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湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)-3.2.1函數(shù)的單調(diào)性與最值-學(xué)案講義
最新課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)科核心素養(yǎng)
1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性． 2．理解單調(diào)性的作用和實(shí)際意義． 1.理解函數(shù)單調(diào)性的定義及相關(guān)概念，理解函數(shù)最大(小)值的定義．(數(shù)學(xué)抽象) 2．能用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性．(邏輯推理) 3．會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　函數(shù)最大(小)值
設(shè)D是函數(shù)f(x)的定義域，I是D的一個(gè)非空的子集．
(1)如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)對(duì)一切x∈D成立，就說(shuō)f(x)在x＝a處取到最大值M＝f(a)，稱M為f(x)的最大值，a為f(x)的最大值點(diǎn)；
(2)如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)對(duì)一切x∈D成立，就說(shuō)f(x)在x＝a處取到最小值M＝f(a)，稱M為f(x)的最小值，a為f(x)的最小值點(diǎn)．
狀元隨筆　最大(小)值必須是一個(gè)函數(shù)值，是值域中的一個(gè)元素，如函數(shù)y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.
要點(diǎn)二　增函數(shù)與減函數(shù)的定義
狀元隨筆　定義中的x1，x2有以下3個(gè)特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時(shí)不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常規(guī)定x1＜x2；
(3)屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間．
要點(diǎn)三　單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)________，區(qū)間I叫作y＝f(x)的________．
狀元隨筆　一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“和”連接．如函數(shù)y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減，卻不能表述為：函數(shù)y＝在(－∞，0)上單調(diào)遞減．
基礎(chǔ)自測(cè)
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)函數(shù)f(x)≤1恒成立，則f(x)的最大值是1.(　　)
(2)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(　　)
(3)函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0).(　　)
(4)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，c]上在x＝b處有最小值f(b)．(　　)
2．函數(shù)y＝－2x2＋3x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0)
C． D．
3．(多選)如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，對(duì)于任意x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．＞0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)
D．f(x1)＞f(x2)
4．函數(shù)f(x)在[－2，2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是________．
　　
題型1　利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例1　已知函數(shù)f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
(1)將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式；
(2)畫出函數(shù)的圖象；
(3)根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間．
方法歸納
(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，若所給函數(shù)是常見的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，可根據(jù)其單調(diào)性寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，若函數(shù)不是上述函數(shù)且函數(shù)圖象容易作出，可作出其圖象，根據(jù)圖象寫出其單調(diào)區(qū)間．
(2)一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“∪”連接兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，而要用“和”或“，”連接．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的減區(qū)間為(　　)
A．(－3，1)
B．(－5，3)
C．(－3，－1)，(1，4)
D．(－5，－3)，(－1，1)
(2)函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)遞增區(qū)間是__________，遞減區(qū)間是__________________．
題型2　函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明
例2　用定義證明函數(shù)f(x)＝x＋(k＞0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性．
方法歸納
利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
注：作差變形是解題關(guān)鍵．
跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝，判斷并用定義證明f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性．
題型3　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
角度1　比較大小
例3　已知函數(shù)y＝f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù) ，則(　　)
A．f＞f(a2－a＋1) B．f＜f(a2－a＋1)
C．f≥f(a2－a＋1) D．f≤f(a2－a＋1)
狀元隨筆　利用單調(diào)性比較函數(shù)值或自變量的大小時(shí)，要注意將對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上．
角度2　解不等式
例4　f(x)是定義在(－2，2)上的減函數(shù)，若f(m－1)＞f(2m－1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．m＞0 B．0＜m＜
C．－1＜m＜3 D．－＜m＜
狀元隨筆　利用單調(diào)性解不等式，就是根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，構(gòu)造不等式(不等式組)求解，注意函數(shù)的定義域，所有自變量都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)．
角度3　利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
例5　若f(x)＝－x2＋4mx與g(x)＝在區(qū)間[2，4]上都是減函數(shù)，則m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(0，1]
方法歸納
“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為I”與“函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)”的區(qū)別
單調(diào)區(qū)間是一個(gè)整體概念，說(shuō)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是I，指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間I，而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間．所以我們?cè)诮鉀Q函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一定要仔細(xì)讀題，明確條件含義．
角度4　求函數(shù)的最值
例6　已知函數(shù)f(x)＝(x∈[2，6])，求函數(shù)的最大值和最小值．
方法歸納
1．利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值的一般步驟
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(2)利用單調(diào)性求出最大(小)值．
2．函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上是減(增)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè)．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，則下列關(guān)系式正確的是(　　)
A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1)
C．f(2)＜f(1)＜f(－1) D．f(1)＜f(－1)＜f(2)
(2)函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)＞f(－m＋9)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)
(3)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，＋∞)，則a的值為________．
(4)已知函數(shù)f(x)＝，求函數(shù)f(x)在[1，5]上的最值．
易錯(cuò)辨析　忽視函數(shù)的定義
例7　已知函數(shù)f(x)＝是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是(　　)
A．－3≤a＜0 B．a(chǎn)≤－2
C．a(chǎn)＜0 D．－3≤a≤－2
解析：函數(shù)f(x)＝是R上的增函數(shù)，則f(x)＝－x2－ax－5(x≤1)單調(diào)遞增，故它的對(duì)稱軸－≥1，即a≤－2，此時(shí)f(x)＝(x＞1)也單調(diào)遞增，所以a＜0，要保證在R上是增函數(shù)．還需在x＝1處滿足－12－a×1－5≤，即a≥－3.綜上所述，－3≤a≤－2.
