平方根與立方根的推廣．
(3)n次方根的概念表明，乘方與開方是互逆運(yùn)算．
要點(diǎn)二　根式的性質(zhì)
根式的性質(zhì)是化簡根式的重要依據(jù)
(1)________沒有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，記作＝________．
(3)()n＝________(n∈N*，且n＞1).
(4)＝a(n為大于1的奇數(shù)).
(5)＝|a|＝(n為大于1的偶數(shù)).
　與()n的區(qū)別
(1)是實數(shù)an的n次方根，是一個恒有意義的式子，不受n的奇偶限制，但這個式子的值受n的奇偶限制．其算法是對a先乘方，再開方(都是n次)，結(jié)果不一定等于a.當(dāng)n為奇數(shù)時， ＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時， ＝|a|＝
(2)()n是實數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實數(shù)a的取值由n的奇偶決定．其算法是對a先開方，再乘方(都是n次)，結(jié)果恒等于a.
要點(diǎn)三　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
分 數(shù) 指 數(shù) 冪 正分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪 規(guī)定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
負(fù)分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪 規(guī)定：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
性質(zhì) 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于__________，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪__________
　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的一種表示形式，即a＝，分?jǐn)?shù)指數(shù)不能隨意約分，如(－3)約分后為(－3)＝，而在實數(shù)范圍內(nèi)是無意義的．
要點(diǎn)四　有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)實數(shù)a的奇次方根只有一個．(　　)
(2)當(dāng)n∈N*時，()n＝－2.(　　)
(3)()n中實數(shù)a的取值范圍是任意實數(shù)．(　　)
(4)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，如＝a.(　　)
2．下列各式正確的是(　　)
A．＝－3 B．＝a
C．()3＝－2 D．＝2
3．將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是(　　)
A．a(chǎn)－　　 　B．a(chǎn) C．－a　　 　D．－a
4.的值是________．
題型1　根式的化簡與求值
例1　(1)化簡＋的結(jié)果是(　　)
A．1 B．2a－1
C．1或2a－1 D．0
(2)計算下列各式
① ＋()5；
② ＋()6；
③ ＋.
方法歸納
根式化簡或求值的策略
(1)解決根式的化簡或求值問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡或求值．
(2)開偶次方時，先用絕對值表示開方的結(jié)果，再去掉絕對值符號化簡，化簡時要結(jié)合條件或分類討論．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)下列各式正確的是(　　)
A．＝a B．a(chǎn)0＝1
C．＝－4 D．＝－5
(2)計算下列各式：
① ＝________．
② －－＝________．
　根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化
例2　(1)將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a－ (a＞0)化為根式為________．
(2)化簡：(a2·)÷(·)＝________．(用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示)
(3)將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化．
①a3·.
② (a＞0，b＞0).
方法歸納
根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的方法及思路
(1)方法：根指數(shù)←分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)←分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．
(2)思路：在具體計算中，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．
特別提醒：如果根式中含有多重根號，要由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出．
跟蹤訓(xùn)練2　下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是(　　)
A．－＝(－x) (x＞0) B．＝y(tǒng)(y＜0)
C．＝ (x＞0) D．＝－(x≠0)
題型3　指數(shù)冪的化簡與求值
例3　(1)化簡：
①ab·(－3ab)÷；
②(mn－)8；
③(－)÷.
(2)求值：
①＋2－2×－0.010.5；
②0.064－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|.
方法歸納
利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值的方法
(1)進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時兼顧運(yùn)算的順序．
(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時，若能明確被開方數(shù)的符號，則可以對根式進(jìn)行化簡運(yùn)算．
(3)對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)計算：(－1.8)0＋·－＋；
(2)化簡：(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c).
　忽視根式中的變量條件致誤
例4　式子a 經(jīng)過計算可得(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：因為 成立，所以a＜0，所以a＝a＝＝－.
故選D.
答案：D
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽視a＜0這一條件，易錯選A. 把一個完全平方式從二次根號內(nèi)開方出來之后，要先加上絕對值號，再根據(jù)條件或分類討論去掉絕對值符號得出最終結(jié)果．
課堂十分鐘
1．將化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其形式是(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
2．已知m＜，則化簡的結(jié)果為(　　)
A． B．－
C． D．－
3．若2＜a＜3，化簡＋的結(jié)果是(　　)
A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
4．計算＝________．
5．計算：0.0001－＋27－－＋－1.5.
