資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第39講 雙曲線
1．雙曲線的定義
(1)平面內(nèi)與兩個定點，()的距離之差的絕對值為非零常數(shù)()的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點．
(2)集合，，
其中為常數(shù)且.
①當時，點的軌跡是雙曲線；
②當時，點的軌跡是兩條射線；
③當時，點不存在．
2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)
標準方程
圖形
性 質(zhì) 范圍 或， 或a，
對稱性 對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點
頂點 ， ，
漸近線
離心率 ，
實、虛軸 線段叫做雙曲線的實軸，它的長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長；叫做雙曲線的實半軸長，叫做雙曲線的虛半軸長
的關系 ()
題型一：雙曲線定義
1．（全國高二課時練習）已知為坐標原點，設、分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上任一點，過點作的平分線的垂線，垂足為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
不妨在雙曲線右支上取點，延長、，交于點，
由角平分線性質(zhì)知：，
根據(jù)雙曲線的定義，，從而，
在中，為其中位線，故.
故選：B.
2．（山西平城·大同一中高二月考）若雙曲線：的左 右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則等于（ ）
A．26或6 B．26 C．6 D．28
【答案】B
【詳解】
因為雙曲線方程為：，
所以，
則，
又，
所以點P在雙曲線E上的左支上，由雙曲線的定義得，
解得，
故選：B
3．（江蘇海陵·泰州中學高二月考）已知，分別是雙曲線的左 右焦點，若是雙曲線左支上的點，且.則的面積為（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【詳解】
因為P是雙曲線左支上的點，所以，
兩邊平方得，
所以.
在中，由余弦定理得，
所以，所以.
故選：C
4．（全國）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線左支交于兩點，且，那么的值是（ ）
A．21 B．30 C．27 D．15
【答案】C
【詳解】
由題意可知，，
，，
兩式相加得，
即.
故選：C
5．（浙江高三專題練習）如圖是橢圓與雙曲線的公共焦點分別是在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
設，
由點為橢圓上的點，
可得且，即，
又由四邊形為矩形，
所以，即，
聯(lián)立方程組，解得，
設雙曲線的實軸長為，焦距為，
則，，即，
所以雙曲線的離心率為.
故選：D.
6．（全國）已知是雙曲線的左焦點，點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
【答案】A
【詳解】
設右焦點為，則，依題意，有，
，（當在線段上時，取等號）．
故的最小值為9.
故選：A.
7．（全國）動點到點及點的距離之差為，則當和時，點的軌跡分別是（ ）
A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線
C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線
【答案】C
由題意，知，當時，
，此時點的軌跡是雙曲線的一支；
當時，，
點的軌跡為以為端點沿軸向右的一條射線．
故選：C.
8．（全國高二課時練習）已知，為平面內(nèi)兩個定點，為動點，若（為大于零的常數(shù)），則動點的軌跡為（ ）
A．雙曲線 B．射線
C．線段 D．雙曲線的一支或射線
【答案】D
【詳解】
兩個定點的距離為，
當，即時，點的軌跡為雙曲線的一支；
當，即時，點的軌跡為射線；
不存在的情況．
綜上所述，動點的軌跡為雙曲線的一支或射線．
故選：D．
題型二：雙曲線標準方程
1．（全國）橢圓與雙曲線有相同的焦點，則實數(shù)等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
【答案】D
【詳解】
因為雙曲線的焦點在橫軸上，
所以由題意可得：，
故選：D
2．（全國）雙曲線的左頂點與右焦點間的距離為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】D
【詳解】
由，知，，所以左頂點與右焦點間的距離為．
故選：D.
3．（全國）方程表示雙曲線，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
因為方程表示雙曲線，
所以，
即，
解得：.
故選：A.
4．（山西臨汾·（理））若方程需表示雙曲線，則的取值范圍是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【詳解】
若方程需表示雙曲線，
則，解得或.
故選：A.
5．（全國）若方程＝1表示雙曲線，則的取值范圍是（ ）
A．(－2，2) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
【答案】A
【詳解】
由題意，方程＝1表示雙曲線，則滿足，
解得，即實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
6．（福建龍巖·高二期末）“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】
若方程表示雙曲線，
則，得，
則能推出，不能推出，
“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，
故選：A．
7．（全國高二課時練習）已知雙曲線的下、上焦點分別為，，是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
設雙曲線的方程為：，半焦距為.
則，，則，
故，所以雙曲線的標準方程為．
故選：C.
8．（全國高二課時練習）已知雙曲線的實軸的一個端點為，虛軸的一個端點為，且，則雙曲線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
依題意，，
所以雙曲線的方程為.
故選：C
9．（全國高三專題練習（理））已知雙曲線－＝1（）的實軸長為4，離心率為 ，則雙曲線的標準方程為（ ）
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
【答案】A
【詳解】
因為雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的實軸長為4，所以a＝2，
由離心率為，可得＝，c＝2，
所以b＝＝＝4，
則雙曲線的標準方程為－＝1.
