資源簡介

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湘教版高中數學必修第一冊-5.2.3.1誘導公式一、二、三、四-學案講義
教材要點
要點一　誘導公式一
(1)語言表示：終邊相同的角的________三角函數值相等．
(2)式子表示其中k∈Z.
要點二　誘導公式二
終邊關系 圖示
角－α與角α的終邊關于________對稱
公式 sin (－α)＝________， cos (－α)＝________， tan (－α)＝－tan α
要點三　誘導公式三
終邊關系 圖示
角π＋α與角α的終邊關于________對稱
公式 sin (π＋α)＝________， cos (π＋α)＝________， tan (π＋α)＝________
要點四　誘導公式四
終邊關系 圖示
角π－α與角α的終邊關于________對稱
公式 sin (π－α)＝________， cos (π－α)＝________， tan (π－α)＝________
狀元隨筆　誘導公式一～四的理解
(1)公式一～四中角α是任意角．
(2)公式一概括為：終邊相同的角的同一三角函數值相等．
(3)公式一、二、三、四都叫誘導公式，它們可概括如下：
①記憶方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函數值等于α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號，概括為“函數名不變，符號看象限”．
②解釋：“函數名不變”是指等式兩邊的三角函數同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負號；“看象限”是指假設α是銳角，要看原函數名在本公式中角的終邊所在象限是取正值還是負值，如sin (π＋α)，若α看成銳角，則π＋α的終邊在第三象限，正弦在第三象限取負值，故sin (π＋α)＝－sin α.
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)誘導公式中的角α一定是銳角．(　　)
(2)口訣“符號看象限”指的是把角α看成銳角時變換后的三角函數值的符號．(　　)
(3)由公式三知cos [－(α－β)]＝－cos (α－β)．(　　)
(4)在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C．(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．sin 600°的值是(　　)
A． B．－ C． D．－
3．若sin (π＋α)＝－，則sin (4π－α)的值是(　　)
A．－ B． C．－ D．
4．化簡：＝________．
題型1　給角求值問題
例1　(1)sin π·cos π·tan 的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)sin2120°＋cos180°＋tan 45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________．
方法歸納
利用誘導公式解決給角求值問題的方法
(1)“負化正”；
(2)“大化小”，用公式一將角化為0°到360°間的角；
(3)“小化銳”，用公式二或四將大于90°的角轉化為銳角；
(4)“銳求值”，得到銳角的三角函數后求值．
跟蹤訓練1　(1)sin 的值等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)sin 585°cos 1290°＋cos (－30°)cos 135°＋tan 135°＝________．
題型2　給值(或式)求值問題
例2　(1)若sin (π＋α)＝，α∈，則tan (π－α)等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
(2)已知cos ＝，求cos －sin2.
變式探究　本例(2)中的條件不變，求cos－sin2.
方法歸納
解決條件求值問題的方法
(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的差異及聯系．
(2)可以將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化．
跟蹤訓練2　(1)已知sin(π－α)＝，則sin (π＋α)＝________．
(2)已知＝3，求tan (5π－α)的值．
題型3　化簡求值問題
例3　(1)計算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝________．
(2)化簡： .
方法歸納
三角函數式化簡的方法和技巧
方法：三角函數式化簡的關鍵是抓住函數名稱之間的關系和角之間的關系，靈活應用相關的公式及變形解決．
技巧：①異名化同名；②異角化同角；③切化弦．
跟蹤訓練3　的值為(　　)
A．1 B．－1
C．sinα D．tan α
易錯辨析　不能正確理解“符號看象限”的含義致誤
例4　已知cos (π＋α)＝m，α∈，則sin (5π＋α)＝________．
解析：∵cos (π＋α)＝－cos α＝m，
∴cos α＝－m，
∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝－sin α＝－
＝.
答案：
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
錯誤理解“符號看象限”，得到錯解： ∵α∈，∴π＋α∈， ∴π＋α是第一象限，∴cos(π＋α)＝cos α＝m， ∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝sin α＝－＝－. 在利用誘導公式的口訣“奇變偶不變，符號看象限”判斷三角函數符號時，不論角為何值，都應將它看作“銳角”處理．
課堂十分鐘
1．cos＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．若cos (π＋α)＝－＜α＜2π，則sin (2π＋α)等于(　　)
A． B．±
C． D．－
3．已知α∈，tan α＝－，則sin (α＋π)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
4．已知cos ＝，則cos 的值為________．
5．化簡.
