資源簡介

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湘教版高中數學必修第一冊-4.2.2.1指數函數的圖象與性質(1)-學案講義
教材要點
要點　指數函數的圖象與性質
表達式 y＝ax(a＞1) y＝ax(0＜a＜1)
圖象
定義域 R
值域 ________
性質 函數的圖象過點________，即a0＝1
是R上的________ 是R上的________
狀元隨筆　底數a與1的大小關系決定了指數函數圖象的“升”與“降”．當a ＞1時，指數函數的圖象是“上升”的；當0＜a＜1時，指數函數的圖象是“下降”的．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)指數函數的圖象都在y軸上方．(　　)
(2)因為a0＝1(a＞0且a≠1)，所以函數y＝ax恒過(0，1)點．(　　)
(3)若指數函數y＝mx是減函數，則0＜m＜1.(　　)
(4)函數y＝3x的圖象在函數y＝2x圖象的上方．(　　)
2．函數y＝2－x的圖象是(　　)
3．函數f(x)＝的定義域是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
4．函數y＝ax－2(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點，則定點坐標為________．
題型1　指數型函數的定義域和值域
例1　求下列函數的定義域和值域．
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝.
方法歸納
與指數函數有關的復合函數的定義域、值域的求法(a＞0且a≠1)：
(1)函數y＝af(x)的定義域與f(x)的定義域相同；
(2)求函數y＝af(x)的值域，需先確定f(x)的值域，再根據指數函數y＝ax的單調性確定函數y＝af(x)的值域；
(3)求函數y＝f(ax)的定義域，需先確定y＝f(u)的定義域，即u的取值范圍，亦即u＝ax的值域，由此構造關于x的不等式(組)，確定x的取值范圍，得y＝f(ax)的定義域；
(4)求函數y＝f(ax)的值域，需先利用函數u＝ax的單調性確定其值域，即u的取值范圍，再確定函數y＝f(u)的值域，即為y＝f(ax)的值域．
跟蹤訓練1　(1)函數f(x)＝的定義域為(　　)
A．(－3，0] B．(－3，1]
C．(－∞，－3)
(2)函數f(x)＝的值域是________．
題型2　指數函數的圖象
角度1　圖象過定點
例2　已知函數f(x)＝a2x－1＋2(a為常數，且a＞0，a≠1)，無論a取何值，函數f(x)的圖象恒過定點P，則點P的坐標是(　　)
A．(0，1)　　　B．(1，2) C．(1，3)　　　D．
方法歸納
解決指數型函數圖象過定點問題的思路
指數函數y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象過定點(0，1)，據此可解決形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a＞0，a≠1)的函數圖象過定點的問題，即令指數x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函數圖象過定點(－c，k＋b)．
角度2　指數函數的底與其圖象的關系
例3　如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系為(　　)
A.a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
方法歸納
設a＞b＞1＞c＞d＞0，則y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖象如圖所示，從圖中可以看出：在y軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變小，在y軸左側，圖象從下到上相應的底數由大變小，即無論在y軸的左側還是右側，底數按逆時針方向變大，或者說在第一象限內，指數函數的圖象，底數大的在上邊，也可以說底數越大越靠近y軸．
角度3　有關指數函數圖象的識別
例4　二次函數y＝ax2＋bx與指數函數y＝的圖象可以是(　　)
方法歸納
識別與指數函數圖象有關問題應把握三點：
(1)根據圖象“上升”或“下降”確定底數a＞1或0＜a＜1；
(2)在y軸右側，指數函數的圖象從下到上相應的底數由小到大；在y軸左側，指數函數的圖象從下到上相應的底數由大到小；
(3)根據“左加右減，上加下減”的原則，確定圖象的平移變換，從而確定指數型函數．
跟蹤訓練2　(1)已知1＞n＞m＞0，則指數函數①y＝mx，②y＝nx的圖象為(　　)
(2)在同一平面直角坐標系中，函數f(x)＝ax與g(x)＝ax的圖象可能是(　　)
