資源簡介

高中數學同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享
湘教版高中數學必修第一冊-4.3.1對數的概念
教材要點
要點一　對數的概念
1．定義：如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么________叫作以________為底，________的對數，記作b＝logaN.
2．相關概念
底數與真數
其中，________叫作對數的底數，________叫作真數．
狀元隨筆　logaN是一個數，是一種取對數的運算，結果仍是一個數，不可分開書寫．
要點二　對數與指數間的關系
當a＞0，且a≠1時，ab＝N b＝logaN.前者叫指數式，后者叫對數式．
狀元隨筆　
要點三　對數的性質
性質1 ________沒有對數
性質2 1的對數是________，即loga1＝__(a＞0，且a≠1)
性質3 底的對數是______，即logaa＝______(a＞0，且a≠1)
要點四　對數的基本恒等式
alogaN＝N(a＞0且a≠1，N＞0)；
b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)logaN是loga與N的乘積．(　　)
(2)因為(－4)2＝16，所以log(－4)16＝2.(　　)
(3)因為3x＝81，所以log813＝x.(　　)
(4)log32＝log23.(　　)
2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，則有(　　)
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．loga2＝M D．log2a＝M
3．若log8x＝－，則x的值為(　　)
A． B．4
C．2 D．
4．3log32＋log21＝________．
　對數的概念
例1　(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意義，x的取值范圍為(　　)
A．(－∞，3] B．(3，4)
C．(4，＋∞) D．(3，4)
(2)將下列指數式、對數式互化．
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④＝6.
方法歸納
指數式與對數式互化的方法
(1)指數式化為對數式：
將指數式的冪作為真數，指數作為對數，底數不變，寫出對數式．
(2)對數式化為指數式：
將對數式的真數作為冪，對數作為指數，底數不變，寫出指數式．
跟蹤訓練1　(1)(多選)下列指數式與對數式的互化正確的是(　　)
A．30＝1與log31＝0
B．log39＝2與＝3
＝與log8＝－
D．log77＝1與71＝7
(2)對數式log(x－1)(x＋2)中x的取值范圍是________．
　對數的計算
例2　求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；
(3)logx27＝.
方法歸納
(1)logaN＝x與ax＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)是等價的，轉化前后底數不變．
(2)對于對數和對數的底數與真數三者之間，已知其中兩個就可以利用對數式和指數式的互化求出第三個．
跟蹤訓練2　求下列各式中x的值：
(1)log2x＝；(2)log216＝x；(3)logx27＝3.
　對數的性質及對數恒等式的應用
例3　(1)已知log2[log4(log3x)]＝0，則x＝________；
(2)計算：＋102＋lg 2＋eln 3.
方法歸納
1．利用對數性質求解的兩類問題的解法
(1)求多重對數式值的解題方法是由內到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重對數式的值，求變量值，應從外到內求，逐步脫去“log\”后再求解．
2．利用對數恒等式求解的方法
首先利用指數運算性質變形，變形為alogab的形式，再利用對數恒等式計算求值．
跟蹤訓練3　(1)＝(　　)
A． B．
C． D．2
(2)計算：log3[log3(log28)]＝________．
易錯辨析　忽視對數的底數致誤
例4　使對數loga(－2a＋1)有意義的a的取值范圍為(　　)
A．
C．(0，1)
解析：使對數loga(－2a＋1)有意義的a需滿足
解得0＜a＜.
答案：B
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽視了底數a的范圍致誤，易錯選D. 對數式中只要底數和真數都含有參數，都需要考慮，否則致錯．
課堂十分鐘
1．若a＞0，且a≠1，c＞0，則將ab＝c化為對數式為(　　)
　A．logab＝c B．logac＝b C．logbc＝a D．logca＝b
2．若log2(logx9)＝1，則x＝(　　)
A．3 B．±3 C．9 D．2
3．在log3(m－1)中，實數m的取值范圍是(　　)
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
4．式子＋的值為________．
5．求下列各式中x的值：
(1)若log3＝1，求x的值；
(2)若log2 021(x2－1)＝0，求x的值．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
1．b　a　(正)數N
2．a　N
要點三
零和負數　0　0　1　1　
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由對數的定義可知logaM＝2.
答案：B
3．解析：由對數與指數的互化可得：x＝＝＝.
答案：A
4．解析：原式＝2＋0＝2.
答案：2
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由對數的定義可知
解得x>3且x≠4.
故選B.
(2)①由54＝625得log5625＝4.
②由log216＝4得24＝16.
③由10－2＝0.01得lg 0.01＝－2.
④由＝6得()6＝125.
跟蹤訓練1　解析：(1)對于A，30＝1可化為0＝log31，所以A中互化正確；對于B，log39＝2可化為32＝9，所以B中互化不正確；對于C，8－＝可化為log8 ＝－，所以C中互化正確；對于D，log77＝1可化為71＝7，所以D中互化正確．故選ACD.
