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第10講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
一、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算
1．對(duì)數(shù)的概念
（1）對(duì)數(shù)：一般地，如果，那么數(shù) x叫做以a為底 N的對(duì)數(shù)，記作，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
（2）牢記兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)，以10為底的對(duì)數(shù)lgN；自然對(duì)數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對(duì)數(shù)lnN.
（3）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：.
2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)
根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，知對(duì)數(shù)具有以下性質(zhì)：
（1）負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)，即；
（2）1的對(duì)數(shù)等于0，即；
（3）底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即；
（4）對(duì)數(shù)恒等式.
3．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果，那么：
（1）；
（2）；
（3）.
4．對(duì)數(shù)的換底公式
對(duì)數(shù)的換底公式：.
換底公式將底數(shù)不同的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時(shí)究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù)或以e為底的自然對(duì)數(shù).
換底公式的變形及推廣：
（1）；
（2）；
（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).
二、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1．對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
一般地，我們把函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是.
2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象
一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表所示：
圖象
三、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)如下表所示：
圖象
定義域
值域
性質(zhì) 過定點(diǎn)，即時(shí)，
在上是減函數(shù) 在上是增函數(shù)
當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0 當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0
考點(diǎn)一 對(duì)數(shù)概念與對(duì)數(shù)運(yùn)算
1．（嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【詳解】
根據(jù)函數(shù)解析式可知.
故選：C
2．（上海高一專題練習(xí)）若log32=x，則3x+9x的值為（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】A
【詳解】
由log32=x得3x=2，因此9x=(3x)2=4，所以3x+9x=2+4=6.
故選：A.
3．（廣東高一單元測試）已知，則的值為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．
【答案】A
【詳解】
解：由，得，
故選：A
4．（湖南婁底一中高二期中）已知函數(shù)，若，則等于（ ）
A． B． C．或 D．2
【答案】A
【詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴（舍去）．
∴．
故選：A．
5．（全國）若3x＝2，則x等于（ ）
A．log23 B．log32 C．32 D．23
【答案】B
【詳解】
，.
故選：B.
6．（陜西省黃陵縣中學(xué)高一期末）已知，則x等于（ ）
A． B．4 C．16 D．2
【答案】C
【詳解】
由對(duì)數(shù)與指數(shù)式運(yùn)算可得.
故選：C.
7．（全國）以下對(duì)數(shù)式中，與指數(shù)式等價(jià)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的關(guān)系，等價(jià)于.
故選：A.
8．（全國）已知且，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】
由指對(duì)數(shù)的互化公式，因?yàn)椋?
故選：B.
9．（吉林延邊二中高二月考（文））已知函數(shù)，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】
∵，
∴.
故選：B.
10．（長豐縣鳳麟中學(xué)高二期中（文））等于（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】C
【詳解】
故選：C
11．（太原市第五十六中學(xué)校高二月考（文））下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
對(duì)于A：，故A不正確；
對(duì)于B：，故B不正確；
對(duì)于C：∵,∴，故C正確，
對(duì)于D：，故D不正確，
故選： C.
12．（普寧市第二中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【詳解】
．
故選：C.
13．（全國高一專題練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
.
故選：C.
14．（長豐北城衡安學(xué)校高二月考（理））若函數(shù)．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
，則，因此，.
故選：A.
15．（北京大興區(qū)·高一期末）等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
.
故選：B.
16．（定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高一期末）式子的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
.
故選：A.
17．（鹽城市伍佑中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，則等于（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【答案】A
【詳解】
因?yàn)椋裕?br/>所以，，
所以.
故選：A
18．（黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中（文））的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
原式
.
故選：B
19．（福建福州·高一期末）若，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解：因?yàn)椋裕?br/>所以.
故選：A.
20．（全國高一單元測試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解：若，
可得，，
則
，
故選：A．
考點(diǎn)二 對(duì)數(shù)函數(shù)與定義域
1．（上海高一專題練習(xí)）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像過點(diǎn)M(125，3)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
設(shè)函數(shù)解析式為y＝logax(a>0，且a≠1)．
由于對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像過點(diǎn)M(125，3)，
所以3＝loga125，得a＝5.
所以對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log5x.
故選：A.
2．（全國高一課時(shí)練習(xí)）給出下列函數(shù)：
①；②；③；④.
其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】A
【詳解】
①②不是對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)的真數(shù)不是僅有自變量x；
③不是對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)的底數(shù)不是常數(shù)；④是對(duì)數(shù)函數(shù)．
故選:A.
3．（全國高一課時(shí)練習(xí)）若某對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（ ）
A． B．
C．或 D．不確定
【答案】A
【詳解】
設(shè)函數(shù)為，依題可知，，解得，所以該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為．
故選：A．
4．（浙江高三專題練習(xí)）設(shè)a與b均為實(shí)數(shù)，且，已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【詳解】
解：令，
由圖可知：，，
即，
解得：，
故，
故選：C.
