資源簡介

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湘教版高中數學必修第一冊-4.5.1幾種函數增長快慢的比較-學案講義
教材要點
要點　三種函數增長快慢的比較
函數 性質 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增減性 ________ ________ ________
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象的 變化 隨x的增大逐漸 表現為與y軸平行 隨x的增大逐漸 表現為與x軸平行 隨n值變化 而各有不同
值得比較 存在一個x0，當x＞x0時，有________
狀元隨筆　(1)指數函數模型：能用指數型函數f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數，a＞0，b＞1)表達的函數模型，其增長特點是隨著自變量x的增大，函數值增長的速度越來越快，常稱之為“指數爆炸”．
(2)對數函數模型：能用對數型函數f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數，m＞0，x＞0，a＞1)表達的函數模型，其增長的特點是開始階段增長得較快，但隨著x的逐漸增大，其函數值變化得越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)函數y＝的衰減速度越來越慢．(　　)
(2)函數y＝lg x的增長速度越來越快．(　　)
(3)增長速度不變的函數模型是一次函數模型．(　　)
(4)對任意x∈(0，＋∞)，總有2x＞x2.(　　)
2．下表顯示了函數值y隨自變量x變化的一組數據，由此可判斷它最可能符合的函數模型為(　　)
x －2 －1 0 1 2
y 1 4 16
A．一次函數模型 B．二次函數模型
C．指數函數模型 D．對數函數模型
3．已知y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x，當2＜x＜4時，有(　　)
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
4．函數y＝x2與函數y＝ln x在區間(0，＋∞)上增長較快的是________．
題型1　幾種函數模型增長的差異
例1　(1)下列函數中，增長速度最快的是(　　)
A．y＝2021x B．y＝x2021
C．y＝2021x D．y＝log2021x
(2)已知三個變量y1，y2，y3隨變量x變化的數據如下表：
x 1 2 4 6 8 …
y1 2 4 16 64 256 …
y2 1 4 16 36 64 …
y3 0 1 2 2.585 3 …
則反映y1，y2，y3隨x變化情況擬合較好的一組函數模型是(　　)
A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x
B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x
C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x
D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2
方法歸納
幾類不同增長的函數模型
(1)增長速度不變的函數模型是一次函數模型．
(2)增長速度最快即呈現爆炸式增長的函數模型是指數函數模型．
(3)增長速度較慢的函數模型是對數函數模型．
跟蹤訓練1　四個物體同時從某一點出發向前運動，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關于時間(x＞1)的函數關系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它們一直運動下去，最終在最前面的物體具有的函數關系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
題型2　指數函數、對數函數與冪函數模型的增長比較例2　函數f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的圖象，如圖所示．設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數；
(2)結合函數圖象，比較f(8)，g(8)，f(2021)，g(2021)的大小．
方法歸納
比較函數增長快慢的方法：(1)利用指數函數、冪函數、對數函數不同的增長特點比較函數增長的快慢；(2)借助函數圖象，通過圖象特點以及變化趨勢來比較函數的增長快慢；(3)通過計算相同區間上函數值的增量的大小來比較函數增長的快慢．
跟蹤訓練2　已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的圖象如圖所示．
(1)指出圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數．
(2)借助圖象，比較f(x)和g(x)的大小．
題型3　函數模型的選擇
例3　為踐行“綠水青山就是金山銀山\”的發展理念，聊城市環保部門近年來利用水生植物(例如浮萍、蒲草、蘆葦等)，對國家級濕地公園——東昌湖進行進一步凈化和綠化．為了保持水生植物面積和開闊水面面積的合理比例，對水生植物的生長進行了科學管控，并于2020年對東昌湖內某一水域浮萍的生長情況作了調查，測得該水域二月底浮萍覆蓋面積為45 m2，四月底浮萍覆蓋面積為80 m2，八月底浮萍覆蓋面積為.若浮萍覆蓋面積y(單位：m2)與月份x(2020年1月底記x＝1，2021年1月底記x＝13)的關系有兩個函數模型y＝kax(k＞0，a＞1)與y＝mlog2x＋n(m＞0)可供選擇．
(1)你認為選擇哪個模型更符合實際？并解釋理由；
(2)利用你選擇的函數模型，試估算從2020年1月初起至少經過多少個月該水域的浮萍覆蓋面積能達到148 m2？(可能用到的數據log215≈3.9，≈1.37，≈66.72)
方法歸納
指數、對數函數模型在實際問題中有廣泛應用，可根據增長得快慢特征選擇、建立函數模型，再利用指數、對數運算解決問題，已經給出函數模型的，則直接代入相應的數據計算解決．
跟蹤訓練3　某地西紅柿從2月1日起開始上市，通過市場調查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100 kg)與上市時間t(單位：天)的數據如下表：
時間t(天) 60 100 180
種植成本Q(元/100 kg) 116 84 116
根據上表數據，從下列函數中選取一個函數描述西紅柿的種植成本Q與上市時間t的變化關系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你選取的函數，回答下列問題：
(1)西紅柿種植成本最低時的上市天數是________；
(2)最低種植成本是________(元/100 kg.)