(2)由題意得解得∴x>1且x≠2.
答案：(1)ACD　(2)(1，2)∪(2，＋∞)
例2　解析：(1)∵4x＝5·3x，
∴＝5，∴＝5，
∴x＝.
(2)∵log7(x＋2)＝2，
∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.
(3)∵logx27＝，∴＝27，
∴x＝＝32＝9.
跟蹤訓練2　解析：(1)∵log2x＝，∴x＝，∴x＝.
(2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4.
(3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3.
例3　解析：(1)∵log2[log4(log3x)]＝0＝log21，
∴log4(log3x)＝1.
又log4(log3x)＝log44＝1，
∴log3x＝4，
∴x＝34＝81.
(2)原式＝5·＋102·10lg 2＋eln 3
＝5×3＋102×2＋3
＝218.
答案：(1)81　(2)見解析
跟蹤訓練3　解析：(1)＝2－1·＝×＝.
(2)log3[log3(log28)]＝log3[log3(log223)]＝log3(log33)＝log31＝0.
答案：(1)A　(2)0
[課堂十分鐘]
1．解析：由對數的定義直接可得logac＝b.
答案：B
2．解析：∵log2(logx9)＝1，∴logx9＝2，即x2＝9，又∵x>0，∴x＝3.
答案：A
3．解析：由m－1>0得m>1.
答案：D
4．解析：由對數性質知，＝5，＝0，故原式＝5.
答案：5
5．解析：(1)∵log3＝1，∴＝3，
∴1＋2x＝9，∴x＝4.
(2)∵log2 021(x2－1)＝0，
∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±.
高中數學同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享高中數學同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享
湘教版高中數學必修第一冊-4.3.3.1對數函數的圖象與性質(1)
教材要點
要點一　對數函數的概念
對數運算y＝____________________確定了一個函數，叫作(以a為底的)對數函數．
狀元隨筆　(1)因為對數函數是由指數函數變化而來的，對數函數的自變量恰好是指數函數的函數值，所以對數函數的定義域是(0，＋∞)，對數函數的底數a＞0，且a≠1.
(2)形式上的嚴格性：在對數函數的定義表達式y＝logax(a＞0，且a≠1)中，logax前邊的系數必須是1，自變量x在真數的位置上，否則就不是對數函數．
要點二　反函數
一般地，指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數，它們的定義域與值域正好互換．
要點三　對數函數的圖象與性質
表達式 y＝logax(a＞1) y＝logax(0＜a＜1)
圖象
性質 定義域________
值域R
過點________，即當x＝1時，y＝0
在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
狀元隨筆　底數a與1的大小關系決定了對數函數圖象的“升降”：當a＞1時，對數函數的圖象“上升”；當0＜a＜1時，對數函數的圖象“下降”．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)y＝log2x2是對數函數．(　　)
(2)對數函數y＝log5x與y＝的圖象關于y軸對稱．(　　)
(3)對數函數的圖象都在y軸的右側．(　　)
(4)函數y＝ax與函數y＝logax的圖象關于直線y＝x對稱．(　　)
　
2．(多選)若函數y＝logax的圖象如圖所示，則a的值可能是(　　)
A．0.3 B．
C． D．π
3．函數f(x)＝lg (2x－1)的定義域為(　　)
A． B．
C． D．
4．函數y＝loga(x－3)－2的圖象過的定點是________．
　對數函數的圖象問題
角度1　圖象過定點問題
例1　已知函數y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A也在函數f(x)＝3x＋b的圖象上，則f(log32)＝________．
方法歸納
解決與對數函數有關的函數圖象過定點問題的方法：對任意的a＞0且a≠1，都有loga1＝0，例如，解答函數y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點的問題時，只需令f(x)＝1求出x，即得定點(x，m)．
角度2　對數函數的底與圖象變化的關系
例2　如圖所示的曲線是對數函數y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系為________.
