資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第32講 空間幾何體的體積及表面積
空間幾何體的表面積與體積公式
　　　　名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱)
錐體(棱錐和圓錐)
臺體(棱臺和圓臺)
球
【題型一：柱錐臺表面積】
1．（全國高一課時練習）正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則它的表面積為（）
A． B．
C． D．
2．（全國高二單元測試）已知一個圓臺的軸截面面積為6，軸截面的一個底角為30°，則這個圓臺的側面積是（ ）
A． B． C． D．
3．（全國）若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側面為矩形，側棱長為4，則其側面積等于（ ）
A．12 B．48 C．64 D．72
4．（全國高一課時練習）若圓錐的底面直徑為6，高是4，則它的側面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（廣東海豐·高一月考）若一個圓柱的側面積和它的兩個底面積之和相等，則該圓柱的母線長與底面圓的半徑的關系是（ ）
A． B． C． D．以上答案都有可能
6．（重慶實驗外國語學校高二期中）已知圓錐的高為，底面半徑為4．若一球的表面積與此圓錐的側面積相等，則該球的半徑為（ ）
A． B． C． D．2
7．（河北大名·）已知圓臺的上底面面積是下底面面積的倍，母線長為4，若圓臺的側面積為，則圓臺的高為（ ）
A．2 B． C．5 D．
8．（運城市新康國際實驗學校高二月考（理））如圖，圓柱的底面半徑為1，平面為圓柱的軸截面，從點開始，沿著圓柱的側面拉一條繩子到點，若繩子的最短長度為，則該圓柱的側面積為（ ）
A． B． C． D．
9．（天津市軍糧城中學高一期中）正四棱臺的上、下底面邊長分別為，，側棱長為，則棱臺的側面積為（ ）
A． B．
C． D．
10．（福建南平·高一期末）如圖，圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為5，若一個平行于底面的平面沿著該圓臺母線的中點將此圓臺分為上下兩個圓臺，設該平面上方的圓臺側面積為，下方的圓臺側面積為，則（ ）
A． B． C． D．
11．（山西呂梁·高一期末）圓錐的母線長是2，側面積是，則該圓錐的高為（ ）
A． B． C． D．2
12．（全國）已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
13．（云南昆明八中高一期中）棱長都是3的正四面體的表面積為（ ）
A． B． C． D．54
【題型二：柱錐臺體積】
1．（全國高一課時練習）若一個四棱錐的底面的面積為3，體積為9，則其高為（ ）
A． B．1 C．3 D．9
2．（全國高一課時練習）如圖所示，正方體的棱長為1，則三棱錐的體積是（ ）
A． B． C． D．1
3．（全國高一課時練習）設四棱錐的底面是對角線長分別為2和4的菱形，四棱錐的高為3，則該四棱錐的體積為（ ）
A．12 B．24 C．4 D．30
4．（全國高一課時練習）棱臺的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則棱臺的體積等于（ ）
A． B． C． D．6
5．（全國高一課時練習）已知等腰直角三角形的直角邊長為2，將該三角形繞其中一條直角邊所在直線旋轉一周所圍成的幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
6．（廣東羅湖·高三月考）若將面積為2的等腰直角三角形，以其一條直角邊所在的直線為旋轉軸旋轉而成一個圓錐，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
7．（貴州師大附中高一月考）已知圓臺上 下底面的半徑分別為1和2，高為1，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
8．（肥城市教學研究中心高三模擬預測）《九章算術》中，將兩底面為直角三角形的正柱體，亦即長方體的斜截平分體，稱為塹堵.今有如圖所示的塹堵形狀容器裝滿水，當水量使用了一半時，水面高度占的（ ）
A． B．
C． D．
9．（山西高平·高一期中）已知一個圓錐的母線長為，其母線與底面所成的角為，則這個圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
10．（長沙鐵路第一中學高二開學考試）已知圓錐的表面積為3π，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（　　）
A． B． C． D．
11．（江蘇灌云·高二期中）若用半徑為2的半圓紙片卷成一個圓錐筒，則這個圓錐的體積為（ ）
A．1 B． C． D．
12．（江蘇鼓樓·南京市第二十九中學高一月考）如圖，棱錐體積與長方體體積的比值為（ ）
A． B． C． D．
13．（浙江高三專題練習）已知為等腰直角三角形，，其面積為1．以為軸，則將旋轉一周形成的幾何體的體積為（ ）
A． B．
C． D．
14．（高郵市臨澤中學高一期末）一個長、寬、高分別為80cm、60cm、100cm的長方體形狀的水槽裝有適量的水，現放入一個直徑為40cm的木球（水沒有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（ ）
A．cm B．cm
C．cm D．cm
15．（北京市延慶區教育科學研究中心高一期末）如圖，正方體的棱長為，那么三棱錐的體積是（ ）
A． B． C． D．
16．（江蘇揚州·高一期末）已知正四棱錐的底面邊長為2，側棱長為，則該正四棱錐的體積等于（ ）
A． B． C． D．4
【題型三：球的表面積和體積】
