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湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)-4.4.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)-學(xué)案講義
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
狀元隨筆　函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)自變量取該值時(shí)，其函數(shù)值等于零．
要點(diǎn)二　函數(shù)零點(diǎn)的判定
函數(shù)零點(diǎn)存在定理
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上，當(dāng)x從a到b逐漸增加時(shí)，如果f(x)連續(xù)變化且有f(a)·f(b)＜0，則存在點(diǎn)x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果知道y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，就進(jìn)一步斷定，方程f(x)＝0在(a，b)內(nèi)恰有一個(gè)根．
狀元隨筆　定理要求具備兩條：
①函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)＜0.
基礎(chǔ)自測(cè)
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)所有的函數(shù)都有零點(diǎn)．(　　)
(2)若方程f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，則函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)為(x1，0)，(x2，0)．(　　)
(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn)，則一定有f(a)·f(b)＜0.(　　)
(4)函數(shù)y＝2x－1的零點(diǎn)是.(　　)
2．函數(shù)f(x)＝ln (x＋1)－的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(　　)
A．(0，1)　　B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
3．函數(shù)f(x)＝x3－x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
4．若函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點(diǎn)是________．
　　　
題型1　求函數(shù)的零點(diǎn)
例1　(1)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)是(　　)
A．　　 　B．1 C．和1　　　D．0和1
(2)如果函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是(　　)
A．0，2　　　B．0， C．0，－　　　D．2，－
方法歸納
函數(shù)零點(diǎn)的求法
求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)通常有兩種方法：其一是令f(x)＝0，根據(jù)解方程f(x)＝0的根求得函數(shù)的零點(diǎn)；其二是畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)函數(shù)f(x)＝x－的零點(diǎn)是________．
(2)函數(shù)f(x)＝2x＋x－1的零點(diǎn)為_(kāi)_______．
題型2　函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題
角度1　判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
例2　函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)
A．0　　　　　B．1 C．2　　　　　D．3
方法歸納
判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法主要有：
(1)對(duì)于一般函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷問(wèn)題，可以利用零點(diǎn)存在性定理來(lái)確定零點(diǎn)的存在性，然后借助于函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
(2)由f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐標(biāo)系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖象，利用圖象判定方程根的個(gè)數(shù)．
角度2　由函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍
例3　已知函數(shù)f(x)＝ ,若方程f(x)－m＝0有4個(gè)不相同的解，則實(shí)數(shù)m取值范圍為(　　)
A．(0，1]　　　B．[0，1) C．(0，1)　　　D．[0，1]
方法歸納
已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的常用方法
跟蹤訓(xùn)練2　(1)函數(shù)f(x)＝－x3－2在區(qū)間(－1，0)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若函數(shù)f(x)＝24ax2＋4x－1在區(qū)間(－1，1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
題型3　函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間問(wèn)題
角度1　確定零點(diǎn)所在區(qū)間
例4　函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－3的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(　　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
方法歸納
判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟
(1)代入：將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)的值．
(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷．
(3)結(jié)論：若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
角度2　由函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍
例5　若函數(shù)f(x)＝3x2－5x＋a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(－2，0)內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，3)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________.
方法歸納
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)性質(zhì)列出不等式組，解不等式組即可求出參數(shù)的取值范圍．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝－log2x的零點(diǎn)所在區(qū)間為(　　)
A． B．(1，2)
C．(3，4) D．(4，5)
(2)已知函數(shù)f(x)＝ln x－m的零點(diǎn)位于區(qū)間(1，e)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
易錯(cuò)辨析　忽視零點(diǎn)存在性定理的條件致誤
例6　(多選)若函數(shù)f(x)的圖象在R上連續(xù)不斷，且滿足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有(　　)
A．f(x)在區(qū)間(0，1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定沒(méi)有零點(diǎn)
B．f(x)在區(qū)間(0，1)上一定沒(méi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定有零點(diǎn)
C．f(x)在區(qū)間(0，1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上可能有零點(diǎn)
D．f(x)在區(qū)間(0，1)上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定有零點(diǎn)
解析：由題知f(0)·f(1)＜0，所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得f(x)在區(qū)間(0，1)上一定有零點(diǎn)，又f(1)·f(2)＞0，因此無(wú)法判斷f(x)在區(qū)間(1，2)上是否有零點(diǎn)．故選ABD.