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
同一　sinα　cos α　tan α
要點二
x軸　－sin α　cos α
要點三
原點　－sin α　－cos α　tan α
要點四
y軸　sin α　－cos α　－tan α
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：sin 600°＝sin (600°－720°)＝sin (－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－.故選D.
答案：D
3．解析：∵sin (π＋α)＝－，∴sin α＝，sin (4π－α)＝－sin α＝－.故選A.
答案：A
4．解析：原式＝＝＝－1.
答案：－1
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)sin π·cos π·tan
＝sin cos tan
＝－sin tan
＝－··(－)
＝－.
故選A.
(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin30°＝－＋＝.
答案：(1)A　(2)
跟蹤訓練1　解析：(1)sin ＝sin ＝－sin ＝－.故選D.
(2)原式＝sin (360°＋225°)cos (3×360°＋210°)＋cos 30°cos 135°＋tan 135°
＝sin 225°cos 210°＋cos 30°cos 135°＋tan 135°
＝sin (180°＋45°)cos (180°＋30°)＋cos 30°cos (180°－45°)＋tan (180°－45°)
＝sin 45°cos 30°－cos 30°cos 45°－tan 45°
＝×－×－1
＝－1.
答案：(1)D　(2)－1
例2　解析：(1)因為sin (π＋α)＝－sin α，根據條件得sin α＝－，
又∵α∈，所以cos α＝＝.
所以tanα＝＝－＝－.
所以tan (π－α)＝－tan α＝.故選D.
(2)cos －sin2
＝cos－sin2
＝－cos－
＝－cos－1＋cos2
＝－1＋
＝－.
答案：(1)D　(2)－
變式探究　解析：cos－sin2
＝cos－sin2
＝－cos－sin2
＝－－
＝－.
跟蹤訓練2　解析：(1)因為sin(π－α)＝sin α＝，
所以sin (π＋α)＝－sin α＝－.
(2)∵
＝
＝
＝3，
∴sin α＝－，
∴當α為第三象限角時，
cos α＝－，tan α＝；
當α為第四象限角時，
cos α＝，tan α＝－.
∴tan (5π－α)＝tan (π－α)＝－tan α＝±.
答案：(1)－　(2)見解析
例3　解析：(1)原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0.
(2)原式＝＝·＝1.
答案：(1)0　(2)見解析
跟蹤訓練3　解析：原式＝＝＝－1.
故選B.
答案：B
[課堂十分鐘]
1．解析：cos＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－.
故選A.
答案：A
2．解析：由cos (π＋α)＝－，得cos α＝，故sin (2π＋α)＝sin α＝－＝－(α為第四象限角).故選D.
答案：D
3．解析：由tanα＝－，α∈得sin α＝.又∵sin (α＋π)＝－sin α，∴sin (α＋π)＝－.
答案：B
4．解析：cos ＝cos ＝－cos ＝－.
答案：－
5．解析：tan (－α－180°)＝tan [－(180°＋α)]
＝－tan (180°＋α)＝－tan α，
cos (－180°＋α)＝cos [－(180°－α)]
＝cos (180°－α)＝－cos α，
所以原式＝＝－cos α.
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湘教版高中數學必修第一冊-5.2.3.2誘導公式五、六-學案講義
教材要點
要點一　誘導公式五
sin ＝________，cos ＝________，sin ＝________，cos ＝________
要點二　誘導公式六
tan ＝________，tan ＝________．
狀元隨筆　(1)誘導公式五、六反應的是角±α與α的三角函數值之間的關系．可借用口訣“函數名改變，符號看象限”來記憶．
(2)誘導公式是三角變換的基本公式，其中角可以是一個單角，也可以是一個復角，應用時要注意整體把握，靈活變通．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)誘導公式五、六中的角α只能是銳角．(　　)
(2)cos ＝cos α.(　　)
(3)sin ＝－cos α.(　　)
(4)若α為第二象限角，則sin ＝－cos α.(　　)
2．若sin ＜0，且cos ＞0，則θ是(　　)
A．第一象限角　　B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．已知角θ的終邊過點，cos ＝(　　)
A．－ B．
C．－1 D．1
4．sin 95°＋cos 175°的值為________．
題型1　利用誘導公式求值
例1　(1)計算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________．
(2)已知sin＝，求cos 的值．
變式探究　本例(2)中的條件不變，求cos 的值．
方法歸納
利用誘導公式五、六求值的三個關注點
(1)角的變化：對于三角函數式的化簡求值問題，一般遵循誘導公式先行的原則，即先用誘導公式化簡變形，達到角的統一．
(2)切化弦：切化弦，以保證三角函數名最少．
(3)函數名稱：對于kπ±α和±α這兩套誘導公式，切記前一套公式不變名，后一套公式變名．
提醒：當角比較復雜時，要注意分析兩個角之間是否具有互余、互補關系，或兩個角的和、差為特殊角等，常見的如±α，＋α與－α的關系．
跟蹤訓練1　(1)已知sin (π＋α)＝，則cos 的值為(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)若cos (α＋π)＝－，則sin ＝________．
題型2　利用誘導公式證明三角恒等式
例2　求證：＝.
