資源簡介

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湘教版高中數學必修第一冊-5.3.1.2正弦函數、余弦函數的周期性與奇偶性-學案講義
教材要點
要點一　周期函數
1．周期函數
一般地，對于函數y＝f(x)，如果存在________常數T，使得當x取定義域內每一個值時，x±T都有定義，并且__________，則稱這個函數y＝f(x)為周期函數，T稱為這個函數的一個周期．
2．最小正周期
條件 周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的________
結論 這個最小________叫做f(x)的最小正周期
狀元隨筆　關于最小正周期
(1)并不是所有的周期函數都有最小正周期，如常數函數f(x)＝C，對于任意非零常數T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常數T都是函數的周期，因此沒有最小正周期．
(2)對于函數y＝A sin (ωx＋φ)＋B或y＝A cos (ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝求最小正周期．
要點二　正弦、余弦函數的周期性、奇偶性與對稱性
函數 y＝sin x y＝cos x
周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正 周期 2π ________
奇偶性 ____函數 ____函數
對稱性 對稱軸：x＝kπ＋，k∈Z 對稱中心：(kπ，0)，k∈Z 對稱軸：x＝kπ，k∈Z 對稱中心：(kπ+，0)，k∈Z
狀元隨筆　(1)正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數，反映在圖象上，正弦曲線關于原點(0，0)對稱，余弦曲線關于y軸對稱．
(2)正弦曲線、余弦曲線既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)因為sin ＝sin ，所以是函數y＝sin x的周期．(　　)
(2)每一個函數都是周期函數．(　　)
(3)若T是函數f(x)的一個周期，則nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．(　　)
(4)正(余)弦曲線的對稱軸是過對應曲線的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是曲線與x軸的交點．(　　)
2．下列函數中，周期為的是(　　)
A．y＝sin 　　 B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
3．函數f(x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函數
B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數
D．非奇非偶函數
4．函數f(x)＝sin x cos x是________函數．(填“奇”或“偶”)
題型1　求三角函數的周期
例1　求下列函數的周期
(1)y＝2sin ，x∈R；
(2)y＝1－2cos ，x∈R；
(3)y＝|sin x|，x∈R.
方法歸納
求函數周期的方法
(1)定義法：緊扣周期函數的定義，尋求對任意實數x都滿足f(x＋T)＝f(x)的非零常數T.該方法主要適用于抽象函數．
(2)公式法：對形如y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數，且A≠0，ω＞0)，可利用T＝來求．
(3)圖象法：可畫出函數的圖象，借助于圖象判斷函數的周期，特別是對于含絕對值的函數一般采用此法．
跟蹤訓練1　(1)函數f(x)＝|cos 2x|的周期是(　　)
A． B．π
C．2π D．4π
(2)y＝sin (3x+)的周期是________．
題型2　三角函數奇偶性的有關問題
角度1　三角函數奇偶性的判斷
例2　(1)下列函數中是偶函數的是(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝－sin x
C．y＝sin |x| D．y＝sin x＋1
(2)判斷下列函數的奇偶性
①f(x)＝sin ；
②f(x)＝.
方法歸納
判斷函數奇偶性的兩個關鍵點
(1)看函數的定義域是否關于原點對稱；
(2)看f(－x)與f(x)的關系．
對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷．
跟蹤訓練2　函數f(x)＝|sin x|＋cos x是(　　)
A．奇函數 B．偶函數
C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數
角度2　三角函數的對稱性
例3　(1)(多選)下列函數中，其圖象關于x＝對稱的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
(2)函數y＝sin (2x+)的一個對稱中心是(　　)
A． B．
C． D．
方法歸納
對于函數y＝sin (ωx＋φ)與y＝cos (ωx＋φ)的圖象對稱性，應將ωx＋φ看成一個整體，利用整體代入思想，令ωx＋φ等于kπ或kπ＋ (k∈Z)，解出的x值即為對稱中心的橫坐標(縱坐標為0)或對稱軸與x軸交點的橫坐標．
跟蹤訓練3　(1)函數f(x)＝cos (-+)是(　　)
A．奇函數 B．偶函數
C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數
(2)已知函數f(x)＝sin (2x＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，則φ的值可能是(　　)
A． B．－
C． D．
題型3　函數的奇偶性與周期性的綜合應用
例4　(1)(多選)已知函數f(x)＝sin 是奇函數，則φ的值可以是(　　)
A．0 B．－
C． D．
(2)定義在R上的函數f(x)既是偶函數，又是周期函數，若f(x)的最小正周期為π，且當x∈時，f(x)＝sin x，求f的值．