(3)設函數f(x)＝3ax＋1－1(a＞0且a≠1)恒過定點(m，n)，則m＋n＝________．
題型3　指數函數圖象的綜合應用
例5　若直線y＝2a與函數y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個不同的交點，求a的取值范圍．
方法歸納
數形結合就是圖形與代數方法緊密結合的一種數學思想，對于不易求解的方程解的個數問題，常構造函數，轉化為函數圖象的交點問題來解決．
跟蹤訓練3　若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________．
易錯辨析　換元法求函數的值域時，忽略新元的取值范圍致誤例6　求函數f(x)＝＋＋1的值域．
解析：令＝t＞0，
則原函數可化為f(t)＝t2＋t＋1＝＋，
因為f(t)＝＋在(0，＋∞)上是增函數，
所以f(x)＞1，即函數f(x)的值域是(1，＋∞)．
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
換元時，t＝＞0，而不是t∈R，若誤認為t∈R，則有f(x)∈. 求形如f(ax)的函數的值域時，常利用換元法，設ax＝t，根據f(ax)的定義域求得t的取值范圍，最后轉化為f(t)的值域．
課堂十分鐘
1．已知函數f(x)＝4＋ax＋1的圖象經過定點P，則點P的坐標是(　　)
A．(－1，5) B．(－1，4)
C．(0，4) D．(4，0)
2．已知函數g(x)＝3x＋t的圖象不經過第二象限，則t的取值范圍為(　　)
A．t≤－1 B．t＜－1
C．t≤－3 D．t≥－3
3．函數y＝ax－(a＞0，a≠1)的圖象可能是(　　)
4．函數y＝的定義域為________．
5．已知函數f(x)＝ax－1(x≥0)的圖象經過點，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函數y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
　(0，＋∞)　(0，1)　增函數　減函數
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：y＝2－x＝是(－∞，＋∞)上的單調遞減函數．
答案：B
3．解析：由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
答案：A
4．解析：令x－2＝0，即x＝2時，y＝1，∴函數y＝ax－2的圖象恒過定點(2，1)．
答案：(2，1)
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)要使函數有意義，則x－4≠0，解得x≠4，所以函數y＝的定義域為{x|x≠4}．因為≠0，所以≠1，即函數y＝的值域為{y|y>0且y≠1}．
(2)要使函數有意義，則x2－2x≥0，
∴x≤0或x≥2，
∴函數的定義域為{x|x≤0或x≥2}，
由于≥30＝1，即y≥1，
∴函數的值域為[1，＋∞)．
(3)要使函數有意義，則x－1≠0，∴x≠1，
∴函數的定義域為{x|x≠1}，
由于＝＝1＋≠1，
≠2且>0，即y>0且y≠2.
∴函數的值域為(0，2)
跟蹤訓練1　解析：(1)由題意知解得－3(2)令t＝|x＋1|，則t≥0，∴0<≤1，故函數f(x)＝的值域是(0，1].
答案：(1)A　(2)(0，1]
例2　解析：因為指數函數y＝ax(a>0且a≠1)的圖象恒過點(0，1)，所以2x－1＝0，即x＝，此時y＝3.所以函數f(x)＝a2x－1＋2恒過定點.
答案：D
例3　解析：由圖象可知③④的底數必大于1，①②的底數必小于1.過點(1，0)作直線x＝1，如圖所示，在第一象限內直線x＝1與各曲線的交點的縱坐標即為各指數函數的底數，則1答案：B
例4　解析：根據指數函數的解析式為y＝可得>0，∴－<0，故二次函數y＝ax2＋bx圖象的對稱軸直線x＝－位于y軸的左側，排除A，C選項，對于選項B，由二次函數圖象可得a<0，且函數圖象與x軸交點的橫坐標－<－1，∴>1，則指數函數應該單調遞增，故B不正確．故選D.
答案：D
跟蹤訓練2　解析：(1)由于0(2)需要對a討論：
①當a>1時，f(x)＝ax過原點且斜率大于1，g(x)＝ax是遞增的；②當0(3)令x＋1＝0，即x＝－1時，此時f(－1)＝2.∴m＝－1，n＝2，∴m＋n＝－1＋2＝1.
答案：(1)C　(2)B　(3)1
例5　解析：作出y＝2a和y＝|ax－1|的圖象．當0當a>1時，y＝|ax－1|的圖象如圖②所示．
由已知，得0<2a<1，所以01矛盾．綜上可知，0跟蹤訓練3　解析：曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b如圖所示，由圖象可知：如果曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b應滿足的條件是b∈[－1，1].