方法歸納
證明三角恒等式的常用方法
(1)由左邊推至右邊或由右邊推至左邊，遵循的是化繁為簡的原則．
(2)證明左邊＝A，右邊＝A，則左邊＝右邊，這里的A起著橋梁的作用．
(3)通過作差或作商證明，即左邊－右邊＝0或＝1.
跟蹤訓練2　求證：·sin (α－2π)·cos (2π－α)＝sin2α.
題型3　誘導公式的綜合應用
例3　已知f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)已知－＜α＜，f(α)＝，求tan α.
方法歸納
用誘導公式化簡求值的方法
(1)對于三角函數式的化簡求值問題，一般遵循誘導公式先行的原則，即先用誘導公式化簡變形，達到角的統一，再進行切化弦，以保證三角函數名最少．
(2)對于π±α和±α這兩套誘導公式，切記運用前一套公式不變名，而運用后一套公式必須變名．
跟蹤訓練3　已知角α的終邊在第二象限，且與單位圓交于點P，求的值．
易錯辨析　不能確定角之間的特殊關系導致誘導公
式應用致誤
例4　sin2＋sin2＝________．
解析：sin2＋sin2＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
答案：1
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
不能發現“＝”導致無法應用誘導公式進行轉換求值． 解決給值求值問題，首先要探尋條件角與問題角之間的關系，便于直接利用誘導公式整體求解．
課堂十分鐘
1．已知sinα＝，則cos ＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
2．已知cos (π＋α)＝，則sin 的值為(　　)
A． B．－ C． D．－
3．已知α為第二象限角，且3sin α＋cos α＝0，則sin ＝(　　)
A． B． C．－ D．－
4．已知α為第二象限角，cos －2sin (π＋α)＝，則cos α＝________．
5．化簡：.
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
　cos α　sin α　cos α　－sin α
要點二
　　－
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由于sin ＝cos θ<0，cos ＝sin θ>0，所以角θ的終邊落在第二象限，故選B.
答案：B
3．解析：因為角θ的終邊過點，
所以sin θ＝＝－，
所以cos (－θ)＝sin θ＝－.
故選A.
答案：A
4．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin (90°＋5°)＋cos (180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：0
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋sin245°＝1＋1＋…＋144個＋＝.
(2)cos＝cos ＝sin ＝－sin ＝－.
答案：(1)　(2)見解析
變式探究　解析：cos ＝cos ＝－sin ＝sin ＝.
跟蹤訓練1　解析：(1)∵sin (π＋α)＝－sin α＝，∴sin α＝－，∴cos ＝－sin α＝－＝.故選A.
(2)∵cos (α＋π)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，
∴sin ＝－sin ＝－(－cos α)＝cos α＝.
答案：(1)A　(2)
例2　證明：右邊＝
＝
＝
＝
＝
＝＝左邊，
所以原等式成立．
跟蹤訓練2　證明：左邊＝·[－sin (2π－α)]cos α＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右邊，故原式成立．
例3　解析：(1)f(α)＝
＝＝cos α.
(2)因為f(α)＝，所以cos α＝，
當0≤α<時，sin α＝＝，
所以tanα＝＝，
當－<α<0時，sin α＝－＝－，
所以tanα＝＝－，
綜上可得，tan α＝±.
跟蹤訓練3　解析：因為角α的終邊在第二象限且與單位圓相交于點P，
所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin α＝，cos α＝－，
所以原式＝＝－·＝×＝2.
[課堂十分鐘]
1．解析：cos ＝－sin α＝－.故選B.
答案：B
2．解析：因為cos (π＋α)＝－cos α＝，所以sin ＝－cos α＝.故選C.
