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函數概念的學困原因分析及教學建議
摘 要： 函數概念的形成過程是一個漫長而曲折的過程，函數概念對教學發展的影響貫穿整個中學階段。函數概念的復雜性、表示方式的多樣性、符號的抽象性、加之學生思維發展水平等多方面原因使得學生對函數的學習存在著很大障礙。本文就這些原因加以分析并提出有針對性的教學策略。
關鍵詞： 函數 概念 復雜 抽象 教學
引 言：函數是中學數學的核心內容。從常量數學到變量數學的轉變，是從函數概念的系統學習開始的。函數知識的學習對學生思維能力的發展具有重要意義。從中學數學知識的組織結構看，函數是代數的“紐帶”，代數式、方程、不等式、數列、排列組合、極限和微積分等都與函數知識有直接的聯系。要學好函數就要學好函數的概念，但中學函數的概念對對學生來說是難以理解的，對老師的教學來說是困難的，為此我們就函數概念的教學探討一番。
函數概念學習困難的原因分析

教學實踐表明，函數概念是中學生感到最難學的數學概念之一。盡管在實際教學中采取了適當滲透、螺旋上升的方法，分段而有循環地安排函數知識，但學生的函數概念水平仍然較低。造成困難的原因主要有兩個方面。
1．函數概念本身的原因。
數學發展史表明，函數概念從產生到完善，經歷了漫長而曲折的過程。這不但因為函數概念系統復雜、涉及因素眾多，更重要的是伴隨著函數概念的不斷發展，數學思維方式也發生了重要轉折：思維從靜止走向了運動、從運算轉向了關系，實現了數與形的有機結合，在符號語言與圖表語言之間可以靈活轉換。認知心理學認為，個體的心理發展過程是人類社會認識發展過程的簡約反映。因此，學生掌握函數概念的過程要簡約地重演數學科學發展中對函數的認識過程，普遍出現認識上的困難是比較自然的。另外，從函數概念本身看，以下特點會造成學生理解上的困難。
（1）“變量”概念的復雜性和辯證性。
函數涉及較多的子概念：映射、非空數集、變量、定義域、值域、象、原象、對應、對應法則等。其中，“變量”被當成不定義的原名而引入，是函數概念的本質屬性。有的教師將“變量”解釋為“變化的量”，顯然這是同義反復，于學生理解“變量”的意義并沒有幫助。實際上，“變量”的關鍵在于“變”，而“變”在現實中與時、空相關，但數學中對時、空是沒有定義的。
另外，數學中的“變量”與日常生活經驗有差異。從日常經驗看，“變量”不可能與“確定”聯系在一起，而且變量的形式表示之間沒有可替代性。但數學中的“變量”具有形式的可替代性，即y＝f(x)與x＝f(y)并沒有本質上的不同，而且它既有可變性又有確定性，它可以很好地反映靜止與變化、量變與質變、內容與形式等的辯證關系，因此，變量概念的形成是辯證法在數學中運用的典范。
（2）函數概念表示方式的多樣性。
函數概念表示的多樣性，一方面表現在定義域、值域表示的多樣性，可以用集合、區間、不等式等不同形式表示；另一方面表現在它可以用圖像、表格、對應、解析式等方法表示，從每一種表示中都可以獨立地抽象出函數概念來。與其他數學概念相比，由于函數概念需要同時考慮幾種表示，并要協調各種表示之間的關系，常常需要在各種表示之間進行轉換，因此容易造成學習上的困難。
（3）函數符號的抽象性。
y＝f(x)表示了一種特殊的對應關系，其中每一個字母都有特定的含義。但這種含義僅從字面上是看不出的。我們不能通過“f”來想象對應法則的具體內容，也不能通過x（或y）來想象定義域（或值域）到底是什么。這種抽象性大大增加了函數學習的難度。
2．學生思維發展水平方面的原因。
心理學認為，學生掌握概念的一般特點是：概念的識別優于概念特征的說明，概念外延的掌握優于概念內涵的掌握。對概念內涵的掌握，取決于概念本質特征的多少以及它們之間的關系。本質屬性越多、越鮮明，概念形成越容易；非本質屬性越多、越明顯，概念形成越難。函數概念的學習中，要求學生進行數形結合的思維運算，進行符號語言與圖形語言的靈活轉換。但在學生的認知結構中，數與形基本上是割裂的。函數是對應法則、定義域、值域的統一體，學生應當領會它們之間的相互制約關系，對三者進行整體把握。像這種抽象地、動態地、相互聯系地、整體地認識研究對象，而且要在頭腦中把整個動態過程轉化為研究對象來研究，這就需要學生的思維在靜止與運動、離散與連續之間進行轉化。
但是，學生的思維發展水平還處于辯證思維很不成熟的階段，他們看問題往往是局部的、靜止的、割裂的，還不善于把抽象的概念與具體事例聯系起來，還不能夠完全勝任這種需要用辯證的思想、運動變化的觀點才能理解的學習任務。例如，學生常常認為，x“代表”一個單個的數；求函數值就是把數代入“公式”中的字母的運算；學生舉出的函數的例子是形如“x2＋2”之類的代數式。學生常常把函數概念與“公式”等同起來，因此函數的動態性、變化性在思維中不能得到充分反應。