方法歸納
當0＜a＜1時，對數函數的圖象是下降的，而且隨著a由大變小，圖象下降的速度變慢．當a＞1時，對數函數的圖象是上升的，而且隨著a由小變大，圖象上升的速度變慢．
角度3　圖象的識別問題
例3　函數y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的圖象大致為(　　)
方法歸納
(1)對有關對數函數圖象的識別問題，主要依據底數確定圖象是上升還是下降、圖象位置、圖象所過的定點、圖象與坐標軸的交點等求解．
(2)根據函數解析式確定函數圖象的問題，主要是通過不同的角度來確定函數解析式與函數圖象的對應關系，如函數的定義域(值域)、單調性，圖象是否過定點、圖象的對稱性等．
跟蹤訓練1　(1)函數y＝x＋a與y＝logax的圖象只可能是下圖中的(　　)
(2)圖中曲線是對數函數y＝logax的圖象，已知a取四個值，則相應于C1，C2，C3，C4的a值依次為(　　)
A．
B．
C．
D．
(3)函數y＝loga(2x－1)＋2的圖象恒過定點P，點P在指數函數f(x)的圖象上，則f(－1)＝________．
題型2　對數型函數的定義域
例4　求下列函數的定義域：
(1)y＝；
(2)f(x)＝＋lg (x＋2)．
方法歸納
求函數的定義域，首先要分析自變量x的約束條件，在與對數函數有關的問題中應注意真數大于零，底數大于零且不等于1；其次求解不等式時，要充分應用函數的性質．
跟蹤訓練2　(1)函數y＝的定義域為(　　)
A．　　　　　B．[1，＋∞)
C． D．(－∞，1)
(2)函數y＝loga(x－1)＋loga(1＋x)的定義域為________．
　對數型函數的值域與最值問題
例5　求函數f(x)＝，x∈的值域．
方法歸納
(1)利用對數運算性質化為關于log2x的一個二次函數，再通過二次函數的性質求最值．
(2)求形如y＝logaf(x)(a＞0且a≠1)的復合函數值域的步驟：①求函數的定義域；②將原函數拆分成y＝logau(a＞0，且a≠1)，u＝f(x)兩個函數；③由定義域求u的取值范圍；④利用函數y＝logau(a＞0且a≠1)的單調性求值域．
跟蹤訓練3　已知函數f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1)．
(1)求函數f(x)的定義域；
(2)若函數f(x)的最小值為－2，求實數a的值．
易錯辨析　忽視對底數的討論致誤
例6　若函數y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值與最小值的差是1，則a的值為________．
解析：當a＞1時，函數y＝logax在[2，4]上是增函數，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.
當0＜a＜1時，函數y＝logax在[2，4]上是減函數，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.
綜上可知a＝2或a＝.
答案：2或
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽視對底數a的分類討論，只考慮了a＞1的情況，漏掉了0＜a＜1的情況． 底數的范圍不同決定了對數函數的單調性不同，從而影響了在閉區間上的最值．所以一定要對底數進行討論．
課堂十分鐘
1．(多選)函數f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的圖象必過(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．函數f(x)＝的定義域為(　　)
A．[－2，0] B．(－2，0)
C．(－2，0] D．(－2，＋∞)
3．函數f(x)＝logax(0＜a＜1)的圖象大致為(　　)
4．若函數y＝(a2＋a－5)logax為對數函數，則f(1)＝________．
5．設a＞1，函數f(x)＝logax在區間[a，2a]上的最大值與最小值之差為，求實數a的值．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
logax(x>0，a>0且a≠1)
要點三
(0，＋∞)　(1，0)　增函數　減函數
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由圖象可知函數y＝logax在(0，＋∞)上單調遞減，所以0答案：AB
3．解析：由對數函數的概念可知2x－1>0，即x>，故選C.
答案：C
4．解析：因為對數函數y＝logax(a>0且a≠1)恒過定點(1，0)，所以令x－3＝1，即x＝4，此時y＝－2，所以函數y＝loga(x－3)－2過定點(4，－2).
答案：(4，－2)
題型探究·課堂解透
例1　解析：依題意可知定點A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝－＝2－＝.
答案：
例2　解析：由題干圖可知函數y＝logax，y＝logbx的底數a＞1，b＞1，函數y＝logcx，y＝logdx的底數0＜c＜1，0＜d＜1.
過點(0，1)作平行于x軸的直線，則直線與四條曲線交點的橫坐標從左向右依次為c，d，a，b，顯然b＞a＞1＞d＞c.
答案：b>a>1>d>c
例3　解析：函數為偶函數，在(0，＋∞)上為減函數，(－∞，0)上為增函數，故可排除選項B，C，又x＝±1時y＝1.
答案：A
跟蹤訓練1　解析：(1)A中，由y＝x＋a的圖象知a＞1，而y＝logax為減函數，A錯；B中，0＜a＜1，而y＝logax為增函數，B錯；C中，0＜a＜1，且y＝logax為減函數，所以C對；D中，a＜0，而y＝logax無意義，也不對．
(2)已知圖中曲線是對數函數y＝logax的圖象，
由對數函數的圖象和性質，可得C1，C2，C3，C4的a值從小到大依次為：C4，C3，C2，C1，
由a取，，，四個值，故C1，C2，C3，C4的a值依次為，，，.
(3)根據題意，令2x－1＝1，得x＝1，此時y＝2，所以定點P的坐標是(1，2)，所以f(x)＝2x，所以f(－1)＝.
