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第05講 函數(shù)及其表示
1、函數(shù)與映射的概念
函數(shù) 映射
兩個(gè)集合A、B 設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集 設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合
對應(yīng)關(guān)系 按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng) 按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)
名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù) 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射
記法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，就看這個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中“定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值”這個(gè)核心點(diǎn)．
2、函數(shù)的定義域、值域
在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
3、構(gòu)成函數(shù)的三要素
函數(shù)的三要素為定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.
4、函數(shù)的表示方法
函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.
解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；
列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；
圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.
5、函數(shù)的定義域
函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：
(1)分式函數(shù)中分母不等于零.
(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.
(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域?yàn)?0，＋∞).
(7)y＝tanx的定義域?yàn)?
考點(diǎn)一 函數(shù)的定義域
1．（邵東市第一中學(xué)高三月考）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
解：，故，解得：，
故選：B
2．（浙江高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
根據(jù)題意可得，所以.
故選：C.
3．（陜西高三月考（文））函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
由題意可得，解得或．
因此，函數(shù)定義域?yàn)?
故選：B.
4．（江西鷹潭市·鷹潭一中高三月考（文））函數(shù)的定義域是（　　）
A． B． C． D．R
【答案】A
【詳解】
要使f(x)有意義，則滿足，得到x>0.
故選A.
5．（河南高二期末（文））已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
函數(shù)有意義，必有，即，于是得，而，
所以.
故選：C
6．（浙江師范大學(xué)附屬東陽花園外國語學(xué)校）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由解析式有意義可得，故，
故函數(shù)的定義域?yàn)?br/>故選：D.
7．（懷化市辰溪博雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
解：要使函數(shù)有意義，則，即，解得或.
所以函數(shù)的定義域?yàn)?br/>故選：D
考點(diǎn)二 抽象函數(shù)定義域
1．（沙坪壩·重慶八中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)定義域?yàn)椋? ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
函數(shù)需滿足，解得．
故選：A
2．（巴楚縣第一中學(xué)高二月考（文））已知函數(shù)定義域是，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意，解得．
故選：A．
3．（河南開封·高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解：由題意可知，，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>故選：A
4．（安徽蚌埠·）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以有：.
故選：A
5．（全國）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
由于函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ诤瘮?shù)，有，解得.
因此，函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：B.
6．（江蘇高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)榍曳质降姆帜覆坏扔诹悖?br/>所以，
解得，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>故選：．
7．（全國高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
由題意可得： ，解得：且，
故的定義域是，
故選：D
8．（全國高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)定義域是，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
函數(shù)y=f（x+1）定義域是[-2，3]，則，
所以，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)閇0，].
故選：A
9．（全國高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
∵的定義域?yàn)閇－1，2)，
∴－1≤x<2，
由抽象函數(shù)的定義域求法可得：－1≤x－1<2，解得0≤x<3，
∴的定義域?yàn)閇0，3)，
故選：C.
10．（全國）已知的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋屎瘮?shù)有意義只需即可，解得，選B．
考點(diǎn)三 函數(shù)的解析式
1．（新疆五家渠市兵團(tuán)二中金科實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一開學(xué)考試）已知是一次函數(shù)，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由題意，設(shè)函數(shù)，
因?yàn)椋傻茫獾茫?br/>所以.
故選：B.
2．（全國高一專題練習(xí)）已知是一次函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
設(shè)一次函數(shù)，則，由得，即，解得，.
故選：A．
3．（全國）一次函數(shù)g(x)滿足，則的解析式是（ ）
A．
B．
C．或
D．
【答案】C
【詳解】
因?yàn)間(x)是一次函數(shù)，
所以設(shè)g(x)=kx+b(k≠0)，
所以g[g(x)]=k(kx+b)+b，
又因?yàn)間[g(x)]=9x+8，所以
解得或
所以g(x)=3x+2或g(x)= -3x – 4.
故選：C
4．（全國高一課時(shí)練習(xí)）已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1，0)和(0，1)，則此一次函數(shù)的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，則有
所以a= -1，b=1，所以f(x)= -x+1．
故選：D
5．（全國高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，3)，則該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過
A．(1，6) B．(–1，6)
C．(2，–3) D．(3，–2)
【答案】A
【詳解】
將代入函數(shù)解析式得，故，也即，經(jīng)驗(yàn)證知A選項(xiàng)正確，故選A.
6．（江西省靖安中學(xué)高一月考）二次函數(shù)滿足，且，
（1）求的解析式；
【答案】（1）；
【詳解】
（1）由題設(shè)
∵
∴又
∴
∴
∴，∴
∴
7．（江西高安中學(xué)高一月考）已知二次函數(shù)滿足，且，
（1）求二次函數(shù)的解析式；
【答案】（1）；
【詳解】
（1）設(shè)二次函數(shù)．
∵，∴．把的表達(dá)式代入，有．
∴．∴，．∴．
（2）的單調(diào)增區(qū)間為，
函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>8．（全國高一課時(shí)練習(xí)）已知為二次函數(shù)，且，求的表達(dá)式．
【答案】
【詳解】
由題意可設(shè)，
則，
，
于是，又，
所以解得
所以．
考點(diǎn)四 抽象函數(shù)解析式
1．（全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
由,
可得(2),
將(1)+(2)得:
,
故選C．
2．（全國高一課時(shí)練習(xí)）若對于任意實(shí)數(shù)恒有，則
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因?yàn)椋裕獾?br/>選A.
