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第30講 遞推公式求通項
1、法（項與和互化求通項）
注意：絕大部分題目當時，用替換了，有時候解題需逆向，把題目中的用替換進題目中。
2、累加法
累加法（疊加法）
若數列滿足，則稱數列為“變差數列”，求變差數列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。
具體步驟：
將上述個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：
=
整理得：=
3、累乘法
累乘法（疊乘法）
若數列滿足，則稱數列為“變比數列”，求變比數列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。
具體步驟：
將上述個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：
整理得：
4、構造法
類型1： 用“待定系數法”構造等比數列
形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式。
類型2：用“同除法”構造等差數列
（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉化為，從而構造數列為等差數列，先求出的通項，便可求得的通項公式。
（2）形如，的數列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，便可求得的通項公式
5、倒數法
用“倒數變換法”構造等差數列
類型1：形如（為常數，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，即可求得.
類型2：形如（為常數，，，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符合專題四類型1： 用“待定系數法”構造等比數列：形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式。）
題型一：已知和關系求通項
1．（阜康市第一中學）已知數列的前項和為 ()．
求數列的通項公式；
【答案】（1）
【詳解】
（1）當時，，
當時， ，滿足上式，
所以
2．（全國高二專題練習）已知數列的前n項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）當時，；
當，，即，
∴是首項為，公比為2的等比數列，所以.
（2），
由，得，解得.
3．（浙江高三專題練習）已知數列的前項和為
（1）當取最小值時，求的值；
（2）求出的通項公式.
【答案】（1）或；（2）
【詳解】
解：（1），
因為，
所以當或時，取最小值，
（2）當時，，
當時，，
當時，滿足上式，
所以
題型二：累加法
1．（浙江高三專題練習）（1）已知數列滿足，，求通項公式；
（2）設數列中，，，求通項公式.
【答案】（1）an＝－ (n∈N*)；（2）an＝ (n∈N*)．
【詳解】
（1）∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－ (n≥2)．
又∵n＝1時，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－ (n∈N*)．
（2）∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1時，a1＝1，符合上式，∴an＝ (n∈N*)．
2．（哈爾濱市第三十二中學校高一期中）已知數列中，，且時，，求.
【答案】
【詳解】
當時，∵
∴
∴，
∴，
又符合上式，
∴.
3．（安徽高三月考（理））已知數列滿足，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
【答案】（1）ann2n；（2）．
【詳解】
（1）數列{an}滿足a1＝3，an﹣an﹣1﹣3n＝0，n≥2，
即an﹣an﹣1＝3n，
可得an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）
＝3+6+9+…+3nn（3+3n）n2n；
（2）bn （），
前n項和Sn（1）
（1）．.
題型三：累乘法
1．（全國高二課時練習）已知數列中，，前項和.
（1）求，；
（2）求的通項公式．
【答案】（1）a2＝3，a3＝6 ；（2）an=.
【詳解】
(1)由S2＝a2，得(a1＋a2)＝a2，
又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
∴a3＝ (a1＋a2)＝6.
(2)∵當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴an＝an－1，即＝.
∴an＝··…···a1
＝··…···1
＝.
又a1＝1滿足上式，
∴an＝.
2．（全國高二專題練習）設是首項為1的正項數列，且 ，求通項公式.
【答案】
【詳解】
由，
得，
∵，∴，
∴ ，
∴，
∴，
又a1＝1滿足上式，
∴.
題型四：構造法
1．（全國高二專題練習）數列中，，求數列的通項公式．
【答案】
【詳解】
依題意，
，
所以數列是以為首項，公比為的等比數列，
所以，
所以.
2．（全國高三專題練習）在數列中，，求.
【答案】
【詳解】
解：因為，
所以，而，
∴是首項為4，公比為2的等比數列，故，
∴.
3．（銅山啟星中學）數列滿足，，求其通項公式
【答案】
【詳解】
令，所以，
因為，所以，可得，
所以，
所以是以為首項，公比為的等比數列，
所以，可得.
題型五：倒數法
1．（全國）已知數列中，，，求的通項公式.
【答案】.
【詳解】
，兩邊取倒數得，即，
又因為，所以是首項為，公差為的等差數列，
所以，故；第30講 遞推公式求通項
1、法（項與和互化求通項）
注意：絕大部分題目當時，用替換了，有時候解題需逆向，把題目中的用替換進題目中。
2、累加法
累加法（疊加法）
若數列滿足，則稱數列為“變差數列”，求變差數列的通項時，利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。
具體步驟：
將上述個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：
=
整理得：=
3、累乘法
累乘法（疊乘法）
若數列滿足，則稱數列為“變比數列”，求變比數列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法。
具體步驟：
將上述個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：
整理得：
4、構造法
類型1： 用“待定系數法”構造等比數列
形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式。
類型2：用“同除法”構造等差數列
（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉化為，從而構造數列為等差數列，先求出的通項，便可求得的通項公式。
（2）形如，的數列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，便可求得的通項公式
5、倒數法
用“倒數變換法”構造等差數列
類型1：形如（為常數，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，即可求得.
類型2：形如（為常數，，，）的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符合專題四類型1： 用“待定系數法”構造等比數列：形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，先求出的通項，從而求出數列的通項公式。）
【題型一：已知和關系求通項】
1．（阜康市第一中學）已知數列的前項和為 ()．
求數列的通項公式；
2．（全國高二專題練習）已知數列的前n項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求.
3．（浙江高三專題練習）已知數列的前項和為
（1）當取最小值時，求的值；
（2）求出的通項公式.
【題型二：累加法】
1．（浙江高三專題練習）（1）已知數列滿足，，求通項公式；
（2）設數列中，，，求通項公式.
2．（哈爾濱市第三十二中學校高一期中）已知數列中，，且時，，求.
3．（安徽高三月考（理））已知數列滿足，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
【題型三：累乘法】
1．（全國高二課時練習）已知數列中，，前項和.
（1）求，；
（2）求的通項公式．
2．（全國高二專題練習）設是首項為1的正項數列，且 ，求通項公式.
【題型四：構造法】
1．（全國高二專題練習）數列中，，求數列的通項公式．
2．（全國高三專題練習）在數列中，，求.
3．（銅山啟星中學）數列滿足，，求其通項公式
【題型五：倒數法】
1．（全國）已知數列中，，，求的通項公式.

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