答案：(1)C　(2)A　(3)
例4　解析：(1)由得，所以定義域為(2，＋∞).
(2)由得，所以定義域為(－2，－1)∪(－1，0).
跟蹤訓練2　解析：(1)由題意得即故函數的定義域為[1，＋∞).
(2)由題意知　解得x>1，
∴函數y＝loga(x－1)＋loga(1＋x)的定義域為(1，＋∞).
答案：(1)B　(2)(1，＋∞)
例5　解析：f(x)＝log2(4x)·log
＝(log2x＋2)·
＝－.
設log2x＝t.
∵x∈，∴t∈[－1，2]，
則有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，
因此二次函數圖象的對稱軸為t＝－，
∴函數y＝－(t2＋t－2)在上是增函數，在上是減函數，
∴當t＝－時，y有最大值，且ymax＝；當t＝2時，y有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域為.
跟蹤訓練3　解析：(1)由題意得
解得－1＜x＜3，所以函數f(x)的定義域為(－1，3).
(2)因為f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]
＝loga(－x2＋2x＋3)
＝loga[－(x－1)2＋4]，
若0＜a＜1，則當x＝1時，f(x)有最小值loga4，
所以loga4＝－2，a－2＝4，
又0＜a＜1，所以a＝.
若a＞1，則當x＝1時，f(x)有最大值loga4，f(x)無最小值．
綜上可知，a＝.
[課堂十分鐘]
1．解析：f(x)＝loga(x＋2)(0所以必過第二、三、四象限．
答案：BCD
2．解析：要使函數有意義，則1－log2(x＋2)≥0得log2(x＋2)≤1，即0＜x＋2≤2，得－2＜x≤0，即函數的定義域為(－2，0].
答案：C
3．解析：在logax中x>0，∴y＝logax＝logax(0答案：B
4．解析：由對數函數的定義可知a2＋a－5＝1.
解得a＝2或a＝－3(a＝－3舍去)，
∴f(x)＝log2x，∴f(1)＝0.
答案：0
5．解析：∵a>1，∴f(x)＝logax在(0，＋∞)上是增函數．
∴最大值為f(2a)，最小值為f(a).
∴f(2a)－f(a)＝loga2a－logaa＝，即loga2＝.∴a＝4.
高中數學同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享高中數學同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享
湘教版高中數學必修第一冊-4.3.2.1對數的運算法則(1)
教材要點
要點　對數的運算法則
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(M·N)＝________________，
(2)loga＝________________，
(3)logaMn＝____________(n∈R)．
狀元隨筆　對數的這三條運算性質，都要注意只有當式子中所有的對數都有意義時，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3) ＋log2(－5)是錯誤的．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)lg (x＋y)＝lg x＋lg y．(　　)
(2)loga(xy)＝logax·logay(a＞0，且a≠1，x，y＞0)．(　　)
(3)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　)
(4)loga(xy)＝logax＋logay.(a＞0，且a≠1，x，y＞0)．(　　)
2．計算：lg 2＋lg 5＝(　　)
A．1　　　　B．2 C．5　　　　D．10
3．log618＋2log6的結果是(　　)
A．－2 B．2
C． D．log62
－＝________．
題型1　對數式的化簡
例1　用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga； (2)logax3y5；
(3)loga； (4)loga.
方法歸納
運用對數運算法則進行對數式的化簡，要注意只有當式子中所有的對數都有意義時，等式才成立．
跟蹤訓練1　請用lg x, lg y, lg z，lg (x＋y), lg (x－y)表示下列各式．
(1)lg (x2－y2)；
(2)lg .
題型2　對數式的求值
角度1　對數運算法則的正用
例2　計算：
(1)；
(2)log2.
方法歸納
選擇適當的對數運算法則求值，注意掌握一些對數的性質：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．
角度2　對數運算法則的綜合應用
例3　計算下列各式的值．
(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；
(2)；
(3)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
方法歸納
1．對于同底的對數的化簡，常用方法是：
(1)“收”，將同底的兩對數的和(差)收成積(商)的對數；
(2)“拆”，將積(商)的對數拆成對數的和(差)．
2．對數式的求值一般是正用或逆用公式，要養成正用、逆用、變形應用公式的習慣，
lg 2＋lg 5＝1在計算對數值時會經常用到，同時注意各部分變形要化到最簡形式．
角度3　帶有附加條件的對數式求值
例4　(1)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，則lg ＝________．
(2)已知3a＝2，3b＝，則2a－b＝________．
方法歸納
先將條件或結論適當變形，再準確應用對數運算公式及有關性質解題．
跟蹤訓練2　(1)已知lg 2＝a，lg 3＝b，則lg 12等于(　　)
A．a2＋b B．b＋2a
C．a＋2b D．a＋b2
－lg 0.01＋ln e3等于(　　)
A．14 B．0
C．1 D．6
(3)·(lg 32－lg 2)＝________．
(4)lg 2－lg ＋3lg 5－log32·log49＝________．
易錯辨析　忽視對數的限制條件
例5　若lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，則的值為________．
解析：∵lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，∴(x－y)(x－4y)＝0.