故選：A
10．（江西上高二中高二期末（理））已知橢圓的長軸端點和焦點分別是雙曲線的焦點和頂點，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
由橢圓可得，，所以，
可得，
所以橢圓的長軸端點為，焦點為
所以雙曲線的焦點為，頂點為
設雙曲線方程為，可得，，
所以，
所以雙曲線的方程為，
故選：C.
題型三：離心率
1．（全國高二課時練習）已知雙曲線與直線有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
因為雙曲線的一條漸近線方程為，由題意得，
所以雙曲線的離心率．
故選：C.
2．（廣西高三開學考試（理））已知，是雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上的一點，且；則的離心率為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】
.
故選：B
3．（富寧縣第一中學（文））若點到雙曲線的一條漸近線的距離為1，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
∵漸近線為，即，
∴，∴.∴，
∴.
故選：D
4．（貴溪市實驗中學高三月考）已知雙曲線：，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【詳解】
雙曲線方程，，
，.
故選：C.
5．（合肥藝術中學 高二期中（理））已知雙曲線的一條漸近線方程為，則其離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
雙曲線的一條漸近線方程為，，
離心率.
故選：C.
6．（廣東高州·）焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為（ ）
A．1 B．4或1 C．3 D．4
【答案】D
【詳解】
顯然，又，解得．
故選：D．
7．（浙江省普陀中學高三開學考試）雙曲線，則其離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【詳解】
由雙曲線的方程為，可得，
∴ 離心率，
故選：A.
8．（云南省南澗縣第一中學（文））雙曲線的離心率為（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【詳解】
因為，，所以.
故選：D
9．（全國高二課時練習）雙曲線的離心率不大于的充要條件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因為雙曲線的離心率不大于，
所以
解得：0＜m≤1．
故選：B．
10．（浙江湖州·高二期中）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率的值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【詳解】
由題意知：，即，
∴.
故選：C
題型四：焦點三角形
1．（赤峰二中高二期末（文））設是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且，則的面積等于
A． B． C．6 D．10
【答案】C
【詳解】
根據(jù)雙曲線的定義，聯(lián)立解得，由于，故為直角三角形，故面積為.
2．（全國高二課時練習）已知雙曲線的焦點為，，點在雙曲線上，且軸，則到直線的距離為(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
.
3．（全國高二課時練習）設雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，是雙曲線上一點，且.若的面積為，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】D
【詳解】
設，.由，的面積為，
可得，∴①
由離心率為，可得，代入①式，可得.
故選：D.
4．（全國高二課時練習）已知雙曲線的右焦點為，是雙曲線的左支上一點，，則的周長的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
設雙曲線的左焦點為，則．由題可知，，
∴，，，
∴，的周長為．
∵當，，三點共線時，最小，最小值為，
∴的周長的最小值為．
故選：A
5．（湖北高三開學考試）已知雙曲線的左右焦點為，過的直線交雙曲線右支于，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
設因為，且，
所以，
由雙曲線的定義得：，，
因為，
所以，
解得，
所以在中，，
即，
解得，
故選：D
6．（安徽省岳西縣店前中學高二期末（文））設，為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上且滿足，則的面積為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【詳解】
由題意，雙曲線，可得，則，
因為點在雙曲線上，不妨設點在第一象限，
由雙曲線的定義可得，
又因為，可得，即，
又由，
可得，解得，
所以的面積為.
故選：C.
7．（安徽安慶·高三月考（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若為邊長為4的等邊三角形，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
∵，∴，
∵，∴，
因為，所以，，
∴.
故選：A
8．（河南高三開學考試（理））雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支在第一象限的交點為，與軸的交點為，且為的中點，若的周長為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
如圖所示：
由對稱性可知，因為的周長為，
所以，
又，
所以，．
因為為的中點，
所以，
則為等邊三角形，
所以，，．
又因為，
所以在中，．
所以，，
即雙曲線的漸近線方程為．
故選：B
9．（浙江溫州·高二期末）設為雙曲線：上的點，，分別是雙曲線的左，右焦點，，則的面積為（ ）
A． B． C．30 D．15
【答案】D
【詳解】
解：由，得，則，所以，
設，，則
，所以，
由余弦定理得，
因為，所以，所以，得，
所以，得，
所以，
所以，
所以的面積為，
故選：D
10．（新安縣第一高級中學（文））如圖， 是雙曲線：的左 右焦點，過的直線與雙曲線交于 兩點.若是中點且則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
設，
,
①，
②,
由①可得
代入②式化簡得：,
∴,∴,
所以雙曲線的漸近線方程為.
故選：A中小學教育資源及組卷應用平臺
第39講 雙曲線
1．雙曲線的定義
(1)平面內(nèi)與兩個定點，()的距離之差的絕對值為非零常數(shù)()的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點．
(2)集合，，
其中為常數(shù)且.
