資源簡介

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湘教版高中數學必修第一冊-5.4.2函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象與性質-學案講義
教材要點
要點一　A、ω、φ的意義
函數y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)，在這里常數A叫________，T＝叫________，f＝＝叫________，ωx＋φ叫________，φ叫________．
要點二　函數y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0的有關性質
名稱 性質
定義域 ________
值域 ________
周期性 T＝
對稱中心 (k∈Z)
對稱軸 x＝(k∈Z)
奇偶性 當φ＝________時是奇函數；
當φ＝________時是偶函數
單調性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得________區間；由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得________區間
狀元隨筆　研究函數y＝A sin (ωx＋φ)性質的基本策略
(1)借助周期性：研究函數的單調區間、對稱性等問題時，可以先研究在一個周期內的單調區間、對稱性，再利用周期性推廣到全體實數．
(2)整體思想：研究當x∈[α，β]時的函數的值域時，應將ωx＋φ看作一個整體θ，利用x∈[α，β]求出θ的范圍，再結合y＝sin θ的圖象求值域．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)y＝A sin (ωx＋φ)的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　　)
(2)在y＝A sin (ωx＋φ)的圖象中，相鄰的兩條對稱軸的距離為1個周期．(　　)
(3)函數y＝sin 的圖象對稱軸為x＝(k∈Z)．(　　)
(4)函數f(x)＝sin 的圖象的對稱中心是(k∈Z)(　　)
2．函數y＝2sin 的周期、振幅依次是(　　)
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
3．函數f(x)＝4sin 圖象的對稱軸方程為(　　)
A．x＝(k∈Z) B．x＝＋kπ(k∈Z)
C．x＝(k∈Z) D．x＝(k∈Z)
4．若函數y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分圖象如圖，則ω＝________.
題型1　由圖象求函數y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
例1　函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象的一部分如圖所示，求此函數的解析式．
方法歸納
給出y＝A sin (ωx＋φ)的圖象的一部分，確定A，ω，φ的方法
(1)第一零點法：如果從圖象可直接確定A和ω，則選取“第一零點”(即“五點法”作圖中的第一個點)的數據代入“ωx＋φ＝0”(要注意正確判斷哪一點是“第一零點”)求得φ.
(2)特殊值法：通過若干特殊點代入函數式，可以求得相關待定系數A，ω，φ.這里需要注意的是，要認清所選擇的點屬于五個點中的哪一點，并能正確代入列式．
(3)圖象變換法：運用逆向思維的方法，先確定函數的基本解析式y＝A sin ωx，再根據圖象平移規律確定相關的參數．
跟蹤訓練1　
(1)函數f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分圖象如圖所示，則函數y＝f(x)的解析式為(　　)
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos
(2)已知函數f(x)＝2sin (ωx＋φ)的圖象如圖所示，則f＝________．
題型2　函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象在物理中的簡單應用
例2　如圖所示是某簡諧運動的圖象，試根據圖象回答下列問題：
(1)這個簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少？
(2)寫出這個簡諧運動的函數解析式．
方法歸納
明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題．
跟蹤訓練2　一臺發電機產生的電流是正弦式電流，電壓和時間之間的關系如圖所示．由圖象說出它的周期、頻率和電壓的最大值，并求出電壓U(單位V)關于時間t(單位s)的函數解析式．
題型3　函數y＝A sin (ωx＋φ)的性質的綜合應用
例3　已知函數f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)為偶函數，且函數y＝f(x)圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為.
