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第06講 函數的單調性與最值
1．增函數與減函數
一般地，設函數的定義域為：
(1)如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說函數在區間上是增函數．
(2)如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說函數在區間上是減函數．
2．函數的最大值與最小值
一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：
(1)對于任意的，都有；存在，使得，那么，我們稱是函數的最大值．
(2)對于任意的，都有；存在，使得，那么我們稱是函數的最小值．
3．函數單調性的兩個等價結論
設則
(1)(或在上單調遞增。
(2)(或 f(x)在上單調遞減．
【考點一 函數的單調性】
1．（江西省靖安中學高一月考）已知函數是上的減函數，若則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（海淀·北京市八一中學高三開學考試）下列函數中，是奇函數且在上為增函數的是（ ）
A． B． C． D．
3．（太原市第五十六中學校高二月考（文））函數的單調增區間為（ ）
A． B． C． D．
4．（黑龍江哈爾濱三中高三月考（理））已知奇函數在上是增函數，又，則的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（巴楚縣第一中學（理））函數的單調區間為（ ）
A．在上單調遞增 B．在上單調遞減
C．在單調遞增，在單調遞減 D．在單調遞減，在單調遞增
6．（全國高一專題練習）若函數在上是減函數，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
7．（全國高一專題練習）函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．（全國高一課時練習）若定義在上的函數對任意兩個不相等的實數，總有成立，則必有（ ）
A．在上是增函數 B．在上是減函數
C．函數先增后減 D．函數先減后增
9．（全國高三專題練習）已知偶函數在區間上單調遞增，則滿足的的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
10．（陜西省黃陵縣中學高一期末）設函數是上的增函數，則有（ ）
A． B． C． D．
11．（懷仁市第一中學校高三月考（文））函數在單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
12．（福建寧德·高一期末）已知定義域為的奇函數在單調遞減，且，則滿足的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
13．（全國高一課時練習）函數在上為增函數，且，則實數的取值范圍是（　?。?br/>A．(﹣∞，﹣3) B．(0，+∞)
C．(3，+∞) D．(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)
14．（全國高一）定義在上的函數對任意兩個不等的實數，，總有成立，則必有（ ）
A．函數在上是奇函數 B．函數在上是偶函數
C．函數在上是增函數 D．函數在上是減函數
【考點二 函數的最值】
1．（全國）如果奇函數在上是增函數且最小值為5，那么在區間上是（ ）
A．增函數且最小值為 B．減函數且最小值為
C．增函數且最大值為 D．減函數且最大值為
2．（上海高一專題練習）已知函數，則的最大值為（ ）．
A． B． C．1 D．2
3．（寧夏銀川·賀蘭縣景博中學高二期末（文））已知函數，則（ ）
A．是單調遞增函數 B．是奇函數
C．函數的最大值為 D．
4．（合肥一六八中學高一期末）若奇函數在區間上單調遞減，則函數在區間上（ ）
A．單調遞增，且有最小值 B．單調遞增，且有最大值
C．單調遞減，且有最小值 D．單調遞減，且有最大值
5．（玉林市育才中學（文））已知函數，則在區間上的最大值為（ ）
A． B．3 C．4 D．5
6．（浙江高一單元測試）若函數在區間上的最大值是4，則實數的值為（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
7．（全國高一）如果奇函數在區間上單調遞增且有最大值6，那么函數在區間上（ ）
A．單調遞增且最小值為﹣6 B．單調遞增且最大值為﹣6
C．單調遞減且最小值為﹣6 D．單調遞減且最大值為﹣6
8．（福建三明一中高三學業考試）函數在[2，3]上的最小值為（ ）
A．2 B．
C． D．－
9．（全國高一專題練習）若，都有不等式，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
10．（全國高一專題練習）已知函數，若，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．第06講 函數的單調性與最值
1．增函數與減函數
一般地，設函數的定義域為：
(1)如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說函數在區間上是增函數．
(2)如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說函數在區間上是減函數．
2．函數的最大值與最小值
一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：
(1)對于任意的，都有；存在，使得，那么，我們稱是函數的最大值．
(2)對于任意的，都有；存在，使得，那么我們稱是函數的最小值．
3．函數單調性的兩個等價結論
設則
(1)(或在上單調遞增。
(2)(或 f(x)在上單調遞減．
考點一 函數的單調性
1．（江西省靖安中學高一月考）已知函數是上的減函數，若則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由于函數是在上的減函數，且，所以，解得，所以實數的取值范圍是.
故選：A
2．（海淀·北京市八一中學高三開學考試）下列函數中，是奇函數且在上為增函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
對于A，定義域為，因為，所以函數是奇函數，任取，且，則，因為，且，所以，即，所以在上為增函數，所以A正確，
對于B，因為定義域為，所以函數為非奇非偶函數，所以B錯誤，
對于C，因為定義域為，因為，所以為偶函數，所以C錯誤，
對于D，因為定義域為，因為，所以函數為非奇非偶函數，所以D錯誤，
故選：A
3．（太原市第五十六中學校高二月考（文））函數的單調增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
二次函數，開口向下，對稱軸為，
所以單調增區間為.
故選：A
4．（黑龍江哈爾濱三中高三月考（理））已知奇函數在上是增函數，又，則的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【詳解】
∵在上是增函數，且為奇函數，
∴在上是增函數，又，即，
∴要使，則或，
∴的解集為或.
