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第18講 任意角和弧度制,三角函數的概念
1．任意角、角的分類：
①按旋轉方向不同分為正角、負角、零角．
②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．
(2)終邊相同的角：
終邊與角相同的角可寫成．
2.弧度制：
①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．
②規定：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零，，是以角作為圓心角時所對圓弧的長，為半徑．
③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值與所取的的大小無關，僅與角的大小有關．
3.弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
若一個角的弧度數為，角度數為，則，．
知識點2．三角函數的定義
1.任意角的三角函數定義：
設是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點，那么
（1）點的縱坐標叫角α的正弦函數，記作；
（2）點的橫坐標叫角α的余弦函數，記作；
（3）點的縱坐標與橫坐標之比叫角α的正切函數，記作.它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數．
三角函數在各象限內的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
知識點3．扇形的弧長及面積公式
(1)弧長公式
在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角大小為，則變形可得，此公式稱為弧長公式，其中的單位是弧度．
(2)扇形面積公式，
題型一：任意角的概念
1．（全國高二課時練習）鐘表的分針在1.5小時內轉了（ ）
A．180° B．-180° C．540° D．-540°
【答案】D
【詳解】
根據順時針為負角，則分針在1.5小時內轉了 ，
故選：D
2．（河北張家口·）某學校大門口有一座鐘樓，每到夜晚燈光亮起都是一道靚麗的風景，有一天因停電導致鐘表慢10分鐘，則將鐘表撥快到準確時間分針所轉過的弧度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
分針需要順時針方向旋轉，即弧度數為.
故選：A.
3．（咸陽百靈學校高一月考）若將鐘表調快5分鐘，則分針轉動角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：將鐘表的分針撥快5分鐘，則分針順時針轉過，則分針轉動角為，
故選：C
4．（全國高一課前預習）將分針撥快30分鐘，則分針轉過的弧度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
將分針撥快30分鐘，則分針順時針旋轉180°，所以分針轉過的弧度數是.
故選：A
5．（江蘇宿遷·）小亮發現時鐘顯示時間比北京時間慢了一個小時，他需要將時鐘的時針旋轉（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
時鐘上一圈的弧度是，共12個刻鐘，每個刻鐘相隔，
現在時鐘顯示時間比北京時間慢了一個小時，小亮需要將時針順時針旋轉，
針順時針旋轉為負角，故他需要將時鐘的時針旋轉.
故選：B.
題型二：終邊相同的角的集合
1．（全國高二課時練習）下列各角，與330°角的終邊相同的角是（ ）
A．510° B．150° C．-150° D．-390°
【答案】D
【詳解】
與330°角的終邊相同的角為，
當時， ，
故選：D
2．（銀川三沙源上游學校高一月考（文））在0°~360°范圍內，與－690°角的終邊相同的角是（ ）
A．150° B．210° C．30° D．330°
【答案】C
【詳解】
令，
則 ，
令，得，
故選：C
3．（北京十五中高一期中）在0360°范圍內，與角終邊相同的角是（ ）
A．17° B．107° C．197° D．287°
【答案】D
【詳解】
與角終邊相同的角可表示為，令得.
故選：D.
4．（全國高一課時練習）下列各角中，與終邊相同的角為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
與終邊相同的角為，
當時，，
故選：C
5．（全國高一課時練習）在－360°到0°內與角1250°終邊相同的角是(　　)
.
A．170° B．190°
C．－190° D．－170°
【答案】C
【詳解】
與1250°角的終邊相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190°
題型三：象限角
1．（全國高二課時練習）下列各角，與330°角的終邊相同的角是（ ）
A．510° B．150° C．-150° D．-390°
【答案】D
【詳解】
與330°角的終邊相同的角為，
當時， ，
故選：D
2．（銀川三沙源上游學校高一月考（文））在0°~360°范圍內，與－690°角的終邊相同的角是（ ）
A．150° B．210° C．30° D．330°
【答案】C
【詳解】
令，
則 ，
令，得，
故選：C
3．（北京十五中高一期中）在0360°范圍內，與角終邊相同的角是（ ）
A．17° B．107° C．197° D．287°
【答案】D
【詳解】
與角終邊相同的角可表示為，令得.
故選：D.
4．（全國高一課時練習）下列各角中，與終邊相同的角為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
與終邊相同的角為，
當時，，
故選：C
5．（全國高一課時練習）在－360°到0°內與角1250°終邊相同的角是(　　)
.