參考答案與解析
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)一
1．xn＝a
2.　±　[0，＋∞)
3.　根指數(shù)　被開方數(shù)
要點(diǎn)二
(1)負(fù)數(shù)　(2)0　(3)a　(5)a　－a
要點(diǎn)三
0　無意義
[基礎(chǔ)自測]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故選項A、B、D錯誤，故選C.
答案：C
3．解析：＝a－.
答案：A
4．解析：＝＝＝＝＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)原式＝a＋|1－a|＝故選C.
(2)①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
②原式＝|－2|＋2＝4.
③原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2
答案：(1)C　(2)見解析
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)由于＝則選項A，C排除，D正確，B需要加條件a≠0.
(2)①＝＝π－3.
②－－＝－－＝－－＝.
答案：(1)D　(2)①π－3?、?br/>例2　解析：(1)a－＝＝.
(2)(a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a－＝a.
(3)①a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
②＝＝＝＝a－·
答案：(1).　(2)a　(3)見解析
跟蹤訓(xùn)練2　解析：－＝－x (x>0)；＝(y2)＝－y(y<0)；
x－＝(x－3)＝(x>0)；
x－＝ ＝(x≠0).
答案：C
例3　解析：(1)①原式＝×a＋－b＋－＝－9a.
②＝
＝m2n－3
＝.
③(－)÷＝÷
＝a÷a－a÷a
＝a－－a－
＝a－a
＝－a.
(2)①原式＝1＋×－＝1＋－＝；
②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝－1＋＋＋＝.
跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)原式＝1＋·－10＋＝1＋·－10＋27＝29－10＝19.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－.
[課堂十分鐘]
1．解析： = === -
答案：B
2．解析：∵m<，∴3m－2<0，排除A，B，
又(3m－2)2>0，所以為正，所以選C.
答案：C
3．解析：由于2＜a＜3，所以2－a＜0，3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1.
答案：C
4．解析：＝＝＝.
答案：
5．解析：原式＝－＋－2×＋2×＝0.1－1＋32－－1＋－3
＝10＋9－＋27＝.
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湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊-4.1.3冪函數(shù)-學(xué)案講義
最新課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)科核心素養(yǎng)
1.通過具體實例，結(jié)合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的圖象，理解它們的變化規(guī)律． 2．了解冪函數(shù)． 1.了解冪函數(shù)的概念，會求冪函數(shù)的解析式．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算) 2．結(jié)合冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象，掌握它們的性質(zhì)．(直觀想象、邏輯推理) 3．能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?數(shù)學(xué)運(yùn)算)
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　冪函數(shù)的概念
一般來說，當(dāng)x為自變量而α為非零實數(shù)時， 函數(shù)________叫做(α次)冪函數(shù)．
要點(diǎn)二　冪運(yùn)算的基本不等式
對任意的正數(shù)r和兩正數(shù)a>b，有＝ >1，即ar＞br.