變式探究　本例(2)中，把條件“偶函數”改為“奇函數”，其它條件不變，結果如何？
方法歸納
(1)已知三角函數的奇偶性求參數范圍問題一般利用三角函數的圖象特征較簡單．
(2)利用三角函數的奇偶性與周期性求函數值一般要把自變量轉化到已知表達式的區間上求值．
跟蹤訓練4　(1)(多選)關于函數y＝f(x)＝cos 2x的圖象，下列說法正確的是(　　)
A．y＝f(x)是奇函數
B．y＝f(x)的周期為π
C．y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱
D．y＝f(x)的圖象關于點(-，0)對稱
(2)若函數f(x)是以為周期的奇函數，且f＝1，求f的值
易錯辨析　判斷三角函數的奇偶性時忽略定義域致誤
例5　函數f(x)＝是(　　)
A．奇函數 B．偶函數
C．既奇又偶函數 D．非奇非偶函數
解析：由題意知sin x≠1，即f(x)的定義域為{x|x≠2kπ＋，k∈Z}，
不關于原點對稱．
∴f(x)是非奇非偶函數．
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
誤認為f(x)＝＝sin x，從而得到錯誤答案：A. 判斷三角函數的奇偶性時，首先要考慮函數的定義域是否關于原點對稱，再等價變形，最后再下結論．
課堂十分鐘
1．(多選)下列是定義在R上的四個函數圖象的一部分，其中是周期函數的是(　　)
2．對于函數y＝cos ，下列命題正確的是(　　)
A．周期為2π的偶函數 B．周期為2π的奇函數
C．周期為π的偶函數 D．周期為π的奇函數
3．“φ＝”是“函數y＝sin (x＋φ)為偶函數”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．已知函數y＝cos (x－φ)，φ∈[0，π]是奇函數，則φ的值為________．
5．設f(x)是以1為一個周期的奇函數，且當x∈(-，0)時，f(x)＝4x－1，求f的值．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
1．非零　f(x±T)＝f(x)
2．正數　正數
要點二
2π　奇　偶　
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：對于A，T＝＝4π；對于B，T＝＝π；對于C，T＝＝8π；對于D，T＝＝.
故選D.
答案：D
3．解析：由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin (－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數，故選A.
答案：A
4．解析：∵f(x)＝sin x cos x，且x∈R
∴f(－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin x cos x是奇函數．
答案：奇
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)(定義法)∵2sin
＝2sin
＝2sin ，
∴自變量x至少要增加到x＋4π，
函數y＝2sin ，x∈R的值才能重復出現，
∴函數y＝2sin ，x∈R的周期是4π.
(公式法)：T＝＝4π.
(2)(定義法)
∵1－2cos
＝1－2cos ＝1－2cos ，
∴自變量x至少要增加到x＋4，函數y＝1－2cos ，x∈R的值才能重復出現，∴函數y＝1－2cos ，x∈R的周期是4.
(公式法)：T＝＝4.
(3)作圖如下：
觀察圖象可知最小正周期為π.
跟蹤訓練1　解析：(1)作圖如下：
觀察圖象可知函數f(x)＝|cos 2x|的周期是.
故選A.
(2)周期T＝.
答案：(1)A　(2)
例2　解析：(1)A，B是奇函數，D是非奇非偶函數，C中，sin |－x|＝sin |x|，所以是偶函數．
故選C.
(2)①顯然x∈R，f(x)＝cos x，
f(－x)＝cos ＝cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函數．
②∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定義域不關于原點對稱，∴該函數是非奇非偶函數．
答案：(1)C　　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：∵函數f(x)＝|sin x|＋cos x的定義域是R，
且f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)
＝|－sin x|＋cos x
＝|sin x|＋cos x＝f(x)
∴f(x)是偶函數．
故選B.
答案：B
例3　解析：(1)由題意知，當x＝時，y可取得最值，將x＝逐一代入，驗證可得B、C正確．
故選BC.
(2)y＝sin ＝cos 2x，對稱中心是函數圖象與x軸的交點，將四個點代入驗證，只有點符合要求．
故選B.
答案：(1)BC　(2)B
跟蹤訓練3　解析：(1)∵f(x)＝cos ＝sin ，
且f(－x)＝sin ＝－sin ＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數．
故選A.
(2)由題意，當x＝時，f(x)＝sin ＝±1，故＋φ＝kπ＋，(k∈Z)得φ＝kπ＋，(k∈Z)．當k＝0時，φ＝.
故選D.
答案：(1)A　(2)D
例4　解析：(1)f(x)＝sin 為奇函數，
則只需＋φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝kπ－，k∈Z，
當k＝0時，φ＝－，滿足題意；
當k＝1時，φ＝，滿足題意，故選BD.
(2)f＝f＝f＝f＝sin ＝.
答案：(1)BD　(2)見解析
變式探究　解析：f＝f＝f＝－f＝－sin ＝－.
跟蹤訓練4　解析：(1)∵f(x)＝cos 2x，由余弦函數的圖象與性質知，f(x)是偶函數，其最小正周期為π，且圖象關于直線x＝(k∈Z)對稱，關于點(k∈Z)對稱．
故選BD.
(2)∵f(x)的周期為，且為奇函數，
∴f＝f＝f＝f.
