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第03講 不等關(guān)系與一元二次不等式
1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)
(1).
(2).
(3).
2．不等式的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性：；
(2)傳遞性：；　　
(3)可加性：
(4)可乘性：
(5)可乘方性：
(6)可開方性：.
3．一元二次不等式的解法步驟
(1)將不等式化為右邊為零，左邊為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式或．
(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根．
(3)利用二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集．
4．一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系
判別式
二次函數(shù)的圖象
一元二次方程的根 有兩相異實(shí)根，() 有兩相等實(shí)根 沒有實(shí)數(shù)根
的解集
的解集
5．一元二次不等式恒成立問題
(1)不等式，恒成立
(2)不等式，恒成立.
6.簡(jiǎn)單分式不等式
(1)
(2)
7．能成立問題(有解問題）的轉(zhuǎn)化：能成立；能成立.
【考點(diǎn)一 不含參數(shù)的一元二次不等式】
1．（貴州貴陽(yáng)市·貴陽(yáng)一中高三月考（文））已知集合，則( )
A． B． C． D．
2．（沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)高三月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
3．（全國(guó)（文））解下列不等式：
（1）；
（2）.
4．（全國(guó)（文））解下列不等式：
（1）；
（2）：
5．（全國(guó)高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式.
（1）若該不等式的解集為，求的值；
（2）若，求此不等式的解集.
【考點(diǎn)二 含參數(shù)的一元二次不等式】
1．（湖南高三月考）若，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（全國(guó)）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B．{或}
C． D．或
3．（全國(guó)高三開學(xué)考試（理））設(shè)，，若的必要不充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知命題：，命題：，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值集合是
A． B． C． D．
5．（全國(guó)（文））已知函數(shù).若，解關(guān)于的不等式.
6．（全國(guó)高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式.
【考點(diǎn)三 一元二次不等式恒成立問題】
1．（河南南陽(yáng)市·南陽(yáng)中學(xué)（理））設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C．或 D．
2．（山東棗莊市·棗莊八中高三月考）若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（江蘇南京一中高三開學(xué)考試）若命題“，使得”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
4．（寧夏銀川市·銀川一中高三月考（文））若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（長(zhǎng)嶺縣第二中學(xué)高三）若不等式對(duì)任意成立，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
6．（全國(guó)（文））已知時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍為
A．(-∞，2)∪(3，+∞) B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)
7．（全國(guó)高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
8．（全國(guó)高三（理））對(duì)任意，函數(shù)的值恒大于零，則的取值范圍是（ ）
A． B．或 C． D．或
9．（全國(guó)高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
10．（全國(guó)高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
11．（全國(guó)（理））在區(qū)間上，不等式有解，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
12．（江蘇高三專題練習(xí)）若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
13．（全國(guó)（理））若不等式對(duì)于一切成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
14．（全國(guó)高三專題練習(xí)（文））若不等式對(duì)于一切恒成立，則的最小值是（ ）
A．0 B．-2 C． D．-3
15．（全國(guó)高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是(　　)
A． B． C． D．
（寧夏吳忠市·吳忠中學(xué)高三月考（文））若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)第03講 不等關(guān)系與一元二次不等式
1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)
(1).
(2).
(3).
2．不等式的性質(zhì)
(1)對(duì)稱性：；
(2)傳遞性：；　　
(3)可加性：
(4)可乘性：
(5)可乘方性：
(6)可開方性：.
3．一元二次不等式的解法步驟
(1)將不等式化為右邊為零，左邊為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式或．
(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根．
(3)利用二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集．
4．一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系
判別式
二次函數(shù)的圖象
一元二次方程的根 有兩相異實(shí)根，() 有兩相等實(shí)根 沒有實(shí)數(shù)根
的解集
的解集
5．一元二次不等式恒成立問題
(1)不等式，恒成立
(2)不等式，恒成立.
6.簡(jiǎn)單分式不等式
(1)
(2)
7．能成立問題(有解問題）的轉(zhuǎn)化：能成立；能成立.
考點(diǎn)一 不含參數(shù)的一元二次不等式
1．（貴州貴陽(yáng)市·貴陽(yáng)一中高三月考（文））已知集合，則( )
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
因?yàn)椋獾?，，故集合?br/>又因?yàn)椋?br/>所以.
故選:C.
2．（沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)高三月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
要使函數(shù)有意義，
須，
即，
即，
解得：，
即函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：A.
3．（全國(guó)（文））解下列不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）不等式兩邊同乘以，原不等式可化為，
即，則.
所以不等式的解集是.
（2）由得，所以.
所以不等式的解集為.
4．（全國(guó)（文））解下列不等式：
（1）；
（2）：
【答案】(1)； (2).
【詳解】
(1)因?yàn)榈膬筛鶠?，?br/>所以原不等式的解集為.
(2)由，得，即，
所以，所以 ，所以原不等式的解集為.
5．（全國(guó)高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式.
（1）若該不等式的解集為，求的值；
（2）若，求此不等式的解集.
【答案】（1），；（2）答案見解析.
【詳解】
（1）根據(jù)題意得，
解得，.
（2）當(dāng)時(shí)，，
即.
當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為.