答案：[－1，1]
[課堂十分鐘]
1．解析：當x＋1＝0，即x＝－1時，ax＋1＝a0＝1，為常數，
此時f(x)＝4＋1＝5，即點P的坐標為(－1，5)．
答案：A
2．解析：由指數函數的性質，可得函數g(x)＝3x＋t恒過點坐標為(0，1＋t)，函數g(x)是增函數，圖象不經過第二象限，∴1＋t≤0，解得t≤－1.
答案：A
3．解析：∵a>0，∴>0，∴函數y＝ax需向下平移個單位，不過(0，1)點，所以排除A，當a>1時，∴0<<1，所以排除B，當01，所以排除C.
答案：D
4．解析：由題意，函數y＝有意義，則滿足10x－0.1≥0，即10x≥0.1，解得x≥－1，
所以函數的定義域為.
答案：
5．解析：(1)因為函數f(x)＝ax－1(x≥0)的圖象經過點，
所以f(2)＝a2－1＝a＝.
(2)由(1)得f(x)＝(x≥0)，
因為函數在[0，＋∞)上是減函數，
所以當x＝0時，函數取最大值2，
故f(x)∈(0，2]，
所以函數y＝f(x)＋1＝＋1(x≥0)∈(1，3]
故函數y＝f(x)＋1(x≥0)的值域為(1，3].
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湘教版高中數學必修第一冊-4.2.2.2指數函數的圖象與性質(2)-學案講義
教材要點
要點一　比較冪的大小
一般地，比較冪大小的方法有
(1)對于同底數不同指數的兩個冪的大小，利用____________的單調性來判斷．
(2)對于底數不同指數相同的兩個冪的大小，利用__________的變化規律來判斷．
(3)對于底數不同指數也不同的兩個冪的大小，則通過______來判斷．
要點二　解指數方程、不等式
簡單指數不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的________求解．
(2)形如af(x)＞b的不等式，可將b化為________________，再借助y＝ax的________求解．
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助兩函數y＝ax，y＝bx的圖象求解．
要點三　指數型函數的單調性
一般地，有形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函數的性質
(1)函數y＝af(x)與函數y＝f(x)有________的定義域．
(2)當a＞1時，函數y＝af(x)與y＝f(x)具有__________的單調性；當0＜a＜1時，函數y＝af(x)與函數y＝f(x)的單調性________．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)y＝ax(a＞0且a≠1)的最小值為0.(　　)
(2)y＝21－x是R上的增函數．(　　)
(3)若0.1a＞0.1b，則a＞b.(　　)
(4)由于y＝ax(a＞0，且a≠1)既非奇函數，也非偶函數，所以指數函數與其他函數也構不成具有奇偶性的函數．(　　)
2．下列函數中是奇函數，且在(0，＋∞)上單調遞增的是(　　)
A．y＝ B．y＝|x|
C．y＝2x D．y＝x3
3．下列判斷正確的是(　　)
A．1.51.5＞1.52 B．0.52＜0.53
C．e2＜e D．0.90.2＞0.90.5
4．函數y＝2|x|的單調遞減區間是________．
題型1　指數函數單調性的應用
角度1　比較大小
例1　(1)(多選)下列各組數的大小比較不正確的是(　　)
A．1.52.5＜1.53.2 B．0.6－1.2＞0.6－1.5
C．1.50.3＞0.81.2 D．0.30.4＜0.20.5
(2)比較下列各值的大小：.
方法歸納
比較指數冪的大小時，主要應用指數函數的單調性以及圖象的特征，或引入中間數進行比較．角度2　解簡單的指數不等式
例2　(1)不等式3x－2＞1的解集為________．
(2)若ax＋1＞(a＞0且a≠1)，求x的取值范圍．
方法歸納
解與指數相關的不等式的策略
底數不同的先要化同底，底數統一后直接利用單調性轉化為一元一次、一元二次不等式求解，底數不確定的討論單調性后轉化求解．
跟蹤訓練1　(1)已知a＝20.1，b＝0.33，c＝0.30.1，則a、b、c的大小關系為(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
(2)解不等式≤3.
