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導數與函數的極值、最值
1．極值點與極值
(1)極小值點與極小值
若函數在點的函數值比它在點附近其他點的函數值都小，，而且在點附近的左側，右側，就把叫做函數的極小值點，叫做函數的極小值．
(2)極大值點與極大值
若函數在點的函數值比它在點附近其他點的函數值都大，，而且在點附近的左側，右側，就把叫做函數的極大值點，叫做函數的極大值．
(3)極大值點、極小值點統稱為極值點；極大值、極小值統稱為極值 ．
特別提醒：
（1），不一定是極值點
（2）只有且兩側單調性不同 ，才是極值點.
(3)求極值點，可以先求的點，再列表判斷單調性.
2.求函數極值（極大值，極小值）的一般步驟：
（1）確定函數的定義域
（2）求方程的根
（3）用方程的根，順次將函數的定義域分成若干個開區間，并列成表格
（4）由在方程的根左右的符號，來判斷在這個根處取極值的情況
若左正右負，則為極大值；
若 左負右正，則為極小值；
若 左右同號，則無極值。
3.最大值:
一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：
（1）對于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，稱是函數的最大值
4.最小值:
一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：
（1）對于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，稱是函數的最小值
題型一：求極值
1．（全國高二課時練習）函數的極小值為（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
f′(x)＝－1＋2x＝2，令f′(x)＝0，得x＝．
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
f′(x) － 0 ＋
f(x) 單調遞減 極小值 單調遞增
當x＝時，f(x)有極小值．
故選：B．
2．（全國高二課時練習）函數在區間上的極大值為（ ）
A． B．
C．－1 D．0
【答案】C
【詳解】
f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝ －1.
令f′(x)＝0，得x＝1.
當x∈(0，1)時，f′(x)>0，當x∈(1，e)時，f′(x)<0，
故f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
故選：C
3．（河南新鄉縣一中（文））已知函數，則的極大值為（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【詳解】
因為，所以在，上單調遞增，在[0，1]上單調遞減，
所以的極大值為.
故選：D
4．（江蘇沭陽·高二期中）函數的極大值為（ ）
A．18 B．21 C．26 D．28
【答案】D
【詳解】
函數的定義域為，求導，令，解得：，
極大值 極小值
所以當時，函數有極大值
故選：D.
5．（福建南平·高二期末）已知是函數的極小值點，則函數的極小值為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【詳解】
由題意，函數，可得，
因為是函數的極小值點，
則，即，解得，可得，
當或時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
所以當是函數的極小值點，
所以函數的極小值為.
故選：B.
6．（山西省古縣第一中學高二期中（理））已知函數的極大值和極小值分別為，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【詳解】
解：，當時，該方程兩個根為，
或，，
故在取到極大值、極小值，且，
.
故選：D.
7．（全國高二課時練習）函數在上的極大值為（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【詳解】
由可得
當時，單調遞增
當時，單調遞減
所以函數在上的極大值為
故選：A
8．（全國高二課時練習）已知函數極值點的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【詳解】
解：由，可得，
由，可得，令，可得，
當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增；
故可得函數存在一個極值點，
故選：B.
題型二：根據極值求參數
1．（西藏日喀則區南木林高級中學高二期末（文））函數，已知在時取得極值，則等于（ ）
A．2 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【詳解】
由題意，，且，
∴，可得.
∴，
當，有或，則、上遞增；
當，有，則上遞減；
∴是的極值點.
綜上，.
故選：B
2．（安徽師范大學附屬中學高二期中（文））函數在處有極值10，則的值為（ ）
A．，，或， B．，，或，
C．， D．，
【答案】C
【詳解】
因為，所以，
由題意可得：，解得：或.
當時，，
在x=1的左右兩側正負相反，所以在處有極值，符合題意；
當時，恒成立，
所以在處無極值，應舍去；
故選：C
3．（陜西武功·高二期中（理））函數，已知在時取得極值，則的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【詳解】
對函數求導得，
因為在時取得極值，所以，解得.