答案：ABD
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
易忽略零點(diǎn)存在性定理的條件：函數(shù)在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的一條曲線． 端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，只是一個(gè)條件，還要注意零點(diǎn)存在性定理成立的另一個(gè)條件，即函數(shù)在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的一條曲線．
課堂十分鐘
1．函數(shù)f(x)＝2x2－3x＋1的零點(diǎn)是(　　)
A．－，－1 B．，1
C．，－1 D．－，1
2．函數(shù)f(x)＝x3＋3x－2的零點(diǎn)所在區(qū)間為(　　)
A． B．
C． D．
3．(多選)已知函數(shù),若函數(shù)g(x)＝f(x)－m恰有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值可能為(　　)
A． B．1
C．2 D．
4．函數(shù)f(x)＝零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．
5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零點(diǎn)是1和2，求函數(shù)y＝logn(mx＋1)的零點(diǎn)．
參考答案與解析
新知初探·課前預(yù)習(xí)
要點(diǎn)一
交點(diǎn)的橫坐標(biāo)　零點(diǎn)
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：f(1)＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln 3－1＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
∴函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)區(qū)間為(1，2).
答案：B
3．解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函數(shù)的零點(diǎn)為－1，0，1，共3個(gè)．
答案：D
4．解析：由得
∴g(x)＝－6x2－5x－1的零點(diǎn)是－，－.
答案：－，－
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)當(dāng)x≤1時(shí)，由2x －2＝0得x＝1；
當(dāng)x＞1時(shí)，由2＋log2x＝0得x＝(舍去)所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是1.
故選B.
(2)由題意知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a，則g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).由g(x)＝0得x＝0或x＝－，故函數(shù)g(x)的零點(diǎn)是0，－.
故選C.
答案：(1)B　(2)C
跟蹤訓(xùn)練1　
解析：(1)令f(x)＝x－＝0，得x＝±1.∴函數(shù)f(x)＝x－的零點(diǎn)是±1.
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝2x，y＝－x＋1的圖象，如圖所示，由圖可知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為0.
答案：(1)±1　(2)0
例2　解析：(1)由f(x)＝ln x－＝0得ln x＝，在同一坐標(biāo)系中畫出y＝ln x與y＝的圖象，如圖所示，函數(shù)y＝ln x與y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
答案：C
例3　解析：畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示：
若方程f(x)－m＝0有4個(gè)不相同的解，
則y＝m和f(x)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，
結(jié)合圖象，0＜m≤1.
答案：A
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－x3－2為減函數(shù)，又f(－1)＝－(－1)3－2＝1>0，f(0)＝－(0)3－2＝－1<0.故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1，0)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.
(2)∵f(x)＝24ax2＋4x－1，
∴f(0)＝－1≠0，x＝0不是函數(shù)的零點(diǎn)．
∴當(dāng)x≠0時(shí)，由f(x)＝24ax2＋4x－1＝0.
得a＝＝－·
＝－.
令t＝，則t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
令g(t)＝(t－2)2－，
則g(－1)＝，g(1)＝－，g(2)＝－.
函數(shù)f(x)＝24ax2＋4x－1在區(qū)間(－1，1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn) 函數(shù)y＝a的圖象與函數(shù)y＝g(t)，t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
由圖可知，a∈∪.
答案：(1)B　(2)B
例4　解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，其圖象在定義域上為一條不間斷的曲線，
且f(1)＝－1＜0，f＝ln ＞0，
由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)f(x)在上存在零點(diǎn)．
答案：C
例5　解析：根據(jù)二次函數(shù)及其零點(diǎn)所在區(qū)間可畫出大致圖象，如圖．
由圖可知
即
解得－12答案：(－12, 0)
跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－log2x是減函數(shù)．又f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－2<0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得到函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，4)上存在零點(diǎn)．
(2)令f(x)＝ln x－m＝0，得m＝ln x，因?yàn)閤∈(1，e)，所以ln x∈(0，1)，故m∈(0，1).