解得x＝y或x＝4y.
∴＝1或＝4.
由已知得x＞0，y＞0，x－2y＞0.
當＝1時，x－2y＜0，此時lg (x－2y)無意義，舍去．
當＝4時，代入已知條件，符合題意，綜上＝4.
答案：4
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
本題易錯地方是忽視對數的限制條件，尤其x－2y＞0這一條件，得出錯誤答案1或4. 在對數的定義中，要求真數大于0，底數大于0且不等于1.在解題時不能漏掉任何一個條件．
課堂十分鐘
1．log5＋log53等于(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．log5
2．log36－log32＝(　　)
A． B．1
C．log34 D．log312
3．若10a＝5，10b＝2，則a＋b等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．lg ＋lg 的值是________．
5．計算：
(1)(lg 5)2＋lg 2×lg 50；
(2)log2732·log6427＋log92·log4.
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
(1)logaM＋logaN　(2)logaM－logaN　(3)nlogaM
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
答案：A
3．解析：原式＝log618＋log62＝log636＝2.故選B.
答案：B
4．解析：－＝＝＝＝log33＝4.
答案：4
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1) (1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；
(2)logax3y5＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay；
(3)loga＝loga－loga(yz)＝logax－(logay+logaz )＝logax－logay－logaz；
(4)loga＝logax2＋loga－loga＝2logax＋logay－logaz.
跟蹤訓練1　解析：(1)lg (x2－y2)＝＝lg (x－y)＋lg (x＋y).
(2)lg ＝lg x＋lg y2－lg z＝lg x＋2lg y－lg z．
例2　解析：(1)lg＝lg 100＝；
(2)log2(47×25)＝log247＋log225＝14＋5＝19.
例3　解析：(1)原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
例4　解析：(1) lg ＝lg 45＝lg
＝ (lg 9＋lg 10－lg 2)＝ (2lg 3＋1－lg 2)
＝lg 3＋－lg 2≈0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6.
(2)∵3a＝2，3b＝，兩邊取對數得a＝log32，b＝log3＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320.
答案：(1)0.826 6　(2)log320
跟蹤訓練2　解析：(1)lg 12＝lg 4＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a＋b.故選B.
(2)3log34－－lg 0.01＋ln e3＝4－－lg ＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.故選B.
(3)原式＝×lg ＝·lg 24＝4.
(4)原式＝lg 2＋2lg 2＋3lg 5－log32·log23＝3lg 2＋3lg 5－1＝3(lg 2＋lg 5)－1＝3lg 10－1＝3－1＝2.
答案：(1)B　(2)B　(3)4　(4)2
[課堂十分鐘]
1．解析：因為＋log53＝log5()＝log51＝0.
答案：A
2．解析： log36－log32＝log3＝log33＝1.
答案：B
3．解析：由已知得a＝lg 5，b＝lg 2，
故a＋b＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故選C.
答案：C
4．解析：lg ＋lg ＝lg＝lg 10＝1.
答案：1
5．解析：(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)log2732·log6427＋log92·log4
＝·＋·
＝＋＝＋
＝＋＝.
高中數學同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享高中數學同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享
湘教版高中數學必修第一冊-4.3.3.2對數函數的圖象與性質(2)
教材要點
要點一　y＝logaf(x)型函數性質的研究
(1)定義域：由f(x)＞0解得x的取值范圍，即函數的定義域．
(2)值域：在函數y＝logaf(x)的定義域中確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調性確定函數的值域．
(3)單調性：在定義域內考慮t＝f(x)與y＝logat的單調性，根據________法則判定．(或運用單調性定義判定)
(4)奇偶性：根據奇偶函數的定義判定．
(5)最值：在f(x)＞0的條件下，確定t＝f(x)的值域，再根據a確定函數y＝logat的單調性，最后確定最值．
要點二　logaf(x)＜logag(x)型不等式的解法
(1)討論a與1的關系，確定單調性；
(2)轉化為f(x)與g(x)的不等關系求解，且注意真數大于零．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上為增函數．(　　)
(2)y＝在(0，＋∞)上為增函數．(　　)
(3)ln x＜1的解集為(－∞，e)．(　　)
(4)y＝log2[(x－1)(x－2)]的增區間是(－∞，1).(　　)
2．不等式log2(2x＋3)＞log2(5x－6)的解集為(　　)
A．(－∞，3) B．(－，3)
C． D．
3．若a＝lg 11，b＝lg 9，c＝lg ，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
4．函數f(x)＝ln (2－x)的單調遞減區間是________．
　對數函數單調性的應用
角度1　比較大小
例1　(多選)下列各組的大小關系正確的是(　　)
　　　　B．log1.51.6＞log1.51.4
C．log0.57＜log0.67 D．log3π＞log20.8
方法歸納
比較對數值大小時常用的三種方法
角度2　解簡單的對數不等式
例2　(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，則x的取值范圍為________；
(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范圍．
方法歸納
兩類對數不等式的解法
(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．
①當0＜a＜1時，可轉化為f(x)＞g(x)＞0；
②當a＞1時，可轉化為0＜f(x)＜g(x)．
(2)形如logaf(x)＜b的不等式可變形為logaf(x)＜b＝logaab.