故選：D.
4．（寧夏吳忠中學（文））若函數既有極大值又有極小值，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
解：，
因為函數f(x)＝x3＋ax2＋x既有極大值又有極小值，
所以函數有兩不同的零點，
即，解得或，
所以a的取值范圍是(－∞，－)∪ (，＋∞).
故選：B.
5．（四川省蒲江縣蒲江中學高二月考（文））已知有極值，則的取值范圍為（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【詳解】
因為有極值，
所以有兩個不相等的實根，
只需，
解得：或.
故選：C
6．（永壽縣中學高二月考（理））若函數既有極大值，也有極小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
由題設，，又既有極大值，也有極小值，
∴有兩個不同的零點，
∴，可得或.
故選：A
7．（南京市寧海中學高二期中）已知函數在處有極值0，則的值為（ ）
A．4 B．7 C．11 D．4或11
【答案】C
【詳解】
解：由，得，
因為在處有極值0，
所以，即，解得或，
當時，，則 在上單調遞增，此時函數無極值，所以舍去，
當時，，令，得或，經檢驗 和都為函數的極值點，
綜上，
所以，
故選：C
8．（甘肅蘭州一中高二月考（文））已知函數的導數，且在處取得極大值，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
（1）當時，
當時，，當時，，
則在處取到極小值，不符合題意；
（2）當時，函數無極值，不符合題意；
（3）當時，
當時，，當時，，
則在處取到極大值，符合題意；
（4）當時，，函數無極值，不符合題意；
（5）當時，
當時，，當時，，
則在處取到極小值，不符合題意；
綜上所述，
故選：．
9．（滑縣實驗學校）已知函數在處取得極值0，則（ ）
A．4 B．11 C．4或11 D．3或9
【答案】B
【詳解】
因為，由題有，即，解得或，檢驗：當時，不合題意，舍掉；
當'時，，令，得或；令得.
所以在，上單調遞增，在上單調遞減，符合題意，則.
故選：B.
10．（元氏縣第四中學高二期中）若函數在處取極值0，則（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．1
【答案】A
【詳解】
解：,
則,
若在處取極值0，
則,解得：,
故,
故選：．
題型三：求最大（小）值
1．（廣東高三月考）函數在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因為，
所以當時，，此時函數是增函數，
所以，即.
故選：A.
2．（全國）函數在上的最小值為（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【詳解】
由，
得．
，得或．
所以在和上單調遞增，在上單調遞減．
又，，
所以在上的最小值為．
故選：B．
3．（全國高二專題練習）函數在上的最大值是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】A
【詳解】
因為，則.
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減.
所以，當時，函數取得最大值，即.
故選：A.
4．（安徽金安·毛坦廠中學（理））已知函數，則在上的最大值與最小值的差為（ ）
A．12 B．2 C．6 D．4
【答案】A
【詳解】
由，
令導數為0得，則，，單減；
時，，單增，
則，
，故，
故選：A
5．（合肥市第十一中學（理））在區間上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
，，令，解得.
所以，，為減函數，
，，為增函數，
又因為，，
所以函數在的最大值為.
故選：D
6．（山西運城·（理））函數在上的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【詳解】
因，當時，，
由，得，當時，，當時，，
于是得在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得最大值.
故選：B
7．（山西運城·（文））函數在上的最小值為（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【詳解】
，所以時，，遞減，時，，遞增，
所以是在上的唯一極值點，極小值也是最小值．．
故選：D．
8．（四川省資中縣第二中學高二月考（理））函數在上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
因為函數，所以，
所以當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增；
又，，
所以函數在上的最大值是.
故選：C.
9．（重慶市清華中學校）函數在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【詳解】
由題知，，.
當時，
由得，；由得，.
所以當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
函數的最小值為.
故選：B.