答案：(1)C　(2)(0，1)
[課堂十分鐘]
1．解析：方程2x2－3x＋1＝0的兩根分別為x1＝1，x2＝，所以函數(shù)f(x)＝2x2－3x＋1的零點(diǎn)是，1.故選B.
答案：B
2．解析：函數(shù)f(x)＝x3＋3x－2是連續(xù)函數(shù)且單調(diào)遞增，
∵f()＝＋－2＝－＜0，
f ()＝＋－2＝＞0
∴f() f ()＜0，
由零點(diǎn)判定定理可知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間)上．
故選C.
答案：C
3．解析：g(x)恰好有3個(gè)零點(diǎn)，
等價(jià)于f(x)＝m有三個(gè)不等實(shí)根，如圖，
作出y＝f(x)的圖象，可得當(dāng)＜m≤2時(shí)，
f(x)的圖象與y＝m有三個(gè)交點(diǎn)．
故選BC.
答案：BC
4．解析：x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3.
x＞0時(shí)，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上遞增，
f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0，
∵f(1)f(e3)＜0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上，f(x)在R上有2個(gè)零點(diǎn)．
答案：2
5．解析：由題可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的兩個(gè)零點(diǎn)為1和2.
則1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的兩根．
可得
解得
所以函數(shù)y＝logn(mx＋1)的解析式為
y＝log2(－2x＋1)，要求其零點(diǎn)，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函數(shù)y＝log2(－2x＋1)的零點(diǎn)為0.
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湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)-4.4.2計(jì)算函數(shù)零點(diǎn)的二分法-學(xué)案講義
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一　二分法
在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10 km長(zhǎng)的線路，在這條線路上有200多根電線桿，如圖所示．工人首先從線路的中點(diǎn)C查起，如果CB段正常，就選擇CA的中點(diǎn)D測(cè)試，如果DA段正常，就選擇DC的中點(diǎn)E繼續(xù)測(cè)試……像檢修線路所用的這種方法稱作二分法．
要點(diǎn)二　用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的一般操作方法
設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義在區(qū)間D上，其圖象是一條連續(xù)曲線，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)x0的近似值x，使它與零點(diǎn)的誤差不超過(guò)給定的正數(shù)ε，即使得|x－x0|≤ε.
(1)在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間[a，b] D，使f(a)與f(b)異號(hào)，即f(a)·f(b)＜0；
(2)取區(qū)間[a，b]的中點(diǎn)m＝(a＋b)；
(3)如果|m－a|＜ε , 則取m為f(x)的零點(diǎn)近似值，計(jì)算終止；
(4)計(jì)算f(m)，如果f(m)＝0，則m就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；
(5)f(m)與f(a)同號(hào)則令a＝m，否則令b＝m，再執(zhí)行(2)．
狀元隨筆　二分就是將所給區(qū)間平均分成兩部分，通過(guò)不斷逼近的辦法，找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)．
基礎(chǔ)自測(cè)
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值．(　　)
(2)用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位．(　　)
(3)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用．(　　)
(4)用二分法求方程的近似解，實(shí)質(zhì)上就是通過(guò)“取中點(diǎn)”的方法，運(yùn)用“逼近”思想逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間．(　　)
2．以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是(　　)
3．用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，則函數(shù)的一個(gè)精確度為0.1的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為(　　)
A．0.9 B．0.7
C．0.5 D．0.4
4．已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2，4)上連續(xù)，驗(yàn)證f(2)·f(4)＜0，取區(qū)間(2，4)的中點(diǎn)x1＝＝3，計(jì)算得f(2)·f(x1)＜0，則此時(shí)零點(diǎn)所在的區(qū)間為_(kāi)_______．
題型1　二分法的概念應(yīng)用
例1　(1)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是(　　)
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間[1，3]內(nèi)的根，取區(qū)間的中點(diǎn)為x0＝2，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是________．
方法歸納
二分法的適用條件
判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用．
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)下列函數(shù)中，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的有(　　)
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝log4x D．f(x)＝ex－2
題型2　用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值
例2　用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1，1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)．(精確度0.01)
方法歸納
(1)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則
①需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計(jì)值的方法完成)．