對任意的負(fù)數(shù)r和兩正數(shù)a>b，有＝<1，即ar要點(diǎn)三　實數(shù)次冪函數(shù)y＝xα(α≠0)的圖象與性質(zhì)
函數(shù) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝
定義域 R R R ________ ________
值域 R ________ R ________ ________
奇偶性 奇函數(shù) ________ ________ 非奇非偶 函數(shù) ________
單調(diào)性 在R上遞增 在________ 上遞減， 在________ 上遞增 在R上遞增 在________ 上遞增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上遞減
圖象
過定點(diǎn) ________ ________
　冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)α＞0時，y＝xα是增函數(shù)；當(dāng)α＜0時，y＝xα是減函數(shù)．
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(0，0)，(1，1).(　　)
(2)冪函數(shù)的圖象一定不能出現(xiàn)在第四象限，但可能出現(xiàn)在第二象限．(　　)
(3)當(dāng)冪指數(shù)α取1，3，時，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)．(　　)
(4)若冪函數(shù)y＝xα的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大．(　　)
2．在函數(shù)y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，冪函數(shù)的個數(shù)為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．(多選)已知冪函數(shù)f(x)＝xα(α是常數(shù))，下列說法錯誤的是(　　)
A．f(x)的定義域為R
B．f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增
C．f(x)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)(1，1)
D．f(x)的圖象有可能經(jīng)過點(diǎn)(1，－1)
4．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(3，)，則f(9)＝________．
題型1　冪函數(shù)的概念
例1　(1)(多選)下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是(　　)
A．y＝ B．y＝x5
C．y＝4x2 D．y＝x
(2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值．
方法歸納
(1)冪函數(shù)的判斷方法
①冪函數(shù)同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，是一種“形式定義”的函數(shù)，也就是說必須完全具備形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)才是冪函數(shù)．
②如果函數(shù)解析式以根式的形式給出，則要注意把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡整理，再對照冪函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．
(2)求冪函數(shù)解析式的依據(jù)及常用方法
①依據(jù)．
若一個函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)應(yīng)具備冪函數(shù)解析式所具備的特征，這是解決與冪函數(shù)有關(guān)問題的隱含條件．
②常用方法．
設(shè)冪函數(shù)解析式為f(x)＝xα，根據(jù)條件求出α.
跟蹤訓(xùn)練1　若函數(shù)y＝(m2＋2m－2)xm為冪函數(shù)且在第一象限為增函數(shù)，則m的值為(　　)
A．1　　　　B．－3 C．－1　　　　D．3
(2)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則f(4)＝________．
題型2　冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例2　(1)函數(shù)y＝x的圖象是(　　)
(2)冪函數(shù)y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的圖象如圖，則將m，n，p，q的大小關(guān)系用“＜”連接起來結(jié)果是________．
方法歸納
解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則
(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0，1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為指大圖高).
(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)來判斷．
跟蹤訓(xùn)練2　
(1)如圖，曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，三個值，則相應(yīng)于曲線c1，c2，c3的n值依次為(　　)
A．－2，，2 B．2，，－2
C．－2，2， D．2，－2，
(2)當(dāng)α∈時，冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過第________象限．
題型3　冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
角度1　比較大小
例3　把，，，按從小到大的順序排列：____________________________．
角度2　解不等式
例4　已知(a＋1)－1＜(3－2a)－1，求a的取值范圍．
方法歸納
1．比較冪的大小的策略
比較冪的大小的關(guān)鍵是弄清底數(shù)與指數(shù)是否相同．若指數(shù)相同，則利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。蝗舻讛?shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，中間值可以是“0”或“1”．
2．利用冪函數(shù)解不等式的步驟
利用冪函數(shù)解不等式，實質(zhì)是已知兩個函數(shù)值的大小，判斷自變量或冪指數(shù)的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題．求解步驟如下：
(1)確定可以利用的冪函數(shù)；
(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量或冪指數(shù)的大小關(guān)系；
(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)下列兩個數(shù)的大小正確的是(　　)
A．< B．<
C．0.20.6>0.30.6 D．9－>
(2)若(3－2m)＞(m＋1)，則實數(shù)m的取值范圍為________．
　忽視冪函數(shù)的圖象特點(diǎn)致誤例5　若函數(shù)f(x)＝(m2＋3m＋1)·是冪函數(shù)，且其圖象過原點(diǎn)，則m＝________．
解析：因為函數(shù)f(x)＝(m2＋3m＋1)·是冪函數(shù)，所以m2＋3m＋1＝1，解得m＝0或m＝－3.當(dāng)m＝0時，f(x)＝x－1，其圖象不過原點(diǎn)，應(yīng)舍去；當(dāng)m＝－3時，f(x)＝x5，其圖象過原點(diǎn)．
答案：－3
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽視了函數(shù)圖象過原點(diǎn)，沒有對所求m值進(jìn)行檢驗，致使得到錯誤答案：0或－3 冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，則指數(shù)大于0；圖象不過原點(diǎn)，則指數(shù)小于或等于0.