課堂十分鐘
1．下列函數中，隨x的增大，增長速度最快的是(　　)
A．y＝100 B．y＝100x
C．y＝1.01x D．y＝log2x
2.
能反映如圖所示的曲線的增長趨勢的是(　　)
A．一次函數 B．冪函數
C．對數函數 D．指數函數
3．能使不等式log2x＜x2＜2x一定成立的x的取值區間是(　　)
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(4，＋∞)
4．下列選項是四種生意預期的效益y關于時間x的函數，從足夠長遠的角度看，更為有前途的生意是________．(填序號)
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg (x＋1)；④y＝50.
5．每年的3月12日是植樹節，全國各地在這一天都會開展各種形式、各種規模的義務植樹活動．某市現有樹木面積10萬平方米，計劃今后5年內擴大樹木面積，有兩種方案如下：
方案一：每年植樹1萬平方米；
方案二：每年樹木面積比上年增加9%.
你覺得哪個方案較好？
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
增函數　增函數　增函數　ax>xn>logax
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：根據函數值的變化，隨著x的變化，函數值呈現爆炸型增長．因此只有指數函數模型符合．
答案：C
3．解析：觀察三類函數的圖象可知(圖略).
答案：A
4．解析：作出y＝x2與y＝ln x的圖象，通過比較圖象可得．
答案：y＝x2
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)指數函數y＝ax在a>1時呈爆炸式增長，并且隨a值的增大，增長速度越快．故選A.
(2)從題中表格可以看出，三個變量y1，y2，y3都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y1的增長速度最快，呈指數型函數變化，變量y3的增長速度最慢，呈對數型函數變化．故選B.
答案：(1)A　(2)B
跟蹤訓練1　解析：對比四種函數的增長速度，當x充分大時，指數函數增長速度越來越快，因而最終在前面的物體具有的函數關系是f4(x)＝2x.
答案：D
例2　解析：(1)C1對應的函數為g(x)＝x3，x≥0，C2對應的函數為f(x)＝2x.
(2)因為g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10).
所以1由圖象知，當x1當x>x2時，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
所以g(8)所以f(2 021)>g(2 021)>g(8)>f(8).
跟蹤訓練2　解析：(1)C1對應的函數為g(x)＝0.5x－1，
C2對應的函數為f(x)＝ln x.
(2)當x∈(0，x1)時，g(x)>f(x)；
當x∈(x1，x2)時，g(x)當x∈(x2，＋∞)時，g(x)>f(x)；
當x＝x1或x2時，g(x)＝f(x).
綜上，當x＝x1或x2時，g(x)＝f(x)；
當x∈(x1，x2)時，g(x)當x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)時，g(x)>f(x).