①當0＜a＜1時，可轉化為f(x)＞ab；
②當a＞1時，可轉化為0＜f(x)＜ab.
跟蹤訓練1　(1)已知a＝，b＝log2，c＝，則(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
(2)若loga＜1(a＞0且a≠1)，則實數a的取值范圍是________.
　對數型函數的單調性
例3　函數y＝的單調遞增區間為________；單調遞減區間為________．
變式探究　將本例改為“函數y＝在區間(－∞，]上是增函數”，求實數a的取值范圍．
方法歸納
形如y ＝loga f(x)的函數的單調性判斷，首先要確保f(x)＞0.
當a＞1時，y ＝loga f(x)的單調性在f(x)＞0的前提下與y ＝f(x)的單調性一致．
當0＜a＜1時，y ＝loga f(x)的單調性在f(x)＞0的前提下與y ＝f(x)的單調性相反．
跟蹤訓練2　(1)函數y＝的單調增區間為________.
(2)已知函數y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上單調遞減，則a的取值范圍是________．
　對數函數性質的綜合應用
例4　已知奇函數f(x)＝ln .
(1)求實數a的值；
(2)判斷函數f(x)在(1，＋∞)上的單調性，并利用函數單調性的定義證明；
(3)當x∈[2，5]時，ln (1＋x)＞m＋ln (x－1)恒成立，求實數m的取值范圍．
方法歸納
以對數函數為載體，考查函數的定義域、值域、單調區間、奇偶性等，這類問題綜合性較強，明確各知識點與所求目標之間的聯系，做好等價轉化是解決問題的關鍵．解題中需注意運用常見方法和規避常見錯誤．
(1)定義域：研究此類綜合性問題，首先要弄清函數的定義域，即遵循“定義域\”優先原則，在對數函數綜合性問題的求解中尤其重要．
(2)單調性：復合函數單調性的核心是同增異減．
(3)奇偶性：難點在于對數式的化簡與變形．
(4)值域：常采用換元法求解，注意新元的取值范圍．
跟蹤訓練3　已知函數f(x)＝loga(a＞0且a≠1)．
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷函數f(x)的奇偶性，并求函數的單調區間．
易錯辨析　忽略對數函數大于0致誤
例5　若函數f(x)＝ln (x2－ax＋1)在區間(2，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍是________．
解析：設g(x)＝x2－ax＋1，要使f(x)＝ln (x2－ax＋1)在區間(2，＋∞)上單調遞增，
則即得a≤
故實數a的取值范圍是(－∞，].
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽略對數的真數大于0這一隱含條件，從而漏掉g(2)≥0致誤． 求解含參數的對數函數有關的復合函數問題時，參數不但要結合復合函數的單調性列出取值范圍，還要滿足對數的真數在所給的單調區間上大于0這一條件．
課堂十分鐘
1．設a＝log2，b＝log3，c＝，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．c＞b＞a B．c＞a＞b
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
2．函數f(x)＝(2－x)的單調遞增區間是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
3．不等式的解集為(　　)
A．(－∞，3) B．
C． D．
4．已知f(x)＝ln 是奇函數，則m＝________．
5．已知函數f(x)＝loga(1－ax)(a＞0且a≠1)．
(1)若a＞1，解不等式f(x)＜0.
(2)若函數f(x)在區間(0，2]上單調遞增，求實數a的取值范圍．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
同增異減
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：∵函數y＝log2x是增函數，
∴
解得答案：D
3．解析：∵函數y＝lg x是增函數，且11>9>，
∴lg 11>lg 9>lg，即a>b>c.
答案：C
4．解析：由2－x>0得，x<2，
所以函數f(x)＝ln (2－x)的單調遞減區間是(－∞，2).
答案：(－∞，2)
題型探究·課堂解透
例1　解析：A中，因為函數y＝logx是減函數，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6，A錯；B中，因為函數y＝log1.5x是增函數，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4，B正確；C中，因為0>log70.6>log70.5，所以<，即log0.67log31＝0，log20.8log20.8，D正確．
答案：BD
例2　解析：(1)∵函數y＝log0.7x在(0，＋∞)上為減函數，
∴由log0.72x＜log0.7(x－1)，得解得x＞1，
即x的取值范圍是(1，＋∞).
