資源簡介

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湘教版高中數學必修第一冊-5.1.1角的概念的推廣-學案講義
教材要點
要點一　角的分類
類型 定義 圖示
正角 以________方向旋轉形成的角
負角 以________方向旋轉形成的角
零角 不旋轉所形成的角，用0°表示
狀元隨筆　(1)正角、負角的引入是從正數、負數類比而來的，它們是用來表示具有相反意義的旋轉量的．
(2)在判斷角度時，應時刻抓住“旋轉”二字：①要明確旋轉方向；②要明確旋轉角的大小；③要明確射線未做任何旋轉時的位置；④要注意由旋轉方向來確定角的符號．
要點二　象限角
在平面直角坐標系內討論角，為此取角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的________，那么，角的終邊落在第幾象限，就說這個角是第幾象限角，如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角________任何一個象限．
要點三　終邊相同的角
把所有與角α終邊相同的角用集合表示出來，即S＝________當k＝0時，角β就是角α本身．
狀元隨筆　(1)α為任意角，“k∈Z”這一條件不能漏．
(2)k·360 °與α中間用“＋”連接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．
(3)當角的始邊相同時，相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等．終邊相同的角有無數個，它們相差360 °的整數倍．終邊不同則表示的角一定不同．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．(　　)
(2)終邊相同的角的表示不唯一．(　　)
(3)終邊相同的角有無數個，它們相差360°的整數倍．(　　)
(4)終邊與始邊重合的角是零角．(　　)
2．手表時針走1小時轉過的角度是(　　)
A．60°　　　　　　　　B．－60°
C．30° D．－30°
3．與53°角終邊相同的角是(　　)
A．127° B．233°
C．－307° D．－127°
4．2 019°是第________象限角．
題型1　任意角的概念及應用
例1　(1)(多選)下列說法錯誤的是(　　)
A．0°～90°的角是第一象限角
B．第二象限角大于第一象限角
C．鈍角都是第二象限角
D．小于90°的角都是銳角
(2)將表的分針撥慢30分鐘，則這個過程中時針轉過的角度是(　　)
A．10° B．15°
C．30° D．－30°
方法歸納
與角的概念有關問題的解決方法
正確解答角的概念問題，關鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉方向與大小．另外需要掌握判斷結論正確與否的技巧，判斷結論正確需要證明，而判斷結論不正確只需舉一個反例即可．
跟蹤訓練1　(1)下列說法正確的是(　　)
A．第一象限的角一定是正角
B．三角形的內角不是銳角就是鈍角
C．銳角小于90°
D．終邊相同的角相等
(2)將時鐘撥快20分鐘，則分針轉過的度數是________．
題型2　終邊相同的角
例2　(1)寫出與75°角終邊相同的角的集合，并求在360°～1 080°范圍內與75°角終邊相同的角．
(2)寫出終邊在直線y＝－x上的角的集合．
方法歸納
(1)寫出終邊落在直線上的角的集合的步驟
①寫出在[0°，360°)內相應的角；②由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；③根據條件能合并的一定合并，使結果簡潔．
(2)終邊相同的角常用的三個結論
①終邊相同的角之間相差360°的整數倍；②終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數倍；③終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數倍．
跟蹤訓練2　(1)與－460°角終邊相同的角可以表示成(　　)
A．460°＋k·360°，k∈Z
B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z
D．－260°＋k·360°，k∈Z
(2)終邊落在x軸上的角的集合為________________．
題型3　象限角與區域角的表示
角度1　象限角的判定
例3　(多選)若α是第二象限角，則所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
方法歸納
關于角nα或象限的確定
(1)由α的范圍，表示出nα，的范圍，由n的取值確定象限．
(2)特別地，求所在象限時，可以把每個象限等分為n份，在每一份中按順序標記一、二、三、四，找到原象限數字即可．(如圖)
角度2　區域角的表示
例4　寫出如圖所示陰影部分(包括邊界)的角α的范圍．
方法歸納
區域角是指終邊落在坐標系的某個區域內的角．其寫法可分為三步：
(1)按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界；
(2)由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°到360°范圍內的角α和β，并將該范圍內的區域角表示為{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
(3)起始、終止邊界對應角α、β再加上360°的整數倍，即得區域角的范圍．
跟蹤訓練3　(1)已知α是第一象限角，那么是(　　)
A．第一象限角　
B．第二象限角
C．第一或第二象限角
D．第一或第三象限角
(2)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合．
易錯辨析　忽視軸線角致誤
例5　已知α為銳角，則2α為(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．小于180°的角
解析：因為α為銳角，所以α∈(0°，90°)，則2α∈(0°，180°)．
答案：D
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
當α＝45°時，2α＝90°，90°既不是第一象限也不是第二象限角． 易錯選：C. 象限角不包括坐標軸表示的角． (0°，180°)內的角不能說是第一或第二象限角，其中還有終邊在y軸的非負半軸的角．
課堂十分鐘
1．下列各角中，與35°終邊相同的角是(　　)
A．215°　　　B．365° C．755°　　　D．－235°
2．把一條射線繞著端點按順時針方向旋轉240°所形成的角是(　　)
A．120°　　　B．－120° C．240°　　　D．－240°
3．若α是第四象限角，則180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．角α，β的終邊關于y軸對稱，若α＝30°，則β＝________，α的相反角為________．
5．寫出終邊在下列各圖所示陰影部分內的角的集合．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
逆時針　順時針
要點二
非負半軸　不屬于
要點三
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：－×360°＝－30°.