②取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c，計(jì)算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值．
(2)二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣
定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看．
同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間．
重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來(lái)把關(guān)口．
跟蹤訓(xùn)練2　根據(jù)下表，用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間(1，2)上的零點(diǎn)的近似值(精確度為0.1)是(　　)
f(1)＝－1 f(2)＝3 f(1.5)＝－0.125
f(1.75)＝1．109 375 f(1.625)≈0．416 015 63 f(1.562 5)≈0．127 197 27
A.1.75 B．1.625
C．0.127 197 26 D．1.562 5
題型3　用二分法求方程的近似解
例3　用二分法求2x＋x＝4在區(qū)間(1，2)內(nèi)的近似解(精確度0.2)．
參考數(shù)據(jù)：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
方法歸納
用二分法求方程的近似解的方法
對(duì)于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通過(guò)移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)的近似值，然后按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟求解．
跟蹤訓(xùn)練3　用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：
x 1.600 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0
f(x)的 近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 －0.029 －0.060
據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3x－x－4＝0的一個(gè)近似解(精確度為0.01)可取________．
易錯(cuò)辨析　精確度理解不正確致誤
例4　用二分法求方程x2－5＝0的一個(gè)近似解(精確度為0.1)．
解析：令f(x)＝x2－5，因?yàn)閒(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2.2，2.4)內(nèi)有零點(diǎn)，設(shè)為x0.取區(qū)間(2.2，2.4)的中點(diǎn)x1＝2.3，f(2.3)＝0.29＞0，因?yàn)閒(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2，2.3)．
再取區(qū)間(2.2，2.3)的中點(diǎn)x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5＞0，
因?yàn)閒(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2，2.25)．
因?yàn)閨2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的一個(gè)近似正解可取為2.25.
易錯(cuò)警示
易錯(cuò)原因 糾錯(cuò)心得
誤認(rèn)為精確度是|f(a)－f(b)|＜ε，導(dǎo)致錯(cuò)誤． 利用二分法求方程的近似解時(shí)，要隨時(shí)檢驗(yàn)區(qū)間(a，b)的長(zhǎng)度與精確度ε的關(guān)系，一旦有|a－b|＜ε，應(yīng)立即停止計(jì)算，該區(qū)間中的任一值都是方程的近似解．
課堂十分鐘
1．用二分法求如圖所示函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是(　　)
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
2．用二分法求函數(shù)f(x)＝2x－3的零點(diǎn)時(shí)，初始區(qū)間可選為(　　)
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
3．在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)內(nèi)近似根的過(guò)程中，已經(jīng)得到f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，則方程的根落在區(qū)間(　　)
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能確定
4．用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2，4]上的近似零點(diǎn)(精確度為0.01)，驗(yàn)證f(2)·f(4)＜0，取區(qū)間[2，4]的中點(diǎn)x1＝＝3，計(jì)算得f(2)·f(x1)＜0，則此時(shí)零點(diǎn)x0所在的區(qū)間是________.
5．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一個(gè)近似解(精確度為0.1)的不完整的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出結(jié)論．
設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋3x－5，其圖象在(－∞，＋∞)上是連續(xù)不斷的一條曲線．
先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．
所以f(x)在區(qū)間________內(nèi)存在零點(diǎn)x0.填表：
區(qū)間 中點(diǎn)m f(m)的符號(hào) 區(qū)間長(zhǎng)度
參考答案與解析
新知初探·課前預(yù)習(xí)
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：根據(jù)二分法的基本方法，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＜0，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間[a，b]一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值．對(duì)各圖象分析可知，選項(xiàng)A、B、D都符合條件，而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)閳D象在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值不異號(hào)，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．
故選C.
答案：C
3．解析：由題意可知函數(shù)的零點(diǎn)在(0.68，0.72)內(nèi)，四個(gè)選項(xiàng)中只有0.7，滿足|0.7－0.68|＜0.1.
故選B.