答案：C
3．解析：∵3sin α＋cos α＝0，∴3sin α＝－cos α，
∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋9sin2α＝1，sin2α＝，cos2α＝，
已知α為第二象限角，cosα<0，∴cos α＝－，
即sin ＝cos α＝－.故選D.
答案：D
4．解析：因為cos －2sin (π＋α)＝sin α＋2sin α＝3sin α＝，
可得sin α＝，
因為α為第二象限角，
則cos α＝－＝－.
答案：－
5．解析：原式＝
＝
＝－sin θ.
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湘教版高中數學必修第一冊-5.2.1.2用有向線段表示三角函數-學案講義
教材要點
要點一　三角函數線
1．如圖，設單位圓的圓心為直角坐標系的原點O，角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D.
由單位圓與角α的交點P作出的這條帶方向的線段DP，它的方向和長度分別代表了sin α的符號和絕對值，DP代表的實數就是角α的正弦，故DP稱為角α的正弦線．同理有向線段OD稱為角α的余弦線．
2．如圖，過點A(1，0)作單位圓的切線x＝1，如果tan α存在，設該切線與角α的終邊(當α為第一、四象限角時)或其反向延長線(當α為第二、三象限角時)相交于點T(1，y1)，則tan α＝AT，稱AT為角α的正切線．
要點二　三角函數值在各象限的符號
狀元隨筆　對三角函數值符號的理解
三角函數值的符號是根據三角函數定義和各象限內坐標符號導出的．因為從原點到角的終邊上任意一點的距離r總是正值．所以根據三角函數定義知：
(1)正弦值的符號取決于縱坐標y的符號；
(2)余弦值的符號取決于橫坐標x的符號；
(3)正切值的符號是由x，y符號共同決定的，即x，y同號為正，異號為負．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)角α的正弦線的長度等于sin α.(　　)
(2)對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線．(　　)
(3)已知α是三角形的內角，則必有cos α＞0.(　　)
(4)若sin α＞0，則α一定在第一或第二象限．(　　)
2．角和角有相同的(　　)
A．正弦線　　B．余弦線
C．正切線 D．不能確定
3．若sin α＜0，tan α＞0，則α在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．若α是第三象限角，則點P(sin α，cos α)在第________象限．
題型1　三角函數線的作法
例1　作出π的正弦線、余弦線和正切線．
方法歸納
三角函數線的作法步驟
(1)作直角坐標系和角的終邊．
(2)作單位圓，圓與角的終邊的交點為P，與x軸正半軸的交點為A.
(3)過點P作x軸的垂線，垂足為M.
(4)過點A作x軸的垂線，與角的終邊或其反向延長線交于點T.
(5)即向量，，分別為角的正弦線，余弦線和正切線．
跟蹤訓練1　作出－的正弦線、余弦線和正切線．
題型2　利用三角函數線解三角不等式
例2　在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
方法歸納
1．用三角函數線來解基本的三角不等式的步驟
(1)作出取等號的角的終邊；
(2)利用三角函數線的直觀性，在單位圓中確定滿足不等式的角的范圍；
(3)將圖中的范圍用不等式表示出來．
2．求與三角函數有關的定義域時，先轉化為三角不等式(組)，然后借助三角函數線解此不等式(組)即可得函數的定義域．
跟蹤訓練2　求y＝lg (1－cos x)的定義域．
題型3　三角函數值在各個象限的符號
角度1　三角函數值符號的判斷
例3　判斷下列各式的符號．
(1)sin 155°cos (－200°)；(2).
方法歸納
求三角函數值或相關式子的符號的步驟
角度2　由三角函數值的符號判斷角所在象限
例4　若sin αtan α＜0，且＜0，則角α是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
方法歸納
由三角函數值的符號判斷角所在象限的方法
根據三角函數值的符號逆推出角所在的象限(或坐標軸)，當已知該角的兩個三角函數值時應取其所在象限的交集．
跟蹤訓練3　角x的終邊在第三象限，則下列各式中符號為正的是(　　)
A．sin x＋cos x B．cos x－tan x
C．tan x·sin x D．tan x－sin x
易錯辨析　判斷三角函數值符號時忽略軸線角致誤例5　已知角α的終邊過點P(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，則實數a的取值范圍是________．
解析：方法一　∵cos α≤0，
∴α的終邊在第二或第三象限內，或y軸上，或x軸的非正半軸上．
∵sin α＞0，∴α的終邊在第一或第二象限內，或y軸的非負半軸上．
∴點P在第二象限或y軸的非負半軸上．
∴∴－2＜a≤3，
∴實數a的取值范圍是(－2，3].