(1)求f的值；
(2)求函數y＝f(x)＋f的最大值及對應的x的值．
方法歸納
研究函數y＝A sin (ωx＋φ)性質的基本策略
(1)首先將所給函數的解析式轉化為y＝A sin (ωx＋φ)的形式；
(2)熟記正弦函數y＝sin x的圖象與基本性質；
(3)充分利用整體代換思想解決問題；
(4)熟記有關y＝A sin (ωx＋φ)的奇偶性、對稱性、單調性的重要結論．
跟蹤訓練3　
已知函數f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的一段圖象如圖所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的單調減區間，并指出f(x)的最大值及取到最大值時x的集合．
課堂十分鐘
1．簡諧運動y＝4sin 的相位與初相分別是(　　)
A．5x－ B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
2．y＝f(x)是以2π為周期的周期函數，其圖象的一部分如下圖所示，則y＝f(x)的解析式為(　　)
A．y＝3sin (x＋1) B．y＝－3sin (x＋1)
C．y＝3sin (x－1) D．y＝－3sin (x－1)
3．下列區間中，函數f(x)＝7sin 單調遞增的區間是(　　)
A． B．
C． D．
4．函數y＝sin 的圖象的一條對稱軸方程是________．
5．已知函數f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期為π，且圖象上的一個最低點為M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)當x∈時，求f(x)的最值．
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點一
振幅　周期　頻率　相位　初相
要點二
R　[－A，A]　kπ(k∈Z)　kπ＋ (k∈Z)　單調遞增　單調遞減
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：周期T＝＝4π，振幅為2，故選B.
答案：B
3．解析：結合正弦函數的性質，可得函數圖象的對稱軸滿足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得對稱軸方程為x＝＋(k∈Z).故選D.
答案：D
4．解析：由圖象可得＝·＝－x0＝，解得ω＝4.
答案：4
題型探究·課堂解透
例1　解析：方法一(逐一定參法)：由圖象知A＝3，
T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin (2x＋φ).∵點在函數圖象上，
∴0＝3sin .
∴－×2＋φ＝kπ，
得φ＝＋kπ(k∈Z).
∵|φ|＜，∴φ＝.
∴y＝3sin .
方法二(待定系數法)：由圖象知A＝3.
∵圖象過點和，
∴解得
∴y＝3sin .
方法三(圖象變換法)：由A＝3，T＝π，點在圖象上，可知函數圖象由y＝3sin 2x向左平移個單位長度而得，所以所求函數y＝3sin 2， 即y＝3sin .
跟蹤訓練1　解析：(1)由圖象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，則ω＝1.將點代入函數f(x)解析式得sin ＝1，又－＜φ＜，所以φ＝，因此函數f(x)＝sin .故選B.
(2)函數的周期為T＝＝，則圖中相鄰兩個零點之間的距離為，又＋＝，所以f＝0.
答案：(1)B　(2)0
例2　解析：(1)振幅A＝3，周期T＝4，頻率f＝.
(2)設簡諧運動的函數解析式為：
y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，
由(1)可知，ω＝＝π，
則y＝3sin ，
當x＝＝2.2時，y取最小值，
則sin ＝－1，
∴×2.2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
令k＝0，則φ＝，
故簡諧運動的函數解析式為：
y＝3sin ，x∈[0，＋∞).
跟蹤訓練2　解析：周期為0.02，頻率為50，電壓的最大值為311 V.
電壓和時間的函數解析式為U＝311sin 100πt，t∈[0，＋ ∞) .
例3　解析：(1)f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)
＝2
＝2sin .
因為f(x)為偶函數，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z).
又0＜φ＜π，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin ＝2cos ωx.
由題意得＝2×，所以ω＝2.所以f(x)＝2cos 2x.
故f＝2cos ＝.
(2)y＝2cos 2x＋2cos
＝2cos 2x＋2cos
＝2cos 2x－2sin 2x＝2sin .
當－2x＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)時，y有最大值2.
跟蹤訓練3　解析：(1)由圖象可以得到函數f(x)的振幅A＝3，設函數周期為T，則T＝4π－＝，所以T＝5π，則ω＝，由ωx0＋φ＝0，得×＋φ＝0，所以φ＝－，
所以f(x)＝3sin .
(2)由＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋5kπ≤x≤4π＋5kπ(k∈Z)，所以函數的減區間為，k∈Z.
