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第24講 復數
1、復數的有關概念
（1）形如 ()的數叫做復數，其中 分別是復數的實部和虛部．若 ，則 為實數；若 ，則 為虛數；若 且 ，則 為純虛數．
(2)復數相等：()．
(3)的共軛復數為 ()．
(4)復數()與復平面的點一一對應．
(5)復數()的模
注意：任意兩個復數全是實數時能比較大小，其他情況不能比較大小．
2、復平面及復數的幾何意義
（1）.復平面
（2）復數的幾何意義
①復數()復平面內的點.
②復數()平面向量.
（3）復數的模：①定義：向量的模叫做復數()的模或絕對值.
②記法：復數i的模記為或 ③公式：
（3）共軛復數：當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫共軛虛數.
2.表示：的共軛復數用表示，即若()，則
3、復數加法與減法的運算法則
（1）設，()是任意兩個復數，則
①；②
（2）對任意，有
①；②.
4、復數加減法的幾何意義
如圖，設復數，對應向量分別為，，四邊形為平行四邊形，向量與復數對應，向量與復數對應.
5、復數乘法的運算法則和運算律
（1）復數的乘法法則
設，()是任意兩個復數，則.
2.復數乘法的運算律
對任意復數，有
交換律
結合律
乘法對加法的分配律
6、復數除法的法則
設，(，且)是任意兩個復數，
則
7、方程的虛數根
對所有的實系數一元二次方程，若，則此方程沒有實根，但有兩個虛根，且兩根，故實系數方程的虛根成對出現．
8、常用結論
①②③
【題型一：復數的相關概念】
1．（江蘇鼓樓·南京市第二十九中學高二月考）已知復數是純虛數，則實數的值為（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
2．（上海市亭林中學）復數，則實數（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3
3．（江蘇沭陽·）已知復數（是虛數單位）的實部與虛部相等，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（江門市第二中學高一月考）若復數，其中i是虛數單位，則復數的虛部為（ ）
A．-2i B．2i C．-2 D．2
5．（廣東荔灣·廣雅中學高三月考）若復數z滿足，則z的虛部是（ ）
A．i B．4 C．-4i D．
【題型二：復數相等】
1．（福建永泰縣三中高一月考）.若實數滿足，則的值是（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．-3
2．（元氏縣第四中學高二月考）已知，（，為虛數單位），則實數的值為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（安徽省亳州市第一中學）已知，復數，（為虛數單位），若，則（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-4
4．（臨沂市蘭山區教學研究室高一期中）若，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
5．（永安市第三中學）已知復數，、，則（ ）
A． B． C． D．
【題型三：復數的幾何意義】
1．（安徽省渦陽第一中學高二月考）復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（全國高一課時練習）復數對應的點關于原點的對稱點為，則對應的向量為（ ）
A． B． C． D．
3．（全國高二課時練習）復數與對應的向量分別為，，則所對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
4．（湖南湘潭·高三一模）已知為虛數單位，復數，，則復數對應的復平面上的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（懷仁市大地學校高中部高一月考）復數（位虛數單位）在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【題型四：復數的模】
1．（大慶市東風中學（文））設復數（是虛數單位），則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（永州市第一中學高三月考）若復數滿足，其中是虛數單位，則復數的模為（ ）
A． B． C． D．3
3．（重慶市開州中學高三月考）已知復數在復平面內對應的點的坐標為，則（ ）
A． B．2 C． D．8
4．（全國高三月考（文））已知復數滿足，其中為虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
5．（五華·云南師大附中高三月考（理））已知復數則為（ ）
A．2 B．4 C． D．10
6．（河北辛集中學高一月考）若復數，則是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【題型五：復數的四則運算】
1．（安徽省滁州中學高三月考（文））已知復數的共軛復數滿足（為虛數單位），則復數（ ）
A． B． C． D．
2．（南京市中華中學高三月考）設，則的共軛復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
3．（全國高三月考（文））復數滿足為虛數單位)，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
4．（廣東高三月考）已知為實數，且（是虛數單位），則（ ）
A．2 B．0 C． D．
5．（廣東深圳·）若復數為純虛數，則實數的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（河南（理））已知復數，則的虛部為（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．2
7．（江蘇廣陵·揚州中學高一月考）復數滿足，是的共軛復數，則（ ）
A． B． C．3 D．5第24講 復數
1、復數的有關概念
（1）形如 ()的數叫做復數，其中 分別是復數的實部和虛部．若 ，則 為實數；若 ，則 為虛數；若 且 ，則 為純虛數．
(2)復數相等：()．
(3)的共軛復數為 ()．
(4)復數()與復平面的點一一對應．
(5)復數()的模
注意：任意兩個復數全是實數時能比較大小，其他情況不能比較大小．
2、復平面及復數的幾何意義
（1）.復平面
（2）復數的幾何意義
①復數()復平面內的點.
②復數()平面向量.
（3）復數的模：①定義：向量的模叫做復數()的模或絕對值.
②記法：復數i的模記為或 ③公式：
（3）共軛復數：當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫共軛虛數.
2.表示：的共軛復數用表示，即若()，則
3、復數加法與減法的運算法則
（1）設，()是任意兩個復數，則
①；②
（2）對任意，有
①；②.