題型2　與指數函數有關的復合函數的單調性
例3　(1)函數y＝的單調遞減區間是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)
(2)求函數y＝的單調區間．
方法歸納
(1)關于指數型函數y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數a＞1還是0＜a＜1；二是f(x)的單調性，它由兩個函數y＝au，u＝f(x)復合而成．
(2)求復合函數的單調區間，首先求出函數的定義域，然后把函數分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考察f(u)和φ(x)的單調性，求出y＝f(φ(x))的單調性．
跟蹤訓練2　已知函數f(x)＝，判斷函數f(x)的單調性．
題型3　指數函數性質的綜合應用
例4　已知函數f(x)＝1－(2b－6＜x＜b)是奇函數．
(1)求a，b的值；
(2)證明：f(x)是區間(2b－6，b)上的減函數；
(3)若f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，求實數m的取值范圍．
方法歸納
解決指數函數性質的綜合問題的注意點
(1)注意代數式的變形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等變形技巧．
(2)解答函數問題注意應在函數定義域內進行．
(3)由于指數函數單調性與底數有關，因此要注意是否需要討論．
跟蹤訓練3　已知函數f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定義域；
(2)討論f(x)的奇偶性；
(3)證明：f(x)＞0.
易錯辨析　忽視對指數函數的底數分類討論致誤
例5　若函數y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值與最小值的差為，則a的值為(　　)
A．　　　　B． C．或2　　　D．或
解析：當a＞1時，y＝ax在[1，2]上的最大值為a2，最小值為a，
故有a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
當0＜a＜1時，y＝ax在[1，2]上的最大值為a，最小值為a2，
故有a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
綜上，a＝或a＝.
答案：D
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽視對底數a分a＞1或0＜a＜1兩種情況討論，誤認為最大值為a2，最小值為a，由a2－a＝，解得a＝，漏掉了另一種情況致誤． 由于指數函數的單調性，根據底數與1的大小關系判斷，因此涉及含參數的指數函數單調性問題時要根據底數與1的大小關系分類討論．
課堂十分鐘
1．已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，則a，b，c的大小關系正確的是(　　)
A．c＞b＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
2．設f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　)
A．奇函數且在(0，＋∞)上是增函數
B．偶函數且在(0，＋∞)上是增函數
C．奇函數且在(0，＋∞)上是減函數
D．偶函數且在(0，＋∞)上是減函數
3．若函數f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在上的最大值為4，最小值為m ，實數m的值為(　　)
A． B．或
C． D．或
4．不等式23－2x＜0.53x－4的解集為________．
5．已知函數f(x)＝.
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)求函數f(x)在[0，3]上的值域．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
(1)指數函數　(2)指數函數圖象　(3)中間值
要點二
(1)單調性　(2)以a為底的指數冪　單調性
要點三
(1)相同　(2)相同　相反
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：y＝在(0，＋∞)上單調遞減，所以排除A；y＝|x|是偶函數，所以排除B；y＝2x為非奇非偶函數，所以排除C.
答案：D
3．解析：因為y＝0.9x是減函數，且0.5＞0.2，
所以0.90.2＞0.90.5.
答案：D
4．解析：函數y＝2|x|的圖象如圖．由圖可知，函數y＝2|x|的單調遞減區間是(－∞，0].
答案：(－∞，0]
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)A中，函數y＝1.5x在R上是增函數，∵2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2，A正確；B中，函數y＝0.6x在R上是減函數，∵－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5，B不正確；C中，由指數函數的性質，知1.50.3>1.50＝1，而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2，C正確；D中，在同一直角坐標系內，畫出y＝0.3x，y＝0.2x兩個函數的圖象，由圖象得0.30.4>0.20.5，D不正確．故選BD.
(2)先根據冪的特征，將這4個數分類：①負數：；②大于1的數：；③大于0且小于1的數：. 也可在同一平面直角坐標系中，分別作出y=，y= 的圖象，再分別取x=，x=，比較對應函數值的大小，如圖) .