方法二　由三角函數的定義可知，cos α＝≤0，
sin α＝＞0，
∴∴－2＜a≤3，
∴實數a的取值范圍是(－2，3].
答案：(－2，3]
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽略了角α的終邊落在y軸的非負半軸上，導致得到錯誤答案(－2，3)． 由三角函數值的符號確定參數的取值范圍時，要注意“等號”(軸線角)問題，掌握三角函數的定義是解決該問題的關鍵．如角α的終邊過點(x，y)，則sin α＞0 y＞0 α的終邊在第一或第二象限內，或y軸的非負半軸上．
課堂十分鐘
1．在[0，2π]上滿足sin x≥的x的取值范圍是(　　)
A．[0，] B．[]
C．[] D．[，π]
2．已知點P(tan α，cos α)在第三象限，則α的終邊在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若角α的終邊過點(－5，－3)，則(　　)
A．sin αtan α＞0 B．cos αtan α＞0
C．sin αcos α＞0 D．sin αcos α＜0
4．當α為第二象限角時，的值是________．
5．在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊．
(1)sin α＝；
(2)cos α＝－.
參考答案與解析
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：與的終邊互為反向延長線，故它們有相同的正切線．
答案：C
3．解析：若sin α<0，則α是終邊落在第三、四象限或y軸非正半軸上的角．若tan α>0，則α是終邊落在第一或三象限的角，故α在第三象限內．
答案：C
4．解析：∵α為第三象限角，
∴sin α<0，cos α<0，
∴P(sin α，cos α)位于第三象限．
答案：三
題型探究·課堂解透
例1　解析：在直角坐標系中作單位圓，如圖所示，以Ox軸為始邊作角π，角的終邊與單位圓交于點P作PM⊥Ox軸，垂足為M，由單位圓與Ox軸正方向的交點A作Ox軸的垂線，與OP的反向延長線交于T點，則sinπ＝，cosπ＝，tanπ＝， 即π的正弦線為 ，余弦線為，正切線為.
跟蹤訓練1　解析：如圖所示，所以角－π的正弦線為，余弦線為，正切線為.
例2　解析：(1)作直線y＝，交單位圓于A，B兩點，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區域(圖(1)中陰影部分)即為角α的終邊的范圍．
故滿足條件的角α的集合為
(2)作直線x＝－，交單位圓于C，D兩點，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區域(圖(2)中的陰影部分)即為角α的終邊的范圍．
故滿足條件的角α的集合為.
跟蹤訓練2　解析：如圖所示，因為1－cos x＞0，所以cos x＜，所以2kπ＋＜x＜2kπ＋ (k∈Z)，所以函數定義域為(2kπ＋) (k∈Z).
例3　解析：(1)∵155°是第二象限角，∴sin 155°>0.
∵－200°＝－360°＋160°，∴－200°是第二象限角，∴cos (－200°)<0.
∴sin 155°cos (－200°)<0.
(2)∵2∈，3∈，4∈，6∈，
∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，∴>0.
例4　解析：由sin αtan α<0可知sin α，tan α異號，從而α是第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α異號，從而α是第三或第四象限角．綜上可知，α是第三象限角．
答案：C
跟蹤訓練3　解析：由于角x的終邊在第三象限，那么有sin x<0，cos x<0，tan x>0，所以sin x＋cos x<0，cos x－tan x<0，tan x·sin x<0，tan x－sin x>0.故選D.
答案：D
[課堂十分鐘]
1．解析：畫出單位圓(圖略)，結合正弦線得出sin x≥的取值范圍是[,].
答案：B
2．解析：因為點P在第三象限，
所以tan α<0，cos α<0，所以α為第二象限角．
故選B.
答案：B
3．解析：∵角α的終邊過點(－5，－3)，
∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，
∴sin αcos α>0
故選C.
答案：C
4．解析：∵α為第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴＝－＝2.
