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第04講 基本不等式
1.基本不等式
(1)基本不等式成立的條件:　　　　　　　.
(2)等號成立的條件:當且僅當時取等號.
2.利用基本不等式求最值
已知,
(1)如果是定值,那么當且僅當時,有最小值,(簡記為積定和最小).
(2)如果是定值,那么當且僅當時,有最大值,是(簡記為和定積最大).
3.基本不等式的兩種常用變形形式
(1)(,當且僅當時取等號).
(2)(,當且僅當時取等號)
4.幾個重要的結論
(1) ().
(2)().
(3)().
【考點一　利用基本不等式求最值】
1．（池州市江南中學高三月考）下列不等式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（貴溪市實驗中學高三）若，則函數的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（江蘇高三）若，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C． D．4
4．（山東）“”是“，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（全國（理））已知，則在上的最小值為（ ）
A． B．
C．－1 D．0
6．（海南瓊中中學）已知，求函數的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考點二 利用常數代換法求最值】
1．（全國高三專題練習（理））已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（黑龍江哈爾濱市第六中學校高三（文））已知為正實數，且，則的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．（山東高三專題練習）已知，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．（全國（文））已知，且，則的最小值是（ ）
A．2 B．6 C．3 D．9
5．（寧夏中衛·高三（文））若正數滿足，則的最小值為（ ）
A．4 B． C．8 D．9
6．（全國（文））已知，，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（全國高三專題練習（文））已知，且，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．6 D．7
8．（重慶）已知，，且，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．（蚌埠鐵路中學（文））若，，則的最小值為（ ）
A．6 B． C． D．
10．（全國（文））若，，則的最小值為（ ）
A．2 B．6 C．9 D．3第04講 基本不等式
1.基本不等式
(1)基本不等式成立的條件:　　　　　　　.
(2)等號成立的條件:當且僅當時取等號.
2.利用基本不等式求最值
已知,
(1)如果是定值,那么當且僅當時,有最小值,(簡記為積定和最小).
(2)如果是定值,那么當且僅當時,有最大值,是(簡記為和定積最大).
3.基本不等式的兩種常用變形形式
(1)(,當且僅當時取等號).
(2)(,當且僅當時取等號)
4.幾個重要的結論
(1) ().
(2)().
(3)().
考點一　利用基本不等式求最值
1．（池州市江南中學高三月考）下列不等式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
A. 當時， ，故錯誤；
B. 因為a2＋b2≥2ab，故錯誤；
C. 由基本不等式得x2＋≥2，當且僅當時，取等號，故正確；
D. 當時，，故錯誤；
故選：C
2．（貴溪市實驗中學高三）若，則函數的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【詳解】
∵x＞2，∴x﹣2＞0，
∴，當且僅當，即x＝4時取等號，
∴函數的最小值為6.
故選：D.
3．（江蘇高三）若，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【詳解】
∵，∴，當且僅當即時等號成立．
故選：D．
4．（山東）“”是“，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】
，，當且僅當，即時取等號.
若時，則，，
因此“”是“，”的充分條件；
若，，則，即，推不出“”，
因此“”不是“，”的必要條件.
故“”是“，”的充分不必要條件.
故選：A.
5．（全國（理））已知，則在上的最小值為（ ）
A． B．
C．－1 D．0
【答案】D
【詳解】
f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，當且僅當x＝，即x＝1時取等號．
又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.
故選：D
6．（海南瓊中中學）已知，求函數的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【詳解】
由，即，
所以，
當且僅當，即時取“=”.
故選：D.
考點二 利用常數代換法求最值
一、單選題
1．（全國高三專題練習（理））已知，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
因為，，且，
所以，
所以，
所以，即
當且僅當，
即，時等號成立，故的最小值．
故選：B.
2．（黑龍江哈爾濱市第六中學校高三（文））已知為正實數，且，則的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【詳解】
由題意，正實數且，可得，
則，當且僅當時，即時等號成立，
所以的最小值是.
故選：B.
3．（山東高三專題練習）已知，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：因為，
所以，當且僅當，即取等號，
所以，所以的最小值為，
故選：C
4．（全國（文））已知，且，則的最小值是（ ）
A．2 B．6 C．3 D．9
【答案】D
【詳解】
，
當且僅當，時取等號，
故選：D
5．（寧夏中衛·高三（文））若正數滿足，則的最小值為（ ）
A．4 B． C．8 D．9
【答案】C
【詳解】
解：因為正數x，y滿足，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為8，
故選：C
6．（全國（文））已知，，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
已知，，，
，
當且僅當，即，時，取號，
故選：B.
7．（全國高三專題練習（文））已知，且，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．6 D．7
【答案】B
【詳解】
因為，且，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
故選：B.
8．（重慶）已知，，且，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【詳解】
因為，，且，所以，
所以，
當且僅當，時，等號成立．
故選：C
9．（蚌埠鐵路中學（文））若，，則的最小值為（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【詳解】
因為a＞0，b＞0，，
所以，當且僅當，即，時等號成立．
故選：B．
10．（全國（文））若，，則的最小值為（ ）
A．2 B．6 C．9 D．3
【答案】D
【詳解】
因，，
則，當且僅當時取“=”，
所以時，取最小值為3.故選：D

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