而f＝f
＝f＝－f＝－1，
∴f＝－1.
答案：(1)BD　(2)－1
[課堂十分鐘]
1．解析：對于D，x∈(－1，1)時的圖象與其他區間圖象不同，不是周期函數．
故選ABC.
答案：ABC
2．解析：因為函數y＝cos ＝sin 2x，∴T＝＝π，且y＝sin 2x是奇函數，所以y＝cos 是周期為π的奇函數．
故選D.
答案：D
3．解析：φ＝時，y＝sin (x＋φ)＝sin (x＋)＝cos x是偶函數，充分性滿足，
但φ＝－時，y＝sin (x＋φ)＝sin (x－)＝－cos x也是偶函數，必要性不滿足．
應是充分不必要條件．
故選A.
答案：A
4．解析：∵y＝cos (x－φ)是奇函數，
∴φ＝＋kπ，k∈Z.又∵φ∈[0，π]，∴φ＝.
答案：
5．解析：∵f(x)的周期為1，f＝f＝f.
又∵當x∈時，f(x)＝4x－1，
∴f＝4×－1＝－，
又∵f(x)是奇函數，∴f＝－f，
∴f＝.故f＝.
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湘教版高中數學必修第一冊-5.3.1.1正弦函數、余弦函數的圖象-學案講義
教材要點
要點　正弦曲線與余弦曲線及其畫法
函數 y＝sin x y＝cos x
圖象
圖象 畫法 五點法 五點法
關鍵 五點 ________，(，1)，________， (，-1)，________ ________，(，0)，________， (，0)，________
狀元隨筆　1.關于正弦函數y ＝sin x的圖象
(1)正弦函數y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的圖象與x∈[0，2π]上的圖形一致，因為終邊相同角的同一三角函數值相等．
(2)正弦函數的圖象向左、右無限延伸，可以由y＝sin x，x∈[0，2π]圖象向左右平移得到(每次平移2π個單位)．
2．“幾何法”和“五點法”畫正、余弦函數的比較
(1)“幾何法”就是利用單位圓中正弦線和余弦線作出正、余弦函數圖象的方法．該方法作圖較精確，但較為煩瑣．
(2)“五點法”是畫三角函數圖象的基本方法，在要求精度不高的情況下常用此法．
提醒：作圖象時，函數自變量要用弧度制，自變量與函數值均為實數，因此在x軸、y軸上可以統一單位，這樣作出的圖象正規便于應用．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)正弦函數y＝sin x(x∈R)的圖象關于x軸對稱．(　　)
(2)函數y＝sin x與y＝sin (－x)的圖象完全相同．(　　)
(3)余弦函數y＝cos x的圖象與x軸有無數個交點．(　　)
(4)函數y＝cos x的圖象與y＝sin x的圖象形狀和位置不一樣.(　　)
2．不等式sin x＞0，x∈[0，2π]的解集為(　　)
A．[0，π]　　B．(0，π)
C．[0，π] D．(，)
3．下列圖象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的圖象的是(　　)
4．用“五點法”作函數y＝cos 2x，x∈R的圖象時，首先應描出的五個點的橫坐標是________．
題型1　用“五點法”作三角函數的圖象
例1　(1)在[0，2π]內用“五點法”作出y＝－sin x－1的簡圖．
(2)在[0，2π]內用“五點法”作出y＝－2cos x＋3的簡圖．
方法歸納
作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的圖象的三個步驟
跟蹤訓練1　作出函數y＝3＋2cos x的簡圖．
題型2　利用“圖象變換”作三角函數的圖象
例2　作出下列函數的圖象
(1)y＝；(2)y＝sin|x|.