4、復數加減法的幾何意義
如圖，設復數，對應向量分別為，，四邊形為平行四邊形，向量與復數對應，向量與復數對應.
5、復數乘法的運算法則和運算律
（1）復數的乘法法則
設，()是任意兩個復數，則.
2.復數乘法的運算律
對任意復數，有
交換律
結合律
乘法對加法的分配律
6、復數除法的法則
設，(，且)是任意兩個復數，
則
7、方程的虛數根
對所有的實系數一元二次方程，若，則此方程沒有實根，但有兩個虛根，且兩根，故實系數方程的虛根成對出現．
8、常用結論
①②③
題型一：復數的相關概念
1．（江蘇鼓樓·南京市第二十九中學高二月考）已知復數是純虛數，則實數的值為（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【詳解】
是純虛數，
，解得：.
故選：A.
2．（上海市亭林中學）復數，則實數（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3
【答案】B
【詳解】
因為為實數，且，
所以，解得，
故選：B．
3．（江蘇沭陽·）已知復數（是虛數單位）的實部與虛部相等，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
依題意可得，解得.
故選：A.
4．（江門市第二中學高一月考）若復數，其中i是虛數單位，則復數的虛部為（ ）
A．-2i B．2i C．-2 D．2
【答案】C
【詳解】
解：由復數，
則復數的虛部為-2.
故選：C.
5．（廣東荔灣·廣雅中學高三月考）若復數z滿足，則z的虛部是（ ）
A．i B．4 C．-4i D．
【答案】B
【詳解】
由題：，，
所以z的虛部是4.
故選：B
題型二：復數相等
1．（福建永泰縣三中高一月考）.若實數滿足，則的值是（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．-3
【答案】C
【詳解】
依題意，
所以.
故選：C
2．（元氏縣第四中學高二月考）已知，（，為虛數單位），則實數的值為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【詳解】
，，
，，.
故選：C.
3．（安徽省亳州市第一中學）已知，復數，（為虛數單位），若，則（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-4
【答案】B
【詳解】
解：，解得：，所以，
故選：B
4．（臨沂市蘭山區教學研究室高一期中）若，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】C
【詳解】
若，則，
所以則是的充要條件.
故選：C
5．（永安市第三中學）已知復數，、，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
，所以，，則，因此，.
故選：D.
題型三：復數的幾何意義
1．（安徽省渦陽第一中學高二月考）復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【詳解】
由題意，
在復平面中對應的點坐標為，在第一象限
故選：A
2．（全國高一課時練習）復數對應的點關于原點的對稱點為，則對應的向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解：∵復數z＝3+4i對應的點Z（3，4）
∴Z關于原點的對稱點為Z1（﹣3，﹣4）
對應的向量＝﹣3﹣4i
故選：A．
3．（全國高二課時練習）復數與對應的向量分別為，，則所對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由題意可知，向量對應的復數是.
故選：D
4．（湖南湘潭·高三一模）已知為虛數單位，復數，，則復數對應的復平面上的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【詳解】
因為，
所以對應的復平面上的點為，它位于第四象限．
故選：D．
5．（懷仁市大地學校高中部高一月考）復數（位虛數單位）在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【詳解】
由復數（為虛數單位）在復平面內對應的點的坐標為位于第四象限．
故選：D．
題型四：復數的模
1．（大慶市東風中學（文））設復數（是虛數單位），則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由復數，可得，所以，
所以.
故選：D.
2．（永州市第一中學高三月考）若復數滿足，其中是虛數單位，則復數的模為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【詳解】
因為復數z滿足，
所以復數z的模為，
故選：A
3．（重慶市開州中學高三月考）已知復數在復平面內對應的點的坐標為，則（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【詳解】
由已知得，所以，
故選：C
4．（全國高三月考（文））已知復數滿足，其中為虛數單位，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由已知可得，則，所以得模為.
故選：.
5．（五華·云南師大附中高三月考（理））已知復數則為（ ）
A．2 B．4 C． D．10
【答案】C
【詳解】
，，
故選：C．
6．（河北辛集中學高一月考）若復數，則是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】C
【詳解】
解：因為，
所以.
故選：C.
題型五：復數的四則運算
1．（安徽省滁州中學高三月考（文））已知復數的共軛復數滿足（為虛數單位），則復數（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：由，
得，
則復數.
故選：C.
2．（南京市中華中學高三月考）設，則的共軛復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
因為，
所以，
所以的虛部為，
故選：C
3．（全國高三月考（文））復數滿足為虛數單位)，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由，得，
所以復數的虛部為，
故選：A
4．（廣東高三月考）已知為實數，且（是虛數單位），則（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】B
【詳解】
，
，
故選：B
5．（廣東深圳·）若復數為純虛數，則實數的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【詳解】
化簡原式可得：
z為純虛數時，≠0即 ，選項A正確，選項BCD錯誤.
故選
6．（河南（理））已知復數，則的虛部為（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【詳解】
解：，
故復數的虛部為.
故選：A.
7．（江蘇廣陵·揚州中學高一月考）復數滿足，是的共軛復數，則（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【詳解】
由題設，，
∴.
故選：D

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