答案：(1)BD　
例2　解析：(1)3x－2＞1 3x－2＞30 x－2＞0 x＞2，所以解集為(2，＋∞)．
(2)因為ax＋1＞，所以當a＞1時，y＝ax為增函數，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
當0＜a＜1時，y＝ax為減函數，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
綜上，當a＞1時，x的取值范圍為(－∞，3)，
當0＜a＜1時，x的取值范圍為(3，＋∞)．
答案：(1)(2，＋∞)　(2)見解析
跟蹤訓練1　解析：(1)因為函數y＝x0.1在上為增函數，則a＝20.1>0.30.1＝c，
指數函數y＝0.3x為R上的減函數，則b＝0.33<0.30.1＝c.
因此，b(2)＝≤3，∵y＝3x是R上的增函數，∴2－x2≤1，解得x≥1或x≤－1，∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
答案：(1)C　(2)見解析
例3　解析：(1)設u＝，則y＝3u，對任意的0u2.
又因為y＝3u在R上是增函數，所以y1>y2，所以y＝在(0，＋∞)上是減函數．
對任意的x1u2，又因為y＝3u在R上是增函數，所以y1>y2，所以y＝在(－∞，0)上是減函數．所以函數y＝的單調遞減區間是(－∞，0)和(0，＋∞)．故選D.
(2)設y＝au，u＝x2＋2x－3，
由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1)上為減函數，在[－1，＋∞)上為增函數．
當a>1時，y關于u為增函數；當0∴當a>1時，原函數的增區間為[－1，＋∞)，減區間為(－∞，－1)；
當0答案：(1)D　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：令u＝x2－2x，則原函數變為y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上單調遞減，
∴y＝在(－∞，1)上單調遞增，在[1，＋∞)上單調遞減．
例4　解析：(1)函數f(x)＝1－(2b－6＜x＜b)是奇函數，
所以f(－x)＝－f(x)恒成立，即1－＝－1＋，
整理得(a－2)(3x＋1)＝0，
所以a＝2，
因為2b－6＋b＝0，解得b＝2，
所以a＝2，b＝2.
(2)證明：由(1)得f(x)＝1－，x∈(－2，2)，
設任意取x1，x2∈(－2，2)，且x1＜x2，
則f(x1)－f(x2)＝＝，
因為x1＜x2，所以，所以＞0，
而＋1＞0，
所以>0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)是區間(2b－6，b)上的減函數．
(3)f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，所以f(m－2)＞－f(2m＋1)，
因為函數f(x)是奇函數，所以f(m－2)＞f(－2m－1)，
因為函數f(x)是區間(－2，2)上的減函數，
所以，解得0＜m＜，
所以實數m的取值范圍是.
跟蹤訓練3　解析：(1)由題意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定義域為(－∞，0)
(2)由(1)知，f(x)的定義域關于原點對稱．
令g(x)＝＝，φ(x)＝x3，則f(x)＝g(x)·φ(x)．
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，
∴f(x)＝·x3為偶函數．
(3)證明：當x>0時，2x>1，
∴2x－1>0，∴>0.
∵x3>0，∴f(x)>0.
由偶函數的圖象關于y軸對稱，知當x<0時，f(x)>0也成立．故對于x∈(－∞，0)恒有f(x)>0.
[課堂十分鐘]
1．解析：因為40.1>1，0.40.8<0.40.5<1，所以a>b>c.
答案：C
2．解析：因為f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)為偶函數．
又當x＞0時，f(x)＝在(0，＋∞)上是減函數，
答案：D
3．解析：函數f(x)＝ax在上：
當0當a>1時，f(x)單調遞增，最大值為f(1)＝a＝4，最小值f(－2)＝a－2＝m，即有m＝；
綜上，有m＝或m＝.
答案：D
4．解析：原不等式可化為23－2x<24－3x，因為函數y＝2x是R上的增函數，所以3－2x<4－3x，解得x<1，則解集為{x|x<1}．
答案：{x|x<1}
5．解析：(1)函數y＝的定義域是R.令u＝－x2＋2x，則y＝2u.當x∈(－∞，1]時，函數u＝－x2＋2x為增函數，函數y＝2u是增函數，所以函數y＝在(－∞，1]上是增函數．
當x∈[1，＋∞)時，函數u＝－x2＋2x為減函數，函數y＝2u是增函數，所以函數y＝
在[1，＋∞)上是減函數．綜上，函數y＝2－x2＋2x的單調減區間是[1，＋∞)，單調增區間是(－∞，1].