方法歸納
某些函數的圖象可通過圖象變換，如平移變換、對稱變換作出，如將y＝sin x的圖象在y軸右側的保留，在左側作右側關于y軸的對稱圖形，便得到y＝sin |x|的圖象，將y＝sin x圖象在x軸上方的不動，x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，便得到y＝|sin x|的圖象等．
跟蹤訓練2　函數y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致圖象為(　　)
題型3　正弦、余弦函數圖象的應用
角度1　零點個數問題
例3　求方程sin x＝的解的個數．
方法歸納
對于含三角函數的方程的解的個數問題，一般無法直接求解，我們常轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題求解，這就要求我們要對三角函數的圖象熟練掌握．
角度2　解三角不等式
例4　利用正弦曲線，求滿足＜sin x≤的x的集合．
方法歸納
用正弦曲線(余弦曲線)解三角不等式(如sin x≥a或cos x≥a)的步驟
跟蹤訓練3　(1)方程x2＝cos x的實數解的個數為________．
(2)函數y＝的定義域為________．
易錯辨析　忽視函數定義域致誤
例5　作出函數y＝·sin x的圖象．
解析：由tan x≠0得x≠kπ，且x≠kπ＋，k∈Z，
即x≠(k∈Z)，
此時有y＝·sin x＝cos x，
即y＝cos x(x≠，k∈Z)．
其圖象如下圖所示．
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
有的同學這樣做：y＝·sin x＝·sin x＝cos x．錯在化簡時漏掉了對自變量范圍的討論，擴大了定義域． 已知函數解析式作函數圖象，首先要求出函數的定義域，然后再對其進行化簡，如果先進行化簡，則化簡前后自變量的取值范圍就發生了變化，作出的函數圖象就可能與原解析式不對應．
課堂十分鐘
1．(多選)以下對正弦函數y＝sin x的圖象描述正確的是(　　)
A．與x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的圖象形狀相同，只是位置不同
B．介于直線y＝1與直線y＝－1之間
C．關于x軸對稱
D．與y軸僅有一個交點
2．函數y＝cos (－x)，x∈[0，2π]的簡圖是(　　)
3．在[0，2π]內，不等式sin x＜－的解集是(　　)
A．(0，π) B．
C． D．
4．直線y＝與函數y＝sin x，x∈[0，2π]的交點坐標是________．
5．用“五點法”作出函數y＝1－cos x的簡圖．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
(0，0)　(π，0)　(2π，0)　(0，1)　(π，－1)　(2π，1)
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由y＝sin x在[0，2π]的圖象可得．故選B.
答案：B
3．解析：函數y＝－sin x的圖象與函數y＝sin x的圖象關于x軸對稱，故選D.
答案：D
4．解析：令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，π.
答案：0，，π
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)①列表：
x 0 π 2π
y －1 －2 －1 0 －1
②描點并用光滑曲線連接可得其圖象如圖所示．
(2)由條件列表如下：
x 0 π 2π
－2cos x －2 0 2 0 －2
－2cos x＋3 1 3 5 3 1
描點、連線得出函數y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的圖象如圖所示．
跟蹤訓練1　解析：(1)列表，如下表所示
x 0 π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5
(2)描點，連線，如圖所示：
例2　解析：(1)∵y＝＝|sinx|，
∴y＝(k∈Z)
作出y＝sin x，x∈[0，π]和y＝－sin x，x∈(π，2π]的圖象，并將圖象左右平移即可．其圖象如圖所示．
(2)y＝sin |x|＝其圖象如圖所示．
跟蹤訓練2　解析：y＝cos x＋|cos x|＝
故選D.
答案：D
例3　解析：在平面直角坐標系中，作出函數y＝和y＝sin x的圖象，如圖，
由圖可知，當x≥4π時，>1>sin x，所以此時兩圖象無交點；當0例4　解析：首先作出y＝sin x在[0，2π]上的圖象．如圖所示，作直線y＝，根據特殊角的正弦值，可知該直線與y＝sin x，x∈[0，2π]的交點橫坐標為和；
作直線y＝，該直線與y＝sin x，x∈[0，2π]的交點橫坐標為和.
觀察圖象可知，在[0，2π]上，當所以跟蹤訓練3　解析：(1)作函數y＝cos x與y＝x2的圖象，如圖所示，由圖象可知原方程有2個實數解．
(2)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.
取余弦函數的圖象在一個周期內連續的一段如圖，則當x＝±時，cos x＝.
∴函數y＝的定義域為(k∈Z)．
答案：(1)2　(2)(k∈Z)
[課堂十分鐘]
1．解析：由正弦函數圖象可知，A正確；由正弦函數的圖象可知B正確；由正弦函數的圖象，知正弦函數的圖象不關于x軸對稱，關于原點對稱，故C錯誤；由正弦函數圖象，知D正確．
故選ABD.
答案：ABD
2．解析：由y＝cos (－x)＝cos x知，其圖象和y＝cos x的圖象相同．
故選B.
答案：B
3．解析：畫出y＝sin x，x∈[0，2π]的草圖如下：
因為sin ＝，
所以sin ＝－，sin ＝－.
所以在[0，2π]內，滿足sin x＝－的是x＝和x＝.
所以不等式sin x<－的解集是.
故選C.
答案：C
4．解析：令sin x＝，則x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)，又∵x∈[0，2π]，故x＝或.