故選D.
答案：D
3．解析：與53°角終邊相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，當k＝－1時，角為－307°.
故選C.
答案：C
4．解析：∵2 019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.
∴2 019°是第三象限角．
答案：三
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不屬于任何象限，所以A不正確；120°是第二象限角，390°是第一象限角，顯然390°>120°，所以B不正確；鈍角的范圍是(90°，180°)，顯然是第二象限角，所以C正確；銳角的范圍是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或負角，所以D不正確．
故選ABD.
(2)分針撥慢，則時針逆時針旋轉，故時針轉過的角度為正數．又因為分針撥慢30分鐘，時針逆時針旋轉0.5個小時，所以×360°＝15°.
故選B.
答案：(1)ABD　(2)B
跟蹤訓練1　解析：(1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A錯誤；三角形的內角還可能是90°，所以B錯誤；銳角小于90°，C正確；45°角與405°角的終邊相同，但不相等，所以D錯誤．
故選C.
(2)將時鐘撥快20分鐘，分針順時針旋轉120°，所以分針轉過的度數為－120°.
答案：(1)C　(2)－120°
例2　解析：(1)與75°角終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．
當360°≤β<1 080°，即360°≤k·360°＋75°<1 080°時，解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
當k＝1時，β＝435°；當k＝2時，β＝795°.綜上所述，與75°角終邊相同且在360°～1 080°范圍內的角為435°角和795°角．
(2)終邊在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}；
終邊在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}．
因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故終邊在直線y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
跟蹤訓練2　解析：(1)因為－460°＝260°＋(－2)×360°，
所以與－460°角終邊相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
故選C.
(2)在0°～360°范圍內，終邊在直線y＝0上的角有兩個，即0°和180°，又∵所有與0°角終邊相同的角的集合為S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有與180°角終邊相同的角的集合為S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
答案：(1)C　(2){β|β＝k·180°，k∈Z}
例3　解析：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z.當k＝2n(n∈Z)時，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)；當k＝2n＋1(n∈Z)時，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z).∴的終邊位于第一或第三象限．故選AC.
答案：AC
例4　解析：(1)因為與45°角終邊相同的角可寫成45°＋k·360°，k∈Z的形式，與－180°＋30°＝－150°角終邊相同的角可寫成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以圖(1)陰影部分的角α的范圍可表示為{α|－150°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)因為與45°角終邊相同的角可寫成45°＋k·360°，k∈Z的形式，與360°－60°＝300°角終邊相同的角可寫成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以圖(2)陰影部分的角α的范圍為{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
跟蹤訓練3　解析：(1)∵k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，
∴k·180°<<45°＋k·180°，k∈Z.
當k＝2n，n∈Z時，n·360°<<45°＋n·360°，n∈Z，
∴是第一象限角．
當k＝2n＋1，n∈Z時，180°＋n·360°<<45°＋180°＋n·360°(n∈Z)，
∴在第三象限．
故選D.
(2)若角α的終邊落在OA上，則α＝30°＋k·360°，k∈Z.
若角α的終邊落在OB上，則α＝135°＋k·360°，k∈Z.
所以，角α的終邊落在圖中陰影區域內時，
30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z.
故角α的取值集合為{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
答案：(1)D　(2)見解析
[課堂十分鐘]
1．解析：755°＝2×360°＋35°.
故選C.
答案：C
2．解析：一條射線繞著端點按順時針方向旋轉240°所形成的角是－240°，故選D.
答案：D
3．解析：可以給α賦一特殊值－60°，
則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
故選C.
答案：C
4．解析：∵角α，β的終邊關于y軸對稱，α＝30°，
∴β＝180°－30°＋k·360°＝150°＋k·360°(k∈Z)，α的相反角為－30°.
