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第二章
7
章末復習
簡諧運動及其圖像
1.(2021·蘭州市第二十八中學高二期中)勁度系數為20 N/cm的水平方向彈簧振子的振動圖像如圖所示，在圖中A點對應的時刻
A.振子的速度方向為x軸正方向
B.在0～4 s內振子通過的路程為0.35 cm，位移為0
C.在0～4 s內振子做了1.75次全振動
D.振子所受的彈力大小為0.5 N，方向指向x軸負方向
√
在A點的后一個時刻，位置坐標變大，故振子的速度方向為x軸正方向，故A正確；
由題圖可知，振子的周期為2 s，振幅為0.5 cm，所以在0～4 s內振子通過的路程為4 cm，位移為0，完成了2次全振動，故B、C錯誤；
根據胡克定律F＝kx，F＝20×0.25 N＝5 N，方向指向x軸負方向，故D錯誤.
2.如圖所示，彈簧下面掛一質量為m的物體，物體在豎直方向做振幅為A的簡諧運動，當物體振動到最高點時，彈簧正好處于原長，彈簧始終在彈性限度內，則物體在振動過程中
A.彈簧的彈性勢能和物體動能總和不變
B.物體在最低點時的加速度大小應為2g
C.物體在最低點時所受彈簧的彈力大小應為mg
D.彈簧的最大彈性勢能等于2mgA
√
系統機械能守恒，動能、重力勢能、彈性勢能總量不變，振動過程中重力勢能一直變化，彈簧的彈性勢能和物體動能總和一直變化，故A錯誤；
受力分析如圖，物體在最高點時所受回復力為mg，
根據振動對稱性，最低點的回復力也應為mg，則在最低點時的加速度為g，向上，故B錯誤；
平衡位置處有kA＝mg，最低點時彈簧形變量為2A，彈力2kA＝2mg，故C錯誤；
振動至最低點時，彈簧的彈性勢能最大，系統機械能守恒，重力勢能轉化為彈性勢能，Ep＝2mgA，故D正確.
簡諧運動的周期性和對稱性
3.如圖甲所示，彈簧振子在B、C間振動，O為B、C間的中點，若取水平向右為正方向，其振動圖像如圖乙所示，可知B、C間距離為________ cm，從t＝0開始，經過________ s振子第二次到達B點.
2
3.5
由題圖可知，彈簧振子的振動周期T＝2 s，振幅A＝1 cm，B、C間距離s＝2A＝2 cm，分析振子的運動過程可知，從t＝0時開始振子經過平衡位置向右運動，經過時間T＝3.5 s第二次到達B點.
4.如圖所示，一質點在a、b間做簡諧運動，O是它振動的平衡位置.若從質點經過O點開始計時，經3 s，質點第一次到達M點，再經2 s，它第二次經過M點，則該質點的振動圖像可能是
A.
B.
C.
D.
√
單擺周期公式的應用
5.(2022·北京市十一學校高一期末)單擺是我們研究簡諧運動中常用的模型.已知某單擺的擺長為L，擺球質量為m，當地重力加速度為g.將此擺球在所在的豎直平面內向拉離平衡位置一個小角度θ，自由釋放.
(1)在θ很小時，sin θ≈ (其中x為小球的位移)，由此寫出單擺回復力與位移的關系式，并說明為何單擺可視為簡諧運動；
則F＝－kx
故單擺在擺角很小的情況下的運動為簡諧運動.
(2)簡諧運動的周期公式T＝2π (其中k是回復力與位移的比例系數，m為系統的質量)，結合(1)推導出單擺的周期公式；
(3)當擺球運動到最低點時，求細線拉力的大小.
答案　3mg－2mgcos θ
聯立解得F′＝3mg－2mgcos θ.
6.將力傳感器連接到計算機上就可以測量快速變化的力，圖甲中O點為單擺的固定懸點，現將小擺球(可視為質點)拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，則擺球將在豎直平面內的A、B、C之間來回擺動，其中B點為運動中的最低位置，∠AOB＝∠COB＝θ，θ小于5°且是未知量.圖乙表示由計算機得到的細線對擺球的拉力F的大小隨時間t變化的曲線，且圖中t＝0時刻為擺球從A點開始運動的時刻.試根據力學規律和題中(包括圖中)所給的信息，求擺球的振動周期和擺長.(g取10 m/s2)
答案　0.4π s　0.4 m
一個周期內擺球兩次經過最低點，且在最低點細線的拉力最大，由F－t圖線可知，單擺的周期T＝0.4π s.

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