答案：D
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
只考慮f(x)＝－x2－ax－5(x≤1)單調(diào)遞增與f(x)＝(x＞1)單調(diào)遞增，即 ∴a≤－2，忽視增函數(shù)的定義出錯(cuò)． 分段函數(shù)如果都能單調(diào)遞增還需保證斷點(diǎn)左側(cè)的值小于或等于右側(cè)的值． 本題中：－12－a×1－5≤.
課堂十分鐘
1．(多選)如圖所示的是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說(shuō)法正確的是(　　)
A．函數(shù)在區(qū)間[－5，－3]上單調(diào)遞增
B．函數(shù)在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增
C．函數(shù)在區(qū)間[－3，1]上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在區(qū)間[－5，5]上沒有單調(diào)性
2．函數(shù)y＝的單調(diào)減區(qū)間是(　　)
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)
C{x∈R|x≠1} D．R
3．函數(shù)y＝在[2，3]上的最小值為(　　)
A．1 B．
C． D．
4．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y＝(k－2)x＋1是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
5．已知f(x)是定義在[－1，1]上的增函數(shù)，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范圍．
參考答案與解析
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)二
f(x1)f(x2)　增函數(shù)　減函數(shù)
要點(diǎn)三
單調(diào)性　單調(diào)區(qū)間
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：借助圖象得y＝－2x2＋3x的單調(diào)減區(qū)間是.
答案：D
3．解析：由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若函數(shù)y＝f(x)在給定的區(qū)間上是增函數(shù)，則x1－x2與f(x1)－f(x2)同號(hào)，由此可知，選項(xiàng)A，B正確；對(duì)于C，D，因?yàn)閤1，x2的大小關(guān)系無(wú)法判斷，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系也無(wú)法判斷，故C、D不正確．故選AB.
答案：AB
4．解析：由圖象知點(diǎn)(1，2)是最高點(diǎn)，點(diǎn)(－2，－1)是最低點(diǎn)，
∴ymax＝2，ymin＝－1.
答案：－1，2
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝
(2)如圖．
(3)由圖象可知單調(diào)遞增區(qū)間為[－2，0)，[2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－2)，[0，2)．
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)在某個(gè)區(qū)間上，若函數(shù)y＝f(x)的圖象是上升的，則該區(qū)間為增區(qū)間，若是下降的，則該區(qū)間為減區(qū)間，故該函數(shù)的減區(qū)間為(－3，－1)，(1，4)．
(2)y＝－x2＋2|x|＋3＝
畫出函數(shù)圖象如圖，由圖可知函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)遞增區(qū)間是：(－∞，－1]，(0，1].遞減區(qū)間是：[－1，0]，[1，＋∞)．
答案：(1)C　(2)(－∞，－1]，(0，1]　[－1，0]，[1，＋∞)
例2　證明：設(shè)x1，x2∈(0，＋∞)，且x1則f(x1)－f(x2)＝＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋k·＝(x1－x2)－k·＝(x1－x2)·，
因?yàn)?0.
當(dāng)x1，x2∈(0，]時(shí)，x1x2－k<0 f(x1)－f(x2)>0，此時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù)；
當(dāng)x1，x2∈(，＋∞)時(shí)，x1x2－k>0 f(x1)－f(x2)<0，此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù)．
綜上，函數(shù)f(x)＝x＋(k>0)在區(qū)間(0，]上為減函數(shù)，在區(qū)間(，＋∞)上為增函數(shù)．
跟蹤訓(xùn)練2　解析：f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減．
證明如下： x1，x2∈(0，＋∞)，且x1有f(x1)－f(x2)＝＝＝，
因?yàn)?0.