課堂十分鐘
1．設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域為R且函數(shù)y＝xα為奇函數(shù)的所有α的值為(　　)
A．－1，3 B．－1，1
C．1，3 D．－1，1，3
2．在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝ax＋與g(x)＝ax2的圖象可能是(　　)
3．設(shè)a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜c＜b
C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a
4．已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，則f＝________．
5．已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求f(x)的解析式．
參考答案與解析
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)一
　y＝xα
要點(diǎn)三
{x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥0}　{y|y≥0}　{y|y≠0}　偶函數(shù)　奇函數(shù)　奇函數(shù)　(－∞，0)　(0，＋∞)　(0，＋∞)　(0，0)，(1，1) 　(1，1)
[基礎(chǔ)自測]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：函數(shù)y＝＝x－4為冪函數(shù)；函數(shù)y＝3x2中x2的系數(shù)不是1，所以它不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常數(shù))的形式，所以它不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝1與y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是冪函數(shù)．故選B.
答案：B
3．解析：當(dāng)α＝－1時，f(x)＝x－1＝的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，因此A，B錯誤；當(dāng)x＝1時，f(1)＝1，因此C正確，D錯誤．故選ABD.
答案：ABD
4．解析：設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα(α為常數(shù))，
∵冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(3，)，
∴＝3α，解得α＝，
∴f(x)＝，∴f(9)＝＝3.
答案：3
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)A不符合冪函數(shù)的特點(diǎn)，C中系數(shù)不是1，BD是冪函數(shù)．
故選BD.
(2)由冪函數(shù)的定義可知
解得m＝－3或1，n＝.
答案：(1)BD　(2)見解析
跟蹤訓(xùn)練1　解析：因為函數(shù)y＝(m2＋2m－2)xm為冪函數(shù)且在第一象限為增函數(shù)，所以所以m＝1.
故選A.
(2)設(shè)f(x)＝xα(α為常數(shù))，所以＝3α，α＝－2，
所以f(4)＝4－2＝.
答案：(1)A　(2)
例2　解析：(1)由冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0，0)和(1，1)，故排除A、D；因為y＝xα中，0<α＝<1，所以圖象在第一象限內(nèi)上凸，排除C，故選B.
(2)過原點(diǎn)的指數(shù)α>0，不過原點(diǎn)的α<0，所以n<0，當(dāng)x>1時，在直線y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，01時，指數(shù)越大，圖象越高，所以m>q，綜上所述n答案：(1)B　(2)n跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)對于函數(shù)y＝x－2，y＝x2，y＝x，令x＝4，得到的函數(shù)值依次為，16，2.函數(shù)值由大到小對應(yīng)的解析式為y＝x2，y＝x，y＝x－2.因此相應(yīng)于曲線c1，c2，c3的n值依次為2，，－2.故選B.
(2)冪函數(shù)y＝x－1，y＝x，y＝x3的圖象經(jīng)過第一、三象限；y＝x的圖象經(jīng)過第一象限；y＝x2的圖象經(jīng)過第一、二象限．所以冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過第四象限．
答案：(1)B　(2)四
例3　解析：＝1，>1，<1，<1，∵y＝x為增函數(shù)，∴<.綜上，<<<.
答案：<<<
例4　解析：①當(dāng)a＋1>0，且3－2a>0時，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，∴
解得②當(dāng)a＋1<0，且3－2a>0時，
(a＋1)－1<0，(3－2a)－1>0.符合題意．可得解得a<－1.
③當(dāng)a＋1<0且3－2a<0時，∵(a＋1)－1<(3－2a)－1，
∴不等式組解集為 .
綜上所述，a的取值范圍為(－∞，－1)∪.
跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)∵函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又>，∴>，A錯；∵函數(shù)y＝x－在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又>，∴<，B正確；由冪函數(shù)單調(diào)性知0.20.6<0.30.6，C錯；9－＝<<，∴9－<，D錯．故選B.
(2)∵函數(shù)y＝x在定義域[0，＋∞)上是增函數(shù)，
∴
解得－1≤m<.
故實數(shù)m的取值范圍為.
答案：(1)B　(2)
[課堂十分鐘]
1．解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1是常見的五個冪函數(shù)，顯然y＝xα為奇函數(shù)時，α＝－1，1，3，又函數(shù)的定義域為R，所以α≠－1，故α＝1，3.故選C.
