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第14講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，
(1)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；
(3)若恒有，則在區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．
注意：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則
2.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
（1）確定函數(shù)的定義域
（2）求導(dǎo)數(shù)
（3）解不等式，
（4）結(jié)合定義域下結(jié)論。
3．已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍
(1)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則在區(qū)間D上恒成立；
(2)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則在區(qū)間D上恒成立；
(3)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上存在增區(qū)間，則在區(qū)間D上有解；
(4)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上存在減區(qū)間，則在區(qū)間D上有解．
【考點(diǎn)一： 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）】
1．（江蘇儀征·）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
2．（東臺(tái)市第一中學(xué)高二月考）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）．
A． B． C． D．
3．（中寧縣中寧中學(xué)（理））函數(shù)的遞增區(qū)間是（ ）
A．和 B．
C． D．
4．（安徽金安·六安一中高二月考（理））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
5．（清遠(yuǎn)市清新區(qū)鳳霞中學(xué)高二期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
6．（安徽鏡湖·蕪湖一中高二期中（理））已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（黑龍江甘南·高二期中（理））若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．（山東蘭陵四中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)二：己知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍】
1．（陜西省洛南中學(xué)高二月考（理））若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（渭南市尚德中學(xué)高二月考（理））已知在上是增加的，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（黑龍江佳木斯一中（理））如果函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（全國）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（陜西長安一中高二期末（理））若函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（全國高二單元測(cè)試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)三：存在單調(diào)區(qū)間問題】
1．（江西南昌十中（文））函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（廣州市天河外國語學(xué)校高二期中）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（廣東高三月考）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)四：不單調(diào)問題】
1．（全國）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．不存在這樣的實(shí)數(shù)
2．（奉新縣第一中學(xué)高二月考（文））若函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．或 B．或 C． D．
3．（山西運(yùn)城·（理））已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二期中）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)
C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
5．（銀川三沙源上游學(xué)校（理））已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．（全國高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（江西上高二中高二月考（文））已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是
A． B． C． D．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，
(1)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；
(3)若恒有，則在區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．
注意：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則
2.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
（1）確定函數(shù)的定義域
（2）求導(dǎo)數(shù)
（3）解不等式，
（4）結(jié)合定義域下結(jié)論。
3．已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍
(1)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則在區(qū)間D上恒成立；
(2)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則在區(qū)間D上恒成立；
(3)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上存在增區(qū)間，則在區(qū)間D上有解；
(4)已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上存在減區(qū)間，則在區(qū)間D上有解．
考點(diǎn)一： 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）
1．（江蘇儀征·）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
由題得，令得：或 ，故單調(diào)遞增區(qū)間為：，
故選：D.
2．（東臺(tái)市第一中學(xué)高二月考）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
解：，
則，
由得，
故選：D.
3．（中寧縣中寧中學(xué)（理））函數(shù)的遞增區(qū)間是（ ）
A．和 B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
由，得
令，即，解得
所以函數(shù)的遞增區(qū)間是
故選：D
4．（安徽金安·六安一中高二月考（理））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
對(duì)于函數(shù)，有，可得，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>由，因?yàn)椋獾?
因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：B.
5．（清遠(yuǎn)市清新區(qū)鳳霞中學(xué)高二期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意知，由，得．
故選：A
6．（安徽鏡湖·蕪湖一中高二期中（理））已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
詳解：因?yàn)椋?br/>令可得-2≤x≤2，所以要使函數(shù)f(x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則區(qū)間（2m，m+1）是區(qū)間的子區(qū)間，
所以，求解不等式組可得：，
解得-1≤m<1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故選：D
7．（黑龍江甘南·高二期中（理））若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
函數(shù)，.
則，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
則在區(qū)間上恒成立，即，
所以在區(qū)間上恒成立，
所以，解得，
故選：A.
8．（山東蘭陵四中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
，
當(dāng)，解得：，
由條件可知，
所以 ，解得：.
故選：D
考點(diǎn)二：己知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍
1．（陜西省洛南中學(xué)高二月考（理））若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意得，的定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以在上恒成立，
即，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以.
故選：A
2．（渭南市尚德中學(xué)高二月考（理））已知在上是增加的，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【詳解】
由題意得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于等于0，可得在上恒成立，
，
故選：B
3．（黑龍江佳木斯一中（理））如果函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，
所以.
故選:D
4．（全國）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由得，
由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
即在上恒成立，即，
即得在恒成立，所以，
故選：D.
5．（陜西長安一中高二期末（理））若函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意得，在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)樵诘淖畲笾禐椋?
故選：A.
6．（全國高二單元測(cè)試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，
故在區(qū)間上恒成立.
即在區(qū)間恒成立.
故.
故選：.
考點(diǎn)三：存在單調(diào)區(qū)間問題
1．（江西南昌十中（文））函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
由題意得，，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，
所以存在使得成立，即.
故選:C
2．（廣州市天河外國語學(xué)校高二期中）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
∵函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，
∴函數(shù)在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立，
，
設(shè)，
則或，
即或，
得或，
則；
故選：A．
3．（廣東高三月考）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
因?yàn)樵谏洗嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，所以當(dāng)時(shí)有解，而當(dāng)時(shí)，，（此時(shí)），所以，所以的取值范圍是.
故選：B.
考點(diǎn)四：不單調(diào)問題
1．（全國）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．不存在這樣的實(shí)數(shù)
【答案】B
【詳解】
由題意得，在區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
而的根為，區(qū)間的長度為2，
故區(qū)間內(nèi)必含有2或．
∴或，
∴或，
故選：B．
2．（奉新縣第一中學(xué)高二月考（文））若函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意，函數(shù)，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上不單調(diào)，
即有變號(hào)零點(diǎn)，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，
即，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
3．（山西運(yùn)城·（理））已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由，①當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得.
故選：C.
4．（天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二期中）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)
C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
【答案】B
【詳解】
，
如果函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)，
那么a-1≥0或，即，解得a≥1或a≤-3，
所以當(dāng)函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上不單調(diào)時(shí)，.
故選：B
5．（銀川三沙源上游學(xué)校（理））已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由，
①當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得.
故選：B．
6．（全國高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
的定義域?yàn)椋?br/>令解得.
由于函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，
所以，解得.
故選：D
7．（江西上高二中高二月考（文））已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
試題分析：，是增函數(shù)，故需，，所以.
考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性．

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