答案：
5．解析：(1)列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1－cos x 1 1
(2)描點，連線可得函數在[0，2π]上的圖象，將函數圖象向左、向右平移(每次2π個單位長度)，就可以得到函數y＝1－cos x的圖象，如圖所示．
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教材要點
要點　正、余弦函數的圖象與性質
正弦函數 余弦函數
圖象
值域 ________ ________
單調性 在________________(k∈Z)上遞增， 在________________(k∈Z)上遞減 在________________(k∈Z)上遞增， 在________________(k∈Z)上遞減
最值 x＝________(k∈Z)時，ymax＝1； x＝________(k∈Z)時，ymin＝－1 x＝________(k∈Z)時，ymax＝1； x＝________(k∈Z)時，ymin＝－1
狀元隨筆　(1)正、余弦函數的單調性：
①求解或判斷正弦函數、余弦函數的單調區間(或單調性)是求與之相關的復合函數值域(最值)關鍵的一步；
②單調區間要在定義域內求解；
③確定含有正弦函數或余弦函數的復合函數的單調性時，要注意用復合函數法來判斷．
(2)正、余弦函數的最值
①明確正、余弦函數的有界性，即|sin x|≤1, |cos x|≤1；
②對有些函數，其最值不一定就是1或－1，要依賴函數的定義域來決定；
③形如y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函數求最值時，通常利用“整體代換”，即令ωx＋φ＝z，將函數轉化為y＝A sin z的形式求最值．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)在區間[0，3π]上，函數y＝cos x僅在x＝0時取得最大值1.(　　)
(2)正弦函數在第一象限是增函數．(　　)
(3)存在實數x，使得cos x＝.(　　)
(4)余弦函數y＝cos x在[0，π]上是減函數．(　　)
2．下列函數中，既為偶函數又在(0，π)上單調遞增的是(　　)
A．y＝cos |x|　　　　　　B．y＝cos |－x|
C．y＝sin (x-) D．y＝－sin
3．函數y＝1－2cosx的最小值，最大值分別是(　　)
A．－1，3 B．－1，1
C．0，3 D．0，1
4．比較大小：sin ________cos .
　　
題型1　正弦、余弦函數的單調性
例1　求函數y＝sin 的單調區間．
方法歸納
求與正、余弦函數有關的單調區間的策略
(1)結合正、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間．
(2)在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函數的單調區間時，應采用“換元法”整體代換，將“ωx＋φ”看作一個整體“z”，即通過求y＝A sin z的單調區間而求出原函數的單調區間．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函數的單調區間同上．
(3)①ω＜0時，一般用誘導公式轉化為－ω＞0后求解；②若A＜0，則單調性相反．
跟蹤訓練1　(1)函數f(x)＝2sin (x-〖(π)/(3)〗)，x∈[－π，0]的單調遞增區間是(　　)
A． B．
C． D．
(2)函數y＝cos πx的單調減區間為________．
題型2　單調性在三角函數中的應用
角度1　比較大小
例2　比較下列各組數的大小．
(1)sin 與sin .
(2)cos 與cos
方法歸納
比較三角函數值大小的方法
(1)利用誘導公式轉化為求銳角三角函數值．
(2)不同名的函數化為同名函數．
(3)自變量不在同一單調區間化至同一單調區間．
角度2　利用正弦、余弦函數的單調性求參數
例3　已知ω＞0，函數f(x)＝sin 在上單調遞減，則ω的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．(0，2)
方法歸納
對于已知形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函數的單調區間的某一部分確定參數ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調區間應為函數的單調區間的子區間；其次，要確定已知函數的單調區間，從而利用它們之間的關系求解．
跟蹤訓練2　(1)sin 1，sin 2，sin 3的大小關系是(　　)
A．sin 1＜sin 2＜sin 3 B．sin 3＜sin 2＜sin 1
C．sin 2＜sin 3＜sin 1 D．sin 3＜sin 1＜sin 2
(2)若函數f(x)＝cos 2ωx(ω＞0)在區間上為減函數，在區間上為增函數，則ω等于(　　)
A．3 B．2
C． D．
　三角函數的值域(或最值)問題
角度1　正弦、余弦函數的值域(或最值)問題
例4　求函數y＝2sin ，x∈的值域
方法歸納
形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的三角函數值域(或最值)問題，要注意x的取值范圍．一般情況下先利用x的取值范圍，求出ωx＋φ的范圍，再求三角函數的值域(或最值)．
角度2　形如y＝A sin2x＋B sinx＋C或y＝A cos2x＋B cosx＋C型的最值(或值域)問題
例5　求函數y＝cos2x－sinx，x∈的最大值和最小值及相應的x值．
方法歸納
求形如y＝A sin2x＋B sinx＋C，A≠0，x∈R的函數的值域或最值時，可以通過換元，令t＝sin x，將原函數轉化為關于t的二次函數，利用配方法求值域或最值，求解過程中要注意正弦函數的有界性(有時也用t來替換cos x)．
跟蹤訓練3　(1)函數y＝2cos －1的最小值是________，此時x＝________．
(2)函數y＝y＝2sin2x＋2sinx－，x∈的值域是________．
易錯辨析　忽視參數的分類致誤
例6　已知函數y＝2a sin ＋b的定義域為，函數的最大值為1，最小值為－5，求a和b的值．
解析：∵0≤x≤，∴－≤2x－.
∴－≤sin ≤1.