答案：C
2．解析：因為當(dāng)a>0時，f(x)＝ax＋是增函數(shù)，與y軸的交點(diǎn)在正半軸上，g(x)＝ax2的開口向上；當(dāng)a<0時，f(x)＝ax＋是減函數(shù)，與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上，g(x)＝ax2的開口向下；所以只有A中的圖象符合，故選A.
答案：A
3．解析：a＝2－6＝8－2，b＝3－4＝9－2，c＝7－2，由冪函數(shù)y＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可知b答案：A
4．解析：設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xα(α為常數(shù)).
∵函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，∴2＝4α，
∴α＝，∴f(x)＝，
∴f＝＝.
答案：
5．解析：∵冪函數(shù)y＝x3m－9在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴3m－9<0，即m<3.
又∵m∈N*，∴m＝1，2.
又y＝x3m－9的圖象關(guān)于y軸對稱，即該函數(shù)是偶函數(shù)，
∴3m－9是偶數(shù)．∴m＝1.
∴f(x)＝x－6.
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湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊-4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪-學(xué)案講義
最新課程標(biāo)準(zhǔn) 1.認(rèn)識無理數(shù)指數(shù)冪ax(a＞0，且a≠1，x∈R)的意義． 2．掌握實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)． 學(xué)科核心素養(yǎng) 1.了解無理數(shù)指數(shù)冪的意義．(數(shù)學(xué)抽象) 2．能利用實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　有理數(shù)指數(shù)冪的基本不等式
(1)基本形式：對任意的正有理數(shù)r和正數(shù)a，若a＞1，則ar＞1；若a<1，則ar<1.
(2)推論：對任意的正數(shù)a＞1和兩有理數(shù)r>s，有＝ar－s>1，即ar＞as.
對任意的正數(shù)a<1和兩有理數(shù)r>s，有＝ar－s<1，即ar< as.
要點(diǎn)二　無理數(shù)指數(shù)冪的概念
給定任意正數(shù)a，對任意實數(shù)u，a的u次冪au都有了定義，其中a叫作底數(shù)，u叫作指數(shù)．
　(1)無理數(shù)指數(shù)冪通常用近似逼近的方法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)指數(shù)冪，即用無理數(shù)指數(shù)冪的不足近似值(逢數(shù)都舍)和過剩近似值(逢數(shù)進(jìn)位)不斷地逼近無理數(shù)指數(shù)冪的準(zhǔn)確值．具體方法是：先取無理數(shù)指數(shù)的兩種近似值(不足近似值和過剩近似值)，然后計算無理數(shù)指數(shù)冪的不足近似值和過剩近似值，這兩個值可以無限逼近一個實數(shù)aα(a＞0，α是無理數(shù)).
(2)0的正無理數(shù)指數(shù)冪為0，0的負(fù)無理數(shù)指數(shù)冪沒有意義．
要點(diǎn)三　冪運(yùn)算基本不等式
對任意的正數(shù)u和正數(shù)a，若a＞1，則au＞1；若a<1，則au<1.
對任意的負(fù)數(shù)u和正數(shù)a，若a＞1，則au<1；若a<1，則au＞1.
要點(diǎn)四　實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
對于任意正數(shù)a，b和實數(shù)r，s，指數(shù)冪均滿足下面的運(yùn)算性質(zhì)：
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)；
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)；
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R).
　實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)除了上述三個外，還有如下兩個常用性質(zhì)：
(1)ar÷as ＝ar－s(a＞0，r，s∈R)；
(2)＝(a＞0，b＞0，r∈R).
基礎(chǔ)自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)5是一個確定的實數(shù)．(　　)
(2)指數(shù)冪aα的指數(shù)α只能取無理數(shù)．(　　)
(3)(2)＝8.(　　)
(4)2∈R.(　　)
2．(2)2＝(　　)
A．4　　　　B．8　　　　C．8　　　　D．16
3．化簡： ＝________．(a＞0)
4．計算：()2＝________．
題型1　無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算
例1　(1)(3·)3；
(2) (a＞0).