5．（莆田錦江中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若圖象過點(diǎn)，則的值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的 圖象過點(diǎn)，
所以，
則，
所以，，
故選：B.
6．（全國高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)表達(dá)式中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【詳解】
形如（且）的函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，
故③④為對(duì)數(shù)函數(shù)，
所以共有個(gè).
故選：B
7．（全國高一課前預(yù)習(xí)）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：形如且的形式，則函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，只有D符合.
故選D
8．（全國高一）函數(shù) 為對(duì)數(shù)函數(shù)，則等于
A．3 B． C． D．
【答案】B
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù) 為對(duì)數(shù)函數(shù)，
所以函數(shù)系數(shù)為1，即即或，
因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)大于0，
所以，，
所以．
9．（全國（文））函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
由題意，有，解得.
∴函數(shù)定義域?yàn)?
故選：B.
10．（奉新縣第一中學(xué)高一月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
對(duì)于函數(shù)，有，解得.
因此，函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：C.
11．（廈門市松柏中學(xué)高二開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由題意可得：，解得：，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>故選：B.
12．（威海市第一中學(xué)高二月考）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：的定義域?yàn)椋?
故選：B
13．（天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
依題意，，解得，
所以所求定義域?yàn)?
故選：B
14．（大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期末（文））函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
由題意得解得或.
所以原函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：C.
15．（貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：C
16．（安徽省泗縣第一中學(xué)（理））已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
因?yàn)椋颍?br/>則，，
因此
故選：C.
17．（全國高一單元測試）函數(shù)的定義域?yàn)?（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋海椿颍?br/>所以定義域?yàn)椋?
故選：D.
18．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由函數(shù)的定義域滿足：
解得：或
故的定義域?yàn)?br/>故選：B
19．（射陽縣第二中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意可得，解得，
因此，函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：A.
20．（全國高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由解得.
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：A
考點(diǎn)三 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象
1．（河北）函數(shù)的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，排除C、D.
當(dāng)時(shí)，，排除B.
故選:A.
2．（鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高一月考）函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
對(duì)于函數(shù)，令，可得，則，
因此，函數(shù)的圖象過定點(diǎn).
故選：C.
3．（全國高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象必過的點(diǎn)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
，則當(dāng)，即時(shí)，是與的值無關(guān)的定值，
故函數(shù)的圖形必過的點(diǎn)是.
故選：D.
4．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，，則函數(shù)的圖象為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由f(x)是R上的奇函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A、B．又x＞0時(shí)f(x)＝ln(x＋1)，排除C.
故選：D．
5．（貴州）函數(shù)的圖象經(jīng)過（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）
【答案】C
【詳解】
解方程，得.
所以函數(shù)的圖象過定點(diǎn).
故選：C.
6．（吉林長春·高三（理））如圖，①②③④中不屬于函數(shù)，，的一個(gè)是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【詳解】
解：由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象特征及與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
可確定②不是已知函數(shù)圖象.
故選：B.
7．（全國高一專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
解：因?yàn)椋院瘮?shù)的定義域?yàn)椋磮D象在時(shí)無值，排除B、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，所以A選項(xiàng)正確．
故選：A
8．（蚌埠田家炳中學(xué)高二月考（文））已知函數(shù)，則其大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
由題得函數(shù)的定義域?yàn)椋赃x項(xiàng)D錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤.
故選：B
9．（浙江高一單元測試）已知函數(shù)，其圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
由，知：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B、D；當(dāng)時(shí)，，排除C.
故選：A
10．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
令，解得，所以，因此函數(shù)的圖象 過定點(diǎn)．
故選：C．
11．（河南漯河·高一期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們要學(xué)會(huì)以形助數(shù)．則在同一直角坐標(biāo)系中，與的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，
：-x>0，則x<0.
結(jié)合選項(xiàng)只有B符合.
故選：B
12．（浙江高一期末）冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)是生活中三類常見基本的初等函數(shù)，可以刻畫客觀世界不同的變化規(guī)律．已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
由圖象可得曲線①為對(duì)數(shù)函數(shù)，在定義域?yàn)闉樵龊瘮?shù)，則，
曲線②為指數(shù)函數(shù)，為減函數(shù)，則
曲線③為冪函數(shù)，在上為減函數(shù)，則
所以
故選：A
13．（上海普陀·曹楊二中高一期末）函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
由對(duì)數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得且，
當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)在上單調(diào)遞減，過點(diǎn)在單調(diào)遞減，所以排除選項(xiàng)C，
當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)在上單調(diào)遞增，過點(diǎn)在單調(diào)遞增，所以排除選項(xiàng)AD，
故選：B.