(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，
當a＞1時，有解得2≤x＜3.
當0＜a＜1時，有解得1＜x≤2.
綜上可得，
當a＞1時，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范圍為[2，3)；
當0＜a＜1時，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范圍是(1，2].
答案：(1)(1，＋∞)　(2)見解析
跟蹤訓練1　解析：(1)∵a＝2－∈(0，1)，b＝log2<0，c＝log>1，∴b(2)當a>1時，loga<0<1成立，當01.
答案：(1)C　(2)∪(1，＋∞)
例3　解析：由題意知x2＋4x－12>0，
依據二次函數t＝x2＋4x－12的圖象可得x>2或x<－6.
且t＝x2＋4x－12在(－∞，－6)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增．
又∵y＝logt是(0，＋∞)上的減函數，
所以函數的單調遞增區間是(－∞，－6)，單調遞減區間是(2，＋∞).
答案：(－∞，－6)　(2，＋∞)
變式探究　解析：令g(x)＝x2－ax＋a，由于y＝f(x)＝logg(x)在區間(－∞，]上是增函數，故g(x)應在區間(－∞，]上是減函數，且g(x)>0故有即解得2≤a<2＋2，
故實數a的取值范圍是[2，2＋2).
跟蹤訓練2　解析：(1)由1－x2>0，得－1令t＝1－x2，x∈(－1，1)，
當x∈(0，1)時，y＝log(1－x2)單調遞增，
故y＝log(1－x2)的單調增區間為(0，1).
(2)若函數y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上單調遞減，則a<0且ax－1>0在(－2，－1)上恒成立，
即a<在(－2，－1)上恒成立，
所以a≤－1，故a的取值范圍是(－∞，－1].
答案：(1)(0，1)　(2)(－∞，－1]
例4　解析：(1)∵f(x)是奇函數，
∴f(－x)＝－f(x)，
即ln ＝－ln .
∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，
經檢驗a＝－1時不符合題意，∴a＝1.
(2)f(x)在(1，＋∞)上單調遞減．
證明：由(1)得f(x)＝ln ，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝ln －ln ＝ln ＝ln .
∵1∴x2－x1>0，>1，
∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(1，＋∞)上單調遞減．
(3)由已知得m由(2)知f(x)＝ln 在[2，5]上為減函數．
∴f(x)在[2，5]上的最小值為f(5)＝ln .
于是m即實數m的取值范圍為.
跟蹤訓練3　解析：(1)要使此函數有意義，則有或
解得x>1或x<－1，故此函數的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)由(1)可得f(x)的定義域關于原點對稱．∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)為奇函數．
f(x)＝loga＝loga，
函數u＝1＋在區間(－∞，－1)和區間(1，＋∞)上單調遞減，
所以當a>1時，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調遞減；當0[課堂十分鐘]
1．解析：∵a＝＝log23－1，b＝＝log34－1且2＝log24>log23>log34>log33＝1，則1>a>b>0，c＝log34>1.∴a，b，c的大小關系是c>a>b.
答案：B
2．解析：由2－x>0，得到x<2，令t＝2－x，則t＝2－x在(－∞，2)上遞減，而y＝在(0，＋∞)上遞減，由復合函數單調性同增異減法則，得到f(x)＝在(－∞，2)上遞增．
答案：A
3．解析：因為函數y＝在(0，＋∞)上是減函數，所以,解得答案：D
4．解析：∵f(－x)＝ln ＝ln，－f(x)＝－＝，∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，即ln＝，∴m＝－1.
答案：－1
5．解析：(1)因為a>1，loga(1－ax)<0，所以loga(1－ax)所以0<1－ax<1，所以－1<－ax<0，
解得0所以a>1時，不等式的解集為.
(2)因為關于x的函數f(x)在區間(0，2]上單調遞增，
而t＝1－ax在區間(0，2]上單調遞減，
所以00.
再由，解得0則實數a的取值范圍為.
高中數學同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享高中數學同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享
湘教版高中數學必修第一冊-4.3.2.2對數的運算法則(2)
教材要點
要點一　常用對數與自然對數
(1)常用對數：以10為底的對數，叫作常用對數，并且把log10N記為lg N.
(2)自然對數：以e(e＝2.718 28…)為底的對數，叫作自然對數，并且把logeN 記為ln N .
要點二　對數換底公式
logab＝(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0)．
特別地：logab·logba＝________(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)．
狀元隨筆　對數換底公式常見的兩種變形
(1)logab·logba ＝1，即 ＝logba ，此公式表示真數與底數互換，所得的對數值與原對數值互為倒數 .