(2)由(1)知f(x)在[0，1]上單調遞增，在[1，3]上單調遞減，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝，所以f(x)的值域為.
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湘教版高中數學必修第一冊-4.2.1指數爆炸和指數衰減-學案講義
教材要點
要點一　指數函數的定義
在冪的表達式au中，如果讓底數為常數而取指數為自變量x，則得到一類新的函數________(a＞0且a≠1)叫做指數函數．
狀元隨筆　(1)規定y ＝ax中a＞0，且a≠1的理由：
①當a≤0時，ax可能無意義；②當a＞0時，x可以取任何實數；③當a ＝1時，ax ＝1 (x∈R)，無研究價值．因此規定y ＝ax中a＞0，且a≠1.
(2)要注意指數函數的解析式：①底數是大于0且不等于1的常數．②指數函數的自變量必須位于指數的位置上．③ax的系數必須為1.④指數函數等號右邊不能是多項式，如y＝2x＋1不是指數函數．
要點二　指數爆炸
(1)當底數a＞1時，指數函數值隨自變量的增長而增大，________較大時指數函數值增長速度驚人，被稱為指數爆炸．
(2)把自變量x看成時間，在長為T的時間周期[u，u＋T]中，指數函數y＝ax(a＞1)的值從au增長到au＋T，增長率為(au＋T－au)÷au＝aT－1，它是一個常量．因此，在經濟學或其他學科中，當某個量在一個既定的時間周期中，其增長百分比是一個常量時，這個量就被描述為指數式增長，也稱指數增長．
要點三　指數衰減
如果底數0基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)y＝x2是指數函數．(　　)
(2)y＝xx(x＞0)是指數函數．(　　)
(3)y＝ax＋2(a＞0且a≠1)是指數函數．(　　)
(4)指數函數y＝ax中，a可以為負數．(　　)
2．下列各函數中，是指數函數的是(　　)
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝
3．指數函數y＝f(x)的圖象過點(2，4)，則f(3)的值為(　　)
A．4　　　　　B．8 C．16　　　　　D．1
4．已知函數f(x)是指數函數，且f＝，則f(x)＝________.
題型1　指數函數的概念及應用
例1　(1)下列以x為自變量的函數中，是指數函數的是(　　)
A．y＝(－4)x B．y＝πx
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a＞0且a≠1)
(2)若函數f(x)＝(a2－3a＋3)·ax是指數函數，則(　　)
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a＞0且a≠1
方法歸納
(1)判斷一個函數是指數函數的方法
①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)這一結構特征．
②明特征：指數函數的解析式具有三個特征，只要有一個特征不具備，則不是指數函數．
(2)已知某函數是指數函數求參數值的基本步驟
跟蹤訓練1　(1)(多選)下列函數是指數函數的是(　　)
A．y＝(－3)x B．y＝2－x
C．y＝2x＋1 D．y＝ex
(2)若函數y＝(2a－1)x(x是自變量)是指數函數，則a的取值范圍是________．
題型2　指數函數的解析式及應用
例2　(1)若點(a，27)在指數函數y＝()x的圖象上，則的值為(　　)
A． B．1
C．2 D．0
(2)指數函數y＝f的圖象經過點，那么f(4)f(2)＝(　　)
A．8 B．16
C．32 D．64
方法歸納
求指數函數解析式的步驟
(1)設指數函數的解析式為f(x)＝ax(a＞0且a≠1)．
(2)利用已知條件求底數a.
(3)寫出指數函數的解析式．
跟蹤訓練2　已知函數f(x)為指數函數，且f＝，則f(－2)＝________．
題型3　指數增長型和指數衰減型函數的實際應用
例3　某片森林原來面積為a，計劃每年砍伐的森林面積是上一年年末森林面積的p%，當砍伐到原來面積的一半時，所用時間是10年，已知到2020年年末，森林剩余面積為原來面積的，為保護生態環境，森林面積至少要保留原來面積的.