若a＞0，
則解得
若a＜0，則解得
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
只考慮a＞0的情況，漏掉了a＜0的情況，導致丟解． 形如y＝A sin (ωx＋φ)＋B或y＝A cos (ωx＋φ)＋B的函數，其最值與參數A的正負有關，因此在解決這類問題時，要注意對A分A＞0和A＜0兩種情況進行分類討論．
課堂十分鐘
1．下列不等式中成立的是(　　)
A．sin ＞sin
B．sin 3＞sin 2
C．sin π＞sin
D．sin 2＞cos 1
2．函數y＝sin 在區間[0，π]上的單調遞增區間為(　　)
A． B．
C． D．
3．已知函數f(x)＝2sin －1(x∈R)，則f(x)在區間上的最大值與最小值分別是(　　)
A．1，－2 B．2，－1
C．1，－1 D．2，－2
4．已知函數f(x)＝sin ωx(ω＞0)，若f(x)在上單調遞增，則實數ω的取值范圍是________．
5．求函數y＝cos2x－4cosx＋1，x∈的值域．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
[－1，1]　[－1，1]　　[2kπ－π，2kπ]　[2kπ，2kπ＋π]　2kπ＋　2kπ－　2kπ　2kπ＋π
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：y＝cos |x|在上是減函數，排除A；y＝cos |－x|＝cos |x|，排除B；y＝sin ＝－sin ＝－cos x是偶函數，且在(0，π)上單調遞增，符合題意；y＝－sin 在(0，π)上是單調遞減的，排除D.
故選C.
答案：C
3．解析：∵－1≤cos x≤1，∴－1≤y≤3.
故選A.
答案：A
4．解析：sin ＝sin ＝cos .
∵0＜＜＜π，y＝cos x在[0，π]上遞減，
∴cos ＞cos ，即sin ＞cos .
答案：＞
題型探究·課堂解透
例1　解析：∵y＝sin ＝－sin ，
∴由＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函數y＝sin 的單調增區間為(k∈Z)，
由2kπ－≤2x－＋2kπ，(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函數y＝sin 的單調減區間為(k∈Z)．
跟蹤訓練1　解析：(1)令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，又∵－π≤x≤0，∴－≤x≤0.
故選D.
(2)由2kπ≤πx≤π＋2kπ，k∈Z得2k≤x≤1＋2k，k∈Z，
即函數y＝cos πx的單調減區間為.
答案：(1)D　(2)
例2　解析：(1)∵sin ＝sin ＝sin ，
sin ＝sin ＝sin ，
又∵y＝sin x在上單調遞增，
且0<<<，
∴sin (2)∵cos ＝cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos .
又∵y＝cos x在[0，π]上單調遞減，
∴cos >cos ，∴cos >cos .
例3　解析：方法一　由0，得<ωx＋<ωπ＋.
又因為y＝sin x在上單調遞減，所以
解得≤ω≤，故選A.
方法二　由＋2kπ≤ωx＋＋2kπ，k∈Z，ω>0，得≤x≤，k∈Z.
因此函數f(x)的單調遞減區間為，k∈Z.
由題意知，所以解得≤ω≤，故選A.
答案：A
跟蹤訓練2　解析：(1)sin 2＝sin (π－2)，sin 3＝sin (π－3)．∵0<π－3<1<π－2<，y＝sin x在上為增函數，∴sin (π－3)故選D.
(2)因為y＝cos x在[0，π]上為減函數，在[π，2π]上為增函數，所以當0≤2ωx≤π，即0≤x≤時，f(x)＝cos 2ωx(ω>0)為減函數，當π≤2ωx≤2π，即≤x≤時，f(x)＝cos 2ωx(ω>0)為增函數，由題意知＝，∴ω＝.
故選C.
答案：(1)D　(2)C
例4　解析：∵x∈，∴2x∈，∴∈，∴sin ∈.∴2sin ∈[－1，2]，故f(x)＝2sin 在上的值域為[－1，2].
例5　解析：y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx
＝－sin2x－sinx＋1，
令sin x＝t，
∵x∈，
∴t∈，
∴y＝－t2－t＋1＝－＋，
∴當t＝－，即x＝－時，f(x)有最大值，f(x)max＝；
當t＝，即x＝時，f(x)有最小值，f(x)min＝.
跟蹤訓練3　解析：(1)當2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，x＝＋kπ，k∈Z，ymin＝－2－1＝－3.
(2)令t＝sin x，∵x∈，∴t∈，∴y＝2t2＋2t－＝2－1，∴y∈，故函數f(x)的值域為.
答案：(1)－3　＋kπ，k∈Z　(2)
[課堂十分鐘]
1．解析：因為sin 2＝cos ＝cos ，且0<2－<1<π，所以cos >cos 1，即sin 2>cos 1.
故選D.
答案：D
2．解析：y＝sin ＝－sin ，
當2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，即kπ＋≤x≤kπ＋時，k∈Z，函數單調遞增，
∴函數在區間[0，π]上的單調遞增區間為.
故選A.
答案：A
3．解析：∵0≤x≤，∴≤2x＋，
∴當2x＋＝時，即sin ＝1時，函數取得最大值為2－1＝1，
當2x＋＝時，即sin ＝－時，函數取得最小值為×2－1＝－2.
