資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第27講 平面向量的數(shù)量積
1、向量的數(shù)量積(內(nèi)積)
對于兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做和的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即。
2、兩個向量內(nèi)積有如下重要性質(zhì)
(1)如果是單位向量，則()．
(2)
(3)或
(4)．
(5)
題型一：平面向量數(shù)量積的定義
1．（江西景德鎮(zhèn)一中高一期中（理））在中，若，則此三角形為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【詳解】
∵，
∴，
∴是鈍角，則△ABC是鈍角三角形.
故選：A.
2．（北京東城·）若都是單位向量，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
方向相同大小相等的向量是相等向量，但是不一定方向相同，故A錯誤；
，為的夾角，因為，所以，所以不一定等于1，故B錯誤；
方向相同或者相反的向量是平行向量，但是不一定方向相同或相反，故C錯誤；
因為都是單位向量，所以，所以，故D正確，
故選：D.
3．（上海）下列等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
對A，，故A錯誤；
對B，由于向量的數(shù)量積為數(shù)，所以向量不滿足乘法的結(jié)合律，故B錯誤；
對C，，故C錯誤，
對D，向量的數(shù)量積為數(shù)，故正確.
故選：D.
4．（全國）下列命題正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
解：對于A：，故A錯誤；
對于B：由可以得到，但是由得不到，當時，故B錯誤；
對于C：若則或，故C錯誤；
對于D：，故D正確；
故選：D
5．（全國高一課時練習(xí)）下列命題正確的個數(shù)是
①； ②；③； ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【詳解】
由兩相反向量的和為零向量知①正確；
由于兩向量的數(shù)量積結(jié)果為一實數(shù)知②錯誤，正確結(jié)果應(yīng)為0；
由向量的減法運算法則，③錯；
由向量數(shù)乘的意義知，④錯，
即正確的個數(shù)是，故選A.
6．（浙江高一單元測試）設(shè)、、是非零向量，則下列說法中正確是
A． B．
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【詳解】
由題意得，對于A中，表示與共線的向量，
表示與共線的向量，所以不正確；
對于B中，時，此時，
而，所以不正確；
對于C中，若，
而此時與不一定是相等向量，所以不正確；
對于D中，因為、、是非零向量，
若，則是正確.
故選：D.
題型二：平面向量數(shù)量積的意義
1．（江西九江一中高一期中）向量在向量上的射影為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
向量在向量上的射影為
，
故選：D
2．（四川成都外國語學(xué)校高一期中（理））已知，，向量在方向上投影是4，則為（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【答案】A
【詳解】
解：設(shè)兩個向量的夾角為，由題意已知，，
向量在方向上投影是4，則，
所以；
故選：A.
3．（河北巨鹿中學(xué)高一月考）已知，向量與向量的夾角為，是與同向的單位向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
解：因為，向量與向量的夾角為，是與同向的單位向量，
所以在上的投影向量為
，
故選：D
4．（浙江紹興·）已知向量，，則在方向上的投影是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．3
【答案】D
【詳解】
在方向上的投影為.
故選：D
5．（江蘇省太湖高級中學(xué)高一期中）已知向量=(2，1)，=(1，﹣1)，向量在方向上的投影向量為（ ）
A．(2，﹣2) B．(，) C．(，) D．(，)
【答案】B
【點睛】
向量在方向上的投影，
因為投影向量與方向相同，，
所以向量在方向上的投影向量為.
故選：B
6．（全國高二課時練習(xí)）若，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長為（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【詳解】
，
在的方向上的投影向量為：，
所以在的方向上的投影向量的模長為，
故選：C.
7．（湖北）已知向量，，與同向的單位向量為，則向量在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
在方向上的投影為，又是與方向相同的單位向量，在方向上的投影向量為
故選：D
題型三：模
1．（嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高二期末（文））已知向量，的夾角為60°，，，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【詳解】
∵向量，的夾角為60°，且，，∴，
∴.
故選：D．
2．（全國）已知為單位向量，且，，則（ ）
A．3 B．5 C．10 D．14
【答案】D
【詳解】
因為為單位向量，所以，
.
故選：D
3．（梁河縣第一中學(xué)高二月考）已知＝4， ＝8，與的夾角為120°，則＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
.
故選：A
4．（河西·天津?qū)嶒炛袑W(xué)）平面向量與的夾角為60°，，則等于（ ）
A． B．2 C．4 D．12
【答案】B
【詳解】
因為，
所以，
因為向量與的夾角為60°，
所以，
所以，
故選：B
5．（海口中學(xué)高三月考）已知，則（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【詳解】
，
所以.