①當時，點的軌跡是雙曲線；
②當時，點的軌跡是兩條射線；
③當時，點不存在．
2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)
標準方程
圖形
性 質(zhì) 范圍 或， 或a，
對稱性 對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點
頂點 ， ，
漸近線
離心率 ，
實、虛軸 線段叫做雙曲線的實軸，它的長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長；叫做雙曲線的實半軸長，叫做雙曲線的虛半軸長
的關系 ()
【題型一：雙曲線定義】
1．（全國高二課時練習）已知為坐標原點，設、分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上任一點，過點作的平分線的垂線，垂足為，則（ ）
A． B． C． D．
2．（山西平城·大同一中高二月考）若雙曲線：的左 右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則等于（ ）
A．26或6 B．26 C．6 D．28
3．（江蘇海陵·泰州中學高二月考）已知，分別是雙曲線的左 右焦點，若是雙曲線左支上的點，且.則的面積為（ ）
A．8 B． C．16 D．
4．（全國）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線左支交于兩點，且，那么的值是（ ）
A．21 B．30 C．27 D．15
5．（浙江高三專題練習）如圖是橢圓與雙曲線的公共焦點分別是在第二、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則的離心率是（ ）
A． B． C． D．
6．（全國）已知是雙曲線的左焦點，點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
7．（全國）動點到點及點的距離之差為，則當和時，點的軌跡分別是（ ）
A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線
C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線
8．（全國高二課時練習）已知，為平面內(nèi)兩個定點，為動點，若（為大于零的常數(shù)），則動點的軌跡為（ ）
A．雙曲線 B．射線
C．線段 D．雙曲線的一支或射線
【題型二：雙曲線標準方程】
1．（全國）橢圓與雙曲線有相同的焦點，則實數(shù)等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
2．（全國）雙曲線的左頂點與右焦點間的距離為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
3．（全國）方程表示雙曲線，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（山西臨汾·（理））若方程需表示雙曲線，則的取值范圍是（ ）
A．或 B． C． D．
5．（全國）若方程＝1表示雙曲線，則的取值范圍是（ ）
A．(－2，2) B．(0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
6．（福建龍巖·高二期末）“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（全國高二課時練習）已知雙曲線的下、上焦點分別為，，是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
8．（全國高二課時練習）已知雙曲線的實軸的一個端點為，虛軸的一個端點為，且，則雙曲線方程為（ ）
A． B．
C． D．
9．（全國高三專題練習（理））已知雙曲線－＝1（）的實軸長為4，離心率為 ，則雙曲線的標準方程為（ ）
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
10．（江西上高二中高二期末（理））已知橢圓的長軸端點和焦點分別是雙曲線的焦點和頂點，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型三：離心率】
1．（全國高二課時練習）已知雙曲線與直線有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（廣西高三開學考試（理））已知，是雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上的一點，且；則的離心率為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（富寧縣第一中學（文））若點到雙曲線的一條漸近線的距離為1，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4．（貴溪市實驗中學高三月考）已知雙曲線：，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（合肥藝術中學 高二期中（理））已知雙曲線的一條漸近線方程為，則其離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．（廣東高州·）焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為（ ）
A．1 B．4或1 C．3 D．4
7．（浙江省普陀中學高三開學考試）雙曲線，則其離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
8．（云南省南澗縣第一中學（文））雙曲線的離心率為（ ）
A． B．3 C． D．
9．（全國高二課時練習）雙曲線的離心率不大于的充要條件是（　　）
A． B． C． D．
10．（浙江湖州·高二期中）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率的值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【題型四：焦點三角形】
1．（赤峰二中高二期末（文））設是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且，則的面積等于
A． B． C．6 D．10
2．（全國高二課時練習）已知雙曲線的焦點為，，點在雙曲線上，且軸，則到直線的距離為(　　)
A． B． C． D．
3．（全國高二課時練習）設雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，是雙曲線上一點，且.若的面積為，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．（全國高二課時練習）已知雙曲線的右焦點為，是雙曲線的左支上一點，，則的周長的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
5．（湖北高三開學考試）已知雙曲線的左右焦點為，過的直線交雙曲線右支于，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．（安徽省岳西縣店前中學高二期末（文））設，為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上且滿足，則的面積為（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．（安徽安慶·高三月考（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若為邊長為4的等邊三角形，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
8．（河南高三開學考試（理））雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支在第一象限的交點為，與軸的交點為，且為的中點，若的周長為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
9．（浙江溫州·高二期末）設為雙曲線：上的點，，分別是雙曲線的左，右焦點，，則的面積為（ ）
A． B． C．30 D．15
10．（新安縣第一高級中學（文））如圖， 是雙曲線：的左 右焦點，過的直線與雙曲線交于 兩點.若是中點且則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．

展開更多......

收起↑