1．（西藏拉薩中學高三月考（理））矩形中，，，沿將矩形折起，使面面，則四面體的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
2．（全國高一課時練習）一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個平面的距離是，則該球的體積是（ ）
A． B． C． D．
3．（昭通市昭陽區第一中學高二月考（理））半徑為2cm的小金屬球共有125個，熔化后鑄成一個大金屬球，如果不計損耗，可鑄成的大金屬球的表面積為（ ）
A．100 B．400 C．100 D．400
4．（天津河東·高二學業考試）一個球的表面積為，則這個球的半徑為（ ）
A．6 B．12 C． D．
5．（湖北武漢·高三開學考試）某圓柱體的底面直徑和高均與某球體的直徑相等，則該圓柱體表面積與球體表面積的比值為（ ）
A．2 B． C． D．
6．（浙江鄞州·寧波咸祥中學高一期中）一個球的體積為，則此球的半徑是（ ）
A． B． C． D．
7．（廣東東莞·高一期末）已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
8．（浙江臺州·高一期末）半徑為1的球的體積為（ ）
A． B． C． D．
9．（貴州高二學業考試）棱長為2的正方體內切球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
10．（廣西七星·桂林十八中高二開學考試（理））若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）．
A． B． C． D．
11．（綏化市第二中學）設正方體的棱長為，則它的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
12．（上海浦東新·華師大二附中）如果一個圓錐和一個半球有公共底面，圓錐的體積恰好等于半球的體積，那么這個圓錐的軸截面的頂角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
13．（北京人大附中）已知正三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長為，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B．3 C．6 D．9
14．（廣西來賓·高三模擬預測（文））已知在高為2的正四棱錐中，，則正四棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
15．（重慶市江津中學校高一開學考試）一個球的外切正方體的表面積為，則此球的體積為（ ）
A． B． C． D．中小學教育資源及組卷應用平臺
第32講 空間幾何體的體積及表面積
空間幾何體的表面積與體積公式
　　　　名稱 幾何體　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱)
錐體(棱錐和圓錐)
臺體(棱臺和圓臺)
球
題型一：柱錐臺表面積
1．（全國高一課時練習）正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則它的表面積為（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則高為，它的表面積為.
故選:B.
2．（全國高二單元測試）已知一個圓臺的軸截面面積為6，軸截面的一個底角為30°，則這個圓臺的側面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
設圓臺上底面的半徑為，下底面的半徑為，圓臺的高為，
所以，
由題得，
所以這個圓臺的側面積是.
故選：B
3．（全國）若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側面為矩形，側棱長為4，則其側面積等于（ ）
A．12 B．48 C．64 D．72
【答案】D
【詳解】
解：六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，
故底面周長，
又側面是矩形，側棱長為4，
故棱柱的高，
棱柱的側面積，
故選：D
4．（全國高一課時練習）若圓錐的底面直徑為6，高是4，則它的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
作圓錐的軸截面如圖，則高AD=4,底面半徑CD=3,
圓錐的母線AC=5，
所以圓錐的側面積為.
故選：C.
5．（廣東海豐·高一月考）若一個圓柱的側面積和它的兩個底面積之和相等，則該圓柱的母線長與底面圓的半徑的關系是（ ）
A． B． C． D．以上答案都有可能
【答案】A
【詳解】
圓柱的側面積和它的兩個底面積之和相等，，.
故選：A.
6．（重慶實驗外國語學校高二期中）已知圓錐的高為，底面半徑為4．若一球的表面積與此圓錐的側面積相等，則該球的半徑為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【詳解】
設球的半徑為，因為圓錐的高為，底面半徑為4，
所以圓錐的母線長為：，
由題意可知：，
故選：A
7．（河北大名·）已知圓臺的上底面面積是下底面面積的倍，母線長為4，若圓臺的側面積為，則圓臺的高為（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【詳解】
設上底面的半徑為，因為圓臺的上底面面積是下底面面積的倍，
所以下底面的半徑為，又母線長為4，圓臺的側面積為，
所以，解得，所以，
所以圓臺的高為，
故選：B．
8．（運城市新康國際實驗學校高二月考（理））如圖，圓柱的底面半徑為1，平面為圓柱的軸截面，從點開始，沿著圓柱的側面拉一條繩子到點，若繩子的最短長度為，則該圓柱的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
長方形為圓柱的側面展開圖，如圖所示：
由題知：，，分別為和的中點.
所以.
所以圓柱的側面積為.