函數f(x)的最大值為3，當且僅當x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋5kπ(k∈Z)時函數取得最大值．
所以函數的最大值為3，取得最大值時的x的集合為.
[課堂十分鐘]
1．解析：相位是5x－，初相是當x＝0時的相位，即－.故選C.
答案：C
2．解析：A＝3，ω＝＝1，由ω×1＋φ＝π，∴φ＝π－1，∴f(x)＝3sin [x＋(π－1)]＝－3sin (x－1).故選D.
答案：D
3．解析：因為函數y＝sin x 的單調遞增區間為(k∈Z)，對于函數f(x)＝7sin ，由2kπ－＜x－＜2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)，取k＝0，可得函數f(x)的一個單調遞增區間為，
則 ，(，π)，A選項滿足條件，B不滿足條件；
取k＝1，可得函數f(x)的一個單調遞增區間為，
(π，)且 (π，)，(，2π)，CD選項均不滿足條件．故選A.
答案：A
4．解析：由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，得x＝.
答案：x＝(答案不唯一)
5．解析：(1)由函數f(x)圖象上的一個最低點為M，得A＝2.
由周期T＝π，得ω＝＝＝2.
由點M在圖象上，得2sin ＝－2，
即sin ＝－1，
所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
故φ＝2kπ－(k∈Z)，
又φ∈，
所以k＝1，φ＝，
所以函數的解析式為f(x)＝2sin .
(2)因為x∈，
所以2x＋∈，
所以當2x＋＝，
即x＝0時，函數f(x)取得最小值1；
當2x＋＝，即x＝時，
函數f(x)取得最大值.
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湘教版高中數學必修第一冊-5.4.1函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象-學案講義
教材要點
要點一　“五點法”畫函數y＝A sin (ωx＋φ)的圖象
利用“五點法”作函數y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的簡圖，先分別令ωx＋φ＝0，，π，，2π，列表求出長度為一個周期的閉區間上的五個關鍵點的坐標，再描點，并用平滑的曲線連接出一個周期上的圖象，最后向左、右分別擴展，即可得到函數y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的簡圖．
要點二　圖象變換
1．A對函數y＝A sin x圖象的影響(振幅變換)：一般地，對任意A＞0且A≠1，函數y＝A sin x的圖象可以由y＝sin x的圖象上每一點的________不變、________乘以A得到．
2．ω對函數y＝sin x圖象的影響(周期變換)：一般地，對任意ω＞0且ω≠1，函數y＝sin ωx的圖象可由y＝sin x的圖象上每一點的縱坐標不變、橫坐標伸長(0＜ω＜1)或縮短(ω＞1)為原來的________而得到．
3．φ對函數y＝sin (x＋φ)圖角的影響(相位變換)：一般地，y＝sin (x＋φ)(x∈R，常數φ≠0)的圖象可以由y＝sin x的圖象向____(當φ＞0)或向____(當φ＜0)平移________個單位長度得到．
4．函數y＝sin x的圖象與y＝A sin (ωx＋φ)＋k的圖象關系：
狀元隨筆　(1)A越大，函數圖象的最大值越大，最大值與A是正比例關系．
(2)ω越大，函數圖象的周期越小，ω越小，周期越大，周期與ω為反比例關系．
(3)φ大于0時，函數圖象向左平移，φ小于0時，函數圖象向右平移，即“左加右減”．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)將y＝sin x的圖象向右平移個單位，得到y＝sin 的圖象．(　　)
(2)將y＝sin x圖象上所有點的橫坐標變為原來的，得到y＝sin x的圖象．(　　)
(3)將y＝sin x圖象上所有點的縱坐標變為原來的2倍，得到y＝2sin x的圖象．(　　)
2．為了得到函數y＝sin 的圖象，只需把函數y＝sin x的圖象(　　)