10．（北京大興·高二期末）若函數在區間上有最大值，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
解：令，，則，
令，解得；令，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
又，作出函數的大致圖象，
結合圖象，由題意可得，解得，
所以實數的取值范圍是，．
故選：．第15講 導數與函數的極值、最值
1．極值點與極值
(1)極小值點與極小值
若函數在點的函數值比它在點附近其他點的函數值都小，，而且在點附近的左側，右側，就把叫做函數的極小值點，叫做函數的極小值．
(2)極大值點與極大值
若函數在點的函數值比它在點附近其他點的函數值都大，，而且在點附近的左側，右側，就把叫做函數的極大值點，叫做函數的極大值．
(3)極大值點、極小值點統稱為極值點；極大值、極小值統稱為極值 ．
特別提醒：
（1），不一定是極值點
（2）只有且兩側單調性不同 ，才是極值點.
(3)求極值點，可以先求的點，再列表判斷單調性.
2.求函數極值（極大值，極小值）的一般步驟：
（1）確定函數的定義域
（2）求方程的根
（3）用方程的根，順次將函數的定義域分成若干個開區間，并列成表格
（4）由在方程的根左右的符號，來判斷在這個根處取極值的情況
若左正右負，則為極大值；
若 左負右正，則為極小值；
若 左右同號，則無極值。
3.最大值:
一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：
（1）對于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，稱是函數的最大值
4.最小值:
一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：
（1）對于任意的，都有;
（2）存在，使得
那么，稱是函數的最小值
【題型一：求極值】
1．（全國高二課時練習）函數的極小值為（ ）
A．1 B．
C． D．
2．（全國高二課時練習）函數在區間上的極大值為（ ）
A． B．
C．－1 D．0
3．（河南新鄉縣一中（文））已知函數，則的極大值為（ ）
A．0 B． C． D．1
4．（江蘇沭陽·高二期中）函數的極大值為（ ）
A．18 B．21 C．26 D．28
5．（福建南平·高二期末）已知是函數的極小值點，則函數的極小值為（ ）
A． B． C． D．4
6．（山西省古縣第一中學高二期中（理））已知函數的極大值和極小值分別為，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．（全國高二課時練習）函數在上的極大值為（ ）
A． B．0 C． D．
8．（全國高二課時練習）已知函數極值點的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【題型二：根據極值求參數】
1．（西藏日喀則區南木林高級中學高二期末（文））函數，已知在時取得極值，則等于（ ）
A．2 B．5 C．4 D．3
2．（安徽師范大學附屬中學高二期中（文））函數在處有極值10，則的值為（ ）
A．，，或， B．，，或，
C．， D．，
3．（陜西武功·高二期中（理））函數，已知在時取得極值，則的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（寧夏吳忠中學（文））若函數既有極大值又有極小值，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（四川省蒲江縣蒲江中學高二月考（文））已知有極值，則的取值范圍為（ ）
A．或 B． C．或 D．
6．（永壽縣中學高二月考（理））若函數既有極大值，也有極小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
7．（南京市寧海中學高二期中）已知函數在處有極值0，則的值為（ ）
A．4 B．7 C．11 D．4或11
8．（甘肅蘭州一中高二月考（文））已知函數的導數，且在處取得極大值，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（滑縣實驗學校）已知函數在處取得極值0，則（ ）
A．4 B．11 C．4或11 D．3或9
10．（元氏縣第四中學高二期中）若函數在處取極值0，則（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．1
【題型三：求最大（小）值】
1．（廣東高三月考）函數在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（全國）函數在上的最小值為（ ）
A． B． C．0 D．
3．（全國高二專題練習）函數在上的最大值是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
4．（安徽金安·毛坦廠中學（理））已知函數，則在上的最大值與最小值的差為（ ）
A．12 B．2 C．6 D．4
5．（合肥市第十一中學（理））在區間上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（山西運城·（理））函數在上的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（山西運城·（文））函數在上的最小值為（ ）
A． B．4 C． D．
8．（四川省資中縣第二中學高二月考（理））函數在上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．（重慶市清華中學校）函數在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．0
10．（北京大興·高二期末）若函數在區間上有最大值，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．

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