故選A.
答案：A
4．解析：由題意知：ω×，即0<ω≤1.
答案：(0，1]
5．解析：∵x∈，∴－≤cos x≤.
∵y＝cos2x－4cosx＋1＝(cos x－2)2－3，
∴當cos x＝－時，ymax＝；
當cos x＝時，ymin＝－，
∴y＝cos2x－4cosx＋1的值域為.
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湘教版高中數學必修第一冊-5.3.2正切函數的圖象與性質-學案講義
教材要點
要點　函數y＝tan x的圖象和性質
解析式 y＝tan x
圖象
定義域 ______________
值域 ____________
周期 ____________
奇偶性 ____________
單調性 在區間____________________都是增函數
對稱中心 (k∈Z)
狀元隨筆　如何作正切函數的圖象
(1)幾何法
就是利用單位圓中的正切線來做出正切函數的圖象，該方法作圖較為精確，但畫圖時較煩瑣．
(2)“三點兩線”法
“三點”是指，(0，0)，；“兩線”是指x＝－和x＝.在“三點”確定的情況下，類似于“五點法”作圖，可大致畫出正切函數在上的簡圖，然后向右、向左擴展即可得到正切曲線．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)正切函數在整個定義域內是增函數．(　　)
(2)存在某個區間，使正切函數為減函數．(　　)
(3)正切函數圖象相鄰兩個對稱中心的距離為周期π.(　　)
(4)函數y＝tan x為奇函數，故對任意x∈R都有tan (－x)＝－tan x．(　　)
2．函數y＝tan 的定義域是(　　)
A． B．
C． D．
3．已知函數f(x)＝tan ，則函數f(x)的最小正周期為(　　)
A． B．
C．π D．2π
4．比較大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)
　　
　正切函數的定義域、周期性、奇偶性
例1　(1)函數f(x)＝tan 的最小正周期為(　　)
A． B．
C．π D．2π
(2)函數f(x)＝x·tan x的奇偶性為(　　)
A．奇函數
B．偶函數
C．非奇非偶函數
D．既是奇函數又是偶函數
(3)函數y＝的定義域為________________．
方法歸納
(1)求與正切函數有關的函數的定義域時，除了求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數y＝tan x有意義，即x≠＋kπ，k∈Z.而對于構建的三角不等式，常利用正切函數的圖象求解．
(2)一般地，函數y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期為T＝，常利用此公式來求與正切函數有關的周期．
(3)函數y＝tan x是奇函數，其圖象關于原點對稱．若函數y＝tan (ωx＋φ)是奇函數，則φ＝(k∈Z)．
跟蹤訓練1　(1)函數y＝的定義域為(　　)
A．{x|x≠0} 　 B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C． 　D．
(2)(多選)關于函數y＝tan ，下列說法正確的是(　　)
A．是奇函數
B．在區間上單調遞減
C．為其圖象的一個對稱中心
D．最小正周期為
　正切函數的單調性及應用
角度1　求正切函數的單調區間
例2　求函數y＝tan 的單調區間．
方法歸納
求函數y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常數)的單調區間的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一個單調區間上都是增函數，故可用“整體代換”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范圍即可．
(2)若ω＜0，可利用誘導公式先把y＝A tan (ωx＋φ)轉化為y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝
－A tan (－ωx－φ)，即把x的系數化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可．
角度2　比較大小
例3　比較tan 1.5，tan 2.5，tan 3.5的大小．
方法歸納
運用正切函數單調性比較大小的方法
(1)運用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內．
(2)運用單調性比較大小關系．
跟蹤訓練2　(1)已知a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，則(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
(2)函數y＝tan 的單調增區間為________．
題型3　正切函數圖象與性質的綜合應用
例4　已知函數f(x)＝2tan .
(1)求f(x)的最小正周期、定義域；
(2)若f(x)≥2，求x的取值范圍．
方法歸納
解答正切函數圖象與性質問題應注意的兩點
(1)對稱性：正切函數圖象的對稱中心是(k∈Z)，不存在對稱軸．
(2)單調性：正切函數在每個(k∈Z)區間內是單調遞增的，但不能說其在定義域內是遞增的．
跟蹤訓練3　設函數f(x)＝tan .
(1)求函數f(x)的定義域、最小正周期、單調區間及對稱中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
易錯辨析　不能正確掌握正切函數的對稱中心致誤
例5　函數y＝tan (2x＋θ)＋n的圖象的一個對稱中心為，其中θ∈，則點(θ，n)對應的坐標為________.
解析：因為y＝tan x的對稱中心為，k∈Z，所以由y＝tan (2x＋θ)＋n的圖象的一個對稱中心為可知，n＝－1，2×＋θ＝，k∈Z.
又θ∈，所以θ＝.