答案：150°＋k·360°(k∈Z)　－30°
5．解析：先寫出邊界角，再按逆時針順序寫出區域角，則得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
(2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．
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湘教版高中數學必修第一冊-5.1.2弧度制-學案講義
教材要點
要點一　度量角的兩種單位制
角度制 定義 用________作單位來度量角的單位制
1度的角 周角的為1度的角，記作1°
弧度制 定義 以________為單位來度量角的單位制
1弧度的角 長度等于________的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1 ________
狀元隨筆　正確理解弧度與角度的概念
區別 (1)定義不同； (2)單位不同：弧度制以“ 弧度”為單位，角度制以“ 度”為單位
聯系 (1)不管以“ 弧度”還是以“ 度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關的值； (2)“ 弧度”與“角度”之間可以相互轉化
要點二　弧度數的計算
(1)正角：正角的弧度數是一個________．
(2)負角：負角的弧度數是一個________．
(3)零角：零角的弧度數是________．
(4)如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，那么，角α的弧度數的絕對值是|α|＝.
要點三　角度制與弧度制的換算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝________ 2π rad＝________
180°＝________ π rad＝________
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝ °≈57.3°
度數×＝弧度數 弧度數×＝度數
狀元隨筆　對角度制與弧度制換算公式的理解
(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它們之間可以進行換算．
(2)用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同，量度也不同．
要點四　扇形的弧長和面積公式
設扇形的半徑為r，弧長為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則
(1)弧長公式：l＝________．
(2)扇形面積公式：S＝lr＝α·r2.
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)1 rad的角和1°的角大小相等．(　　)
(2)用弧度來表示的角都是正角．(　　)
(3)1弧度的角的大小和所在圓的半徑大小無關．(　　)
(4)扇形的半徑為1 cm，圓心角為30°，則扇形的弧長l＝|α|r＝30 cm.(　　)
2．(多選)下列各種說法中，正確的是(　　)
A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．根據弧度的定義，180°的角一定等于π rad的角
D．利用弧度制度量角時，它與圓的半徑長短有關
3．將864°化為弧度為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．π
4．扇形圓心角為216°，弧長為30π，則扇形半徑為________．
　　　
題型1　角度與弧度的互化
例1　(1)把－1 125°化為2kπ＋α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式是(　　)
A．－6π－ B．－6π＋
C．－8π－ D．－8π＋
(2)把－化成角度是(　　)
A．18°　　　B．－18° C．36°　　　D．－36°
方法歸納
進行角度制與弧度制互化的原則和方法
(1)原則：牢記180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°進行換算．
(2)方法：設一個角的弧度數為α，角度數為n，則α rad＝°；n°＝n·.
提醒：(1)用“弧度”為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫．
(2)用“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數寫成多少π的形式，如無特別要求，不必把π寫成小數．
(3)度化弧度時，應先將分、秒化成度，再化成弧度．
跟蹤訓練1　(多選)下列轉化結果正確的是(　　)
A．30°化成弧度是
B．－化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是
D．化成度是288°
題型2　用弧度制表示角
例2　已知角α＝2 005°.
(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限的角；
(2)在[－5π，0)內找出與α終邊相同的角．
方法歸納
(1)用弧度數表示與角α終邊相同的角連同角α在內的集合為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)用弧度數表示區域角時，先把角度換算成弧度，再寫出與區域角的終邊相同的角的集合，最后用不等式表示出區域角的集合，對于能合并的應當合并．
跟蹤訓練2　(1)終邊在直線y＝－x上的所有角的集合是(　　)
A． B．
C． D．
(2)用弧度表示終邊落在如圖①②所示的陰影部分內(不包括邊界)的角的集合．
題型3　弧長公式與扇形面積公式的應用
例3　(1)已知扇形的周長為10 cm，面積為4 cm2，求扇形圓心角的弧度數．
(2)已知一扇形的圓心角是72°，半徑等于20 cm，求扇形的面積．
(3)已知一扇形的周長為40 cm，求它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？
方法歸納
弧長公式和扇形面積公式的應用類問題的解決方法
(1)將角度轉化為弧度表示，弧度制的引入使相關的弧長公式、扇形面積公式均得到了簡化，因此解決這些問題通常采用弧度制．一般地，在幾何圖形中研究的角，其范圍是[0，2π)；
(2)利用α，l，r，S四個量“知二求二”代入公式．
跟蹤訓練3　(1)一個扇形的弧長為6，面積為6，則這個扇形的圓心角是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知扇形的圓心角為120°，半徑為 cm，則此扇形的面積為________ cm2.