例3　解析：(1)若選擇數據(2，45)和(4，80)，
由，解得則y＝35log2x＋10，
當x＝8時，y＝35log28＋10＝115，與實際情況相符，
由，解得則y＝×，
當x＝8時，y＝×＝>115，與實際情況差別比較大，
故選函數模型y＝35log2x＋10；
(2)因為35log215＋10≈35×3.9＋10＝146.5，
35log216＋10＝150，而146.5＜148＜150，
所以至少經過16個月該水域的浮萍覆蓋面積能達到148 m2.
跟蹤訓練3　解析：根據表中數據可知函數不單調，所以Q ＝at2＋bt＋c，且開口向上．
(1)函數圖象的對稱軸方程為t＝＝120.
所以西紅柿種植成本最低時的上市天數是120.
(2)將表格中的數據代入Q＝at2＋bt＋c，
得解得
所以最低種植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120(－2.4)＋224＝80(元/100 kg).
答案：(1)120　(2)80
[課堂十分鐘]
1．解析：因為1.01>1，所以函數y＝1.01x是增函數，所以y＝1.01x增長速度最快．
答案：C
2．解析：從函數圖象可以看出，隨自變量的增大，函數增長越來越慢，因此是對數函數圖象．
答案：C
3．解析：作出y＝log2x，y＝x2，y＝2x的圖象(圖略).由圖象可知，當x>4時，log2x答案：D
4．解析：結合三類函數的增長差異可知指數增長最快，所以①的預期收益最大．
答案：①
5．解析：方案一　5年后樹木面積是10＋1×5＝15(萬平方米).
方案二　5年后樹木面積是10(1＋9%)5≈15.386(萬平方米).
因為15.386>15，所以方案二較好．
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湘教版高中數學必修第一冊-4.5.2形形色色的函數模型-學案講義
教材要點
要點一　幾類已知函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數a≠0)
反比例函數模型 f(x)＝＋b(k，b為常數且k≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
指數型函數模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數， b≠0，a＞0且a≠1)
對數型函數模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數， b≠0，a＞0且a≠1)
冪函數型模型 f(x)＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)
要點二　數學建模的步驟
(1)正確理解并簡化實際問題：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息．根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設．
(2)建立數學模型：在上述基礎上，利用恰當的數學工具來刻畫各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構．
(3)求得數學問題的解．
(4)將求解時分析計算的結果與實際情形進行比較，驗證模型的準確性、合理性和實用性．
狀元隨筆　建立函數模型解決實際問題的基本思路
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)實際問題中兩個變量之間一定有確定的函數．(　　)
(2)解決某一實際問題的函數模型是唯一的．(　　)
(3)在選擇實際問題的函數模型時，必須使所有的數據完全符合該函數模型．(　　)
(4)對于一個實際問題，收集到的數據越多，建立的函數模型的模擬效果越好．(　　)
2．某廠日產手套總成本y(元)與手套日產量x(副)的關系式為y＝5x＋4 000，而手套出廠價格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產手套至少為(　　)
A．200副　　B．400副
C．600副 D．800副
3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為(　　)
A．45.606萬元 B．45.6萬元
C．45.56萬元 D．45.51萬元
4．某種動物繁殖數量y(只)與時間x(年)的關系為y＝alog2(x＋1)，若這種動物第一年有100只，則到第15年會有______只．
題型1　二次函數模型的應用
例1　科技創新是企業發展的源動力，是一個企業能夠實現健康持續發展的重要基礎．某科技企業最新研發了一款大型電子設備，并投入生產應用．經調研，該企業生產此設備獲得的月利潤p(單位：萬元)與投入的月研發經費x(15≤x≤40，單位：萬元)有關：當投入的月研發經費不高于36萬元時，p＝－x2＋8x－90；當投入月研發經費高于36萬元時，p＝0.4x＋54.對于企業而言，研發利潤率y＝×100%，是優化企業管理的重要依據之一，y越大，研發利潤率越高，反之越小．
(1)求該企業生產此設備的研發利潤率y的最大值以及相應月研發經費x的值；
(2)若該企業生產此設備的研發利潤率不低于190%，求月研發經費x的取值范圍．
方法歸納
二次函數模型解題思路
