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第34講 空間向量在空間幾何中的運用二
1．（全國高二課時練習）如圖,三棱柱中,平面平面,且,,求異面直線與所成角的余弦值.
2．（浙江高二單元測試）在正三棱柱中，若，求與所成角的大小.
3．（惠來縣華僑中學高二月考）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為棱的中點．
（1）求直線與直線所成角的余弦值.
（2）求證：平面；
4．（全國高二單元測試）如圖，正方體中，是的中點，求與平面所成角的正弦值.
5．（浙江高三專題練習）如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點是的中點.
（I）求證：// 平面；
（II）若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值.
6．（吉林白城一中）如圖，四棱錐中，為正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
7．（莆田錦江中學高二期末）在直三棱柱中，，，，點是的中點；
（I）求異面直線，所成角的余弦值；
（II）求直線與平面所成角的正弦值．
8．（黔西南州同源中學（理））如圖所示，平面，四邊形為矩形，，，．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
9．（浙江高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，．
（）求與平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
10．（江西九江一中高二月考（理））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點．
（1）求證：；
（2）求平面與平面所成的角的余弦值．
11．（西城·北京四中）如圖，在四棱柱，底面，，，且，點在棱上，平面與棱相交于點.
（Ⅰ） 證明：平面；
（Ⅱ）棱上是否存在點，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（Ⅲ）求三棱錐的體積的最大值.
12．（武漢市育才高級中學高二月考）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面，垂直于和，為棱上的點，，．
（1）當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；
（2）在第（1）問條件下，設點是線段上的動點，與平面所成的角為，求當取最大值時點的位置．
13．（北京市陳經綸中學高二月考）在四棱錐中，底面ABCD為長方形，底面ABCD，，；的可能取值為：①；②；③；④；⑤．已知線段CD上存在點E，滿足．
（1）求t的所有可能取值，并說明理由；
（2）當t為所有可能取值的最大值時，線段上滿足的點有兩個，分別記為，，求二面角的大小．
14．（東城·北京二中高二月考）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側面底面.若.
（1）求證：平面；
（2）求平面和平面夾角的余弦值；
（3）點是側棱上一點，且直線和平面所成角的大小為30°，求的值.
15．（大埔縣虎山中學）如圖，在四棱錐中，已知平面 ，且四邊形為直角梯形，，，.
（1）求平面與平面夾角的余弦值；
（2）點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，求線段的長.
16．（天津市第七中學高三月考）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.
（1）證明：：
（2）求直線與平面所成角的正弦值：
（3）若為棱上一點，且滿足，求二面角的余弦值.中小學教育資源及組卷應用平臺
第34講 空間向量在空間幾何中的運用二
1．（全國高二課時練習）如圖,三棱柱中,平面平面,且,,求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】
【詳解】
以為坐標原點,所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,
所以.
設所求的角為,
則,
即異面直線與所成角的余弦值為.
2．（浙江高二單元測試）在正三棱柱中，若，求與所成角的大小.
【答案】
【詳解】
由題意可得，平面；設，則，
又，，
所以
.
故.
即，
即與所成角的大小為.
3．（惠來縣華僑中學高二月考）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為棱的中點．
（1）求直線與直線所成角的余弦值.
（2）求證：平面；
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【詳解】
(1) 以為原點，分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，
則，，，，，，，
因為E為棱BC的中點，F為棱CD的中點，所以，，
所以，，
∴，，
即直線與所成角的余弦值為；
（2）設平面的一個法向量為，
又，，
則，令，則，
因為，所以，
因為平面，所以平面；
4．（全國高二單元測試）如圖，正方體中，是的中點，求與平面所成角的正弦值.
【答案】.
【詳解】
如圖，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則
.設平面的法向量為，
令，則，
.
故與平面所成角的正弦值為.
5．（浙江高三專題練習）如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點是的中點.
（I）求證：// 平面；
（II）若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（I）證明見解析；（II）.