當(dāng)x>2時(shí)>0，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減．
當(dāng)0所以，f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減．
例3　解析：∵a2－a＋1＝＋.又∵函數(shù)y＝f(x)在[0，＋∞)是減函數(shù)，∴f(a2－a＋1)≤f.故選C.
答案：C
例4　解析：由題意知解得0故選B.
答案：B
例5　解析：函數(shù)f(x)＝－x2＋4mx的圖象開口向下，且以直線x＝2m為對(duì)稱軸，若在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，則2m≤2，解得m≤1，g(x)＝的圖象由y＝的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，若在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，則2m>0，解得m>0.綜上可得m的取值范圍是(0，1].故選D.
答案：D
例6　解析： x1，x2∈[2，6]，且x1f(x1)－f(x2)＝＝＝.
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以，函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞減．
因此，函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[2，6]的兩個(gè)端點(diǎn)處分別取得最大值與最小值．在x＝2時(shí)取得最大值，最大值是2；在x＝6時(shí)取得最小值，最小值是0.4.
跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)因?yàn)樵摱魏瘮?shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝2，所以f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞減，因?yàn)?>1>－1，所以f(2)(2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.故選C.
(3)f(x)＝|2x－a|＝，
所以f(x)＝|2x－a|的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，
若函數(shù)f(x)＝|2x－a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，＋∞)，則＝3，解得a＝6.
(4)先證明函數(shù)f(x)＝的單調(diào)性，設(shè)x1，x2是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x2>x1>，
f(x1)－f(x2)＝＝.
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)f(x)＝在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)f(x)在[1，5]上是單調(diào)遞減的，因此，函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[1，5]的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值，
即最大值為f(1)＝3，最小值為f(5)＝.
答案：(1)C　(2)C　(3)6　(4)見解析
[課堂十分鐘]
1．解析：若一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)性相同的區(qū)間，不一定能用“∪”連接．故選ABD.
答案：ABD
2．解析：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間不能寫成單調(diào)集合，也不能超出定義域，故C，D不對(duì)，B表達(dá)不當(dāng)．故選A.
答案：A
3．解析：∵函數(shù)y＝在[2，3]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＝有最小值.
故選D.
答案：D
4．解析：f(x)為R上的增函數(shù)，則k－2>0，k>2.
答案：(2，＋∞)
5．解析：∵f(x)是定義在[－1，1]上的增函數(shù)，
且f(x－2)∴
解得1≤x<，
所以x的取值范圍為1≤x<.
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湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)-3.2.2函數(shù)的奇偶性-學(xué)案講義
最新課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)科核心素養(yǎng)
結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義． 1.了解函數(shù)奇偶性的概念．(數(shù)學(xué)抽象) 2．會(huì)利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性．(邏輯推理) 3．會(huì)利用奇、偶函數(shù)的圖象．(直觀想象) 4．能利用函數(shù)的奇偶性解決簡(jiǎn)單問(wèn)題．(邏輯推理)
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)
1．偶函數(shù)的概念
如果對(duì)一切使F(x)有定義的x，F(xiàn)(－x)也有定義，并且F(－x)＝________成立，則稱F(x)為偶函數(shù)．
2．奇函數(shù)的概念
如果對(duì)一切使F(x)有定義的x，F(xiàn)(－x)也有定義，并且F(－x)＝________成立，則稱F(x)為奇函數(shù)．
3．奇、偶函數(shù)的圖象特征
(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于________成中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．
(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于________對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．
狀元隨筆　奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反之，若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性．
基礎(chǔ)自測(cè)
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)．若f(－1)＝f(1)，則f(x)一定是偶函數(shù)．(　　)
(2)偶函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)．(　　)
(3)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.(　　)
(4)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)．(　　)
2．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　)
A．y＝|x|　 B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋14
3．若函數(shù)y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函數(shù)，則a的值為(　　)
A．－2 B．2
C．0 D．不能確定
4．下列圖象表示的函數(shù)是奇函數(shù)的是________，是偶函數(shù)的是________．(填序號(hào))
題型1　函數(shù)奇偶性的判斷
例1　判斷下列函數(shù)的奇偶性
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
方法歸納
判斷函數(shù)奇偶性的方法
(1)定義法：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．步驟如下：
①判斷函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若不對(duì)稱，則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，若對(duì)稱，則進(jìn)行下一步．
②驗(yàn)證．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．
③下結(jié)論．若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；
若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；
