資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第37講 直線與圓的綜合問題
1．（全國高一課時練習(xí)）求過點，圓心在直線上，且與直線相切的圓的方程．
【答案】．
【詳解】
設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為r，
由題意得：，解得，
故所求圓的方程為．
2．（江蘇高二專題練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點.
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）若圓與直線：交于，兩點，_____________，求的值.從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析.
【詳解】
（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為.
由圓的圓心在直線上，知：.
又∵圓與軸相切于點，
∴，，則.
∴圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為.
（Ⅱ）如果選擇條件①：，而，
∴圓心到直線的距離，則，解得或.
如果選擇條件②：，而，
∴圓心到直線的距離，則，解得或.
3．（陜西新城·）已知圓經(jīng)過，兩點，且與軸的正半軸相切.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與圓交于，求.
【答案】（1）；（2）
【詳解】
(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
根據(jù)圓C經(jīng)過A(2，0)，B(8，0)兩點，且與y軸的正半軸相切.
，解得：，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
(2)圓心到直線的距離為 .
所以.
4．（全國高二課時練習(xí)）求直線被圓截得的弦的長．
【答案】
【詳解】
解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，
所以利用點到直線的距離可以求得弦心距為，
所以根據(jù)幾何法得弦長為．
所以弦的長為
5．（江蘇廣陵·揚州中學(xué)高二月考）已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點和點，且圓心在軸上.
（1）求圓的方程；
（2）已知直線與圓相交于兩點，求所得弦長的值.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
(1)由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2.則圓的方程為；
(2)圓心（2，0）到l的距離為d，=1，.
6．（平羅中學(xué)高二月考（文））已知直線：，圓：.
（1）討論直線與圓的位置關(guān)系；
（2）若是圓上任意一點，求點到直線距離的最小值.
【答案】（1）相離；（2）2.
【詳解】
（1）由題意，圓的圓心為，半徑為，而圓心到直線的距離，
∴，即直線與圓位置關(guān)系為相離.
（2）由（1）知：要使圓上一點到直線距離的最小，則在圓心和直線l之間，且在到直線l的垂線段上，
∴點到直線距離的最小值為.
7．（全國高二單元測試）（1）求圓的切線方程，使得它經(jīng)過點
（2）圓的切線在軸上截距相等，求切線方程
【答案】（1）；（2）或或.
【詳解】
（1）因為點滿足圓的方程，
所以在圓上，
則直線的斜率，
根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得所求直線的斜率，
所以經(jīng)過M的直線方程為，
整理可得：；
（2）由題意可得，
當(dāng)截距全為0時，即直線過原點，可設(shè)直線方程為，
則圓心到直線的距離，
即，解得：，
此時直線方程為，
當(dāng)截距相等且不為0時，可設(shè)直線方程為，
則圓心到直線的距離，
即，解得：或，
此時切線方程為或，
綜上可得切線方程為：或或.
8．（浙江奉化·高二期末）已知直線過點，圓．
（Ⅰ）求圓的圓心坐標(biāo)及直線截圓弦長最長時直線的方程；
（Ⅱ）若過點直線與圓恒有公共點，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）（0，-2），;（Ⅱ）.
【詳解】
（Ⅰ）圓C方程標(biāo)準(zhǔn)化為：
∴圓心C的坐標(biāo)為（0，﹣2）
直線截圓C弦長最長，即過圓心，
故此時的方程為：，
整理得：；
（Ⅱ）若過點M的直線與圓C恒有公共點，
則點M在圓上或圓內(nèi)，
∴，
得．
9．（全國高二期中）已知點在圓：上．
（Ⅰ）求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長；
（Ⅱ）過點,斜率為的直線與圓相交于兩點，求弦的長．
【答案】（Ⅰ）圓心，半徑；（Ⅱ）弦長
【詳解】
（Ⅰ）由題可知：
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
所以圓心，半徑
（Ⅱ）直線的方程為，即
則圓心到直線的距離為
所以弦長
10．（浙江高二單元測試）直線被圓截得的弦長為8，求的值．
【答案】或.
