資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第28講 等差數列
1、等差數列的概念
一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,通常用字母d表示．
2、等差數列的四種判斷方法
(1)定義法（或者）(是常數)是等差數列．
(2)等差中項法： ()是等差數列．
(3)通項公式：(為常數)是等差數列．
(4)前項和公式：(為常數)是等差數列．
3、若等差數列的公差為d,則時遞增；時遞減；時是常數數列.
4、對于任意數列，
為遞增數列；（時，數列嚴格遞增）
為遞減數列；（時，數列嚴格遞減）
5、等差數列前項和公式：；
6、等差數列的前n項和Sn的性質
（1）等差數列中依次項之和，，，,…組成公差為的等差數列
(2)在等差數列，中，它們的前項和分別記為則
7、等差數列前項和的最值
在等差數列中，
（1）若有最大值,可由不等式組來確定；
（2）若有最小值,可由不等式組來確定
（3）求等差數列前項和的最值也可以把前項和化為關于的二次函數,通過配方求最值
題型一：等差數列通項公式
1．（寧德市第九中學高二月考）已知等差數列的前項和為，若，則的公差為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【詳解】
由題設，，解得.
故選：A
2．（全國高二單元測試）在數列中，，，若，則（ ）
A．671 B．672 C．673 D．674
【答案】D
【詳解】
∵，，
∴
∴數列是以1為首項，3為公差的等差數列，
∴，解得.
故選：D.
3．（江西南昌·高三開學考試（理））設為數列的前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】C
【詳解】
解：因為，所以有，即數列是以為首項，以為公差的等差數列，所以.
故選：C.
4．（北京牛欄山一中）已知數列中，，，則等于（ ）
A．-12 B．12 C．-16 D．16
【答案】A
【詳解】
解：數列中，，，即，
所以數列為等差數列，公差為，
所以，
所以．
故選：A．
5．（慶陽第六中學高一期末）已知等差數列的前項和為，若，，則的公差為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【詳解】
由，得.
又，所以.
故選：B
題型二：等差中項
1．（全國高二單元測試）在等差數列中，，則（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【詳解】
由題意，數列為等差數列，結合等差數列的性質得，，
則，所以.
故選：B.
2．（北京房山·）8，2的等差中項是（ ）
A．±5 B．±4 C．5 D．4
【答案】C
【詳解】
8，2的等差中項為.
故選：C
3．（全國）等差數列，，，…的第四項等于(　　)
A．10 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【詳解】
解：由題意可得,(1＋x)＋(5x＋1)＝2(2x＋2)
解得x＝1
∴這個數列為2，4，6，8，…
故選C.
4．（江西省銅鼓中學（文））已知是等差數列，且是和的等差中項，則的公差為（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【答案】B
【詳解】
設等差數列的公差為d.
由已知條件，得，
即，解得.
故選B.
題型三：等差數列性質
1．（四川省資中縣第二中學（理））在等差數列中，則 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由等差數列的性質有，則.
故選：D
2．（西藏昌都市第一高級中學高二月考）在等差數列中，若，則（ ）
A．20 B．24 C．27 D．29
【答案】D
【詳解】
解：，所以，又，所以，
所以，
故選：D
3．（全國高二課時練習）設是等差數列，且，則（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
【答案】B
【詳解】
設等差數列的公差為，
因為，
可得，解得，
又由.
故選：B.
4．（貴州大學附屬中學高一月考）等差數列的前項和為30，前項和為100，則前項和為（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
【答案】C
【詳解】
∵為等差數列，
∴成等差數列，
即成等差數列，
，
解得.
故選：C.
5．（寧德市第九中學高二月考）已知等差數列滿足，是數列的前項和，則使取最大值的自然數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【詳解】
設等差數列的公差為d，依題意，，解得：，
于是得，由得，，
因此，數列是遞減等差數列，其前5項均為正，從第6項開始為負，則其前5項和最大，
所以使取最大值的自然數n是5.