易錯辨析　混用角度與弧度致誤
例4　下列與的終邊相同的角的表示正確的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確．
故選C.
答案：C
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽略了角的度量，單位的一致性，易錯選B. 在解決角度制和弧度制的有關問題時，要遵循轉換的原則，表達要規范，即在同一個式子中角度制和弧度制不能混用．
課堂十分鐘
1．1 920°的角化為弧度數為(　　)
A． B．
C． D．
2．已知α＝－2 rad，則角α的終邊在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知半徑為4的圓上，有一條弧所對的圓心角的弧度數為3，則這條弧的弧長為(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
4．已知弧長為π的弧所對圓心角為60°，則這條弧所在圓的半徑為________．
5．已知角α＝1 200°.
(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限的角．
(2)在區間[－4π，π]上找出與α終邊相同的角．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
度　弧度　半徑長　rad
要點二
(1)正數　(2)負數　(3)0　
要點三
2π rad　360°　π rad　180°　
要點四
α·r　
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：角的大小只與角的始邊和終邊的位置有關，而與圓的半徑大小無關．
故選ABC.
答案：ABC
3．解析：864°＝864×＝.
故選C.
答案：C
4．解析：∵216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，
∴r＝25.
答案：25
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)－1 125°＝－3×2π－＝－4×2π＋＝－8π＋.
故選D.
(2)－＝－×°＝－36°.
故選D.
答案：(1)D　(2)D
跟蹤訓練1　解析：30°化成弧度是，A正確；－化成度是－600°，B正確；67°30′是67.5°＝67.5×＝，C錯誤；化成度是288°，D正確．
故選ABD.
答案：ABD
例2　解析：(1)∵2 005°＝2 005× rad＝ rad＝rad，又∵π<<，
∴角α與終邊相同，是第三象限的角．
(2)與α終邊相同的角為2kπ＋(k∈Z)，
由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.
∴在[－5π，0)內與α終邊相同的角是－，－，－.
跟蹤訓練2　解析：(1)直線y＝－x過原點，它是第二、四象限的角平分線所在的直線，故在0～2π范圍內終邊在直線y＝－x上的角有兩個：，.因此終邊在直線y＝－x上的角的集合
S＝∪＝＝.故選D.
(2)對于題圖①，225°角的終邊可以看作是－135°角的終邊，化為弧度，即－，60°角的終邊即的終邊，∴所求集合為.
對于題圖②，同理可得，所求集合為
{α}∪
{α}＝
{α}．
答案：(1)D　(2)見解析
例3　解析：(1)設扇形圓心角的弧度數為θ(0<θ<2π)，弧長為l cm，半徑為r cm，
依題意有
聯立①②得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.
當r＝1時，l＝8，此時θ＝8 rad>2π rad，舍去；
當r＝4時，l＝2，此時θ＝＝(rad).∴θ＝ rad.
(2)設扇形的圓心角為α，弧長為l cm，半徑為r cm，面積為S cm2.
∵72°＝72×＝(rad)，∴l＝αr＝×20＝8π(cm).
∴S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2).
(3)設扇形的圓心角為θ，半徑為r cm，弧長為l cm，面積為S cm2，
則l＋2r＝40，∴l＝40－2r，
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.
∴當r＝10時，扇形的面積最大．
這個最大值為100 cm2，這時θ＝＝＝2 rad.
跟蹤訓練3　解析：(1)設扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l，面積為S，由扇形的弧長為6，面積為6.
則解得α＝3，
即扇形的圓心角為3 rad.
故選C.
(2)設扇形的圓心角為α，弧長為l cm，半徑為r cm，面積為S cm2，
因為120°＝120× rad＝(rad)，
所以l＝αr＝×＝(cm).
所以S＝lr＝××＝π(cm2).
答案：(1)C　(2)π
[課堂十分鐘]
1．解析：∵1°＝rad，∴1 920°＝1 920×rad＝rad.
故選D.
答案：D
2．解析：∵1 rad＝()°，∴α＝－2 rad＝－()°≈－114.6°.故角α的終邊在第三象限．
故選C.
答案：C
3．解析：由題可得該弧的弧長l＝3×4＝12.
故選D.
答案：D
4．解析：由弧長公式l＝|α|·r，可得半徑r＝＝＝3.
答案：3
5．解析：(1)因為α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，又<<π，所以角α與的終邊相同，所以角α是第二象限的角．
(2)因為與角α終邊相同的角(含角α在內)為2kπ＋，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
因為k∈Z，
所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在區間[－4π，π]上與角α終邊相同的角是－，－，.
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