故選：B
5．（巴楚縣第一中學（理））函數的單調區間為（ ）
A．在上單調遞增 B．在上單調遞減
C．在單調遞增，在單調遞減 D．在單調遞減，在單調遞增
【答案】D
【詳解】
的對稱軸為，開口向上，
所以在在單調遞減，在單調遞增，
故選：D
6．（全國高一專題練習）若函數在上是減函數，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
函數的對稱軸為，由于在上是減函數，
所以.
故選:A
7．（全國高一專題練習）函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
解：函數的圖像的對稱軸為，
因為函數在區間上單調遞增，
所以，解得，
所以的取值范圍為，
故選：D
8．（全國高一課時練習）若定義在上的函數對任意兩個不相等的實數，總有成立，則必有（ ）
A．在上是增函數 B．在上是減函數
C．函數先增后減 D．函數先減后增
【答案】A
【詳解】
由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當ab時，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數.
故選：A.
9．（全國高三專題練習）已知偶函數在區間上單調遞增，則滿足的的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
偶函數在區間上單調遞增，則在區間上單調遞減，
若滿足，則，可得，
∴，即.
故選：A.
10．（陜西省黃陵縣中學高一期末）設函數是上的增函數，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
函數是R上的增函數,則，即
故選：A
11．（懷仁市第一中學校高三月考（文））函數在單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
函數為開口向上的拋物線，對稱軸為
函數在單調遞增，則，解得.
故選：A.
12．（福建寧德·高一期末）已知定義域為的奇函數在單調遞減，且，則滿足的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
為奇函數，且在單調遞減，
，，且在上單調遞減，
可得或或，
即或或，
即，
故選：B.
13．（全國高一課時練習）函數在上為增函數，且，則實數的取值范圍是（　　）
A．(﹣∞，﹣3) B．(0，+∞)
C．(3，+∞) D．(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)
【答案】C
【詳解】
解：∵函數y＝f（x）在R上為增函數，且f（2m）f（﹣m+9），
∴2m﹣m+9，解得 m3，
故選：C．
14．（全國高一）定義在上的函數對任意兩個不等的實數，，總有成立，則必有（ ）
A．函數在上是奇函數 B．函數在上是偶函數
C．函數在上是增函數 D．函數在上是減函數
【答案】D
【詳解】
，
當時，，
當時，，
所以函數在上是減函數．
故選：D．
考點二 函數的最值
1．（全國）如果奇函數在上是增函數且最小值為5，那么在區間上是（ ）
A．增函數且最小值為 B．減函數且最小值為
C．增函數且最大值為 D．減函數且最大值為
【答案】C
【詳解】
因為奇函數在上是增函數且最小值為5，而奇函數的圖像關于原點對稱，
所以在區間上增函數且最大值為，
故選：C.
2．（上海高一專題練習）已知函數，則的最大值為（ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【詳解】
因為在上單減，所以在上單減，
即在上單減，
所以f(x)的最大值為.
故選：D
3．（寧夏銀川·賀蘭縣景博中學高二期末（文））已知函數，則（ ）
A．是單調遞增函數 B．是奇函數
C．函數的最大值為 D．
【答案】C
【詳解】
A：由解析式知：是單調遞減函數，錯誤；
B：由，顯然不關于原點對稱，不是奇函數，錯誤；
C：由A知：在上，正確；
D：由A知：，錯誤.
故選：C.
4．（合肥一六八中學高一期末）若奇函數在區間上單調遞減，則函數在區間上（ ）
A．單調遞增，且有最小值 B．單調遞增，且有最大值
C．單調遞減，且有最小值 D．單調遞減，且有最大值
【答案】C
【詳解】
根據奇函數的圖象關于原點對稱，所以其在y軸兩側單調性相同，
因為在區間上單調遞減，所以在區間上單調遞減，
所以在區間上有最大值，最小值,
故選：C
5．（玉林市育才中學（文））已知函數，則在區間上的最大值為（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】C
【詳解】
在單調遞減，
.
故選：C.
6．（浙江高一單元測試）若函數在區間上的最大值是4，則實數的值為（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
【答案】B
【詳解】
解：當時，在區間上為增函數，則當時，取得最大值，即，解得；
當時，在區間上為減函數，則當時，取得最大值，即，解得舍去，
所以，
故選：B
7．（全國高一）如果奇函數在區間上單調遞增且有最大值6，那么函數在區間上（ ）
A．單調遞增且最小值為﹣6 B．單調遞增且最大值為﹣6
C．單調遞減且最小值為﹣6 D．單調遞減且最大值為﹣6
【答案】A
【詳解】
因為為奇函數，則在對稱區間上單調性相同，
所以在上為單調遞增函數，
根據的圖像關于原點對稱，且
所以在上的最小值為，
故選：A
8．（福建三明一中高三學業考試）函數在[2，3]上的最小值為（ ）
A．2 B．
C． D．－
【答案】B
【詳解】
y＝在[2，3]上單調遞減，所以x=3時取最小值為，
故選：B.
9．（全國高一專題練習）若，都有不等式，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【詳解】
設，由不等式對一切成立可得，.因為在上是減函數，所以當時，，所以，即，所以.
故選：D
10．（全國高一專題練習）已知函數，若，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
函數的圖象開口向下，對稱軸方程為，函數在區間上單調遞增，，，即函數的值域為.
由方程有解知，，因此，且，解得.故選：C

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