方法歸納
關(guān)于無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算
(1)底數(shù)相同時直接對指數(shù)上的無理數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算；
(2)若式子中含有根式，則先化為指數(shù)式再進(jìn)行運(yùn)算，一般指數(shù)中的根式可以保留．
跟蹤訓(xùn)練1　計算：
(1)；
(2)(·)12(m＞0).
題型2　條件因式的化簡與求值
角度1　“已知值”的化簡求值
例2　已知x＝，y＝，求－的值．
角度2　“整體代換”的化簡求值
例3　已知＋＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3) .
方法歸納
解條件求值問題的原則
(1)對于含條件的求值問題，可以把所要求的式子先進(jìn)行變形，找出與條件的聯(lián)系，然后求值．
(2)也可以先對條件加以變形，使它與所要求的式子的聯(lián)系更加明顯，從整體上把握代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后求值．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知am＝4，an＝3，則 的值為(　　)
A． B．6
C． D．2
(2)已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，則＝________．
題型3　實數(shù)指數(shù)冪比較大小
例4　已知a>1，h>0，對任意的實數(shù)u，求證：
(1)au＋2h－au＋h>au＋h－au；
(2)(1＋h)100>1＋100h.
方法歸納
進(jìn)行實數(shù)指數(shù)冪的大小比較時，要善于應(yīng)用冪運(yùn)算基本不等式，同時注意數(shù)的正負(fù)性，對于正數(shù)a，b，<1 0a>b.
跟蹤訓(xùn)練3　已知00，對任意的實數(shù)u，求證：au＋h－au＋2h課堂十分鐘
1．計算(π)－的結(jié)果是(　　)
A．π　　　　B．　　　　C．－π　　　　D．
2.·等于(　　)
A．－ B．－ C． D．
3．若2x＝7，2y＝6，則4x－y等于(　　)
A． B． C． D．
4．化簡(＋)2 020·(－)2 021＝________．
5．已知＋＝4，求的值．
參考答案與解析
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[基礎(chǔ)自測]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：＝＝24＝16.
答案：D
3．解析： ＝＝.
答案：
4．解析：＝＝＝53＝125.
答案：125
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)原式＝(3·2)3＝(3)3·2·3＝36·22＝2 916.
(2)原式＝a＋－π＝a－.
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)原式＝(π－)2＝(π)2＝π3.
(2)原式＝(m－)12＝()12＝m2π.
例2　解析：－
＝－＝.
∵x＝，y＝，
∴原式＝＝＝－24＝－8.
例3　解析：(1)將a＋a－＝3兩邊平方，
得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.
(2)將a＋a－1＝7兩邊平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.
(3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3，
所以有
＝
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)＝＝＝.
(2)∵x＋y＝12，xy＝9，
∴2＝＝＝＝.
∵x答案：(1)A　(2)－
例4　證明：(1)因為au＋2h，au＋h，au都是正數(shù)，且＝＝ah>1，故au＋2h－au＋h，au＋h－au也是正數(shù)．
又因為＝＝＝ah>1，
即得au＋2h－au＋h>au＋h－au.
(2)由于對正數(shù)A和B有(1＋A)(1＋B)>1＋A＋B，
故(1＋h)2>1＋2h，(1＋h)3>(1＋2h)(1＋h)>1＋3h，
從而(1＋h)10＝[(1＋h)2(1＋h)3]2>[(1＋2h)(1＋3h)]2>(1＋5h)2>1＋10h，兩端10次方得(1＋h)100>(1＋10h)10>1＋100h.
跟蹤訓(xùn)練3　證明：由au，au＋h，au＋2h都是正數(shù)，且＝＝ah<1，得au＋h－au＋2h>0，au－au＋h>0，
所以＝＝＝ah<1，
所以au＋h－au＋2h[課堂十分鐘]
1．解析：＝＝π－1＝.
答案：D
2．解析：·＝·
＝－·＝－＝－ .
答案：A
3．解析：4x－y＝22x－2y＝＝.
答案：D
4．解析：()2 020·()2 021＝[()()]2 020·()＝12 020·()＝.
答案：－
5．解析：∵＋＝4，∴x＋2＋x－1＝16.
∴x＋x－1＝14，∴x2＋2＋x－2＝196，
∴x2＋x－2＝194，
∴原式＝＝－3.
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