答案：2
5．解析：(1)作直線y＝交單位圓于P，Q兩點，則OP與OQ為角α的終邊，如圖甲．
(2)作直線x＝－交單位圓于M，N兩點，則OM與ON為角α的終邊，如圖乙．
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湘教版高中數學必修第一冊-5.2.2同角三角函數的基本關系-學案講義
教材要點
要點　同角三角函數的基本關系式
狀元隨筆　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實現α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現角α的弦切互化．
(2)關系式的逆用及變形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)因為sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β為任意角．(　　)
(2)對任意角α，sinα＝cos α·tan α都成立．(　　)
(3)sin2＋cos2＝1.(　　)
(4)對任意的角α，都有tanα＝成立．(　　)
2．若α為第二象限角，且sin α＝，則cos α＝(　　)
A．－　　　B． C．　　　D．－
3．已知tan α＝，且α∈，則sin α的值是(　　)
A．－　　　B． C．　 　D．－
4．已知tan α＝－，則的值是________．
題型1　利用同角三角函數的基本關系求值
角度1　已知角的某個三角函數值，求其余三角函數值
例1　(1)已知sinα＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
方法歸納
在使用開平方關系sin α＝±和cosα＝±時，一定要注意正負號的選取，確定正負號的依據是角α所在的象限．
角度2　利用弦化切求值
例2　已知tanα＝2，求下列各式的值．
(1)；(2)4sin2α－3sinαcos α＋1.
方法歸納
所求式子都是關于sin α、cos α的分式齊次式(或可化為分式齊次式)，將其分子、分母同除以cos α的整數次冪，就是把所求式子用tan α表示，再求式子的值．
角度3　與sin θ±cos θ，sin θcos θ有關的求值．
例3　已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，求：
(1)sin θ·cos θ；(2)sin θ－cos θ.
方法歸納
此類問題求值時，若涉及開方，要注意利用角的范圍確定三角函數值的符號．如該題易忽略角θ的取值范圍得sin θ－cos θ＝±，實際上，結合0＜θ＜π這一條件，可以確定sin θ－cos θ的符號．
跟蹤訓練1　(1)已知＝，則tan θ的值為(　　)
A．－4 B．－
C． D．4
(2)已知sin θ＋cos θ＝，且0＜θ＜π，則sin θ－cos θ＝________．
題型2　利用同角三角函數關系化簡
例4　化簡：
(1)；
(2).
方法歸納
三角函數式的化簡技巧
(1)化切為弦，即把正切函數都化為正、余弦函數，從而減少函數名稱，達到化繁為簡的目的．
(2)對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的．
(3)對于化簡含高次的三角函數式，往往借助于因式分解，或構造sin2α＋cos2α＝1，以降低次數，達到化簡的目的．
跟蹤訓練2　(1)化簡：；
(2)化簡：sin2αtanα＋2sin αcos α＋.
題型3　利用同角三角函數關系證明
例5　求證：＝ .
方法歸納
證明簡單三角恒等式的思路
(1)從一邊開始，證明它等于另一邊，遵循由繁到簡的原則．
(2)證明左右兩邊等于同一個式子．
(3)證明左邊減去右邊等于零或左、右兩邊之比等于1.
(4)證明與原式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立．
跟蹤訓練3　求證：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.
易錯辨析　忽略題目隱含范圍致錯
例6　已知sinθ＝，cos θ＝，若θ為第二象限角，則下列結論正確的是(　　)
A．a∈ B．a＝1
C．a＝1或a＝ D．a＝
解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴＋＝1，
解得a＝1或a＝，
當a＝1時，sinθ＝0，θ不是第二象限角，舍去；
當a＝時，sin θ＞0，cos θ＜0，符合題意．
∴a＝.故選D.
答案：D
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽略了sin θ＞0，cos θ＜0這一條件確定a的范圍，或者利用平方關系解出a值后，未檢驗致錯，易錯選C. 利用同角三角函數基本關系求參數時，要注意檢驗．
課堂十分鐘
1．已知sin α＝，α∈，則tan α的值為(　　)
A．－　　　B．　　　C．－2　　　D．2
2．已知sin α＝，則sin4α－cos4α的值為(　　)
A．－ B．－ C． D．
3．已知sinθ＋cos θ＝(0＜θ＜)，則sin θ－cos θ的值為(　　)
A． B．－ C． D．－
4．若tan x＝2，則cos2x－2sinx cos x＝________．
5．化簡：·.
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
sin2α＋cos2α＝1　tanα＝
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝－＝－.
故選A.
答案：A
3．解析：∵α∈(π，)，∴sinα<0.由tan α＝＝，
sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－.
故選A.
答案：A
4．解析：＝＝＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
又∵α是第三象限角，∴cosα<0，
即cos α＝－，∴tan α＝＝－×＝.
(2)∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角．
當α是第二象限角時，sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝＝＝，
tanα＝＝－；
當α是第三象限角時，sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－＝－＝－，
tanα＝＝.