故選：A
9．（天津市軍糧城中學高一期中）正四棱臺的上、下底面邊長分別為，，側棱長為，則棱臺的側面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
正四棱臺的上、下底面邊長分別為，，側棱長為，
所以棱臺的斜高為: .
所以棱臺的側面積是: .
故選：D.
10．（福建南平·高一期末）如圖，圓臺上底面半徑為3，下底面半徑為5，若一個平行于底面的平面沿著該圓臺母線的中點將此圓臺分為上下兩個圓臺，設該平面上方的圓臺側面積為，下方的圓臺側面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
如圖為圓臺的截面圖形，截面圓圓心為O，半徑為r，則，l為上下方圓臺的母線長，則，∴
故選：C.
11．（山西呂梁·高一期末）圓錐的母線長是2，側面積是，則該圓錐的高為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【詳解】
設圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，
因為圓錐的側面積是，所以，所以，
則，
故選：A.
12．（全國）已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由題意，圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，
即圓錐的底面圓的半徑為，母線長為，
所以該圓錐的側面積為.
故選：B.
13．（云南昆明八中高一期中）棱長都是3的正四面體的表面積為（ ）
A． B． C． D．54
【答案】A
【詳解】
解：因為正四面體的棱長為3，
所以正四面體的表面積為，
故選：A
題型二：柱錐臺體積
1．（全國高一課時練習）若一個四棱錐的底面的面積為3，體積為9，則其高為（ ）
A． B．1 C．3 D．9
【答案】D
【詳解】
設四棱錐的高為h，則由錐體的體積公式得：×3h=9，解得h=9，
所以所求高為9.
故選：D
2．（全國高一課時練習）如圖所示，正方體的棱長為1，則三棱錐的體積是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【詳解】
三棱錐D-ACD1的體積等于三棱錐D1-ACD的體積，三棱錐D1-ACD的底面ACD是直角邊長為1的等腰直角三角形，高D1D=1，∴三棱錐D-ACD1的體積為V=×1×1×1=.
故選：A
3．（全國高一課時練習）設四棱錐的底面是對角線長分別為2和4的菱形，四棱錐的高為3，則該四棱錐的體積為（ ）
A．12 B．24 C．4 D．30
【答案】C
【詳解】
所求的體積為，
故選：C.
4．（全國高一課時練習）棱臺的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則棱臺的體積等于（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【詳解】
依題意，棱臺的上底面面積，下底面面積，高為，
故由公式可知，棱臺的體積是，
故選：C.
5．（全國高一課時練習）已知等腰直角三角形的直角邊長為2，將該三角形繞其中一條直角邊所在直線旋轉一周所圍成的幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意可知，所得幾何體為圓錐，其體積.
故選：A．
6．（廣東羅湖·高三月考）若將面積為2的等腰直角三角形，以其一條直角邊所在的直線為旋轉軸旋轉而成一個圓錐，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由等腰直角三角形的面積為2，得其直角邊長為2，
所以經過旋轉得到圓錐的高為2，底面圓半徑為2，
所以圓錐的體積為：.
故選：D
7．（貴州師大附中高一月考）已知圓臺上 下底面的半徑分別為1和2，高為1，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
由題意，該圓臺，
則該圓臺的體積.
故選：B.
8．（肥城市教學研究中心高三模擬預測）《九章算術》中，將兩底面為直角三角形的正柱體，亦即長方體的斜截平分體，稱為塹堵.今有如圖所示的塹堵形狀容器裝滿水，當水量使用了一半時，水面高度占的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
水的一半就是體積的一半，柱體體積公式是底面積乘高，高沒變，底面積變為一半，
因為底面是等腰直角三角形，所以邊長變為AB的，
所以水面高度占AB的，
故選：C.
9．（山西高平·高一期中）已知一個圓錐的母線長為，其母線與底面所成的角為，則這個圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由題得底面圓的半徑，高，
故圓錐的體積．
故選：D
10．（長沙鐵路第一中學高二開學考試）已知圓錐的表面積為3π，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，
由，得，
又，
所以，解得；
所以圓錐的高為，
所以圓錐的體積為．
故選：C．
11．（江蘇灌云·高二期中）若用半徑為2的半圓紙片卷成一個圓錐筒，則這個圓錐的體積為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【詳解】
設圓錐的底面半徑為，則，得，
所以圓錐的高為，
所以圓錐的體積為，
故選：D
12．（江蘇鼓樓·南京市第二十九中學高一月考）如圖，棱錐體積與長方體體積的比值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：設，
因為平面，
所以，
因為，
所以棱錐體積與長方體體積的比值為，
故選：C
13．（浙江高三專題練習）已知為等腰直角三角形，，其面積為1．以為軸，則將旋轉一周形成的幾何體的體積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
解：因為為等腰直角三角形，，其面積為1，
所以，且，解得，
以為軸，則將旋轉一周形成的幾何體為圓錐，此圓錐的底面半徑為，高為，
所以圓錐的體積為，
故選：C
14．（高郵市臨澤中學高一期末）一個長、寬、高分別為80cm、60cm、100cm的長方體形狀的水槽裝有適量的水，現放入一個直徑為40cm的木球（水沒有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（ ）
A．cm B．cm
C．cm D．cm
【答案】B
【詳解】
解：因為直徑為40cm的木球，一半在水中，一半在水上，
所以可得木球在水中的體積，
因為木球在水中的體積等于水槽上升的體積，
所以水槽中水面上升的高度為
故選：B
15．（北京市延慶區教育科學研究中心高一期末）如圖，正方體的棱長為，那么三棱錐的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
.