二次函數模型的解析式為g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函數建模中，它占有重要的地位，在根據實際問題建立函數解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等方法來求函數的最值，從而解決實際問題中的最值問題．二次函數求最值最好結合二次函數的圖象來解答．
跟蹤訓練1　有甲、乙兩種商品，經營銷售這兩種商品所獲得的利潤依次為Q1萬元和Q2萬元，它們與投入的資金x萬元的關系是Q1＝x，Q2＝.現有3萬元資金投入使用，則對甲、乙兩種商品如何投資才能獲得最大利潤？
題型2　指數函數與對數函數模型
例2　(1)酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規定：100 mL血液中酒精含量達到20～79 mg的駕駛員即為酒后駕車，80 mg及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員一天晚上8點喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6 mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量會以每小時10%的速度減少，則他次日上午最早幾點(結果取整數)開車才不構成酒后駕車？(　　)
(參考數據：lg 3≈0.477)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產卵，科學家經過測量發現候鳥的飛行速度可以表示為函數v＝－lg x0，單位是km/min，其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數，x0代表測量過程中某類候鳥每分鐘的耗氧量偏差(參考數據：lg 2＝0.30，31.2＝3.74，31.4＝4.66)．
①當x0＝2，候鳥每分鐘的耗氧量為8 100個單位時，候鳥的飛行速度是多少km/min
②當x0＝5，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少單位？
③若雄鳥的飛行速度為2.5 km/min，同類雌鳥的飛行速度為1.5 km/min，則此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？
方法歸納
指數型函數在實際問題中的應用：解析式可以表示為y＝(其中N為基礎數，p為增長率，x為時間)的形式．本節中，我們給出指數型函數模型y＝max＋b(a＞0，a≠1，m≠0)，有關人口增長、細胞分裂等增長率問題常可以用指數型函數模型表示．
跟蹤訓練2　(1)某鄉鎮現在人均一年占有糧食360千克，如果該鄉鎮人口平均每年增長1.2%，糧食總產量平均每年增長4%，那么x年后若人均一年占有y千克糧食，則y關于x的解析式為(　　)
A．y＝360× B．y＝360×1.04x
C．y＝ D．y＝360×
(2)某公司為了實現1 000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且資金數額y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金數額不超過5萬元，同時資金數額不超過利潤的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(參考數據：1.003600≈6，lg 7≈0.845)
①y＝0.025x；
②y＝1.003x；
③y＝1＋log7x；
④y＝x2.
題型3　建立擬合函數模型解決實際問題
例3　某地方政府為鼓勵全民創業，擬對本地產值在50萬元到500萬元的新增小微企業進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金y(單位：萬元)隨年產值x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金不低于7萬元，同時獎金不超過年產值的15%.
(1)若某企業產值100萬元，核定可得9萬元獎金，試分析函數y＝lg x＋kx ＋5(k為常數)是否為符合政府要求的獎勵函數模型，并說明原因(已知lg 2≈0.3，lg 5≈0.7)．
(2)若采用函數f(x)＝作為獎勵函數模型，試確定最小的正整數a的值．
方法歸納
函數擬合與預測的一般步驟
(1)根據原始數據、表格，繪出散點圖．
(2)通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線．
(3)求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式．
(4)利用函數關系式，根據條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據．
跟蹤訓練3　某企業常年生產一種出口產品，根據預測可知，進入21世紀以來，該產品的產量平穩增長．記2018年為第1年，且前4年中，第x年與年產量f(x)(萬件)之間的關系如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三種函數模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝x＋a.
找出你認為最適合的函數模型，并說明理由，然后選取2018年和2020年的數據求出相應的解析式．
易錯辨析　忽略題目中的限制條件致誤
例4　某輛汽車以x千米/時的速度在高速公路上勻速行駛(高速公路行車安全要求60≤x≤120)時，每小時的油耗(所需要的汽油量)為升，其中k為常數，且60≤k≤100.