3．（重慶市巫山中學(xué)高一月考）若函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)恒有，則等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因?yàn)椋裕?lián)立方程組，解得，故選A.
4．（全國高一專題練習(xí)）（1）已知，求的解析式．
【答案】（1）；
【詳解】
（1）由，把代替代入可得，
聯(lián)立消去可得：．
5．（上海）（1）已知，求.
（2）已知函數(shù)滿足，求.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）令則.
.
（2）①②.
聯(lián)立①式，②式
則.
6．（全國高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）
【詳解】
（1）由題意得：定義域?yàn)?br/>設(shè)，則
（2）由…①得：…②
①②聯(lián)立消去得：
考點(diǎn)五 分段函數(shù)
1．（荊門市龍泉中學(xué)高一月考）已知函數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．0
【答案】D
【詳解】
故選：D.
2．（黑龍江大慶中學(xué)高一月考）已知函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【詳解】
由題意，函數(shù)，可得，
所以．
故選：D．
3．（全國高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
因?yàn)椋瑒t.
故選：D．
4．（全國高一專題練習(xí)）函數(shù)則等于（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【詳解】
當(dāng)x=2 時(shí)，則．
故選：A.
5．（全國高一課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值等于（ ）
A．1 B． C．或1 D．或3
【答案】B
【詳解】
解：函數(shù)，
若，可得，由，知，解得（舍）；
若，可得，由，知，解得（舍）或，符合題意.
綜上，.
故選：B.
6．（全國高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【詳解】
由題意，，
故選B．第05講 函數(shù)及其表示
1、函數(shù)與映射的概念
函數(shù) 映射
兩個(gè)集合A、B 設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集 設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合
對應(yīng)關(guān)系 按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng) 按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)
名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù) 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射
記法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，就看這個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中“定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值”這個(gè)核心點(diǎn)．
2、函數(shù)的定義域、值域
在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
3、構(gòu)成函數(shù)的三要素
函數(shù)的三要素為定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.
4、函數(shù)的表示方法
函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.
解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；
列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；
圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.
5、函數(shù)的定義域
函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：
(1)分式函數(shù)中分母不等于零.
(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.
(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域?yàn)?0，＋∞).
(7)y＝tanx的定義域?yàn)?
【考點(diǎn)一 函數(shù)的定義域】
1．（邵東市第一中學(xué)高三月考）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（浙江高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（陜西高三月考（文））函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（江西鷹潭市·鷹潭一中高三月考（文））函數(shù)的定義域是（　　）
A． B． C． D．R
5．（河南高二期末（文））已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（浙江師范大學(xué)附屬東陽花園外國語學(xué)校）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
7．（懷化市辰溪博雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)二 抽象函數(shù)定義域】
1．（沙坪壩·重慶八中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)定義域?yàn)椋? ）．
A． B．
C． D．
2．（巴楚縣第一中學(xué)高二月考（文））已知函數(shù)定義域是，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
3．（河南開封·高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
4．（安徽蚌埠·）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
5．（全國）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
6．（江蘇高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
7．（全國高一）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
8．（全國高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)定義域是，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
9．（全國高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
10．（全國）已知的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?br/>A． B． C． D．
【考點(diǎn)三 函數(shù)的解析式】
1．（新疆五家渠市兵團(tuán)二中金科實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一開學(xué)考試）已知是一次函數(shù)，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（全國高一專題練習(xí)）已知是一次函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（全國）一次函數(shù)g(x)滿足，則的解析式是（ ）
A．
B．
C．或
D．
4．（全國高一課時(shí)練習(xí)）已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1，0)和(0，1)，則此一次函數(shù)的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
5．（全國高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，3)，則該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過
A．(1，6) B．(–1，6)
C．(2，–3) D．(3，–2)
6．（江西省靖安中學(xué)高一月考）二次函數(shù)滿足，且，
（1）求的解析式；
7．（江西高安中學(xué)高一月考）已知二次函數(shù)滿足，且，
（1）求二次函數(shù)的解析式；
8．（全國高一課時(shí)練習(xí)）已知為二次函數(shù)，且，求的表達(dá)式．
【考點(diǎn)四 抽象函數(shù)解析式】
1．（全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則
A． B．
C． D．
2．（全國高一課時(shí)練習(xí)）若對于任意實(shí)數(shù)恒有，則
A． B． C． D．
3．（重慶市巫山中學(xué)高一月考）若函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)恒有，則等于（　　）
A． B． C． D．
4．（全國高一專題練習(xí)）（1）已知，求的解析式．
5．（上海）（1）已知，求.
（2）已知函數(shù)滿足，求.
6．（全國高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
【考點(diǎn)五 分段函數(shù)】
1．（荊門市龍泉中學(xué)高一月考）已知函數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．0
2．（黑龍江大慶中學(xué)高一月考）已知函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．1
3．（全國高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
4．（全國高一專題練習(xí)）函數(shù)則等于（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．（全國高一課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值等于（ ）
A．1 B． C．或1 D．或3
6．（全國高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．

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