故選：D
16．（江蘇揚州·高一期末）已知正四棱錐的底面邊長為2，側棱長為，則該正四棱錐的體積等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【詳解】
如圖，正四棱錐，，，則，
則該正四棱錐的體積.
故選：A
題型三：球的表面積和體積
1．（西藏拉薩中學高三月考（理））矩形中，，，沿將矩形折起，使面面，則四面體的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
如圖：
矩形中，因為，
所以，
設交于，則是和的外心，
所以到點的距離均為，所以為四面體的外接球的球心，
所以四面體的外接球的半徑，
所以四面體的外接球的體積.
故選:A.
2．（全國高一課時練習）一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個平面的距離是，則該球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
設球心為，截面圓心為，連接，則垂直于截面圓，如圖所示，
在中，，，
球的半徑，球的體積．
故選：B.
3．（昭通市昭陽區第一中學高二月考（理））半徑為2cm的小金屬球共有125個，熔化后鑄成一個大金屬球，如果不計損耗，可鑄成的大金屬球的表面積為（ ）
A．100 B．400 C．100 D．400
【答案】D
【詳解】
設大金屬球的半徑為，
則，
所以其表面積為.
故選：D
4．（天津河東·高二學業考試）一個球的表面積為，則這個球的半徑為（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】A
【詳解】
由題意得，設球的半徑為R，
則，
解得.
故選：A
5．（湖北武漢·高三開學考試）某圓柱體的底面直徑和高均與某球體的直徑相等，則該圓柱體表面積與球體表面積的比值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：設圓柱得底面半徑為，則高為，球的半徑為，
所以圓柱體表面積，
球得表面積，
所以圓柱體表面積與球體表面積的比值為.
故選：C.
6．（浙江鄞州·寧波咸祥中學高一期中）一個球的體積為，則此球的半徑是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
設球的半徑為，則.
故選：C
7．（廣東東莞·高一期末）已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
如圖，O為外接球球心，母線BB1長度為2，底面半徑r=O2B=1，易得外接球半徑，
∴外接球體積.
故選：B.
8．（浙江臺州·高一期末）半徑為1的球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
利用球的體積公式，可得球的體積.
故選：D.
9．（貴州高二學業考試）棱長為2的正方體內切球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解：因為正方體的棱長為2，
所以正方體的內切球半徑為，
所以內切球的表面積為,
故選：A
10．（廣西七星·桂林十八中高二開學考試（理））若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
解：設正方體外接球的半徑為，則由題意可得
，得，
所以球的表面積為，
故選：B
11．（綏化市第二中學）設正方體的棱長為，則它的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
因為正方體的棱長為，故體對角線的長度為，
故外接球的直徑為，其表面積為，
故選：C.
12．（上海浦東新·華師大二附中）如果一個圓錐和一個半球有公共底面，圓錐的體積恰好等于半球的體積，那么這個圓錐的軸截面的頂角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：幾何體的軸截面如圖所示，設圓錐的底面半徑為，高為，母線長為，則球的半徑也為，
因為圓錐的體積恰好等于半球的體積，
所以，得，
所以，
設圓錐的軸截面的頂角為，則
，
故選：C
13．（北京人大附中）已知正三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長為，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】C
【詳解】
正三棱錐的外接球即是棱長為的正方體的外接球，
所以外接球的直徑，
所以,
外接球的表面積，
故選：C
14．（廣西來賓·高三模擬預測（文））已知在高為2的正四棱錐中，，則正四棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
設正方形ABCD的中心為О，正四棱錐外接球的半徑為，有，，解得，
則正四棱錐外接球的體積為.
故選：B
15．（重慶市江津中學校高一開學考試）一個球的外切正方體的表面積為，則此球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
解：因為正方體的表面積為，所以正方體的棱長為1cm，
因為球內切于正方體，所以球的直徑為1cm，所以球的半徑為cm，
所以球的體積為，
故選：B

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