例2　解析：(1)原式＝＝＝＝－1.
(2)4sin2α－3sinαcos α＋1
＝＋1
＝＋1
＝＋1＝3.
例3　解析：(1)∵sinθ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
即1＋2sin θcos θ＝，∴sin θ·cos θ＝－.
(2)∵θ∈(0，π)，由(1)知sin θcos θ＝－，
∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝＝.
跟蹤訓練1　解析：(1)＝＝，解得tan θ＝－4.
故選A.
(2)∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
解得sin θcos θ＝－，
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.
∵0<θ<π且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，
∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝.
答案：(1)A　(2)
例4　解析：(1)－＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)＝
＝＝1.
跟蹤訓練2　解析：
(1)原式＝
＝＝＝1.
(2)原式＝sin2α·＋2sin αcos α＋cos2α·
＝＝
＝.
例5　證明：左邊＝＝＝＝＝右邊，∴原式成立．
跟蹤訓練3　證明：左邊＝tan2α－sin2α＝－sin2α
＝＝
＝sin2α·＝tan2α·sin2α＝右邊
∴原式成立．
[課堂十分鐘]
1．解析：因為sinα＝，α∈()，
所以cos α＝－＝－，
則tanα＝＝－.
故選A.
答案：A
2．解析：sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
故選B.
答案：B
3．解析：∵已知sinθ＋cos θ＝ (0＜θ＜)，
∴1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝.
故sin θ－cos θ＝－＝－＝－.
故選B.
答案：B
4．解析：∵tan x＝2，
∴原式＝＝＝＝－.
答案：－
5．解析：原式＝·
＝＝1.
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湘教版高中數學必修第一冊-5.2.1.1用比值定義三角函數-學案講義
教材要點
要點一　任意角的三角函數的定義
如圖，設α是一個任意角，在角α的終邊OM上任取不同于原點O的點P，利用點P的坐標(x，y)的定義：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________，其中r＝.以上三個比值分別稱為角α的正弦、余弦、正切，y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分別叫作角α的正弦函數、余弦函數、正切函數，以上三種函數都稱為三角函數．
狀元隨筆　角α的三角函數值是比值，是一個實數，這個實數的大小與點P(x，y)在終邊上的位置無關．
要點二　三角函數的定義域
正弦函數y＝sin α，定義域為________；
余弦函數y＝cos α，定義域為________；
正切函數y＝tan α，定義域為________．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)sin α表示sin 與α的乘積．(　　)
(2)角的三角函數值隨終邊上點的位置變化而變化．(　　)
(3)設角α終邊上的點P(x，y)，r＝|OP|≠0，則sin α＝，且y越大，sin α的值越大．(　　)
(4)終邊落在y軸上的角的正切函數值為0.(　　)
2．已知角α的終邊與單位圓交于點，則sin α的值為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．－ B．－ C． D．
3．若角θ的終邊經過點P，則tan θ＝(　　)
A． B．－ C．－1 D．－
4．如果角α的終邊經過點P(－1，)，則cos α＝________．
題型1　單位圓法求三角函數值
例1　(1)角α終邊與單位圓相交于點M，則cos α＋sin α的值為________．
(2)利用定義求的正弦、余弦和正切值．
方法歸納
1．若已知角α的大小，只需確定出角α的終邊與以坐標原點為圓心的單位圓的交點坐標，即可求出角α的各三角函數值．
2．若已知角α終邊上一點P(x，y)(x≠0)是以坐標原點為圓心的單位圓上的點，則sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
跟蹤訓練1　(1)在平面直角坐標系中，以x軸的非負半軸為角的始邊，如果角α，β的終邊分別與單位圓交于點和，那么sin αcos β＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)在平面直角坐標系中，角α的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標為，求tan α.
題型2　坐標法求三角函數值
例2　已知角α的終邊過點P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
方法歸納
(1)已知角α終邊上任意一點的坐標求三角函數值的方法
在α的終邊上任選一點P(x，y)，設P到原點的距離為r(r＞0)，則sin α＝，cos α＝.當已知α的終邊上一點求α的三角函數值時，用該方法更方便．
(2)當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時，要根據問題的實際情況對參數進行分類討論．
跟蹤訓練2　已知角α的終邊上一點P(1，m)，且sin α＝，則m＝(　　)
A．± B．
C．－ D．
題型3　三角函數概念的綜合應用
例3　已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sin α＋的值．
方法歸納
在解決有關角的終邊在直線上的問題時，應注意到角的終邊為射線，所以應分兩種情況進行處理，取射線上異于原點的任意一點的坐標(a，b)，則對應角的三角函數值分別為sin α＝，cos α＝，tan α＝.