(1)求每年砍伐面積的百分比p%；
(2)到2020年年末，該森林已砍伐了多少年？
方法歸納
指數函數在實際問題中的應用
(1)與實際生活有關的問題，求解時應準確讀懂題意，從實際問題中提取出模型轉化為數學問題．
(2)在實際問題中，經常會遇到指數增長模型：設基數為N，平均增長率為p，則對于經過時間x后的總量y可以用y＝N(1＋p)x來表示，這是非常有用的函數模型．
跟蹤訓練3　某種細菌經60分鐘培養，可繁殖為原來的2倍，且知該細菌的繁殖規律為y＝10ekt，其中k為常數，t表示時間(單位：小時)，y表示細菌個數，10個細菌經過7小時培養，細菌能達到的個數為(　　)
A．640　　　　B．1 280　　　C．2 560　　　D．5 120
課堂十分鐘
1．已知函數y＝a·2x和y＝2x＋b都是指數函數，則a＋b＝(　　)
A．不確定 B．0 C．1 D．2
2．已知f(x)＝3x－b(b為常數)的圖象經過點(2，1)，則f(4)的值為(　　)
A．3 B．6 C．9 D．81
3．春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，則當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了(　　)
A．10天 B．15天 C．19天 D．2天
4．若函數y＝－ax(其中a＞0且a≠1)的圖象經過點(2，－16)，則a＝________．
5．已知f＝ax(a＞0且a≠1)的圖象經過點P.
(1)求a的值；
(2)已知f－3f－4＝0，求x.
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
　y＝ax
要點二
　底數a
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：根據指數函數的定義y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D項正確．
答案：D
3．解析：設指數函數的解析式為f(x)＝ax(a>0且a≠1)．由題意知，a2＝4，解得a＝2(a>0)，所以f(x)＝2x，所以f(3)＝23＝8.
答案：B
4．解析：設f(x)＝ax(a>0且a≠1)
則＝＝，∴a＝5，∴f(x)＝5x.
答案：5x
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由指數函數的定義可知，只有B符合．
(2)由指數函數的定義知解得a＝2.
答案：(1)B　(2)C
跟蹤訓練1　解析：(1)根據指數函數的定義可知B、D是指數函數，A、C不是．
(2)根據指數函數的定義可知：2a－1>0且2a－1≠1，解得a>且a≠1，故a的取值范圍是
答案：(1)BD　(2)
例2　解析：(1)由題意知()a＝27＝33，即＝33，∴＝3，∴a＝6，∴＝.故選A.
(2)設y＝f＝ax(a>0，且a≠1)，
則a－2＝，
所以a＝2，
y＝f＝2x，
所以f(4)f(2)＝64.
答案：(1)A　(2)D
跟蹤訓練2　解析：設f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f＝得＝，
所以a＝3，
所以f(x)＝3x，
所以f(－2)＝3－2＝.
答案：
例3　解析：(1)由題意可得，a(1－p%)10＝a，
解得p%＝1－，
∴每年砍伐面積的百分比p%為1－.
(2)設經過m年剩余面積為原來的，則a·(1－p%)m＝a，
∴(1－p%)m＝＝，
由(1)可得，1－p%＝，即＝，∴＝，解得m＝5，
故到2020年年末，該森林已砍伐了5年．
跟蹤訓練3　解析：設原來的細菌數為a，
由題意可得，在函數y＝10ekt中，
當t＝1時，y＝2a，
∴2a＝10ek即ek＝，
當a＝10時，ek＝2，
∴y＝10ekt＝10·2t，
若t＝7，則可得此時的細菌數為y＝10×27＝1 280.
答案：B
[課堂十分鐘]
1．解析：因為函數y＝a·2x是指數函數，所以a＝1，由y＝2x＋b是指數函數，得b＝0，所以a＋b＝1.
答案：C
2．解析：由f(x)過點(2，1)可知b＝2，所以f(x)＝3x－2，f(4)＝9.可知C正確．
答案：C
3．解析：設荷葉覆蓋水面的初始面積為a，則x天后荷葉覆蓋水面的面積y＝a·2x(x∈N＋)，根據題意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
答案：C
4．解析：因為當x＝2時，y＝－16，所以－16＝－a2，解得a＝±4，因為a>0，所以a＝4.
答案： 4
5．解析：(1)由f＝ax的圖象經過點P得a2＝4，又∵a>0，所以a＝2.
(2)由(1)得f＝2x，由f－3f－4＝0，
得22x－3×2x－4＝0，解得2x＝4(2x＝－1<0舍去)
由2x＝4解得x＝2.
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