資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第26講 平面向量基本定理及坐標表示坐標運算
1.平面向量的基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量， 有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使.其中，不共線的向量，叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
2.平面向量的坐標運算
(1)平面向量的坐標運算
(2)向量的坐標求法
已知，，則
3.平面向量共線的坐標表示
設(shè)，，其中，則
【題型一：用基底表示向量】
1．（全國高三專題練習）如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（ ）．
A． B． C．1 D．
2．（三亞華僑學校高三月考）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設(shè)，，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（汕頭市潮南區(qū)陳店實驗學校）已知△ABC的邊BC上有一點D滿足，則可表示為（ ）
A． B．
C． D．
4．（巍山彝族回族自治縣第二中學高一月考）已知為所在平面內(nèi)一點，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（福建廈門一中高二開學考試）如圖，在平行四邊形中，，，，則（ ）（用，表示）
A． B． C． D．
6．（廣東普寧·高一期中）如圖，在平行四邊形中，E是的中點，若，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
7．（陜西富平·高一期末）如圖，在平行四邊形中，E是的中點．若，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（福建省福州第八中學高一期中）在中，點為對角線上靠近點的三等分點，連結(jié)并延長交于，則（ ）
A． B．
C． D．
9．（江西省萬載中學高一期末（理））如圖，已知，用，表示，則等于（ ）
A． B．
C． D．
10．（正陽縣高級中學高三模擬預(yù)測（理））在中，點是線段上靠近的五等分點，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型二：用坐標表示向量】
1．（渾源縣第七中學校高一月考（文））已知A(3，1)，B(2，－1)，則的坐標是（ ）
A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)
2．（重慶實驗外國語學校高一期中）設(shè)、是平面直角坐標系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個單位向量，為坐標原點，若，，則的坐標是（ ）
A． B． C． D．
3．（江蘇海陵·泰州中學高一期中）已知兩點，，則與向量同向的單位向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（北京景山學校遠洋分校高一期中）已知平面直角坐標系內(nèi)一點，向量，向量，那么中點坐標為（ ）
A． B． C． D．
5．（博野縣實驗中學）設(shè)，是平面直角坐標系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個單位向量，為坐標原點，若，，則的坐標是（ ）
A． B． C． D．
6．（浙江）已知，，則與向量共線的單位向量為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．（云南昆明八中高一期中）已知四邊形是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點，則的最小值為（ ）.
A． B． C． D．
【題型三：平面向量線性運算的坐標表示】
1．（全國高一單元測試）如果點按向量平移后得到點，則點按向量平移后得到點N的坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．（全國高一單元測試）設(shè)，向量，.若，則m，n的值分別是（ ）
A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，2
3．（全國高一單元測試）在中，，的中點為，的重心，則B，C的坐標分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（湖南高二學業(yè)考試）已知向量，，若，則（ ）
A．-2 B． C． D．2
5．（全國高三專題練習）已知向量，則（ ）
A． B．2
C． D．50
6．（山東棗莊·高一期中）已知向量，，．若λ為實數(shù)，()∥，則λ＝（ ）.
A． B． C．1 D．2
7．（四川巴中·高一期末（理））若三點、、共線，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
8．（滄源佤族自治縣民族中學高二期末）向量，，，若與共線，則（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
9．（貴州貴陽一中高三月考（文））已知向量，若與共線，則實數(shù)（ ）
A．0 B．1 C． D．2
10．（全國高三專題練習（文））已知向量，向量，若，則（ ）
A． B．5 C． D．中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第26講 平面向量基本定理及坐標表示坐標運算
1.平面向量的基本定理
如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量， 有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使.其中，不共線的向量，叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
2.平面向量的坐標運算
(1)平面向量的坐標運算
(2)向量的坐標求法
已知，，則
3.平面向量共線的坐標表示
設(shè)，，其中，則
題型一：用基底表示向量
1．（全國高三專題練習）如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（ ）．
A． B． C．1 D．
【答案】A
【詳解】
由平面向量基本定理，
化簡
，
所以，即，
故選：A．
2．（三亞華僑學校高三月考）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設(shè)，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
連結(jié)，則為的中位線，
，
故選：A
3．（汕頭市潮南區(qū)陳店實驗學校）已知△ABC的邊BC上有一點D滿足，則可表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
由，
可得，
整理可得，
所以，
故選：A
4．（巍山彝族回族自治縣第二中學高一月考）已知為所在平面內(nèi)一點，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解：因為為所在平面內(nèi)一點，，
所以.