＝logNM，此公式表示底數變為原來的n次方，真數變為原來的m次方，所得的對數值等于原來對數值的倍．
基礎自測
1. 計算：log927＝(　　)
A．2 B．4
C．3 D．
2．log63·log9 6＝(　　)
A． B．3
C．2 D．
3．若lg 5＝a，lg 7＝b，則用a，b表示log75等于(　　)
A．a＋b B．a－b
C． D．
4．計算：log59·log8125＝________．
題型1　利用換底公式直接求值
例1　計算下列各式的值．
(1)(log43＋log83)log32；
(2).
方法歸納
(1)利用對數的換底公式可以將不同底對數的問題化為同底對數的問題．
(2)換底時要注意與題中條件結合，所取的底數要便于計算．
(3)要注意公式的逆用，如＝log93 ＝.
跟蹤訓練1　求值：
(1)
(2)(log23＋log43)(log32＋log274)
題型2　利用換底公式條件求值
例2　設3x＝4y＝36，求的值．
方法歸納
與對數有關的條件求值，需要對已知條件和所求式子進行化簡轉化，原則是化為同底的對數，以便利用對數的運算性質，要整體把握對數式的結構特征，靈活運用指數式與對數式的互化．
跟蹤訓練2　已知2x＝3y＝a，＝2，求a的值．
　對數運算在實際問題中的應用
例3　一臺機器原價20萬元，由于磨損，該機器每年比上一年的價值降低8.75%，問經過多少年這臺機器的價值為8萬元(lg 2≈0.301 0，lg 9.125≈0.960 2)
方法歸納
關于對數運算在實際問題中的應用
(1)在與對數相關的實際問題中，先將題目中數量關系理清，再將相關數據代入，最后利用對數運算性質、換底公式進行計算．
(2)在與指數相關的實際問題中，可將指數式利用取對數的方法，轉化為對數運算，從而簡化復雜的指數運算．
跟蹤訓練3　中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：C＝Wlog2，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內信號的平均功率S、信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數中的1可以忽略不計，按照香農公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1 000提升至5 000，則C大約增加了(　　)
附：lg 2≈0.301 0
A．20% B．23%
C．28% D．50%
課堂十分鐘
1．計算log225·log52＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
2．已知log212＝m，，則log312＝(　　)
A． B．
C． D．
3．若2a＝10，b＝log510，則＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．log35log46log57log68log79＝________．
5．設α，β是方程lg2x－lg x－3＝0的兩根，求logα β＋logβ α的值．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點二
1
[基礎自測]
1．解析：log927＝＝＝，故選D.
答案：D
2．解析：log63·log96＝log63·＝log63·＝，故選D.
答案：D
3．解析：log75＝＝，故選D.
答案：D
4．解析：根據換底公式，原式等價于×＝×＝1.
答案：1
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)原式＝log32＝log32＝＋＝.
(2)原式＝×＝log×log9＝log32×log29＝log32×3log23＝－.
跟蹤訓練1　解析：(1)原式＝log64＋log69＝log636＝2.
(2)原式＝(log23＋log23)×()
＝log23×log32＝log23×log32＝.
例2　解析：∵3x＝4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
利用換底公式可得，
＝＝＝log363，
＝＝＝log364，
＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.
跟蹤訓練2　解析：由2x＝3y＝a，得x＝log2a，y＝log3a，
所以＋＝＋＝loga2＋loga3＝loga6＝2.
∴a2＝6，解得a＝±，又∵a>0，∴a＝.
例3　解析：設經過x年，這臺機器的價值為8萬元，則
8＝20(1－0.087 5)x，即0.912 5x＝0.4，
兩邊取以10為底的對數，
得x＝＝＝≈10.
所以約經過10年這臺機器的價值為8萬元．
跟蹤訓練3　解析：將信噪比從1 000提升至5 000時，
C增加比率為
＝≈
＝≈0.23＝23%.
答案：B
[課堂十分鐘]
1．解析：log225·log52＝log252·log5＝2××log25×log52＝3.
答案：A
2．解析：因為log212＝m，所以＝＝＝m，即lg 3＝(m－2)lg 2，所以log312＝＝＝＝，故選B.
答案：B
3．解析：∵2a＝10，∴a＝log210，
又b＝log510，
∴＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.故選A.
答案：A
4．解析：log35log46log57log68log79＝. =
＝＝3
答案：3
5．解析：由題意lg α，lg β是關于lg x的一元二次方程lg2x－lg x－3＝0的兩根，根據韋達定理lg α＋lg β＝1，lg α·lg β＝－3，
所以logα β＋logβ α＝＋＝＝＝－.
高中數學同步資源QQ群483122854 專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題 期待你的加入與分享

展開更多......

收起↑