14．（安徽宿州·高一期末）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)(，且)的圖象所過定點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，
所以，因此，
所以，
由可得，，
所以函數(shù)(，且)的圖象所過定點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故選：A.
考點(diǎn)三 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
1．（廣東高三月考）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
，
∴.
故選：B
2．（河南高一月考）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
，
所以.
故選：B.
3．（浮梁縣第一中學(xué)高一月考）已知設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
解：∵，
，
，
∴，，的大小關(guān)系為．
故選：D．
4．（河南高三月考（文））設(shè)，， ，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
由，得，
，
，
所以.
故選：D.
5．（天津河?xùn)|·高二學(xué)業(yè)考試）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
，
∴.
故選：D
6．（湖北荊州·高一期中）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由題意，得
，
，
則；
故選：C
7．（江西省銅鼓中學(xué)高二開學(xué)考試（文））設(shè)，，，則，，的大小是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
，，.
所以.
故選：D
8．（正陽縣高級(jí)中學(xué)高三（理））已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
，
，
由，故．
故選：C．
9．（九龍坡·重慶市育才中學(xué)高三月考）已知，則的單調(diào)增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，反比例函數(shù)在上也是增函數(shù)，
所以在定義域上單調(diào)遞增；
又是由向左平移兩個(gè)單位得到，所以的單調(diào)增區(qū)間為.
故選：A.
10．（內(nèi)蒙古赤峰·高一月考（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由題得，所以或.
函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
又函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故選：C
11．（福建福州四中高一期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由解得或，
所以的定義域?yàn)?
函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為，
函數(shù)在上遞減，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知函數(shù)的減區(qū)間是.
故選：C
12．（四川省南充市白塔中學(xué)高三月考（理））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由解得，
二次函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為，
在上遞減.
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：D
13．（寧夏吳忠市·吳忠中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)
【答案】D
【詳解】
由題意，函數(shù)滿足，解得或，
設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
14．（貴州貴陽市·貴陽一中高三月考（理））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
在函數(shù)中，由得或，則的定義域?yàn)椋?br/>函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，
于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：B
15．（靜寧縣第一中學(xué)高三月考（文））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
函數(shù)的定義域需滿足，解得：，
函數(shù)分為內(nèi)外層函數(shù)，，，
定義域內(nèi)，內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故選：B
16．（新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二中學(xué)高一期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
對(duì)于函數(shù)，有，解得或，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
外層函數(shù)為減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：D.
17．（海南儋州二中高一月考）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
對(duì)于函數(shù)，有，解得或，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>令，則，
由在上遞減，在上遞增，
外層函數(shù)在上遞增，
可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．
故選：D．
18．（江蘇蘇州·）若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
解：函數(shù)在上單調(diào)，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
要使函數(shù)在上單調(diào)，
，或，解得，或，即，
故選：．
19．（黑龍江哈爾濱·哈師大附中高二期末（文））函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由題意，，解得，
又在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，
在上是增函數(shù)，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
故選：B第10講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
一、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算
1．對(duì)數(shù)的概念
（1）對(duì)數(shù)：一般地，如果，那么數(shù) x叫做以a為底 N的對(duì)數(shù)，記作，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
（2）牢記兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)，以10為底的對(duì)數(shù)lgN；自然對(duì)數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對(duì)數(shù)lnN.
（3）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：.
2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)
根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，知對(duì)數(shù)具有以下性質(zhì)：
（1）負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)，即；
（2）1的對(duì)數(shù)等于0，即；
（3）底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即；
（4）對(duì)數(shù)恒等式.
3．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果，那么：
（1）；
（2）；
（3）.
4．對(duì)數(shù)的換底公式
對(duì)數(shù)的換底公式：.
換底公式將底數(shù)不同的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時(shí)究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù)或以e為底的自然對(duì)數(shù).
換底公式的變形及推廣：
（1）；
（2）；
（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).
二、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1．對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
一般地，我們把函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是.
