資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第31講 數(shù)列求和常用方法
1、裂項(xiàng)相消法
裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每一項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后再重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此規(guī)律拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)相消，適用于類似這種形式，用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法，是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，高考中常見以下幾種類型。
常見的裂項(xiàng)技巧
類型①
類型②
類型③
2、錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．
溫馨提示：1.兩個(gè)特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.
2.關(guān)注相減的項(xiàng)數(shù)及沒有參與相減的項(xiàng)的保留.
3、倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4、分組求和法，如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.
【題型一：分組求和】
1．（河南）已知等比數(shù)列不是常數(shù)列，，且是和的等差中項(xiàng).
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高二月考）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
3．（全國高二專題練習(xí)）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【題型二：倒序相加求和】
1．（全國高二期末）對任意都有.數(shù)列滿足：，則__________.
2．（全國）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【題型三：裂項(xiàng)相消求和】
1．（沙坪壩·重慶八中高三月考）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若， .
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
2．（曲靖市關(guān)工委麒麟希望學(xué)校高二期中）已知數(shù)列（）是公差不為0的等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
3．（西藏昌都市第三高級中學(xué)高二期末）在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和．若．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【題型四：錯(cuò)位相減求和】
1．（陜西長安一中高二月考（理））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記為的前n項(xiàng)和，求.
2．（河北·天津五十七中高三月考）等差數(shù)列中，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證；
（3）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
3．（山東）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且滿足．
（1）求；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第31講 數(shù)列求和常用方法
1、裂項(xiàng)相消法
裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每一項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后再重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此規(guī)律拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)相消，適用于類似這種形式，用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法，是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，高考中常見以下幾種類型。
常見的裂項(xiàng)技巧
類型①
類型②
類型③
2、錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．
溫馨提示：1.兩個(gè)特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.
2.關(guān)注相減的項(xiàng)數(shù)及沒有參與相減的項(xiàng)的保留.
3、倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4、分組求和法，如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.
題型一：分組求和
1．（河南）已知等比數(shù)列不是常數(shù)列，，且是和的等差中項(xiàng).
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）因?yàn)槭?和的等差中項(xiàng)，所以.
設(shè)的公比為，因?yàn)椋裕?br/>解得或（舍去，否則為常數(shù)數(shù)列），所以.
（2）由（1）可知，，
.
2．（江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高二月考）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由于，，成等比數(shù)列，則，解得，所以，
（2）由題意，，
所以．
3．（全國高二專題練習(xí)）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】（1） an＝2n－1，bn＝3n－1；（2）2n－1＋.
【詳解】
（1）設(shè)公比為q，∵a1＝1，a2a4＝16，
∴q4＝16，∵q＞0，∴q＝2，∴an＝2n－1，
∵Sn＝，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝－＝3n－1
當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝S1＝2滿足上式，∴bn＝3n－1；
（2）cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(2＋5＋…＋3n－1)
＝＋＝2n－1＋．
題型二：倒序相加求和
1．（全國高二期末）對任意都有.數(shù)列滿足：，則__________.
【答案】
【詳解】
由題意得：，，，……，
，
，
，解得：.
故答案為：.
2．（全國）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】
【詳解】
因?yàn)椋?br/>.
故….①
….②
①+②，得，.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
題型三：裂項(xiàng)相消求和
1．（沙坪壩·重慶八中高三月考）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若， .
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
由題意得：
∴即
∴.
（2）由（1）知，
∴
∴.
2．（曲靖市關(guān)工委麒麟希望學(xué)校高二期中）已知數(shù)列（）是公差不為0的等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
解：（1）設(shè)的公差為d，因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以.
即，即又，且，解得
所以有.
（2）由（1）知：
則.即.
3．（西藏昌都市第三高級中學(xué)高二期末）在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和．若．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
解：（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
由題意得，
解得，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，
即有前項(xiàng)和
．
題型四：錯(cuò)位相減求和
1．（陜西長安一中高二月考（理））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記為的前n項(xiàng)和，求.
【答案】（1），；（2）.
【詳解】
（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以；
（2）證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以.
2．（河北·天津五十七中高三月考）等差數(shù)列中，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證；
（3）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）．
【詳解】
（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，．
，，
解得，．
；
（2）證明：由（1）可得：．
，
數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（3）解：．
數(shù)列的前項(xiàng)和，
，
，
解得：．
3．（山東）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且滿足．
（1）求；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】
解析：（1）
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，①
②
①－②得
當(dāng)時(shí)
將這個(gè)式子相乘得
當(dāng)時(shí)，滿足上式
（2）
①
②
①－②得
．

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