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第23講 正（余）弦定理
1、正弦定理
在三角形中，每一條邊與對角正弦的比值相等，相等的比值等于三角形外接圓直徑
關(guān)系式：的內(nèi)角的對邊分別為。
滿足：，其中為三角形外接圓直徑。
2、余弦定理。
內(nèi)容：在三角形中，一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和減去二倍兩邊乘積再乘以夾角余弦。
關(guān)系式：的內(nèi)角的對邊分別為。
滿足：①；②；③。
3、余弦定理推導(dǎo)式。
關(guān)系式：的內(nèi)角的對邊分別為。
滿足：①；②；③。
4、三角形面積公式。
內(nèi)容：三角形的面積等于兩條邊與夾角正弦的乘積的一半。
關(guān)系式：的內(nèi)角的對邊分別為。
滿足：。
題型一：正弦定理
1．（河南高二月考（文））在中，角的對邊分別為，已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
在中，因為，
由正弦定理得：，即，
解得：.
因為，所以，
所以.
故選：A
2．（全國高一課時練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，．若，，，則角（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【詳解】
在中，由正弦定理可得，
所以，
因為，所以，
因為，所以或，
故選：D.
3．（全國高一課時練習(xí)）在中，分別是內(nèi)角的對邊，則下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
bcos C+ccos B=b·+c·=a，所以A正確、B錯誤；
a=bsin C+csin B，
顯然不恒成立，故C錯誤；
a=bsin C- csin B，故D錯誤.
故選：A
4．（全國高一單元測試）已知中，內(nèi)角所對的邊分別，若，，，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
在中，由正弦定理得：.
故選：B.
5．（重慶墊江第五中學(xué)校）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
在中，因，由正弦定理得：，
所以的值是.
故選：A
6．（日照神州天立高級中學(xué)有限責(zé)任公司高一月考）在中，，邊的長度為1，則該三角形外接圓的半徑為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【詳解】
由正弦定理：，其中為三角形外接圓的半徑
故：
故選：A
7．（江蘇沭陽·高一期中）的內(nèi)角的對邊分別為．若，，則（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【詳解】
因為，，
由正弦定理可得，
所以．
故選：B．
8．（河北邯鄲·高一期中）已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且，的外接圓半徑為2.則（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【詳解】
根據(jù)正弦定理知，
又因為，
所以，又，所以，
所以，
即，所以，
由正弦定理可得，解得，
故選：B.
9．（南昌市豫章中學(xué)高二開學(xué)考試（理））在中，若，則三角形的最大角與最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
在中，若，
由正弦定理化邊為角可得：，
根據(jù)大邊對大角，小邊對小角可知：最大角為，最小角為，
設(shè)，，，
在中，由余弦定理可得：
，
因為，所以，
所以，
所以三角形的最大角與最小角的和是，
故選：B.
10．（北京市延慶區(qū)教育科學(xué)研究中心高二期末）在中，角所對的邊分別為，，.若，，則（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】B
【詳解】
由正弦定理，可得，
因為，
所以或.故B正確，ACD錯誤.
故選：B
11．（福建福州·）在中，，，，則此三角形（ ）
A．有兩解 B．有一解 C．無解 D．解的個數(shù)不確定
【答案】A
【詳解】
解：因為，，
所以頂點到的距離，
因為，所以，
所以以為圓心，為半徑畫弧與有兩個交點，
所以三角形有兩解，
故選：A
12．（江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）在中，角所對的邊分別為，，，，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【詳解】
在中，由余弦定理得，即，解得.
在中，由正弦定理得，為外接圓半徑.
則.
故選:C
題型二：余弦定理
1．（河南新鄭·高二月考（文））在中，，,，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
在中，由余弦定理可得，
所以
所以，
故選：.
2．（全國高一課時練習(xí)）在中，分別為角的對邊，若，，，則的周長為（　?。?br/>A．20 B．30 C．40 D．25
【答案】A
【詳解】
解：根據(jù)余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝52+82﹣5×8＝49，
所以c＝7，則△ABC的周長為20．
故選：A．
3．（全國高一課時練習(xí)）在中，角的對邊分別為，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由余弦定理，得cos C=.因為C∈(0，π)，所以C=，sin C=.
故選：C
4．（江西九江一中高一月考）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若， 則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由題意，，由余弦定理，，
∵，∴.
故選：C.
5．（河北高三月考）在中，，，的對邊分別為，，，，，，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【詳解】
由余弦定理得，
即，
解得.
故選：B.
6．（梁河縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）△中，角所對的邊分別為，若，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由余弦定理知：，又，
∴.