【詳解】
由題可知弦心距為，
代入點到直線的距離公式：
平方解方程得：或.
11．（新疆昌吉·）已知圓.
（1）求圓心的坐標(biāo)和半徑的值；
（2）若直線與圓相交于兩點，求.
【答案】（1）圓心，半徑為；（2）.
【詳解】
（1），得，
所以圓心，半徑為；
（2）圓心到直線距離為，
.
12．（福建三明一中）已知圓經(jīng)過，，三點．
（1）求圓的方程；
（2）求軸被圓截得的弦長．
【答案】（1）；（2）8
【詳解】
（1）設(shè)圓的方程為．
因為圓經(jīng)過
解得，，，則圓的方程為．
（2）由（1）可得圓的圓心，半徑．
因為圓的圓心，所以圓到軸的距離，
因為圓的半徑，所以軸被圓截得的弦長為．
13．（貴溪市實驗中學(xué)）已知點和
（1）求直線的斜率和的中點的坐標(biāo)；
（2）若圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上，求圓的方程．
【答案】(1)斜率為1，坐標(biāo)為 (2)
【詳解】
（1）由已知可得
，
的中點的坐標(biāo)為(2,0).
（2）設(shè)圓心為，半徑為
圓心在直線上，，則點為
由題意可得
解得
，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
14．（貴溪市實驗中學(xué)高二期末）已知圓.
（1）此方程表示圓，求的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線相交于.兩點，且 (為坐標(biāo)原點)，求的值；
【答案】(1) (2)
試題解析：
（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5
（2）設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+ y1y2=0.
將直線方程x+2y-4=0與曲線C：x2+y2-2x-4y+m=0聯(lián)立并消去y得
5x2-8x+4m-16=0，由韋達(dá)定理得x1+x2=①,x1x2=②，
=64-20（4m-16）=384-80m﹥0﹥所以m﹤4
又由x+2y-4=0得y= (4-x),
∴x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)· (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0.
將①、②代入得m=,滿足﹥ 0.中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第37講 直線與圓的綜合問題
1．（全國高一課時練習(xí)）求過點，圓心在直線上，且與直線相切的圓的方程．
2．（江蘇高二專題練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點.
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）若圓與直線：交于，兩點，_____________，求的值.從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.
3．（陜西新城·）已知圓經(jīng)過，兩點，且與軸的正半軸相切.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與圓交于，求.
4．（全國高二課時練習(xí)）求直線被圓截得的弦的長．
5．（江蘇廣陵·揚州中學(xué)高二月考）已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點和點，且圓心在軸上.
（1）求圓的方程；
（2）已知直線與圓相交于兩點，求所得弦長的值.
6．（平羅中學(xué)高二月考（文））已知直線：，圓：.
（1）討論直線與圓的位置關(guān)系；
（2）若是圓上任意一點，求點到直線距離的最小值.
7．（全國高二單元測試）（1）求圓的切線方程，使得它經(jīng)過點
（2）圓的切線在軸上截距相等，求切線方程
8．（浙江奉化·高二期末）已知直線過點，圓．
（Ⅰ）求圓的圓心坐標(biāo)及直線截圓弦長最長時直線的方程；
（Ⅱ）若過點直線與圓恒有公共點，求實數(shù)的取值范圍．
9．（全國高二期中）已知點在圓：上．
（Ⅰ）求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長；
（Ⅱ）過點,斜率為的直線與圓相交于兩點，求弦的長．
10．（浙江高二單元測試）直線被圓截得的弦長為8，求的值．
11．（新疆昌吉·）已知圓.
（1）求圓心的坐標(biāo)和半徑的值；
（2）若直線與圓相交于兩點，求.
12．（福建三明一中）已知圓經(jīng)過，，三點．
（1）求圓的方程；
（2）求軸被圓截得的弦長．
13．（貴溪市實驗中學(xué)）已知點和
（1）求直線的斜率和的中點的坐標(biāo)；
（2）若圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上，求圓的方程．
14．（貴溪市實驗中學(xué)高二期末）已知圓.
（1）此方程表示圓，求的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線相交于.兩點，且 (為坐標(biāo)原點)，求的值；

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