故選：A．
5．（福建廈門一中高二開學考試）如圖，在平行四邊形中，，，，則（ ）（用，表示）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由題意，在平行四邊形中，，，，
根據(jù)平面向量的線性運算法則，可得
.
故選：D.
6．（廣東普寧·高一期中）如圖，在平行四邊形中，E是的中點，若，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
∵，
∴.
故選：D.
7．（陜西富平·高一期末）如圖，在平行四邊形中，E是的中點．若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
.
故選：A
8．（福建省福州第八中學高一期中）在中，點為對角線上靠近點的三等分點，連結(jié)并延長交于，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
解：因為點為對角線上靠近點的三等分點，
所以，
因為四邊形是平行四邊形，所以∥，
所以，所以，所以，
,
故選：B
9．（江西省萬載中學高一期末（理））如圖，已知，用，表示，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
，
故選：A.
10．（正陽縣高級中學高三模擬預(yù)測（理））在中，點是線段上靠近的五等分點，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
，
故選：A．
題型二：用坐標表示向量
1．（渾源縣第七中學校高一月考（文））已知A(3，1)，B(2，－1)，則的坐標是（ ）
A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)
【答案】C
【詳解】
因為A(3，1)，B(2，－1)，
所以＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．
故選：C
2．（重慶實驗外國語學校高一期中）設(shè)、是平面直角坐標系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個單位向量，為坐標原點，若，，則的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由已知條件可得，，因此，.
故選：B.
3．（江蘇海陵·泰州中學高一期中）已知兩點，，則與向量同向的單位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因為，
所以，
所以與同向的單位向量為.
故選：A
4．（北京景山學校遠洋分校高一期中）已知平面直角坐標系內(nèi)一點，向量，向量，那么中點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意點坐標為，點坐標為，
所以中點坐標為．
故選：A．
5．（博野縣實驗中學）設(shè)，是平面直角坐標系內(nèi)分別與軸、軸正方向相同的兩個單位向量，為坐標原點，若，，則的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
因為，，
所以．
故選：D.
6．（浙江）已知，，則與向量共線的單位向量為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【詳解】
因為，，
所以向量，
所以與向量共線的單位向量為或.
故選：B
7．（云南昆明八中高一期中）已知四邊形是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點，則的最小值為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
建立如圖所示的直角坐標系，
則，，.
設(shè)，
則，，，，
所以
.
所以當，時，取得最小值.
故選：C
題型三：平面向量線性運算的坐標表示
1．（全國高一單元測試）如果點按向量平移后得到點，則點按向量平移后得到點N的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
因為，所以點N的坐標為．
故選：C．
2．（全國高一單元測試）設(shè)，向量，.若，則m，n的值分別是（ ）
A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，2
【答案】A
【詳解】
因為，所以，解得．
故選：A．
3．（全國高一單元測試）在中，，的中點為，的重心，則B，C的坐標分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【詳解】
設(shè)，所以，解得，
，解得，所以B，C的坐標分別為，．
故選：B．
4．（湖南高二學業(yè)考試）已知向量，，若，則（ ）
A．-2 B． C． D．2
【答案】C
【詳解】
因為向量，，，所以，所以所以．
故選：C
5．（全國高三專題練習）已知向量，則（ ）
A． B．2
C． D．50
【答案】A
【詳解】
由已知，，
所以，
故選：A.
6．（山東棗莊·高一期中）已知向量，，．若λ為實數(shù)，()∥，則λ＝（ ）.
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【詳解】
因為向量，，
所以，
因為()∥，，
所以，解得，
故選：B
7．（四川巴中·高一期末（理））若三點、、共線，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
，，由題意可得，則，解得.
故選：A.
8．（滄源佤族自治縣民族中學高二期末）向量，，，若與共線，則（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
【答案】D
【詳解】
由條件得，又與共線，
則，解得，
故選：D.
9．（貴州貴陽一中高三月考（文））已知向量，若與共線，則實數(shù)（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【詳解】
由題得，
因為與共線，
所以，
解得.
故選：C．
10．（全國高三專題練習（文））已知向量，向量，若，則（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【詳解】
向量，向量，且，
所以，解得，
所以，所以．
故選：A.

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