【詳解】
（I）證明：連接BD角AC于點F，再連接EF.
因為四邊形是菱形，所以點F是BD的中點，
又因為點是的中點，所以EF是三角形DBS的中位線，
所以DS平行EF，
又因為EF平面ACE，SD平面ACE
所以// 平面
（II）因為四邊形是菱形，，所以
又AB=AD，所以三角形ABD為正三角形.
取AB的中點O，連接SO，則DOAB
因為平面平面，平面平面=AB
所以DO平面ABS，又因為三角形ABS為正三角形
則以O為坐標原點建立坐標系
設AB=2a，則
設平面ADS的一個法向量為
則
取x=1，則
所以
設直線AC與平面ADS所成角為
則
6．（吉林白城一中）如圖，四棱錐中，為正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
詳解：
（1）連接，
∵是正方形，是的中點，∴是的中點，
∵是的中點，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）建立如圖所示空間直角坐標系，設，
則，，，，
，，，
設平面的法向量，則，
取得，
設與平面所成角為，
則.
7．（莆田錦江中學高二期末）在直三棱柱中，，，，點是的中點；
（I）求異面直線，所成角的余弦值；
（II）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（I）（II）
解：（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標系A﹣xyz，
則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），
∴cos＜，＞==
∴異面直線A1B，AC1所成角的余弦值為：；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），
設平面C1AD的法向量為=（x，y，z），
則可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），
設直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=
∴直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值為：
8．（黔西南州同源中學（理））如圖所示，平面，四邊形為矩形，，，．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【答案】（1）見解析（2）
【詳解】
（1）∵四邊形ABEF為矩形
又平面ADE，AE平面ADE
平面ADE
又，
同理可得：平面ADE
又，BF，BC 平面BCF
∴平面平面ADE
又CF平面BCF
平面ADE
（2）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，則
，，
,,
設是平面CDF的一個法向量，則
即
令，解得
又是平面AEFB的一個法向量，
∴平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為.
9．（浙江高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，．
（）求與平面所成角的正弦．
（）求二面角的余弦值．
【答案】(1) .
(2) .
詳解：
（）∵是矩形，
∴，
又∵平面，
∴，，即，，兩兩垂直，
∴以為原點，，，分別為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標系，
由，，得，，，，，，
則，，，
設平面的一個法向量為，
則，即，令，得，，
∴，
∴，
故與平面所成角的正弦值為．
（）由（）可得，
設平面的一個法向量為，
則，即，令，得，，
∴，
∴，
故二面角的余弦值為．
10．（江西九江一中高二月考（理））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點．
（1）求證：；
（2）求平面與平面所成的角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】
解：（1）依題意，棱DA，DC，DP兩兩互相垂直.
以點D為原點，依次以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，
如圖，建立空間直角坐標系.
則，，，.
可得，.
所以，
所以
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
設平面的一個法向量為，則由
得
令，解得.
同理，可求平面PDC的一個法向量.
所以，平面PAM與平面PDC所成的銳二面角滿足：
.
即平面PAM與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為.
11．（西城·北京四中）如圖，在四棱柱，底面，，，且，點在棱上，平面與棱相交于點.
（Ⅰ） 證明：平面；
（Ⅱ）棱上是否存在點，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（Ⅲ）求三棱錐的體積的最大值.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在，；（Ⅲ）當F與重合時，體積最大值為.
【詳解】
（Ⅰ）因為平面與棱相交于點，所以平面，
在四棱柱中，因為平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
又因為平面，平面，所以平面；
（Ⅱ）因為底面，，所以以為原點，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，
所以，
設面的法向量為，則，即，
取，則，所以，
取面的一個法向量，因為二面角的余弦值為，
所以，解得或，
因為，所以，即為棱的中點時，二面角的余弦值為，
所以.