總之，學生的辯證邏輯思維處于發展的初級階段，與函數概念的運動、變化、聯系的特點非常不適應，這是構成函數概念學習困難的主要根源。不過，正因為函數概念所具有的這種特性，才使它在促進學生思維發展中起著別的數學內容所無法替代的作用，成為從形式邏輯思維向辯證邏輯思維轉化的轉折點。
二、改進函數概念教學的建議
1.重視函數概念的生成過程。
概念的生成應以學生的合作探究為核心，通過與已有知識的類比、對一些結論的歸納、分析，作出一些猜想，展開一些討論，提出一些“名字”，引進一些“記號”，最后形成共識，得出一個規范的數學定義，形成數學概念。這樣，有利于學生理解數學概念的內涵與外延即概念的本質屬性，更是一個再發現、再創造的過程，培養了學生的思維能力，又使學生從中學到研究問題和提出概念的思想方法，產生創新欲、發明欲，探索、創新的能力得到了提高。通過這一過程，學生既學到了知識，又學會了學習、思考和解決問題的方法，經歷了比較、抽象、概括、假設、驗證和分化等一系列的概念形成過程，受到的是科學精神、科學思維的訓練。
例如：
考察多邊形的邊數與內角和之間的關系，可以用列表的方式來組織信息：
邊數
3
4
5
6
7
內角和
180
360
540
720
900
通過引導學生對表格進行觀察，有的學生會注意到，邊數每增加1，內角和增加180°；通過歸納，有的學生會猜測到邊數與內角和之間存在下列關系：S-n＝180°(n－2)。這是一個一次函數。這個過程可以使學生建立起對變量之間變化關系的直觀感受，這對理解函數概念是很重要的。
為了使學生獲得關于猜想正確性的自信心，教師應該鼓勵學生采用不同方法來探索同一個問題。例如，上述問題還可以用畫圖的方法進行探索：
圖1
如圖1，從四邊形到五邊形，由于增加了一個三角形，所以內角和增加了180°。
另外，由圖還可以得到如下想法：從n邊形的一個定點畫出所有對角線，恰好得到(n－2)個三角形，于是內角和公式得到確證。
另外，循著“從四邊形到五邊形，由于增加了一個三角形，所以內角和增加了180°”，還可以用遞推的方法：“后繼數＝前數＋180°”。
之所以要鼓勵學生采用多種表示方式探索規律，目的是為了使學生由此體驗函數關系的產生過程，為后面的抽象概念學習打下基礎。實際上，在探索過程中，學生可以獲得變量之間相互依賴關系的切身感受，這種感受對于理解抽象的函數概念是非常重要的。因此，教學中，教師應當多采用學生熟悉的具體實例，引導學生認識其中的變量關系。另外，在上述過程中，學生所使用的主要是歸納的思維形式：通過歸納，探尋規律。歸納之重要性，不僅在于由它可以猜想結論，可以培養學生的創新思維，而且還在于它采用了由具體到抽象、由特例到一般的形式，這就可以使推理建立在學生已有經驗的基礎上，這是符合學生的認知規律的。
2．重視對變量概念的理解。
“變量”是函數概念的核心，但是變量的復雜性和辯證性使學生對變量的理解需要一個過程。在學習函數概念之前，學生從代數式、方程等內容的學習中獲得了關于變量的一定理解。例如，他們已學會解一元一次、二次方程及不等式，二元一次方程組；能夠作形如的恒等變形；會使用公式S＝πr2求圓的面積；另外，通過解二元一次方程，他們體驗到對于方程y＝2x＋1，可以有無數多個有序數對（x，y）滿足它，等等。這些是學生學習“變量”概念的基礎，但是還不夠完善，教師應當以此為基礎，使學生認識“變量可以在某種約束條件下取不同的值”，以及在這個約束條件下變量之間的對應關系，從而發展學生的變量概念。
3．重視不同表示方式之間的轉換。
通常，在人們頭腦中，函數的表示主要使用解析式，但實際上各種表示（語言的、圖像的、表格的、符號的）之間的相互轉換，可以加深學生對函數概念的理解。例如，下面的例子要求從語言表示轉化為圖像表示：
從咸陽機場到北京機場的一次飛行中，在允許著陸前必須繞北京機場幾周。畫出從起飛到著陸這段時間飛機與咸陽機場的距離的圖像。
學生掌握的函數概念不夠清晰時，常常不看圖像中表示的變量，并把“與地面的距離”錯當成“與咸陽機場的距離”，結果畫出了如圖2的圖像。教師應當利用適當的手段（例如用模擬飛行的方法）引導學生認識到，飛機繞圈飛行時，“距離”不是一個圓圈，而是如圖3的“振動”。
圖2 圖3
根據上述圖像，教師可以讓學生估計某一時刻飛機離咸陽機場的距離，哪些時刻離機場距離最遠、列出3個與機場距離相等的時間等。
4．重視函數概念的實際應用。
抽象的函數概念必須經過具體的應用才能得到深刻理解。在數學內部，可以通過用函數性質比較大小、求解方程、求解不等式、證明不等式等活動，深化對函數概念的理解。
例如：
已知a，b，m∈R+，并且a＜b，求證：
　　　　　　　　　　　　　　　　　
?