(1)若汽車以120千米/時的速度行駛，每小時的油耗為11.5升，欲使每小時的油耗不超過9升，求x的取值范圍．
(2)求該汽車行駛100千米的油耗的最小值．
解析：(1)由題意得當x＝120時，＝＝11.5，解得k＝100.
由≤9，即x2－145x＋4 500≤0，
解得45≤x≤100.又因為60≤x≤120，所以60≤x≤100，
即每小時的油耗不超過9升，x的取值范圍為[60，100].
(2)設該汽車行駛100千米油耗為y升，則
y＝·＝20－(60≤x≤120)，
令t＝，則t∈，
即有y＝90 000t2－20kt＋20＝90 000＋20－，
對稱軸為直線t＝，
由60≤k≤100，可得∈，
①若，即75≤k≤100，
則當t＝，即x＝時，ymin＝20－；
②若＜，即60≤k＜75，則當t＝，即x＝120時，ymin＝.
答：當75≤k≤100時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升；當60≤k＜75時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為升．
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽視自變量的取值范圍，特別是運用換元法求二次函數的最值時易忽視新元范圍，直接得出t＝時，ymin＝20－，導致漏解． 解答函數應用題時，我們不僅要關注函數的定義域，更要關注其中有關參數的限制條件，并使所有的量都有實際意義．
課堂十分鐘
1．據調查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2 000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.8元，普通車存車費是每輛一次0.5元，若普通車存車數為x輛次，存車費總收入為y元，則y關于x的函數關系式是(　　)
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)
B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)
D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)
2．某種型號的手機自投放市場以來，經過兩次降價，單價由原來的2000元降到1280元，則這種手機平均每次降價的百分率是(　　)
A．10% B．15%
C．18% D．20%
3．如果在今后若干年內，我國國民經濟生產總值都控制在平均每年增長9%的水平，那么要達到國民經濟生產總值比2005年翻兩番的年份大約是(lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 109＝2.037 4，lg 0.09＝－1.045 8)(　　)
A．2025年 B．2021年
C．2020年 D．2018年
4．已知A，B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時的速度從A地到達B地，在B地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A地，則汽車離開A地的距離x關于時間t(時)的函數解析式是________．
5．某景區提供自行車出租，該景區有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分)．
(1)求函數y＝f的解析式；
(2)試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？
參考答案與解析
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：利潤z＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0.
解得x≥800.
故選D.
答案：D
3．解析：依題意可設甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛，總利潤S＝L1＋L2，則總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以當x＝10時，Smax＝45.6(萬元).
故選B.
答案：B
4．解析：當x＝1時，y＝100
代入y＝alog2(x＋1)可得100＝alog22＝a
∴a＝100
∴y＝100log2(x＋1)
∴當x＝15時，100log216＝400.
答案：400
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由已知，當15≤x≤36時，
y＝＝－x－＋8≤8－2＝2.
當且僅當x＝，即x＝30時，取等號；
當36因為y＝0.4＋在(36,40]上單調遞減，所以y<0.4＋＝1.9
因為2>1.9，所以當月研發經費為30萬元時，研發利潤率取得最大值200%.
(2)若該企業生產此設備的研發利潤率不低于190%，
由(1)可知，此時月研發經費15≤x≤36.
于是，令y＝－x－＋8≥1.9，
整理得x2－61x＋900≤0，解得25≤x≤36.
因此，當研發利潤率不小于190%時，月研發經費的取值范圍是.
跟蹤訓練1　解析：設對甲種商品投資x萬元，則對乙種商品投資(3－x)萬元，總利潤為y萬元．
所以Q1＝x，Q2＝.
所以y＝x＋ (0≤x≤3)，
令t＝ (0≤t≤)，則x＝3－t2.
所以y＝ (3－t2)＋t＝－＋.
當t＝時，ymax＝＝1.05(萬元)，
即x＝＝0.75(萬元)，所以3－x＝2.25(萬元).