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向上平移個單位長度 D．向下平移個單位長度
3．函數y＝cos 4x的圖象可由函數y＝cos x的圖象經過怎樣的變換得到(　　)
A．所有點的橫坐標變為原來的4倍
B．所有點的橫坐標變為原來的倍
C．所有點的縱坐標變為原來的4倍
D．所有點的縱坐標變為原來的倍
4．函數y＝sin x－的圖象可以看作把y＝sin x的圖象向____平移____個單位長度而得到．
題型1　用“五點法”作函數y＝A sin (ωx＋φ)＋b的圖象
例1　作出函數y＝2sin 的一個周期內的簡圖．
方法歸納
五點法作函數y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)圖象的步驟．
(1)列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相應的(x，y)值．
(2)描點．
(3)連線得函數在一個周期內的圖象．
(4)左右平移得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的圖象．
跟蹤訓練1　用“五點法”作出函數y＝sin 在[0，π]上的圖象．
題型2　三角函數圖象的變換
角度1　同名三角函數圖象的變換
例2　由函數y＝sin x的圖象經過怎樣的變換，可以得到函數y＝－2sin ＋1的圖象．
方法歸納
三角函數圖象變換的法一(先平移后伸縮)和法二(先伸縮后平移)需要注意以下兩點：
(1)兩種變換中平移的單位長度不同，分別是|φ|和，但平移方向是一致的．
(2)雖然兩種平移單位長度不同，但平移時平移的對象已有變化，所以得到的結果是一致的．
角度2　異名三角函數圖象的變換
例3　為了得到函數y＝sin 的圖象，可以將函數y＝cos 2x的圖象(　　)
A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
方法歸納
不同名三角函數之間的變換方法
(1)利用誘導公式，尋找不同名三角函數之間的關系，主要利用±α化簡．
(2)用誘導公式將不同名三角函數化為同名三角函數后，再根據平移、伸縮變換，得出最終結果．
跟蹤訓練2　(1)要得到函數y＝3sin 的圖象，只需將函數y＝3sin 2x的圖象(　　)
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
(2)把函數y＝cos 的圖象適當變換就可以得到y＝sin (－3x)的圖象，這種變換可以是(　　)
A．向右平移個單位長度
B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度
D．向左平移個單位長度
題型3　三角函數圖象變換的綜合應用
例4　把函數y＝f(x)圖象上的各點向右平移個單位長度，然后把橫坐標擴大到原來的2倍，再把縱坐標縮短到原來的，所得圖象的解析式是y＝2sin ，求f(x)的解析式．
方法歸納
(1)已知變換途徑及變換后的函數解析式，求變換前函數圖象的解析式，宜采用逆變換的方法．
(2)已知函數f(x)圖象的伸縮變換情況，求變換前后圖象的解析式．要明確伸縮的方向及量，然后確定出A或ω即可．
跟蹤訓練3　將函數y＝cos x的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得圖象向右平移個單位長度得曲線C，則曲線C對應的函數解析式是____________________．
易錯辨析　三角函數圖象變換規則不清致誤
例5　為了得到y＝sin x的圖象，只需要將y＝sin 的圖象(　　)
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位
C．向左平移個單位 D．向右平移個單位
解析：∵y＝sin ＝sin ，
∴當由y＝sin 的圖象得y＝sin x的圖象時，應該是向左平移個單位．
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
錯因1：審題不清，沒有弄清哪一個函數圖象變換得另一個函數圖象； 錯因2：平移的單位長度由于忽視x的系數導致錯誤． 在解決三角函數圖象的平移變換時，注意以下幾點： (1)平移之前應先將函數解析式化為同名的函數； (2)弄清楚平移的方向，即要清楚平移哪個函數的圖象，得到哪個函數的圖象； (3)平移的單位數是針對單一自變量x而言的，不是ωx＋φ中的φ，而是.