故選：B
6．（新蔡縣第一高級中學高二月考（文））已知等差數列，的前項和分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
，
故選：A.
7．（江西九江一中高一期末）已知兩個等差數到和的前項和分別為和，且，則=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【詳解】
依題意.
故選：D
8．（江西省蓮花中學高一月考）是等差數列的前項和，且．則時，的最大值為（ ）
A．197 B．198 C．199 D．200
【答案】B
【詳解】
解：因為，即，，所以，所以數列的公差，所以，，故時，的最大值為198；
故選：B
9．（青銅峽市高級中學高一期中）若等差數列滿足，，當則當前項和取得最大值時的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【詳解】
由題意，等差數列滿足，，
根據等差數列的性質，可得，即，
又由，可得，
所以當前項和取得最大值時的值是.
故選：B.
10．（安徽（文））在等差數列中，已知，，則使數列的前項和成立時n的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
【答案】D
【詳解】
，，，，，
，,使數列的前n項和成立時n的最小值為10，
故選：D.
11．（賽罕·內蒙古師大附中）等差數列中，，，則數列各項中取值為正數的有（ ）
A．8項或9項 B．7項或8項 C．17項或18項 D．16項或17項
【答案】A
【詳解】
若，則，得，而，所以，即，所以；
若，得，而，所以，即，所以；
若，則，得.
所以數列各項中取值為正數的有8項或9項，
故選：A.
題型四：等差數列前項和
1．（全國高二課時練習）在等差數列中，若，則的值是（ ）
A．12 B．24
C．36 D．48
【答案】B
【詳解】
由S10=，
得a1+a10=，
故選：B
2．（全國高二課時練習）已知公差不為0的等差數列滿足，為數列的前項和，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【詳解】
設公差不為0的等差數列滿足，
則，整理可得．
則．
故選：B．
3．（全國高二專題練習）已知為等差數列且，，為其前項的和，則（ ）
A．176 B．182 C．188 D．192
【答案】D
【詳解】
，，
，
，
故選：D.
4．（全國高二課時練習）已知等差數列滿足：，，的前項和為．求及；
【答案】（1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)；（2）．
【詳解】
（1）設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2．
∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
5．（廣西南寧·高一月考）記為等差數列的前項和，已知，.
求公差及的通項公式；
【答案】（1），；
【詳解】
（1）設的公差為，由題意得.
由得.
所以的通項公式為.
6．（全國高二課時練習）已知等差數列中，，.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）因為等差數列中，首項為，公差為，
所以其通項公式為；
（2）由（1）可得，數列的前項和.
7．（全國高二單元測試）已知是等差數列，其中，公差，
（1）求的通項公式.
（2）求數列前項和.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）是等差數列，且，，
；
（2）.
題型五：等差數列前項和最大（小）問題
1．（全國高二課時練習）設等差數列的前項和為，若，，則使的最小正整數的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【詳解】
設等差數列{an}的公差為d，由S11-S8=3，得a11+a10+a9=3，即3a10=3，解得a10=1，
于是得a1+9d=1，而a11-a8=3d=3，即d=1，則有a1=-8，
從而得等差數列{an}的通項公式為：an=-9+n，
由-9+n>0得n>9，而n是正整數，則，
所以使an>0的最小正整數n的值是10.
故選：C
2．（貴州貴陽一中高三月考（文））已知等差數列的前項和為，且有，，則的最小值為（ ）
A．-40 B．-39 C．-38 D．-14
【答案】A
【詳解】
因為，，所以，，所以，
由得，所以前項和最小，
.
故選：A
3．（雙峰縣第一中學高三開學考試）已知等差數列的通項公式為，則其前項和的最大值為（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【詳解】
當時，，可得最大，.
故選：B
4．（河南高二月考（文））在等差數列中，.
（1）求的通項公式;
（2）求的前項和及的最小值.