由此可知，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬元和2.25萬元，共獲得利潤1.05萬元．
例2　解析：(1)設他至少經過t小時才可以駕車，
則0.6×100(1－10%)t＜20，
即3×<1，即t×lg ＜lg ，
所以t＞≈10，
所以t≥11，即至少經過11個小時即次日最早7點才可以駕車，故選B.
(2)①由題意，x0＝2，x＝8 100，得v＝log3－lg 2＝1.7，故此時候鳥的飛行速度為1.7 km/min.
②由題意得，當x0＝5，候鳥停下休息時，它的速度是0，可得0＝ log 3－lg 5，即log3＝2lg 5解得x＝466，故候鳥停下休息時每分鐘的耗氧量為466個單位．
③設雄鳥的耗氧量為x1，雌鳥的耗氧量為x2，
由題意得：
兩式相減可得1＝log3，
解得＝9，
故此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的9倍．
答案：(1)B　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：(1)設該鄉鎮現在人口量為M，則該鄉鎮現在一年的糧食總產量為360M，一年后，該鄉鎮糧食總產量為360M(1＋4%)，人口量為M(1＋1.2%)，則人均占有糧食產量為，2年后，人均占有糧食產量為，…，x年后，人均占有糧食產量為，即所求解析式為y＝360×.
(2)由題意知，符合公司要求的模型只需滿足：
當x∈[10，1 000]時，
(ⅰ)函數為增函數；
(ⅱ)函數的最大值不超過5；
(ⅲ)y≤x·25%＝x，
①中，函數y＝0.025x，易知滿足(ⅰ)，但當x>200時，y>5不滿足公司要求；
②中，函數y＝1.003x，易知滿足(ⅰ)，但當x>600時，y>5不滿足公司要求；
③中，函數y＝1＋log7x，易知滿足(ⅰ)，且當x＝1 000時，y取最大值1＋log71 000＝1＋<5，且1＋log7x≤x恒成立，故滿足公司要求；
④中，函數y＝x2，易知滿足(ⅰ)，但當x＝400時，y>5不滿足公司要求．
答案：(1)D　(2)③
例3　解析：(1)對于函數模型y＝lg x＋kx＋5(k為常數)，x＝100時，y＝9，代入解得k＝，所以y＝lg x＋＋5.當x∈[50，500]時，y＝lg x＋＋5是增函數，但x＝50時，y＝lg 50＋6＞7.5，即獎金不超過年產值的15%不成立，故該函數模型不符合要求．
(2)對于函數模型f(x)＝＝15－，a為正整數，函數在[50，500]上遞增；f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344；要使f(x)≤0.15x對x∈[50，500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x，即x∈[50，500]恒成立，所以a≥315.綜上所述315≤a≤344，所以滿足條件的最小的正整數a的值為315.
跟蹤訓練3　解析：符合條件的是f(x)＝ax＋b，理由如下：
若模型為f(x)＝logx＋a，則f(x)是減函數，與已知不符合．
若模型為f(x)＝2x＋a，則由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此時f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與已知數據相差太大，不符合．
由已知得解得所以f(x)＝1.5x＋2.5，x∈N*.
[課堂十分鐘]
1．解析：由題意知，變速車存車數為(2 000－x)輛次，
則總收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8
＝0.5x＋1 600－0.8 x
＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*).
故選D.
答案：D
2．解析：設平均每次降價的百分率為x，則2000·(1－x)2＝1280，所以x＝20%.
故選D.
答案：D
3．解析：設2005年總值為a，經過x年翻兩番．
則a·(1＋9%)x＝4a，所以x＝＝≈16.
故選B.
答案：B
4．解析：顯然出發、停留、返回三個過程中行走速度是不同的，故應分三段表示函數，即x＝.
答案：x＝
5．解析：(1)當x≤6時，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3，
∵x是整數，∴3≤x≤6，x∈Z；
當x>6時，y＝[50-3(x-6)]·x－115＝－3x2＋68x－115，
令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，結合x為整數得6∴f(x)＝；
(2)對于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，顯然當x＝6時，ymax＝185；
對于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋ (6當x＝11時，ymax＝270.
∵270>185，∴當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多．
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