若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，則f(x)為非奇非偶函數(shù)．
(2)圖象法：f(x)是奇(偶)函數(shù)的等價(jià)條件是f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(多選)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝x2＋ D．y＝x＋x2
(2)函數(shù)f(x)＝是(　　)
A．奇函數(shù)
B．偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
題型2　函數(shù)奇偶性的圖象特征
例2　已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已知畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．
(1)請(qǐng)補(bǔ)出完整函數(shù)y＝f(x)的圖象．
(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y＝f(x)的遞增區(qū)間．
(3)根據(jù)圖象寫出使y＝f(x)＜0的x的取值范圍．
方法歸納
1．巧用奇偶性作函數(shù)圖象的步驟
(1)確定函數(shù)的奇偶性．
(2)作出函數(shù)在[0，＋∞)(或(－∞，0])上對(duì)應(yīng)的圖象．
(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象．
2．奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用類型及處理策略
(1)類型：利用奇偶函數(shù)的圖象可以解決求值、比較大小及解不等式問(wèn)題．
(2)策略：利用函數(shù)的奇偶性作出相應(yīng)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象直接觀察．
跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，f(x)的圖象如圖，則不等式f(x)＜0的解集是________．
題型3　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
角度1　利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
例3　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－(2－m)x＋3為偶函數(shù)，則m的值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
方法歸納
已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值的三種思路
(1)若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對(duì)稱性列出關(guān)于參數(shù)的方程．
(2)一般化策略：對(duì)x取定義域內(nèi)的任意一個(gè)值，利用f(－x)與f(x)的關(guān)系式恒成立來(lái)確定參數(shù)的值．
(3)特殊化策略：根據(jù)定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特殊自變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的關(guān)系列方程求解，不過(guò)，這種方法求出的參數(shù)值要代入解析式檢驗(yàn)，看是否滿足條件，不滿足的要舍去．
角度2　利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值
例4　(1)已知函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2，則f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋3，且f(－2)＝10，則函數(shù)f(2)的值是________．
方法歸納
利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值的方法
已知函數(shù)的某一個(gè)值，求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值時(shí)，常利用函數(shù)的奇偶性或部分函數(shù)的奇偶性求值．
角度3　利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式
例5　已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時(shí)，f(x)＝x(x－1)，求f(x)．
方法歸納
利用奇偶性求函數(shù)解析式的方法
已知函數(shù)的奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式的方法是：先設(shè)出未知解析式的定義區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后利用函數(shù)的奇偶性求解即可．具體如下：(1)求哪個(gè)區(qū)間上的解析式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間上；(2)將－x代入已知區(qū)間上的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性把f(－x)寫成－f(x)或f(x)，從而解出對(duì)應(yīng)區(qū)間上的f(x)．
角度4　奇偶性與單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用
例6　(1)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x總有f(－x)＝f(x)，且f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，則(　　)
A．f＜f(－1)＜f(2)
B．f(2)＜f＜f(－1)
C．f(2)＜f(－1)＜f
D．f(－1)＜f＜f(2)
(2)定義在[－2，2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)＜f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
方法歸納
利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用單調(diào)性脫掉“f”求解．
(2)在對(duì)稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時(shí)要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝________．
(2)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－2，2a]，則a＝________，b＝________．
(3)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f(2)＝________．
(4)已知偶函數(shù)f(x)，且當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，都有(x1－x2)·[f(x2)－f(x1)]＜0成立，令a＝f(－5)，b＝f，c＝f(－2)，則a，b，c的大小關(guān)系是________(用“＞”連接)．
易錯(cuò)辨析　忽視函數(shù)的定義域致誤
例7　關(guān)于函數(shù)f(x)＝與h(x)＝的奇偶性，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．兩函數(shù)均為偶函數(shù)
B．兩函數(shù)都既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
C．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，h(x)是非奇非偶函數(shù)
D．函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，h(x)是非奇非偶函數(shù)
解析：函數(shù)f(x)＝的定義域滿足即x2＝4，因此函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－2，2}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)f(x)＝0，滿足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，而函數(shù)h(x)＝的定義域?yàn)閧4}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)h(x)是非奇非偶函數(shù)．故選D.