答案：B
4．解析：∵f(2)·f(3)＜0，∴零點(diǎn)在區(qū)間(2，3)內(nèi)．
答案：(2，3)
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)．在B中，不滿足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零點(diǎn)，由于A、C、D中零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可采用二分法求零點(diǎn)．
故選B.
(2)設(shè)f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的區(qū)間是(1，2)．
答案：(1)B　(2)(1，2)
跟蹤訓(xùn)練1　解析：f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號(hào)，不能用二分法求零點(diǎn)，其余選項(xiàng)中在函數(shù)的零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故選ACD.
答案：ACD
例2　解析：經(jīng)計(jì)算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函數(shù)在[1，1.5]內(nèi)存在零點(diǎn)x0.
取(1，1.5)的中點(diǎn)x1＝1.25，經(jīng)計(jì)算f(1.25)＜0，
因?yàn)閒(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25，1.5)，
如此繼續(xù)下去，如下表：
區(qū)間 中點(diǎn)值 中點(diǎn)函數(shù)近似值
(1，1.5) 1.25 －0.30
(1.25，1.5) 1.375 0.22
(1.25，1.375) 1.312 5 －0.05
(1.312 5，1.375) 1.343 75 0.08
(1.312 5，1.343 75) 1.328 125 0.01
(1.312 5，1.328 125) 1.320 312 5 －0.02
因?yàn)閨1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，
所以函數(shù)f(x)＝x3－x－1精確度為0.01的一個(gè)近似零點(diǎn)可取為1.328 125.
跟蹤訓(xùn)練2　解析：因?yàn)閒(1.5)＝－0.125＜0.f(1.562 5)≈0.127 197 27＞0，f(x)在(1，2)上是連續(xù)的，且|1.562 5－1.5|＝0.062 5＜0.1，所以區(qū)間[1.5，1.562 5]中的任意一個(gè)值都可作為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上零點(diǎn)的近似值．故選D.
答案：D
例3　解析：令f(x)＝2x＋x－4，則f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0.
區(qū)間 區(qū)間中點(diǎn)值xn f(xn)的值及符號(hào)
(1，2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33＞0
(1，1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37＜0
(1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035＜0
(1.375，1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在(1，2)內(nèi)的近似解可取為1.375.
跟蹤訓(xùn)練3　解析：由題中圖表可知f(x)＝3x－x－4的零點(diǎn)在1.556 2和1.562 5之間，方程3x－x－4＝0的近似解在1.556 2和1.562 5之間，由題意知近似解要精確到0.01，所以方程3x－x－3＝0的近似解為1.56.
答案：1.56
[課堂十分鐘]
1．解析：用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)在函數(shù)零點(diǎn)的左右兩側(cè)，函數(shù)值的符號(hào)不同．
故選C.
答案：C
2．解析：因?yàn)閒(－1)＝2－1－3＝－<0，
f(0)＝20－3＝－2<0，
f(1)＝2－3＝－1<0，
f(2)＝22－3＝1>0，
f(3)＝23－3＝5>0，
又因?yàn)閒(1)·f(2)<0，
所以f(x)＝2x－3的零點(diǎn)x0∈(1，2)．
故選C.
答案：C
3．解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴在區(qū)間(1，1.5)內(nèi)函數(shù)f(x)＝3x＋3x－8存在一個(gè)零點(diǎn)．又∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴在區(qū)間(1.25，1.5)內(nèi)函數(shù)f(x)＝3x＋3x－8存在一個(gè)零點(diǎn)．由此可得方程3x＋3x－8＝0的根落在區(qū)間(1.25，1.5)內(nèi)．
故選B.
答案：B
4．解析：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2，3)．
答案：(2，3)
5．解析：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，
f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)存在零點(diǎn)x0，填表為
區(qū)間 中點(diǎn)m f(m)的符號(hào) 區(qū)間長(zhǎng)度
(1，2) 1.5 ＋ 1
(1，1.5) 1.25 ＋ 0.5
(1，1.25) 1.125 － 0.25
(1.125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125
(1.125，1.187 5) 1.156 25 ＋ 0.062 5
因?yàn)閨1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，
所以原方程的近似解可取為1.187 5.
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