A．170° B．190°
C．－190° D．－170°
【答案】C
【詳解】
與1250°角的終邊相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190°
題型四：弧長公式，扇形面積公式
1．（全國高三模擬預測（文））已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形所在圓的半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
因扇形的圓心角為，則此圓心角的弧度數是，設圓的半徑為r，
則由扇形面積公式得：，而，解得，
所以該扇形所在圓的半徑為2.
故選：B
2．（鎮遠縣文德民族中學校）已知扇形的半徑為2，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【詳解】
因為扇形的半徑為2，面積是2，
所以，
解得，
故選：A
3．（銀川三沙源上游學校高一月考（文））扇形的中心角為120°，半徑為，則此扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解：因為扇形的中心角為120°，即因為扇形的中心角為，
又半徑為，
所以扇形的面積為.
故選：A.
4．（白沙黎族自治縣白沙中學高一期中）扇形的半徑為1，圓心角的弧度數為2，則這個扇形的周長是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．以上都不對
【答案】B
【詳解】
由扇形周長公式：，而，
∴這個扇形的周長是.
故選：B
5．（全國高一專題練習）“數摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號．如圖是折扇的示意圖，其中，，為的中點，則扇面（圖中扇環）部分的面積是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】B
【詳解】
解：扇環的面積為．
故選：B
6．（上海高一課時練習）若的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所夾的扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
若的圓心角所對的弦長為2，則可得半徑為2，
所以這個圓心角所夾的扇形的面積.
故選：A.
7．（全國高一課時練習）已知弧度數為的圓心角所對的弦長為，則這個圓心角所對的弧長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
因為弧度數為的圓心角所對的弦長為，所以扇形半徑，
因此圓心角所對的弧長是
故選:B
8．（江西省樂平中學高一開學考試）如圖，一把折扇完全打開后，扇面的兩條弧，的弧長分別是和，且AD=10，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
設，圓心角是.則，
解得，所以陰影部的面積為，
故選：A
9．（上海寶山·高一期末）我國扇文化歷史悠久，其中折扇扇面是由兩個半徑不同的同心圓，按照一定的圓心角被剪而成，如圖所示，該扇面的圓心角為，長為，長為，則扇面的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
根據題意，則，，則，
所以扇面的面積.
故選：.
10．（全國高三專題練習（理））如圖所示，扇環的兩條弧長分別是4和10，兩條直邊與的長都是3，則此扇環的面積為（ ）
A．84 B．63 C．42 D．21
【答案】D
【詳解】
設扇環的圓心角為，小圓弧的半徑為，由題可得且，解得，，從而扇環面積.
故選：D．
題型五：任意角的三角函數定義
1．（北京市第一四二中學高三月考）若角的終邊經過點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
∵角的終邊經過點，
∴，，，
∴．
故選：D．
2．（全國高二課時練習）已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
∵點P（﹣1，），
∴x＝﹣1，y＝，|OP|，
∴．故
故選：B
3．（重慶市第七中學校高三月考）已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
因為角的終邊經過點，
所以，
故選：B
4．（九龍坡·重慶市育才中學）已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
根據三角韓的定義，角的終邊經過點，，
所以.
故選：C
5．（全國高一課時練習）已知，則角所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【詳解】
因為，
所以角所在的象限是第二象限，
故選：B
6．（北京景山學校遠洋分校高一期中）角的終邊落在射線上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意在終邊上取點，則，
所以．
故選：A．
7．（河南（文））已知角的終邊在直線上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由已知得，即，解得，
所以.
故選：A.
8．（綏德中學高一月考）是第二象限角，其終邊上一點，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意可知，，解得，
因此，.
故選：A.
9．（全國）已知角終邊經過點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因為角終邊經過點，且，
所以，所以，所以點的坐標為，
所以.