答案：D
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
忽視了函數(shù)的定義域，直接利用函數(shù)奇偶性的定義判斷，錯(cuò)選了C. 根據(jù)函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性首先應(yīng)確定函數(shù)的定義域，只有在函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的情況下，才能根據(jù)解析式是否滿足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)判斷函數(shù)的奇偶性．若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可以直接說(shuō)明函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．
課堂十分鐘
1．(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的有(　　)
A．y＝x3＋ B．y＝(x＞0)
C．y＝x3＋1 D．y＝
2．函數(shù)y＝的圖象大致為(　　)
3．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式＜0的解集為(　　)
A．(－1，0)
C．(－∞，－1)
4．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則a＝________．
5．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x(x－1)，求函數(shù)f(x)的解析式．
抽象函數(shù)
沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù)．
題型1　抽象函數(shù)的定義域
(1)函數(shù)f(x)的定義域是指x的取值范圍．
(2)函數(shù)f(φ(x))的定義域是指x的取值范圍，而不是φ(x)的取值范圍．
(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三個(gè)函數(shù)中的t，φ(x)，h(x)在對(duì)應(yīng)關(guān)系f下的范圍相同．
例1　已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，求函數(shù)g(x)＝f(x＋m)＋f(x －m)(m＞0)的定義域．
思路分析：由f(x)的定義域?yàn)閇0，1]可知對(duì)應(yīng)關(guān)系f作用的范圍為[0，1]，而f(x＋m)＋f(x －m)的定義域是指當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，才能使x＋m，x －m都在[0，1]這個(gè)區(qū)間內(nèi)，從而使f(x＋m)＋f(x －m)有意義．
解析：由題意得
∵－m＜m，1－m＜1＋m，而m與1 －m的大小不確定，
∴對(duì)m與1－m的大小討論．
①若m＝1－m，即m＝，則x＝m＝；
②若m＜1－m，即m＜，則m≤x≤1－m；
③若m＞1－m，即m＞，則x∈ .
綜上所述，當(dāng)0＜m≤時(shí)，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閧x|m≤x≤1－m}，當(dāng)m＞時(shí)，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?.
題型2　抽象函數(shù)的奇偶性
對(duì)于抽象函數(shù)奇偶性的判斷，由于無(wú)具體的解析式，要充分利用給定的函數(shù)方程關(guān)系式，對(duì)變量進(jìn)行賦值，使其變?yōu)楹衒(x)，f(－x)的式子．再利用奇偶性的定義加以判斷．其解題策略為
(1)要善于對(duì)所給的關(guān)系式進(jìn)行賦值．
(2)變形要有目的性，要以“f(－x)與f(x)的關(guān)系”為目標(biāo)進(jìn)行化簡(jiǎn)和變形．
例2　函數(shù)f(x)，x∈R，若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求證：f(x)為奇函數(shù)．
證明：令a＝0，則f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
又令a＝－x，b＝x，代入f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，
得f(－x＋x)＝f(－x)＋f(x)．
即f(－x)＋f(x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)為奇函數(shù)．
題型3　抽象函數(shù)的單調(diào)性
判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性，通常利用單調(diào)性的定義，但要注意充分運(yùn)用所給條件，判斷出函數(shù)值之間的關(guān)系．
常見思路：先在所證區(qū)間上任取兩數(shù)x1，x2(x1＜x2)，然后利用題設(shè)條件向已知區(qū)間上轉(zhuǎn)化，最后運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義解決問(wèn)題．
例3　已知函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠0，x∈R}，對(duì)定義域內(nèi)任意的x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0.
(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；
(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；
(3)試比較f與f的大小．
思路分析：(1)利用賦值法證明f(－x) ＝f(x)；(2)利用定義法證明單調(diào)性；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．
解析：(1)證明：由題意可知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵對(duì)定義域內(nèi)任意的x1，x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，得f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，
即f(1)＝2f(－1)，即2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，
∴f(－x)＝f[(－1)·x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函數(shù)．
(2)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f，
∵x2＞x1＞0，∴＞1，又∵當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0，∴f＞0，
即f(x2)－f(x1)＞0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
(3)由(1)知f(x)是偶函數(shù)，則有f＝f.
由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且＞，
則f＞f，
∴f＞f.
參考答案與解析
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)
1．F(x)　2.－F(x)　3.原點(diǎn)　y軸
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A、D兩項(xiàng)，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項(xiàng)中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而C項(xiàng)中函數(shù)為奇函數(shù)．
故選C.
答案：C
3．解析：因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以－2＋a＝0，所以a＝2.
故選B.