跟蹤訓練3　已知角α的終邊在直線y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值．
易錯辨析　忽略題目中的隱含條件致誤
例4　已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30°)且cos α＝－，則m的值為(　　)
A． B．－
C．－ D．±
解析：∵點P到原點的距離r＝，
∴cos α＝＝－，
即＝，且m＞0，解得m＝.
故選A.
答案：A
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽視m＞0這一條件，易錯選D. 在解這類問題時，一定要注意題目中的隱含條件，把取值范圍限定在最小的區間，這樣才可以準確得出α所在象限或參數的值．
課堂十分鐘
1．已知角α的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點，則tan α的值為(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
2．在平面直角坐標系中，角θ的頂點與原點重合，角θ的始邊與x軸非負半軸重合，角θ的終邊經過點P(－3，4)，則cos θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．若角α的終邊過點(2sin 30°，－2cos 30°)，則sin α的值等于(　　)
A． B．－
C．－ D．－
4．已知角α的終邊在射線y＝－x(x≤0)上，則cos α＝________．
5．已知角θ的終邊上一點P(－，m)，且sin θ＝m.求cos θ與tan θ.
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
　　　
要點二
R　R　
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：根據任意角的正弦定義，可得sin α＝y＝－.
故選B.
答案：B
3．解析：角θ的終邊經過點P(－)，則tan θ＝＝－1，
故選C.
答案：C
4．解析：∵角α的終邊經過點P(－1，)，∴|OP|＝＝2，∴cos α＝－.
答案：－
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由三角函數的定義得sin α＝，cos α＝，
所以cos α＋sin α＝＋＝.
(2)如圖所示，的終邊與單位圓的交點為P，過P作PB⊥x軸于點B，
在△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝，
則|PB|＝，|OB|＝，
則P
所以sin ＝，cos ＝－
tan ＝－.
答案：(1)　(2)見解析
跟蹤訓練1　解析：(1)由三角函數的定義sin α＝，cos β＝－，
所以sin αcos β＝×＝－.
故選B.
(2)由題意，設點A的坐標為，
所以x2＋＝1，解得x＝或－.
當x＝時，tan α＝＝；
當x＝－時，tan α＝＝－.
答案：(1)B　(2)見解析
例2　解析：r＝＝5|a|，
①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，則r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
綜上所述：當a>0時，2sin α＋cos α＝1；當a<0時，2sin α＋cos α＝－1.
跟蹤訓練2　解析：角α的終邊上一點P(1，m)，
所以r＝|OP|＝，
所以sin α＝＝>0，
解得m＝.
故選B.
答案：B
例3　解析：由題意知，cos α≠0.
設角α的終邊上任意一點為P(k，－3k)(k≠0)，
則x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)當k>0時，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，
＝＝＝，
所以10sin α＋＝10×＋3＝－3＋3＝0.
(2)當k<0時，r＝－k，α是第二象限角，sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
所以10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.
綜上所述，10sin α＋＝0.
跟蹤訓練3　解析：因為角α的終邊在直線y＝x上，
所以可設P(a，a)(a≠0)為角α終邊上任意一點，則r＝＝2|a|(a≠0).
若a>0，則α為第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，cos α＝＝，
tan α＝＝.
若a<0時，則α為第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，
cos α＝＝－，tan α＝＝.
[課堂十分鐘]
1．解析：由正切函數的定義可得，tan α＝＝－.
故選A.
答案：A
2．解析：∵角θ的頂點與原點重合，角θ的始邊與x軸非負半軸重合，
角θ的終邊經過點P(－3，4)，則cos θ＝＝－，
故選A.
答案：A
3．解析：∵x＝2sin 30°＝1，y＝－2cos 30°＝－，
∴r＝＝2，∴sin α＝＝－.
故選C.
答案：C
4．解析：在角α的終邊y＝－x(x≤0)上任取一點(－1，1)，
則cos α＝＝－.
答案：－
5．解析：由題意得sin θ＝＝m，
若m＝0，則cos θ＝－1，tan θ＝0.
若m≠0，則m＝±.
當m＝時，cos θ＝－，tan θ＝－；
當m＝－時，cos θ＝－，tan θ＝.
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