資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第40講 拋物線
1、拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
頂點 O（0，0）
范圍 ， ， ， ，
對稱軸 軸 軸
焦點
離心率
準(zhǔn)線方程
焦半徑
【題型一：拋物線的定義】
1．（山西平城·大同一中高二月考）若拋物線上一點到焦點的距離為8，則點的縱坐標(biāo)為（ ）
A．6 B． C．7 D．
2．（綏德中學(xué)高二月考（文））已知拋物線上一點到焦點的距離與到軸的距離之差為1，則＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（全國高二課時練習(xí)）若點為拋物線上的動點，為拋物線的焦點，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
4．（廣西柳州·高三開學(xué)考試（理））已知是拋物線的焦點，直線是拋物線的準(zhǔn)線，則到直線的距離為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（廣東南山·蛇口育才中學(xué)高三月考）若拋物線上的點到焦點的距離是4，則拋物線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
6．（貴州貴陽·高三開學(xué)考試（文））已知拋物線：的焦點為，點在上且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
7．（北京西城·）在拋物線上，若橫坐標(biāo)為的點到焦點的距離為，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（全國高二課前預(yù)習(xí)）若拋物線上一點到該拋物線的焦點的距離，則點到軸的距離為（ ）
A． B． C． D．
【題型二：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程】
1．（全國高二課時練習(xí)）如果拋物線的準(zhǔn)線是直線，那么它的焦點坐標(biāo)為（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．
2．（南昌市實驗中學(xué)高三月考（理））拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（ ）
A． B． C． D．
3．（貴州（文））已知拋物線：（）上一點到焦點的距離為8，則＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（全國高二課時練習(xí)）已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩個不同的點，若，則線段的中點到軸的距離為（ ）
A．3 B． C．5 D．
5．（貴州凱里一中高三三模（文））已知拋物線：的焦點，準(zhǔn)線為，點，線段的中點在上，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
6．（浙江高二單元測試）已知拋物線上一點到焦點的距離為，則其焦點坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
7．（安徽安慶·（文））頂點在坐標(biāo)原點，焦點是雙曲線的左焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（上海浦東新·高三二模）以圓的圓心為焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【題型三：拋物線的弦長】
1．（北京延慶·）設(shè)為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為，為拋物線上一點．若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（四川遂寧·高三二模（文））若過拋物線：的焦點且斜率為2的直線與交于，兩點，則線段的長為（ ）
A．3. B．4 C．5 D．6
3．（廣西浦北中學(xué)（理））已知拋物線的焦點在直線上，又經(jīng)過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，則（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（遼寧凌源·高三月考）已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于點，，則（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（河南（文））已知為的兩個頂點，點在拋物線上，且到焦點的距離為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
6．（廣西玉州·高二期中（文））已知拋物線的焦點為，為拋物線上的點，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線與拋物線相交于兩點，求弦長.
7．（黃岡天有高級中學(xué)高二月考）已知拋物線，其焦點到其準(zhǔn)線的距離為，過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，
（1）求拋物線的方程及其焦點坐標(biāo)；
（2）求.
8．（全國高二課時練習(xí)）已知動圓經(jīng)過點，并且與直線相切
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）經(jīng)過點(2,0)且傾斜角等于135°的直線與軌跡相交于兩點，求中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第40講 拋物線
1、拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
頂點 O（0，0）
范圍 ， ， ， ，
對稱軸 軸 軸
焦點
離心率
準(zhǔn)線方程
焦半徑
題型一：拋物線的定義
1．（山西平城·大同一中高二月考）若拋物線上一點到焦點的距離為8，則點的縱坐標(biāo)為（ ）
A．6 B． C．7 D．
【答案】A
【詳解】
設(shè)點，
因為拋物線方程為x2=8y，
所以其準(zhǔn)線方程為，
又因為拋物線上點P到焦點的距離為8，
由拋物線的定義得：，
交點，
所以點P的縱坐標(biāo)為6，
故選：A
2．（綏德中學(xué)高二月考（文））已知拋物線上一點到焦點的距離與到軸的距離之差為1，則＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】
由題意到準(zhǔn)線的距離減去到軸距離等于1，所以，．
故選：B．
3．（全國高二課時練習(xí)）若點為拋物線上的動點，為拋物線的焦點，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由，得，∴，則，所以焦點，由拋物線上所有點中，頂點到焦點的距離最小，得的最小值為.
故選：D．
4．（廣西柳州·高三開學(xué)考試（理））已知是拋物線的焦點，直線是拋物線的準(zhǔn)線，則到直線的距離為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【詳解】
由得，所以F到直線l的距離為
故選：B
5．（廣東南山·蛇口育才中學(xué)高三月考）若拋物線上的點到焦點的距離是4，則拋物線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為
到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點的距離，則，所以，
故拋物線方程為，
故選：B．
6．（貴州貴陽·高三開學(xué)考試（文））已知拋物線：的焦點為，點在上且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離可知，
故選：D
7．（北京西城·）在拋物線上，若橫坐標(biāo)為的點到焦點的距離為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
若橫坐標(biāo)為的點到焦點的距離為，則由拋物線的定義知，，
解得.