故選：C
7．（肇州縣第二中學(xué)高二期末）已知的角，所對的邊分別為，，，，則（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【詳解】
由余弦定理得，即，整理得，解得．
故選：B.
8．（徐聞縣第一中學(xué)高一期中）在中，已知，則角為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【詳解】
因為，即，
由余弦定理可得，
又因為，所以.
故選：C.
9．（云南省南澗縣第一中學(xué)高一月考）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，，，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】
由余弦定理得，
，
所以.
故選：D
10．（晉中市新一雙語學(xué)校（文））在三角形中，，則大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
在三角形中，，
由余弦定理得：
.
因為，所以.
故選：C
11．（河北邢臺·）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】
因為，所以．
故選：B
12．（江蘇通州·高一期中）在中，，，，則等于（ ）
A． B．3 C． D．21
【答案】A
【詳解】
在△ABC中，∠ACB＝，AC＝，BC＝3，
由余弦定理得：
.
故選：A
13．（河南高三月考（理））已知銳角三角形的三邊長分別為2，5，，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
因2，5，是三角形的三邊，則且，解得，
設(shè)這個三角形中長為5，m的邊所對角分別為，顯然長為2的邊所對角必為銳角，
而這個三角形為銳角三角形，則由余弦定理得：，且，
即且，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：B
14．（全國高二課時練習(xí)）已知是三邊長，若滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
，
即，
，，
所以.
故選：A
題型三：面積公式
1．（四川新都·高三月考（文））在中，，，邊上的中線的長度為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
∵，，邊上的中線的長度為
∴根據(jù)余弦定理可得，即，解得
∴
∴的面積為
故選：B
2．（黑龍江哈爾濱·哈師大附中高三月考（理））已知， 則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
，為銳角，則，，
，角為直角，
，，，
．
故選：B
3．（安徽鏡湖·蕪湖一中高三月考（理））已知中，角、、所對的邊分別為、、，且，，，則的面積為（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【詳解】
解：已知，
由余弦定理得：，
解得：，故，
.
所以的面積為1.
故選：B.
4．（全國高一課時練習(xí)）的三個內(nèi)角的對邊分別是，若的面積是，，，則＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【詳解】
解：因為△ABC的面積是，，a＝2c，
所以，解得，可得，
由余弦定理可得.
故選：C.
5．（云南玉溪·（文））在中，，是線段上的點，，若的面積為，則的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【詳解】
依題意，所以，
設(shè)，則
，
化簡得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
故選：A
6．（黑龍江大慶實驗中學(xué)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為 ，若，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
在中，因為，，，
所以，
解得，
由余弦定理得：，
解得，
故選：A
7．（全國高三專題練習(xí)）過x軸上一點P向圓作圓的切線，切點為，則面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解法一（極限法）：如圖所示，
若點P離原點越遠(yuǎn)趨向無窮遠(yuǎn)處時，越來越長，、也隨著越來越長，
顯然的面積趨向于無窮大；當(dāng)點P趨近于原點時，的面積逐漸變小，
當(dāng)點P與原點重合時，，且此時的為正三角形，面積最小，
其最小面積為，
解法二（直接解法）：設(shè)，則，，
設(shè)，則有，，
于是，
，
顯然上式是的單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)時，取最小值，
故選：A.
8．（廣東第二師范學(xué)院高二月考）的內(nèi)角的對邊分別為．已知，則的面積為（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【詳解】
因為，所以，
所以．
故的面積．
故選：C
9．（全國高一課時練習(xí)）在中，，且周長為30，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
因為，由正弦定理可得，
設(shè)，
又因為的周長為，可得，解得，
所以，
由余弦定理，可得，
所以，
所以的面積為.
故選：D.
10．（浙江省蘭溪市第三中學(xué)）△的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，其面積為2，則△的外接圓的直徑為（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【詳解】
∵，
∴，又，
∴，可得.
設(shè)△的外接圓半徑為，則，
∴.
故選：B.
11．（安徽金安·六安一中）在中，已知，當(dāng)時，的面積為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】
，，
所以三角形的面積為.
故選：D
12．（南昌縣蓮塘第一中學(xué)高一月考（文））在鈍角中，已知，，，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由正弦定理，，
若，則為直角三角形，不合題意；
所以，則,所以.