【答案】（1）；（2），-36.
【詳解】
（1）設的公差為，
根據題意得
解得，
所以.
（2）根據等差數列的前項和公式得
則當時，取得最小值.
5．（全國）設等差數列滿足，.
（1）求的通項公式；
（2）求的前項和及使得最大的自然數的值.
【答案】（1）an=11-2n，n∈N*；（2）Sn=-（n-5）2+25，n=5.
【詳解】
解（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9，
得
解得
所以數列{an}的通項公式為an=11-2n，n∈N*.
（2）由（1）知，Sn=na1+d=10n-n2.
因為Sn=-（n-5）2+25，
所以當n=5時，Sn取得最大值.
6．（皮山縣高級中學高一期中）已知等差數列中，，，求
（1）求的通項公式；
（2）的前項和.
【答案】（1）或；（2）或．
【詳解】
解：（1）設的公差為，
因為，，
解得，或，．
所以，或，
解得或．
所以，或．
（2）由（1）可得：或，
所以，或．
題型六：已知和關系
1．（廣西平果二中高一期中）已知是等差數列的前項和，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）為何值時，取得最大值并求其最大值．
【答案】（1）；（2）n=4時取得最大值.
【詳解】
（1）由題意可知：，當時，，
當時，，
當時，顯然成立，∴數列的通項公式；
（2），
由，則時，取得最大值28，
∴當為4時，取得最大值，最大值28．
2．（全國高二專題練習）設數列的前項和為，已知，，.求數列的通項公式；
【答案】（1）；
【詳解】
（1）當時，，
當時，也成立，
綜上所述，.
3．（南昌市豫章中學高三開學考試（理））已知數列的前項和為.
求數列的通項公式；
【答案】（1）
【詳解】
(1)解：由可得，,
當時，,式子對也成立.
故數列的通項公式為，
4．（渾源縣第七中學校高三模擬預測（理））已知數列的前項和為，且滿足.求數列的通項公式；
【答案】（1）；
【詳解】
（1）∵數列滿足，，
∴令n=1，則，解得.
當n≥2時，，
則，
，
.
∴數列是首項為4，公比為4的等比數列，則其通項公式為.
5．（山東高三專題練習）已知正項數列的前項和為，且和滿足：.求的通項公式；
【答案】（1）；
【詳解】
（1）當時，，解得：，
當且時，，
∴，
整理可得：，
∵，∴，∴，
∴數列以2為首項，4為公差的等差數列，
∴.中小學教育資源及組卷應用平臺
第28講 等差數列
1、等差數列的概念
一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,通常用字母d表示．
2、等差數列的四種判斷方法
(1)定義法（或者）(是常數)是等差數列．
(2)等差中項法： ()是等差數列．
(3)通項公式：(為常數)是等差數列．
(4)前項和公式：(為常數)是等差數列．
3、若等差數列的公差為d,則時遞增；時遞減；時是常數數列.