故選：A
6．（遵義市第三中學(xué)高一期中）已知向量，，滿足，，．則（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【答案】B
【詳解】
因為，，，
所以，
故選：B
7．（涇縣中學(xué)高一月考）設(shè)向量，均為單位向量，且滿足，則（ ）
A． B．13 C．4 D．5
【答案】A
【詳解】
因為，所以
所以.
故選：A
8．（湖南）已知向量，的夾角為，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解：由，得，
因為向量，的夾角為，，
所以，所以，解得，
故選：A
9．（陜西漢中·高三月考（理））若單位向量滿足，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：因為為單位向量，
所以，所以,
所以，
故選：C.
10．（酉陽土家族苗族自治縣第三中學(xué)校高三模擬預(yù)測）已知向量滿足，則（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】B
【詳解】
∵向量滿足，
，
，
，
，
故選：B
11．（全國高三模擬預(yù)測（理））平面向量與的夾角為，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由已知，
，
.
故選: B .
12．（西藏拉薩中學(xué)高三月考（文））已知平面向量與的夾角為，且為單位向量，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由已知可得，，則，
所以，則.
故選：B.
13．（全國高三月考）已知平面向量與的夾角為60°，，，則的值為（ ）
A． B．2
C．4 D．
【答案】B
【詳解】
因為，所以，又平面向量與的夾角為60°，
==
故選：B
14．（威遠中學(xué)校高一月考（文））已知，滿足：，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
，
所以，．
故選：D．
題型四：平行與垂直關(guān)系
1．（廣東惠州·高一期中）已知向量，，且，則（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【詳解】
由題知，向量，，
若，則，.
故選：C.
2．（廈門市湖濱中學(xué)）已知向量，，，若，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意得，所以，
因為，所以，所以，得.
故選:A
3．（沙坪壩·重慶八中高三月考）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由條件，，所以，從而.
故選：D
4．（貴州凱里一中高二期末（文））若，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【詳解】
故選：C
5．（全國高一課時練習(xí)）已知向量，，且，那么t等于（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
【答案】A
【詳解】
因為，，且，
所以即，解得
故選：A
6．（四川射洪中學(xué)高三月考（文））已知，若，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
因為，所以，解得
故選：C
7．（湖南高二月考）向量，若，則（ ）
A．3 B． C．12 D．
【答案】A
【詳解】
由于，所以，解得.
故選：A
題型五：夾角
1．（全國）為平面向量，已知，則夾角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
設(shè)向量的夾角為θ，則.
故選：A.
2．（云南省南澗縣第一中學(xué)高一月考）設(shè)向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
因為，，
所以.
故選：A.
3．（山西臨汾·）設(shè)，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：因為，
所以，，，
設(shè)向量與的夾角，
所以，
又，
所以與的夾角為．
故選：．
4．（浙江鄞州·寧波咸祥中學(xué)高一期中）已知，則夾角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
依題意.
故選：D
5．（江蘇江都·高一期中）已知向量，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
,
所以，
故選：B.
6．（山東菏澤·高一期末）設(shè)向量，，若，則與的夾角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【詳解】
解：因為向量，，，
所以，解得，
所以，則，
設(shè)與的夾角為，則，
因為，所以，即，
故選：B
7．（全國高三專題練習(xí)（文））已知非零向量，若，則與的夾角為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
∵，∴t=4，∴，又，
∴.
設(shè)與的夾角為θ，則，
因為，所以.
故選：A．
8．（全國高三專題練習(xí)（理））設(shè)向量，，向量與的夾角為銳角，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
由向量，，因為向量與的夾角為銳角，則且，解得且，即的取值范圍為.
故選：.C.
9．（嫩江市第一中學(xué)校高一期末）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
因為，，
所以，
所以.
設(shè)與的夾角為，
則.
因為，
所以.
故選：B
10．（河南南陽·高二期末（理））已知向量，，則“”是“為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】
若為鈍角，則且與不共線，即，即且，
所以“”是“為鈍角”的必要不充分條件.