答案：
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
誤認為正切函數的對稱中心是(kπ，0)(k∈Z)，導致解題錯誤． 通過正切函數的圖象準確掌握正切函數的對稱中心是(k∈Z)，而不是(kπ，0)(k∈Z)．
課堂十分鐘
1．函數y＝tan x是(　　)
A．周期為π的偶函數 B．周期為的奇函數
C．周期為的偶函數 D．周期為π的奇函數
2．函數y＝tan (x＋)的單調遞增區間是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
3．已知a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，不通過求值，判斷下列大小關系正確的是(　　)
A．a＞b＞c B．a＜b＜c
C．b＞a＞c D．b＜a＜c
4．函數y＝tan 的定義域為________．
5．設函數f(x)＝tan .
(1)求函數f(x)的最小正周期、對稱中心；
(2)作出函數f(x)在一個周期內的簡圖．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點
　R　kπ(k∈Z，k≠0)　奇函數　(k∈Z)
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.故選D.
答案：D
3．解析：解法一　函數y＝tan (ωx＋φ)的周期T＝，可得T＝＝.
解法二　由誘導公式可得tan
＝tan ＝tan ，
所以f＝f(x)，所以周期為T＝.
故選B.
答案：B
4．解析：因為90°＜135°＜138°＜270°，又函數y＝tan x在區間(90°，270°)上是增函數，所以tan 135°＜tan 138°.
答案：＜
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由T＝，
得T＝＝2π.故選D.
(2)因為函數f(x)＝x·tan x的定義域為，關于原點對稱，
且f(－x)＝(－x)·tan (－x)＝(－x)·(－tan x)＝x·tan x＝f(x)，
所以函數f(x)＝x·tan x是偶函數．故選B.
(3)由題意知
解得
所以函數的定義域為(k∈Z)
答案：(1)D　(2)B
(3)(k∈Z)
跟蹤訓練1　解析：(1)函數y＝有意義時，需使
所以函數的定義域為＝.故選D.
(2)函數y＝tan 是非奇非偶函數，A錯誤；在區間上單調遞增，B錯誤；因為當x＝時，tan ＝0，所以為其圖象的一個對稱中心，C正確；最小正周期為，D正確．
答案：(1)D　(2)CD
例2　解析：y＝tan ＝－tan .
由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，得－所以函數y＝tan 的單調遞減區間為(k∈Z)．
例3　解析：tan 2.5＝tan (2.5－π)，tan 3.5＝tan (3.5－π)，又－<2.5－π<3.5－π<1.5<，y＝tan x在上是增函數．故tan (2.5－π)跟蹤訓練2　解析：(1)a＝tan 1>0，b＝tan 2＝－tan (π－2)<0，c＝tan 3＝－tan (π－3)<0，∵>π－2>π－3>0，且y＝tan x在上單調遞增，∴tan (π－2)>tan (π－3)>0，∴－tan (π－2)<－tan (π－3)<0，故a>0>c>b.故選C.
(2)y＝tan ，由kπ－答案：(1)C　(2)，k∈Z
例4　解析：(1)對于函數f(x)＝2tan ，它的最小正周期為＝2π，由≠kπ＋，求得x≠2kπ＋，故它的定義域為.
(2)f(x)≥2，即tan ≥1，故＋kπ≤跟蹤訓練3　解析：(1)由≠＋kπ(k∈Z)．得x≠＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的定義域是.
因為ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.
由－＋kπ<<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函數f(x)的單調遞增區間是(k∈Z)．
由＝(k∈Z)，得x＝kπ＋π(k∈Z)，故函數f(x)的對稱中心是，k∈Z.
(2)由－1≤tan ，
得－＋kπ≤＋kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集是.
[課堂十分鐘]
1．解析：函數的周期T＝＝，函數y＝tan x是奇函數．故選B.
答案：B
2．解析：∵y＝tan x的單調遞增區間為(k∈Z)，
令kπ－＜x＋＜kπ＋，解得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，
∴函數y＝tan (x＋)的單調遞增區間是(k∈Z)．故選B.
答案：B
3．解析：tan 5＝tan [π＋(5－π)]＝tan (5－π)，
由正切函數在上為增函數且π>3>2>5－π>，可得tan 3>tan 2>tan (5－π)．故選C.
答案：C
4．解析：由＋6x≠kπ＋(k∈Z), 得x≠(k∈Z)．
答案：
5．解析：(1)f＝tan ，T＝＝3π，
令＝，k∈Z，解得x＝π＋kπ，k∈Z，
故對稱中心為.
(2)令＝0，解得x＝π，
令＝，解得x＝，
令＝－，解得x＝，
令＝，解得x＝，
令＝－，解得x＝－，
所以函數f＝tan 的圖象與x軸的一個交點坐標為，圖象上的點有兩點，
在這個周期內左右兩側相鄰的漸近線方程分別為x＝－和x＝，
從而得到函數f在一個周期內的簡圖(如圖)．
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