4、對于任意數列，
為遞增數列；（時，數列嚴格遞增）
為遞減數列；（時，數列嚴格遞減）
5、等差數列前項和公式：；
6、等差數列的前n項和Sn的性質
（1）等差數列中依次項之和，，，,…組成公差為的等差數列
(2)在等差數列，中，它們的前項和分別記為則
7、等差數列前項和的最值
在等差數列中，
（1）若有最大值,可由不等式組來確定；
（2）若有最小值,可由不等式組來確定
（3）求等差數列前項和的最值也可以把前項和化為關于的二次函數,通過配方求最值
【題型一：等差數列通項公式】
1．（寧德市第九中學高二月考）已知等差數列的前項和為，若，則的公差為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（全國高二單元測試）在數列中，，，若，則（ ）
A．671 B．672 C．673 D．674
3．（江西南昌·高三開學考試（理））設為數列的前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．10 D．
4．（北京牛欄山一中）已知數列中，，，則等于（ ）
A．-12 B．12 C．-16 D．16
5．（慶陽第六中學高一期末）已知等差數列的前項和為，若，，則的公差為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【題型二：等差中項】
1．（全國高二單元測試）在等差數列中，，則（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
2．（北京房山·）8，2的等差中項是（ ）
A．±5 B．±4 C．5 D．4
3．（全國）等差數列，，，…的第四項等于(　　)
A．10 B．6 C．8 D．12
4．（江西省銅鼓中學（文））已知是等差數列，且是和的等差中項，則的公差為（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【題型三：等差數列性質】
1．（四川省資中縣第二中學（理））在等差數列中，則 =（ ）
A． B． C． D．
2．（西藏昌都市第一高級中學高二月考）在等差數列中，若，則（ ）
A．20 B．24 C．27 D．29
3．（全國高二課時練習）設是等差數列，且，則（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
4．（貴州大學附屬中學高一月考）等差數列的前項和為30，前項和為100，則前項和為（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
5．（寧德市第九中學高二月考）已知等差數列滿足，是數列的前項和，則使取最大值的自然數是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（新蔡縣第一高級中學高二月考（文））已知等差數列，的前項和分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
7．（江西九江一中高一期末）已知兩個等差數到和的前項和分別為和，且，則=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（江西省蓮花中學高一月考）是等差數列的前項和，且．則時，的最大值為（ ）
A．197 B．198 C．199 D．200
9．（青銅峽市高級中學高一期中）若等差數列滿足，，當則當前項和取得最大值時的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（安徽（文））在等差數列中，已知，，則使數列的前項和成立時n的最小值為（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
11．（賽罕·內蒙古師大附中）等差數列中，，，則數列各項中取值為正數的有（ ）
A．8項或9項 B．7項或8項 C．17項或18項 D．16項或17項
【題型四：等差數列前項和】
1．（全國高二課時練習）在等差數列中，若，則的值是（ ）
A．12 B．24
C．36 D．48
2．（全國高二課時練習）已知公差不為0的等差數列滿足，為數列的前項和，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（全國高二專題練習）已知為等差數列且，，為其前項的和，則（ ）
A．176 B．182 C．188 D．192
4．（全國高二課時練習）已知等差數列滿足：，，的前項和為．求及；
5．（廣西南寧·高一月考）記為等差數列的前項和，已知，.
求公差及的通項公式；
6．（全國高二課時練習）已知等差數列中，，.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
7．（全國高二單元測試）已知是等差數列，其中，公差，
（1）求的通項公式.
（2）求數列前項和.
【題型五：等差數列前項和最大（小）問題】
1．（全國高二課時練習）設等差數列的前項和為，若，，則使的最小正整數的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（貴州貴陽一中高三月考（文））已知等差數列的前項和為，且有，，則的最小值為（ ）
A．-40 B．-39 C．-38 D．-14
3．（雙峰縣第一中學高三開學考試）已知等差數列的通項公式為，則其前項和的最大值為（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
4．（河南高二月考（文））在等差數列中，.
（1）求的通項公式;
（2）求的前項和及的最小值.
5．（全國）設等差數列滿足，.
（1）求的通項公式；
（2）求的前項和及使得最大的自然數的值.
6．（皮山縣高級中學高一期中）已知等差數列中，，，求
（1）求的通項公式；
（2）的前項和.
【題型六：已知和關系】
1．（廣西平果二中高一期中）已知是等差數列的前項和，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）為何值時，取得最大值并求其最大值．
2．（全國高二專題練習）設數列的前項和為，已知，，.求數列的通項公式；
3．（南昌市豫章中學高三開學考試（理））已知數列的前項和為.
求數列的通項公式；
4．（渾源縣第七中學校高三模擬預測（理））已知數列的前項和為，且滿足.求數列的通項公式；
5．（山東高三專題練習）已知正項數列的前項和為，且和滿足：.求的通項公式；

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