故選：D.
8．（全國高二課前預(yù)習(xí)）若拋物線上一點到該拋物線的焦點的距離，則點到軸的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
根據(jù)題意可知拋物線的準(zhǔn)線方程為，∵到該拋物線的焦點的距離為，
∴到準(zhǔn)線的距離為，即，∴，代入拋物線方程求得，
∴點到軸的距離為.
故選：A
題型二：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程
1．（全國高二課時練習(xí)）如果拋物線的準(zhǔn)線是直線，那么它的焦點坐標(biāo)為（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．
【答案】D
【詳解】
由于拋物線的準(zhǔn)線是直線，所以它的焦點為.
故選：D
2．（南昌市實驗中學(xué)高三月考（理））拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
拋物線的焦點為，雙曲線的漸近線方程為，
故焦點到漸近線的距離為，
故選：D.
3．（貴州（文））已知拋物線：（）上一點到焦點的距離為8，則＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【詳解】
因為到焦點F的距離為8，
所以，得.
故選：D
4．（全國高二課時練習(xí)）已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩個不同的點，若，則線段的中點到軸的距離為（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【詳解】
由拋物線方程，得其準(zhǔn)線方程為.設(shè)，，由拋物線的定義，得，即，所以線段中點的橫坐標(biāo)為，線段的中點到軸的距離為．
故選：B.
5．（貴州凱里一中高三三模（文））已知拋物線：的焦點，準(zhǔn)線為，點，線段的中點在上，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
焦點為，線段的中點為，將點代入得，解得，點到直線的距離為.
故選：C
6．（浙江高二單元測試）已知拋物線上一點到焦點的距離為，則其焦點坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解：拋物線上一點到焦點的距離為，
由拋物線的定義知，即，所以，所以，
拋物線的焦點坐標(biāo)為，
故選：A.
7．（安徽安慶·（文））頂點在坐標(biāo)原點，焦點是雙曲線的左焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
因為，∴，∴，，∴，∴．
故選：B．
8．（上海浦東新·高三二模）以圓的圓心為焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
的圓心，
圓心為焦點的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：C．
題型三：拋物線的弦長
1．（北京延慶·）設(shè)為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為，為拋物線上一點．若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由題意可得點的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，
因為為拋物線上一點，，
所以點的橫坐標(biāo)為4，
當(dāng)時，，所以，
所以 的面積為，
故選：D
2．（四川遂寧·高三二模（文））若過拋物線：的焦點且斜率為2的直線與交于，兩點，則線段的長為（ ）
A．3. B．4 C．5 D．6
【答案】C
【詳解】
拋物線：的焦點
所以直線的方程為，
設(shè)，，
由，消去并整理得，
所以，.
故選：C.
3．（廣西浦北中學(xué)（理））已知拋物線的焦點在直線上，又經(jīng)過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，則（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【詳解】
解：因為直線與軸的交點為，
所以拋物線的焦點坐標(biāo)為，設(shè)，拋物線方程為，
所以過焦點且傾斜角為的直線方程為，
設(shè)，
由，得，
所以，
所以，
故選：C
4．（遼寧凌源·高三月考）已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于點，，則（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【詳解】
由點在拋物線上得，設(shè)，由直線過定點得
，解得（舍去2），
所以
故選：C.
5．（河南（文））已知為的兩個頂點，點在拋物線上，且到焦點的距離為，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由題意，點在拋物線上，設(shè)，
又由拋物線的準(zhǔn)線方程為
根據(jù)拋物線的定義知，拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，
即，解得，
所以.
故選：C.
6．（廣西玉州·高二期中（文））已知拋物線的焦點為，為拋物線上的點，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線與拋物線相交于兩點，求弦長.
【答案】（1）；（2）.
（1），
所以，即拋物線C的方程.
（2）設(shè)，
由得
所以，
所以
.
7．（黃岡天有高級中學(xué)高二月考）已知拋物線，其焦點到其準(zhǔn)線的距離為，過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點，
（1）求拋物線的方程及其焦點坐標(biāo)；
（2）求.
【答案】（1），焦點坐標(biāo)為；（2）8.
【詳解】
解：（1）拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為，得，
所以拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為.
（2）過焦點且傾斜角為的直線的方程為，設(shè)，
聯(lián)立方程組消去可得，則，
所以.
8．（全國高二課時練習(xí)）已知動圓經(jīng)過點，并且與直線相切
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）經(jīng)過點(2,0)且傾斜角等于135°的直線與軌跡相交于兩點，求
【答案】（1）（2）16
【詳解】
（1）設(shè)，則依題意可得，
化簡得，
所以動圓圓心P的軌跡M的方程為
（2）直線的方程為，即，
聯(lián)立，消去并整理得，
設(shè)，，
則，，
由弦長公式可得.
所以

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