2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象
一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表所示：
圖象
三、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)如下表所示：
圖象
定義域
值域
性質(zhì) 過定點(diǎn)，即時(shí)，
在上是減函數(shù) 在上是增函數(shù)
當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0 當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0
【考點(diǎn)一 對(duì)數(shù)概念與對(duì)數(shù)運(yùn)算】
1．（嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（上海高一專題練習(xí)）若log32=x，則3x+9x的值為（ ）
A．6 B．3 C． D．
3．（廣東高一單元測試）已知，則的值為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．
4．（湖南婁底一中高二期中）已知函數(shù)，若，則等于（ ）
A． B． C．或 D．2
5．（全國）若3x＝2，則x等于（ ）
A．log23 B．log32 C．32 D．23
6．（陜西省黃陵縣中學(xué)高一期末）已知，則x等于（ ）
A． B．4 C．16 D．2
7．（全國）以下對(duì)數(shù)式中，與指數(shù)式等價(jià)的是（ ）
A． B． C． D．
8．（全國）已知且，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（吉林延邊二中高二月考（文））已知函數(shù)，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（長豐縣鳳麟中學(xué)高二期中（文））等于（ ）
A． B． C．4 D．5
11．（太原市第五十六中學(xué)校高二月考（文））下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（普寧市第二中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．1 C． D．0
13．（全國高一專題練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
14．（長豐北城衡安學(xué)校高二月考（理））若函數(shù)．則（ ）
A． B． C． D．
15．（北京大興區(qū)·高一期末）等于（ ）
A． B．
C． D．
16．（定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高一期末）式子的值為（ ）
A． B． C． D．
17．（鹽城市伍佑中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，則等于（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
18．（黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中（文））的值為（ ）
A． B． C． D．
19．（福建福州·高一期末）若，求（ ）
A． B． C． D．
20．（全國高一單元測試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)二 對(duì)數(shù)函數(shù)與定義域】
1．（上海高一專題練習(xí)）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像過點(diǎn)M(125，3)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（ ）
A． B． C． D．
2．（全國高一課時(shí)練習(xí)）給出下列函數(shù)：
①；②；③；④.
其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
3．（全國高一課時(shí)練習(xí)）若某對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（ ）
A． B．
C．或 D．不確定
4．（浙江高三專題練習(xí)）設(shè)a與b均為實(shí)數(shù)，且，已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（莆田錦江中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若圖象過點(diǎn)，則的值為（ ）
A． B．2 C． D．
6．（全國高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)表達(dá)式中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
7．（全國高一課前預(yù)習(xí)）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
8．（全國高一）函數(shù) 為對(duì)數(shù)函數(shù)，則等于
A．3 B． C． D．
9．（全國（文））函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
10．（奉新縣第一中學(xué)高一月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
11．（廈門市松柏中學(xué)高二開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
12．（威海市第一中學(xué)高二月考）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
13．（天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
14．（大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期末（文））函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
15．（貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
16．（安徽省泗縣第一中學(xué)（理））已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
17．（全國高一單元測試）函數(shù)的定義域?yàn)?（ ）
A． B．
C． D．
18．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
19．（射陽縣第二中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
20．（全國高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)三 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象】
1．（河北）函數(shù)的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
2．（鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高一月考）函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
3．（全國高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象必過的點(diǎn)是（ ）
A． B． C． D．
4．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，，則函數(shù)的圖象為（ ）
A． B． C． D．
5．（貴州）函數(shù)的圖象經(jīng)過（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）
6．（吉林長春·高三（理））如圖，①②③④中不屬于函數(shù)，，的一個(gè)是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（全國高一專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
8．（蚌埠田家炳中學(xué)高二月考（文））已知函數(shù)，則其大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
9．（浙江高一單元測試）已知函數(shù)，其圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
10．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A． B．
C． D．
11．（河南漯河·高一期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們要學(xué)會(huì)以形助數(shù)．則在同一直角坐標(biāo)系中，與的圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．（浙江高一期末）冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)是生活中三類常見基本的初等函數(shù)，可以刻畫客觀世界不同的變化規(guī)律．已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
13．（上海普陀·曹楊二中高一期末）函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．（安徽宿州·高一期末）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)(，且)的圖象所過定點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)四 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性】
1．（廣東高三月考）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（河南高一月考）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（浮梁縣第一中學(xué)高一月考）已知設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（河南高三月考（文））設(shè)，， ，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（天津河?xùn)|·高二學(xué)業(yè)考試）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（湖北荊州·高一期中）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（江西省銅鼓中學(xué)高二開學(xué)考試（文））設(shè)，，，則，，的大小是（ ）
A． B．
C． D．
8．（正陽縣高級(jí)中學(xué)高三（理））已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
9．（九龍坡·重慶市育才中學(xué)高三月考）已知，則的單調(diào)增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
10．（內(nèi)蒙古赤峰·高一月考（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
11．（福建福州四中高一期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
12．（四川省南充市白塔中學(xué)高三月考（理））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
13．（寧夏吳忠市·吳忠中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)
14．（貴州貴陽市·貴陽一中高三月考（理））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
15．（靜寧縣第一中學(xué)高三月考（文））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
16．（新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二中學(xué)高一期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
17．（海南儋州二中高一月考）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
18．（江蘇蘇州·）若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
19．（黑龍江哈爾濱·哈師大附中高二期末（文））函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．

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