故選：B.中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第27講 平面向量的數(shù)量積
1、向量的數(shù)量積(內(nèi)積)
對于兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做和的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即。
2、兩個向量內(nèi)積有如下重要性質(zhì)
(1)如果是單位向量，則()．
(2)
(3)或
(4)．
(5)
【題型一：平面向量數(shù)量積的定義】
1．（江西景德鎮(zhèn)一中高一期中（理））在中，若，則此三角形為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形
2．（北京東城·）若都是單位向量，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（上海）下列等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（全國）下列命題正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（全國高一課時練習(xí)）下列命題正確的個數(shù)是
①； ②；③； ④
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（浙江高一單元測試）設(shè)、、是非零向量，則下列說法中正確是
A． B．
C．若，則 D．若，則
【題型二：平面向量數(shù)量積的意義】
1．（江西九江一中高一期中）向量在向量上的射影為（ ）
A． B． C． D．
2．（四川成都外國語學(xué)校高一期中（理））已知，，向量在方向上投影是4，則為（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
3．（河北巨鹿中學(xué)高一月考）已知，向量與向量的夾角為，是與同向的單位向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
4．（浙江紹興·）已知向量，，則在方向上的投影是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．3
5．（江蘇省太湖高級中學(xué)高一期中）已知向量=(2，1)，=(1，﹣1)，向量在方向上的投影向量為（ ）
A．(2，﹣2) B．(，) C．(，) D．(，)
6．（全國高二課時練習(xí)）若，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長為（ ）
A．2 B． C． D．4
7．（湖北）已知向量，，與同向的單位向量為，則向量在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【題型三：模】
1．（嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高二期末（文））已知向量，的夾角為60°，，，則（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（全國）已知為單位向量，且，，則（ ）
A．3 B．5 C．10 D．14
3．（梁河縣第一中學(xué)高二月考）已知＝4， ＝8，與的夾角為120°，則＝（ ）
A． B． C． D．
4．（河西·天津?qū)嶒炛袑W(xué)）平面向量與的夾角為60°，，則等于（ ）
A． B．2 C．4 D．12
5．（海口中學(xué)高三月考）已知，則（ ）
A． B．2 C． D．3
6．（遵義市第三中學(xué)高一期中）已知向量，，滿足，，．則（ ）
A．4 B． C．6 D．8
7．（涇縣中學(xué)高一月考）設(shè)向量，均為單位向量，且滿足，則（ ）
A． B．13 C．4 D．5
8．（湖南）已知向量，的夾角為，，，則（ ）
A． B． C． D．
9．（陜西漢中·高三月考（理））若單位向量滿足，則等于（ ）
A． B． C． D．
10．（酉陽土家族苗族自治縣第三中學(xué)校高三模擬預(yù)測）已知向量滿足，則（ ）
A．3 B． C．7 D．
11．（全國高三模擬預(yù)測（理））平面向量與的夾角為，，，則（ ）
A． B． C． D．
12．（西藏拉薩中學(xué)高三月考（文））已知平面向量與的夾角為，且為單位向量，則（ ）
A．1 B． C． D．
13．（全國高三月考）已知平面向量與的夾角為60°，，，則的值為（ ）
A． B．2
C．4 D．
14．（威遠中學(xué)校高一月考（文））已知，滿足：，，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型四：平行與垂直關(guān)系】
1．（廣東惠州·高一期中）已知向量，，且，則（ ）
A． B．2 C． D．1
2．（廈門市湖濱中學(xué)）已知向量，，，若，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（沙坪壩·重慶八中高三月考）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（貴州凱里一中高二期末（文））若，則（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（全國高一課時練習(xí)）已知向量，，且，那么t等于（ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
6．（四川射洪中學(xué)高三月考（文））已知，若，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
7．（湖南高二月考）向量，若，則（ ）
A．3 B． C．12 D．
【題型五：夾角】
1．（全國）為平面向量，已知，則夾角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（云南省南澗縣第一中學(xué)高一月考）設(shè)向量，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（山西臨汾·）設(shè)，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
4．（浙江鄞州·寧波咸祥中學(xué)高一期中）已知，則夾角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（江蘇江都·高一期中）已知向量，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
6．（山東菏澤·高一期末）設(shè)向量，，若，則與的夾角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．（全國高三專題練習(xí)（文））已知非零向量，若，則與的夾角為（ ）
A． B．
C． D．
8．（全國高三專題練習(xí)（理））設(shè)向量，，向量與的夾角為銳角，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
9．（嫩江市第一中學(xué)校高一期末）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
10．（河南南陽·高二期末（理））已知向量，，則“”是“為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

展開更多......

收起↑