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第17講 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立(能成立)問(wèn)題
一般地，若)對(duì)恒成立，則只需；若對(duì)恒成立，則只需．
若，使成立，則只需；若，使成立，則只需．由此構(gòu)造不等式，求解參數(shù)的取值范圍．
1．（山西柳林·高二期中（理））已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；
（2）若為負(fù)實(shí)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br/>則，
由得，
1
- 0 +
減函數(shù) 極小值0 增函數(shù)
恒成立，所以.
（2）的定義域?yàn)椋?br/>，
①，即時(shí)，
由得：或，
由得：.
所以在，上遞增，在上遞減；
②，即時(shí)，，所以在上遞增；
③，即時(shí)，
由得：或，
由得：.
所以在，上遞增，在上遞減，
綜上可知：
當(dāng)時(shí)，在，上遞增，在上遞減；
當(dāng)時(shí)，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，在，上遞增，在上遞減.
2．（廣東東莞·高二期末）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若對(duì)任意的都有成立，求的取值范圍.
【答案】（1）極大值，極小值；（2）.
【詳解】
（1）因?yàn)?，所以?
令，解得或，
當(dāng)，即或；當(dāng)，即，.
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，.
所以，時(shí)，有極大值，.
當(dāng)時(shí)，有極小值.
（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.
又，，.
所以時(shí)，，.
因?yàn)閷?duì)任意的都有成立，所以.
3．（江蘇秦淮·南京一中高二期中）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；的極大值為，極小值；（2）
【詳解】
解：（1）因?yàn)?br/>所以，
令，解得：或，
令，解得：，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
故的極大值為，極小值；
（2）由（1）知在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
又，， ，
，
對(duì)，恒成立，
，即，
．
4．（重慶市南坪中學(xué)校）設(shè)函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線方程；
（2）如果函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，
，則，
又，
∴所求切線方程為，即；
（2）依題意，恒成立，即，
設(shè)，則.
①當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞減，而，所以不成恒成立，不能滿足題意；
②時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在處取得最小值，
即，
而，
解得
∴．
5．（全國(guó)高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，均有不等式成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】
（1）∵，
∴，
又，
∴所求切線方程為，即．
（2）當(dāng)時(shí)，，即恒成立，
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，遞減；
當(dāng)時(shí)，，遞增．
∴，
∴，
的最大值為．
6．（全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(為實(shí)數(shù)).
（1）若，求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，.
由得，由得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)的最小值為.
（2）由題得，若恒成立，則，即恒成立.
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，所以，
故的取值范圍為.
7．（安徽安慶·高三月考（文））已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（2）若在區(qū)間，內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】
解：（1）時(shí)，，，
曲線在點(diǎn)，（1）處的切線斜率:（1），
故曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為：，
所求切線方程為：；
（2），
①當(dāng)即時(shí)，，在，上為單調(diào)增函數(shù)，
此時(shí)，（1），解得：，與矛盾，不符合題意，
②當(dāng)即時(shí)，，，的變化如下：
， ，
0
遞減 極小值 遞增
此時(shí)，，解得：
，與矛盾，不符合題意，
③當(dāng)即時(shí)，，在，上為單調(diào)減函數(shù)
，解得：，又，，
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是．
8．（河北邢臺(tái)·高二月考）已知函數(shù)，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，，，求的取值范圍．
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.
【詳解】
（1）．
在和上，，單調(diào)遞增．
在上，，單調(diào)遞減．
綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由（1）可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又，，，．
所以在上，．
又．
所以在上，，，
即．
因?yàn)?，，?br/>所以解得．
故的取值范圍是．
9．（安徽高二月考（理））已知函數(shù)
（1）若函數(shù)與有公共點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）若不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值為.
【詳解】
解：（1）令，即，則，
函數(shù)與有公共點(diǎn)，即有解.
令，則.
令，
當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以且當(dāng)時(shí)，
所以.
（2）不等式恒成立,即恒成立.
則時(shí)，成立，解得，
由題意求滿足條件的整數(shù)最小值,下面驗(yàn)證是否滿足題意.
當(dāng)時(shí)，令，且在上單調(diào)遞增.
又，可知存在唯一的正數(shù)，使得，
即，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，
即當(dāng)時(shí)，不等式成立.
故整數(shù)的最小值為
10．（江西南昌·（文））已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）．
【詳解】
（1）
又時(shí)，或時(shí)，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
（2）∵存在使成立，由（1）可得，
①當(dāng)時(shí)，
即，令，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，恒成立，
即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；
(另解：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
.)
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，
，
綜合①②得．第17講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立(能成立)問(wèn)題
一般地，若)對(duì)恒成立，則只需；若對(duì)恒成立，則只需．
若，使成立，則只需；若，使成立，則只需．由此構(gòu)造不等式，求解參數(shù)的取值范圍．
1．（山西柳林·高二期中（理））已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；
（2）若為負(fù)實(shí)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性.
2．（廣東東莞·高二期末）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若對(duì)任意的都有成立，求的取值范圍.
3．（江蘇秦淮·南京一中高二期中）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
4．（重慶市南坪中學(xué)校）設(shè)函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線方程；
（2）如果函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求的取值范圍．
5．（全國(guó)高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，均有不等式成立，求的最大值．
6．（全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(為實(shí)數(shù)).
（1）若，求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范圍.
7．（安徽安慶·高三月考（文））已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（2）若在區(qū)間，內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
8．（河北邢臺(tái)·高二月考）已知函數(shù)，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，，，求的取值范圍．
9．（安徽高二月考（理））已知函數(shù)
（1）若函數(shù)與有公共點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）若不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.
10．（江西南昌·（文））已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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