則可以通過證明它在區間（0，∞）上為增函數，立即可以得出證明。
還要注意用函數知識解決實際問題的訓練。實際上，函數是非常重要的“數學建?！惫ぞ?，現實中的許多問題都是通過建立函數模型而得到解決的。同時，在解決實際問題的過程中，學生對函數概念以及與它相關的變量、代數式、方程等知識都能夠加深理解。
例如，教師可以給學生設計類似于這樣的問題：
假設學校為了開闊學生的視野，培養學生適應社會生活的能力，要開展一次完全由學生自己操辦的商品銷售活動。你要負責某種商品的進貨和定價。從商業角度考慮，你要做出計劃，使得這個項目取得最大利益。這時你要考慮哪些問題呢？顯然，進貨量是要考慮的，否則，不夠賣或積壓很多都會造成損失。還有，如果這種商品有不同檔次的產品，那么還要考慮不同檔次的產品如何搭配。這些都需要作市場調查。另外，如果商品的售價太高，那么愿意購買的人就會減少；如果售價太低，那么就會減少利潤。因此，合理定價是獲得最大利益的又一重要因素。
為了解“市場需求”，你可以先作個“市場調查”：
關于某種檔次的商品需求情況調查
做出了這個調查后，請解決下列問題：
（1）求出需求函數f(x)，它預測當某種檔次的商品定價x元時可以售出的數量。
（2）假如這一檔次的商品的進價為7元，求利潤函數s(x)，它預測這種商品定價x元時所能夠獲得的利潤。
（3）求獲得最大利潤時的定價；求出此時該檔次商品的售出數，以作為你決定該商品的進貨量的依據；求出此時的總利潤，以作為你最后核算時的依據。
關于某種檔次的商品需求情況調查
單位（ 元）
你班購買相應價格的商品總數
每班購買的商品的平均數
全校該商品的需求計劃數
5
　
　
　
10
　
　
　
15
　
　
　
20
　
　
　
25
　
　
　
在這個過程中，學生不但可以體會到，精確的函數知識可以為實踐中做出科學決策提供有力依據，而且還可以體會到，精確的函數知識應用于實踐時，常常要根據具體問題選擇相應的函數表示方式，并根據問題的發展進程作出適當的調整。顯然，對函數概念的這一角度的理解，是難以從純粹的函數理論學習中獲得的。當然，在這一過程中，學生還獲得了與函數問題密切相關的關于收集數據以及分析研究數據之間關系的經歷，這對于提高學生的數學能力的大有好處的。
函數概念的形成過程涉及因素眾多，再加之函數本身原因如：“變量”概念的復雜性、表示方式的多樣性、函數符號的抽象性等。使的學生對函數概念學習本身就有一定的困難性。同時學生的思維發展水平也制約了學生對函數的學習。這就要求我們在日常教學中針對這些問題，作出相應的教學策略如：.重視函數概念的生成過程，使學生親身體驗到概念的生成過程。同時要加強學生對變量概念的理解和不同表示方式之間的轉換。當然也不可忽視函數概念在實際生活中的應用。（
參考獻文：
1.余元希·《初等代數研究》·高等教育出版社·1986，6。
2.劉亦農·《新編普通教育心理學》·陜西人民教育出版社·2000，6。
3.朱德橡·《初等幾何研究》·高等教育出版社·1984，2。
4.李明振·《數學方法與解題研究》·上?？萍冀逃霭嫔纭?003，9。
The fun_ction concept study and teaches
Abstract: The fun_ction concept passes through the entire middle school stage to the teaching development influence. However fun_ction concept forming process itself is long and the winding process. Function concept complexity, expression way multiplicity, mark abstract. Is adding the student thought development water equality various reason to enable the student to have the very big barrier to the fun_ction study. This article performs analyzes and makes has in view of the teaching strategy on these reasons.
Key words: Function, complex, diverse and abstract。

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