課堂十分鐘
1．把函數y＝sin x的圖象向左平移個單位長度后所得圖象的解析式為(　　)
A．y＝sin x－ B．y＝sin x＋
C．y＝sin D．y＝sin
2．為了得到y＝cos 的圖象，只需把y＝cos x的圖象上的所有點(　　)
A．橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變
B．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的4倍，橫坐標不變
D．縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變
3．要得到函數y＝cos 的圖象，需將函數y＝cos 3x的圖象(　　)
A．向左平移個單位長度
B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
4．把函數y＝sin x(x∈R)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到的圖象所表示的函數是________．
5．已知函數y＝3sin .
(1)用“五點法”畫函數在一個周期內的圖象；
(2)說出此圖象是由y＝sin x的圖象經過怎樣的變換得到的？
參考答案與解析
新知初探·課前預習
要點二
1．橫坐標　縱坐標
2.
3．左　右　|φ|
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：將函數y＝sin x的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的解析式為y＝sin(x-).故選B.
答案：B
3．解析：將函數y＝cos x的圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數y＝cos 4x的圖象．
答案：B
4．答案：下　
題型探究·課堂解透
例1　解析：令t＝＋，列表如下：
x －
t 0 π 2π
y 0 2 0 －2 0
描點連線，得到如圖所示的函數圖象：
跟蹤訓練1　解析：列出x，y的對應值表：
x －
2x＋ 0 π 2π
y 0 0 － 0
描點，連線，如圖所示．
例2　解析：方法一　y＝sin x的圖象
y＝sin 的圖象所有點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變y＝sin 的圖象y＝－sin 的圖象各點的縱坐標伸長到原來的2倍,橫坐標不變y＝－2sin 的圖象y＝－2sin ＋1的圖象．
方法二　y＝sin x的圖象
所有點的縱坐標伸長到原來的2倍,橫坐標不變y＝2sin x的圖象y＝－2sin x的圖象所有點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變y＝－2sin 2x的圖象y＝－2sin 的圖象y＝－2sin ＋1的圖象．
例3　解析：因為y＝cos 2x＝sin ，而y＝sin ＝sin ，所以y＝cos 2x的圖象向右平移個單位長度可得到y＝sin 的圖象．
答案：B
跟蹤訓練2　解析：(1)∵y＝3sin ＝3sin 2＝3sin 2(x＋φ)，∴2φ＝，∴φ＝，故需將函數y＝3sin 2x的圖象向左平移個單位長度．故選C.
(2)∵y＝cos ＝cos ＝sin ＝sin ，∴將y＝sin 的圖象向左平移個單位長度就可以得到y＝sin (－3x)的圖象．故選D.
答案：(1)C　(2)D
例4　
所以f(x)＝3cos x．
跟蹤訓練3　解析：y＝cos x→y＝cos→y＝cos＝cos().
答案：y＝cos()
[課堂十分鐘]
1．解析：根據圖象變換的方法，y＝sin x的圖象向左平移個單位長度后得到y＝sin(x+)的圖象．
答案：D
2．解析：由圖象的周期變換可知，A正確．
答案：A
3．解析：將函數y＝cos 3x的圖象，向左平移個單位長度，可得函數y＝cos(3x+)的圖象，
故選A.
答案：A
4．解析：把函數y＝sin x的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度后得到函數y＝sin(x+)的圖象，再把所得圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的倍，得到函數y＝sin(2x+)的圖象．
答案：y＝sin
5．解析：(1)列表：
x－ 0 π 2π
x
y 0 3 0 －3 0
描點連線：將所得五點用光滑的曲線連接起來，得到所求函數一個周期內的圖象，如圖所示．
(2)方法一：①把y＝sin x圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到y＝sin(x-)的圖象；
②把y＝sin(x-)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到y＝sin()的圖象；
③將y＝sin()圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變)，就得到y＝3sin()的圖象．
方法二：①把y＝sin x圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，得到y＝sinx的圖象；
②把y＝sinx圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到y＝sin＝sin ()的圖象；
③將y＝sin()的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變)，就得到y＝3sin ()的圖象．
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