故選: A
10．（河南高一期末（文））已知，角的終邊上一點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：因為角的終邊上一點，所以，又，解得，由可知在第二象限，故．
故選：C．第18講 任意角和弧度制,三角函數的概念
1．任意角、角的分類：
①按旋轉方向不同分為正角、負角、零角．
②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．
(2)終邊相同的角：
終邊與角相同的角可寫成．
2.弧度制：
①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．
②規定：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零，，是以角作為圓心角時所對圓弧的長，為半徑．
③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值與所取的的大小無關，僅與角的大小有關．
3.弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
若一個角的弧度數為，角度數為，則，．
知識點2．三角函數的定義
1.任意角的三角函數定義：
設是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點，那么
（1）點的縱坐標叫角α的正弦函數，記作；
（2）點的橫坐標叫角α的余弦函數，記作；
（3）點的縱坐標與橫坐標之比叫角α的正切函數，記作.它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數．
三角函數在各象限內的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
知識點3．扇形的弧長及面積公式
(1)弧長公式
在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角大小為，則變形可得，此公式稱為弧長公式，其中的單位是弧度．
(2)扇形面積公式，
【題型一：任意角的概念】
1．（全國高二課時練習）鐘表的分針在1.5小時內轉了（ ）
A．180° B．-180° C．540° D．-540°
2．（河北張家口·）某學校大門口有一座鐘樓，每到夜晚燈光亮起都是一道靚麗的風景，有一天因停電導致鐘表慢10分鐘，則將鐘表撥快到準確時間分針所轉過的弧度數是（ ）
A． B． C． D．
3．（咸陽百靈學校高一月考）若將鐘表調快5分鐘，則分針轉動角為（ ）
A． B． C． D．
4．（全國高一課前預習）將分針撥快30分鐘，則分針轉過的弧度數是（ ）
A． B． C． D．
5．（江蘇宿遷·）小亮發現時鐘顯示時間比北京時間慢了一個小時，他需要將時鐘的時針旋轉（ ）
A． B． C． D．
【題型二：終邊相同的角的集合】
1．（全國高二課時練習）下列各角，與330°角的終邊相同的角是（ ）
A．510° B．150° C．-150° D．-390°
2．（銀川三沙源上游學校高一月考（文））在0°~360°范圍內，與－690°角的終邊相同的角是（ ）
A．150° B．210° C．30° D．330°
3．（北京十五中高一期中）在0360°范圍內，與角終邊相同的角是（ ）
A．17° B．107° C．197° D．287°
4．（全國高一課時練習）下列各角中，與終邊相同的角為（　　）
A． B． C． D．
5．（全國高一課時練習）在－360°到0°內與角1250°終邊相同的角是(　　)
A．170° B．190°
C．－190° D．－170°
【題型三：象限角】
1．（全國高二課時練習）下列各角，與330°角的終邊相同的角是（ ）
A．510° B．150° C．-150° D．-390°
2．（銀川三沙源上游學校高一月考（文））在0°~360°范圍內，與－690°角的終邊相同的角是（ ）
A．150° B．210° C．30° D．330°
3．（北京十五中高一期中）在0360°范圍內，與角終邊相同的角是（ ）
A．17° B．107° C．197° D．287°
4．（全國高一課時練習）下列各角中，與終邊相同的角為（　　）
A． B． C． D．
【題型四：弧長公式，扇形面積公式】
1．（全國高三模擬預測（文））已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形所在圓的半徑為（ ）
A． B． C． D．
2．（鎮遠縣文德民族中學校）已知扇形的半徑為2，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
3．（銀川三沙源上游學校高一月考（文））扇形的中心角為120°，半徑為，則此扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（白沙黎族自治縣白沙中學高一期中）扇形的半徑為1，圓心角的弧度數為2，則這個扇形的周長是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．以上都不對
5．（全國高一專題練習）“數摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號．如圖是折扇的示意圖，其中，，為的中點，則扇面（圖中扇環）部分的面積是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
6．（上海高一課時練習）若的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所夾的扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
7．（全國高一課時練習）已知弧度數為的圓心角所對的弦長為，則這個圓心角所對的弧長是（ ）
A． B． C． D．
8．（江西省樂平中學高一開學考試）如圖，一把折扇完全打開后，扇面的兩條弧，的弧長分別是和，且AD=10，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
9．（上海寶山·高一期末）我國扇文化歷史悠久，其中折扇扇面是由兩個半徑不同的同心圓，按照一定的圓心角被剪而成，如圖所示，該扇面的圓心角為，長為，長為，則扇面的面積為（ ）
A． B． C． D．
10．（全國高三專題練習（理））如圖所示，扇環的兩條弧長分別是4和10，兩條直邊與的長都是3，則此扇環的面積為（ ）
A．84 B．63 C．42 D．21
【題型五：任意角的三角函數定義】
1．（北京市第一四二中學高三月考）若角的終邊經過點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（全國高二課時練習）已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
3．（重慶市第七中學校高三月考）已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
4．（九龍坡·重慶市育才中學）已知角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
5．（全國高一課時練習）已知，則角所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（北京景山學校遠洋分校高一期中）角的終邊落在射線上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
7．（河南（文））已知角的終邊在直線上，則（ ）
A． B． C． D．
8．（綏德中學高一月考）是第二象限角，其終邊上一點，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
9．（全國）已知角終邊經過點，且，則（ ）
A． B． C． D．
10．（河南高一期末（文））已知，角的終邊上一點，則（ ）
A． B． C． D．

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