答案：B
4．解析：(1)(3)關(guān)于y軸對(duì)稱是偶函數(shù)，(2)(4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是奇函數(shù)．
答案：(2)(4)　(1)(3)
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)閧－1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)f(x)＝0，所以函數(shù)f(x)＝既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(2)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．
(3)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?－∞，0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又因?yàn)閒(－x)＝＝＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝是偶函數(shù)．
(4)方法一：∵函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，
∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．
當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，
∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．
方法二：作出函數(shù)的圖象，如圖所示的實(shí)線部分：由圖可知，該函數(shù)為奇函數(shù)．
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)由偶函數(shù)的定義可知AC是偶函數(shù)．故選AC.
(2)函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，f(－x)＝－(－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)；
當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－(－x2－1)＝－f(x)．
綜上可知，函數(shù)f(x)＝
是奇函數(shù)．故選A.
答案：(1)AC　(2)A
例2　解析：(1)由題意作出函數(shù)圖象如圖：
(2)據(jù)圖可知，單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，0)，(1，＋∞)．
(3)據(jù)圖可知，使f(x)＜0的x的取值范圍為(－2，0)
跟蹤訓(xùn)練2　解析：由奇函數(shù)的性質(zhì)知，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)在定義域[－5，5]上的圖象如圖，由圖可知不等式f(x)<0的解集為{x|－2答案：{x|－2例3　解析：(1)f(－x)＝(－x)2－(2－m)(－x)＋3＝x2＋(2－m)x＋3，由函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)，知f(－x)＝f(x)，即x2＋(2－m)x＋3＝x2－(2－m)x＋3，∴2－m＝－(2－m)，∴m＝2.故選B.
(2)由題意f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，∴a＝－.此時(shí)f(x)＝為奇函數(shù)．
故選C.
答案：(1)B　(2)C
例4　解析：(1)∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2，
由－x代入x得：f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋2
由題意知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋2，
所以f(1)＋g(1)＝－1＋1＋2＝2.故選D.
(2)令g(x)＝ax3＋bx
∵g(－x)＝a(－x3)＋b(－x)＝－ax3－bx＝－(ax3＋bx)＝－g(x)，
∴g(x)為奇函數(shù)．∴f(－x)＝g(－x)＋3＝－g(x)＋3，
∵f(－2)＝10，
∴g(2)＝－7，∴f(2)＝g(2)＋3＝－7＋3＝－4.
答案：(1)D　(2)－4
例5　解析：當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)．
所以f(x)＝.
例6　解析：(1)∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x總有f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，∴f(2)＝f(－2)．
又f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，－2<－<－1，∴f(2)故選B.
(2)∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等價(jià)于解得－1≤m<.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
答案：(1)B　(2)見解析
跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)方法一(定義法)　由已知
f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
顯然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.(經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意)
方法二(特值法)　由f(x)為奇函數(shù)得
f(－1)＝－f(1)，
即＝－，
整理得a＝－1.
(2)由f(x)為偶函數(shù)知，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
故有a－2＋2a＝0，解得a＝.
又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
即－＝0，解得b＝0.
(3)令g(x)＝x5＋ax3＋bx，
則g(x)是定義在R上的奇函數(shù)．
從而g(－2)＝－g(2)．
又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10.
∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18.
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
解析：(4)∵當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]<0成立，∴f(x)在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增．又f(x)為偶函數(shù)，畫出符合題意的圖象(不唯一)，如圖．
由圖可知，當(dāng)自變量與y軸距離越近，則函數(shù)值越小，即<|－2|<|－5|，則fc>b.
答案：(1)－1　(2)　0　(3)－26　(4)a>c>b
[課堂十分鐘]
1．解析：A中函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(x)＝x3＋，f(－x)＝－(x3＋)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；B中函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)；C中函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(0)＝0＋1＝1≠0，則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)；D中函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)＝＝－＝－f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．故選AD.
答案：AD
2．解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽.由函數(shù)的解析式可得：f(－x)＝＝－f(x)，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝＝2>0，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．故選A.
答案：A
3．解析：由f(x)為奇函數(shù)可知，
＝<0.
而f(1)＝0，則f(－1)＝－f(1)＝0.
當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0＝f(1)；
當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
∴奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．
所以0故選D.
答案：D
4．解析：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，
所以f(－1)＋f(1)＝0，
即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.
答案：1
5．解析：當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝(－x)(－x－1)＝x(x＋1)
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x(x＋1)，
又∵f(0)＝0.
綜上，函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝
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