（Ⅲ）過作于點，
因為面面，面面，面面，，所以面，
所以，
因為與重合時，取得最大值，
所以與重合時，三棱錐的體積最大，最大為.
12．（武漢市育才高級中學高二月考）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面，垂直于和，為棱上的點，，．
（1）當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；
（2）在第（1）問條件下，設點是線段上的動點，與平面所成的角為，求當取最大值時點的位置．
【答案】（1）；（2）
【詳解】
由題設，面，又面，則，，又，
又，則面，
由面，面面，則面面，
∴可構建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，如下圖示：
由，，，且，
∴，
（1），
若是面的一個法向量，則，令，即，
又是面的一個法向量，
∴，故面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
（2）若，則，故，
由（1）知：令，則，
∴，若，
∴，則時取最大，
此時，，可得，即，
∴，則.
13．（北京市陳經綸中學高二月考）在四棱錐中，底面ABCD為長方形，底面ABCD，，；的可能取值為：①；②；③；④；⑤．已知線段CD上存在點E，滿足．
（1）求t的所有可能取值，并說明理由；
（2）當t為所有可能取值的最大值時，線段上滿足的點有兩個，分別記為，，求二面角的大小．
【答案】（1）t可以取①②③；理由見解析；（2）30°．
【詳解】
（1）如圖所示，以BC，BA，BP的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系．
則各點坐標分別為， ，，．
設，所，，．
∴，∴，
∴在所給的數據中，t可以取①②③．
（2）由（1）知，此時或．
根據題意得，其坐標為和，
∵底面ABCD，∴，，
∴是二面角的平面角，
由，
由題意得，二面角為銳角，所以二面角的大小為30°．
14．（東城·北京二中高二月考）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側面底面.若.
（1）求證：平面；
（2）求平面和平面夾角的余弦值；
（3）點是側棱上一點，且直線和平面所成角的大小為30°，求的值.
【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).
【分析】
【詳解】
(1)因，即，而平面平面，平面平面，平面，
則平面，而平面，即有，
在直角梯形中，且，又，令，則，，
中， 由余弦定理得，
于是有，即，而，平面PAC，
所以平面；
(2)由(1)知，AB，AD，AP兩兩垂直，以點A為原點，向量的方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖，
令，則，，
設平面的法向量，則，令，得，
而平面的法向量，于是得，顯然平面和平面夾角為銳角，
所以平面和平面夾角的余弦值是；
(3)由(2)知，，因點是側棱上一點，則，，
因直線和平面所成角的大小為30°，
則，解得，
所以的值為.
15．（大埔縣虎山中學）如圖，在四棱錐中，已知平面 ，且四邊形為直角梯形，，，.
（1）求平面與平面夾角的余弦值；
（2）點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，求線段的長.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
解：（1）以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，1，，，2，0），，0，2），
因為平面，所以是平面的一個法向量，，
．，
設平面的法向量為，，，則，取，得．
故．
又由圖示得平面 PAB與平面 PCD 的夾角是銳角，所以平面 PAB與平面 PCD 夾角的余弦值是；
，
，，
設，則，當且僅當，即時，取等號，
所以的最大值是，
又因為在上單調遞減， 與所成的角最小，
，
所以線段BQ的長為.
16．（天津市第七中學高三月考）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.
（1）證明：：
（2）求直線與平面所成角的正弦值：
（3）若為棱上一點，且滿足，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.
【詳解】
（1）以點A為原點，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系.
可得，，，，由E為棱PC的中點，得，
向量，，故，
所以.
（2）向量，，.
設為平面PBD的法向量，則，即，
令，得為平面PBD的一個法向量，
所以，
所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.
（3）向量，，，.
因為點F在棱PC上，，，
所以，
由，得，因此，解得，
即，
設為平面FAB的法向量，則，即
令，得為平面FAB的一個法向量.
取平面ABP的法向量，則，
經觀察知二面角是銳角，所以其余弦值為.

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