考點(diǎn)二 含參數(shù)的一元二次不等式
1．（湖南高三月考）若，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【詳解】
解：方程的兩個(gè)根為和，
因?yàn)椋裕?br/>故不等式的解集為．
故選：B．
2．（全國(guó)）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B．{或}
C． D．或
【答案】A
【詳解】
不等式的解集為，
的兩根為，2，且，即，，解得，，
則不等式可化為，解得，則不等式的解集為．
故選：A
3．（全國(guó)高三開學(xué)考試（理））設(shè)，，若的必要不充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
，解得，
，
若的必要不充分條件是，則是的必要不充分條件，
即且等號(hào)不能同時(shí)成立 ，
解得：．
故選：A．
4．（全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知命題：，命題：，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值集合是
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
試題分析：由得，而是的充分不必要條件，即，所以. 選.
考點(diǎn)：1.充要條件；2.簡(jiǎn)單不等式的解法.
5．（全國(guó)（文））已知函數(shù).若，解關(guān)于的不等式.
【答案】答案見解析.
【詳解】
不等式可化為，
即，
①當(dāng)時(shí)，，解得，
②當(dāng)時(shí)，，解得.
③當(dāng)時(shí)，，解得.
綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
6．（全國(guó)高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式.
【答案】答案見解析
【詳解】
①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式即為－x＋1<0，解得x>1.
②當(dāng)a<0時(shí)，原不等式化為>0，解得或x>1.
③當(dāng)a>0時(shí)，原不等式化為<0.
若a＝1，即＝1時(shí)，不等式無(wú)解；
若a>1，即<1時(shí)，解得若01時(shí)，解得1綜上可知，當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞1}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為 ；
當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為.
考點(diǎn)三 一元二次不等式恒成立問題
1．（河南南陽(yáng)市·南陽(yáng)中學(xué)（理））設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【詳解】
若對(duì)于任意的，恒成立,
即可知：在上恒成立,
令，對(duì)稱軸為.
當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，有開口向下且在上單調(diào)遞減，
在上，得，
故有.
當(dāng)時(shí)，有開口向上且在上單調(diào)遞增
在上，
∴
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故選：A.
2．（山東棗莊市·棗莊八中高三月考）若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
解：令，
則函數(shù)的圖象為開口朝上且以直線為對(duì)稱軸的拋物線，
故在區(qū)間上，（4），
若不等式在區(qū)間內(nèi)有解，
則，
解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B．
3．（江蘇南京一中高三開學(xué)考試）若命題“，使得”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于不滿足對(duì)于恒成立，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，若對(duì)于恒成立，
則即可得：，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值集合是，
故選：B.
4．（寧夏銀川市·銀川一中高三月考（文））若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
不等式在內(nèi)有解等價(jià)于時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，所以.
故選：A.
5．（長(zhǎng)嶺縣第二中學(xué)高三）若不等式對(duì)任意成立，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
由題得不等式對(duì)任意成立，
所以，
即，
解之得或.
故選：A
6．（全國(guó)（文））已知時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍為
A．(-∞，2)∪(3，+∞) B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)
【答案】C
【詳解】
由題意，因?yàn)闀r(shí)，不等式恒成立，
可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，
則對(duì)應(yīng)任意恒成立，
則滿足，解得：或，
即的取值范圍為.
故選：C
7．（全國(guó)高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，分以下兩種情況討論：
（1）當(dāng)時(shí)，可得，合乎題意；
（2）當(dāng)時(shí)，則有，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
8．（全國(guó)高三（理））對(duì)任意，函數(shù)的值恒大于零，則的取值范圍是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【詳解】
對(duì)任意，函數(shù)的值恒大于零
設(shè)，即在上恒成立.
在上是關(guān)于的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，其圖象為一條線段.
則只需線段的兩個(gè)端點(diǎn)在軸上方，即 ，解得或
故選：B
9．（全國(guó)高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由題意得：關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，等價(jià)于不等式在區(qū)間上有解，
設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故選：D.
10．（全國(guó)高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，解得，
所以
故選：D.
11．（全國(guó)（理））在區(qū)間上，不等式有解，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：令
當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，要使不等式在區(qū)間有解，只需，即解得
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，要使不等式在區(qū)間有解，當(dāng)，即時(shí)，只需，即無(wú)解；
當(dāng)，即時(shí)，只需，即解得；
當(dāng)，即時(shí)，只需，即解得；
綜上可得
故選：C
12．（江蘇高三專題練習(xí)）若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)，其圖象開口向上，
由于不等式在上恒成立，
所以，即，
所以的取值范圍是.
故選：D.
13．（全國(guó)（理））若不等式對(duì)于一切成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
對(duì)于一切成立，
對(duì)于一切成立，
對(duì)于一切成立，
在區(qū)間上是增函數(shù)，
，
．
故選：C．
14．（全國(guó)高三專題練習(xí)（文））若不等式對(duì)于一切恒成立，則的最小值是（ ）
A．0 B．-2 C． D．-3
【答案】B
【詳解】
，，由對(duì)勾函數(shù)性性質(zhì)可知，當(dāng)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故，即恒成立，，故的最小值為-2
故選：B
15．（全國(guó)高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)：，由于當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，解得，即 ，故選A.
（寧夏吳忠市·吳忠中學(xué)高三月考（文））若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
【答案】C
【詳解】
當(dāng)a＝2時(shí)，不等式－4<0恒成立，
因此a＝2滿足題意．
當(dāng)a≠2時(shí)，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，
需滿足
解得－2綜上所述，a的取值范圍是－2

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