故選：B.第23講 正（余）弦定理
1、正弦定理
在三角形中，每一條邊與對角正弦的比值相等，相等的比值等于三角形外接圓直徑
關(guān)系式：的內(nèi)角的對邊分別為。
滿足：，其中為三角形外接圓直徑。
2、余弦定理。
內(nèi)容：在三角形中，一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和減去二倍兩邊乘積再乘以夾角余弦。
關(guān)系式：的內(nèi)角的對邊分別為。
滿足：①；②；③。
3、余弦定理推導(dǎo)式。
關(guān)系式：的內(nèi)角的對邊分別為。
滿足：①；②；③。
4、三角形面積公式。
內(nèi)容：三角形的面積等于兩條邊與夾角正弦的乘積的一半。
關(guān)系式：的內(nèi)角的對邊分別為。
滿足：。
【題型一：正弦定理】
1．（河南高二月考（文））在中，角的對邊分別為，已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（全國高一課時練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，．若，，，則角（　?。?br/>A． B． C．或 D．或
3．（全國高一課時練習(xí)）在中，分別是內(nèi)角的對邊，則下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（全國高一單元測試）已知中，內(nèi)角所對的邊分別，若，，，則（　　）
A． B． C． D．
5．（重慶墊江第五中學(xué)校）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知，則的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（日照神州天立高級中學(xué)有限責(zé)任公司高一月考）在中，，邊的長度為1，則該三角形外接圓的半徑為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
7．（江蘇沭陽·高一期中）的內(nèi)角的對邊分別為．若，，則（ ）
A． B．2 C． D．
8．（河北邯鄲·高一期中）已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且，的外接圓半徑為2.則（ ）
A． B．2 C． D．4
9．（南昌市豫章中學(xué)高二開學(xué)考試（理））在中，若，則三角形的最大角與最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
10．（北京市延慶區(qū)教育科學(xué)研究中心高二期末）在中，角所對的邊分別為，，.若，，則（ ）
A． B．或
C． D．
11．（福建福州·）在中，，，，則此三角形（ ）
A．有兩解 B．有一解 C．無解 D．解的個數(shù)不確定
12．（江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）在中，角所對的邊分別為，，，，則（ ）
A．2 B． C． D．
【題型二：余弦定理】
1．（河南新鄭·高二月考（文））在中，，,，則（ ）
A． B． C． D．
2．（全國高一課時練習(xí)）在中，分別為角的對邊，若，，，則的周長為（　?。?br/>A．20 B．30 C．40 D．25
3．（全國高一課時練習(xí)）在中，角的對邊分別為，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（江西九江一中高一月考）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若， 則（ ）
A． B． C． D．
5．（河北高三月考）在中，，，的對邊分別為，，，，，，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（梁河縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）△中，角所對的邊分別為，若，則=（ ）
A． B． C． D．
7．（肇州縣第二中學(xué)高二期末）已知的角，所對的邊分別為，，，，則（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（徐聞縣第一中學(xué)高一期中）在中，已知，則角為（ ）
A． B． C． D．或
9．（云南省南澗縣第一中學(xué)高一月考）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，，，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（晉中市新一雙語學(xué)校（文））在三角形中，，則大小為（ ）
A． B． C． D．
11．（河北邢臺·）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（ ）
A． B．2 C．3 D．4
12．（江蘇通州·高一期中）在中，，，，則等于（ ）
A． B．3 C． D．21
13．（河南高三月考（理））已知銳角三角形的三邊長分別為2，5，，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
14．（全國高二課時練習(xí)）已知是三邊長，若滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【題型三：面積公式】
1．（四川新都·高三月考（文））在中，，，邊上的中線的長度為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（黑龍江哈爾濱·哈師大附中高三月考（理））已知， 則的面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（安徽鏡湖·蕪湖一中高三月考（理））已知中，角、、所對的邊分別為、、，且，，，則的面積為（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4．（全國高一課時練習(xí)）的三個內(nèi)角的對邊分別是，若的面積是，，，則＝（　?。?br/>A．2 B．4 C．6 D．8
5．（云南玉溪·（文））在中，，是線段上的點，，若的面積為，則的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
6．（黑龍江大慶實驗中學(xué)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為 ，若，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
7．（全國高三專題練習(xí)）過x軸上一點P向圓作圓的切線，切點為，則面積的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（廣東第二師范學(xué)院高二月考）的內(nèi)角的對邊分別為．已知，則的面積為（ ）
A． B．3 C． D．6
9．（全國高一課時練習(xí)）在中，，且周長為30，則（ ）
A． B． C． D．
10．（浙江省蘭溪市第三中學(xué)）△的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，其面積為2，則△的外接圓的直徑為（ ）
A． B． C．4 D．5
11．（安徽金安·六安一中）在中，已知，當(dāng)時，的面積為（ ）
A．1 B．2 C． D．
12．（南昌縣蓮塘第一中學(xué)高一月考（文））在鈍角中，已知，，，則的面積是（ ）
A． B． C． D．

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