資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第41講 特征數及抽樣方法
一．兩種抽樣方法
（一）簡單隨機抽樣
1.概念：一般地，從元素個數為N的總體中逐個不放回地抽取容量為的樣本，如果每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．
2.最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數法
3.適用范圍是：總體中的個體性質相似，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較小.
（二）分層抽樣
1.概念：當總體由有明顯差別的幾部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽樣，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不交叉的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣或系統抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣．
2.應用范圍是：總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時可采用簡單隨機抽樣或系統抽樣．
3.特征：等比例抽樣
二．頻率分布直方圖（表）
1.頻率分布直方圖基礎概念
①縱軸表示，
②頻率：數據落在各小組內的頻率用各長長方形的面積表示
③各小長方形的面積總和等于1．
④分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．
隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統計中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細的反映出總體的分布規律．
2.頻率分布直方圖的步驟如下
(ⅰ)求極差；(ⅱ)確定組距和組數；(ⅲ)將數據分組；(ⅳ)列頻率分布表；
(ⅴ)畫頻率分布直方圖．頻率分布直方圖能很容易地表示大量數據，非常直觀地表明分布的形狀．
三．莖葉圖
1.概念：當數據有兩位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊的數字表示個位數，即第二個有效數字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖．
當數據有三位有效數字，前兩位相對比較集中時，常以前兩位為莖，第三位(個位)為葉(其余類推)．
2.兩個突出的優點：其一是統計圖上沒有原始數據的損失，所有信息都可以從這個莖葉圖中得到，其二是在比賽時隨時記錄，方便記錄與表示．
四．樣本的數字特征
特征數 具體數字算法 頻率分布直方圖（表）
眾數 次數出現最多的數字 頻率最大或最高組的中間值
中位數 樣本數據中，將數據按大小排列，位于最中間的數據．如果數據的個數為偶數，就取當中兩個數據的平均數作為中位數 頻率等于0.5時的橫坐標
平均數 所有數字之和除以總個數 每個小矩形面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和
方差
平均數反映了數據取值的平均水平，標準差、方差描述了一組數據波動的大小．標準差、方差越大，數據的離散程度越大，越不穩定；標準差、方差越小，數據的離散程度越小，越穩定
題型一：兩種抽樣法
1．（石嘴山市第三中學高二月考）下列說法正確的個數是（ ）.
②總體的個體數不多時宜用簡單隨機抽樣法；
②在對總體均分后的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣；
③西貨商場的抽獎活動是抽簽法；
④整個抽樣過程中，每個個體被抽取的機率相等（有剔除時例外）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】
解：對于①，總體的個體數不多時宜用簡單隨機抽樣法，命題正確；
對于②，系統抽樣在總體均分以后的第一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣，②錯誤；
對于③，百貨商場的抽獎活動是抽簽法，也叫抓鬮，命題正確；
對于④，系統抽樣的整個抽樣過程中，每個個體被抽取的概率相等（有剔除時概率也相等），④錯誤；
綜上，正確的命題有2個．
故選：B．
2．（全國高一課時練習）關于簡單隨機抽樣，下列說法中正確的是（ ）
①它要求被抽取樣本的總體的個數有限；
②它是從總體中逐個地進行抽取；
③它是一種不放回抽樣；
④它是一種等可能性抽樣．
A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【詳解】
①簡單隨機抽樣中被抽取樣本的總體的個數有限，正確；
②簡單隨機抽樣是從總體中逐個地進行抽取，正確；
③簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣，正確；
④簡單隨機抽樣是一種等可能抽樣，即每個個體被抽取的可能性相等，正確．
故答案為：①②③④．
故選：A．
3．（廣州大學附屬中學高二月考）某工廠利用隨機數表對生產的50個零件進行抽樣測試，先將50個零件進行編號，編號分別為01，02，…，50，從中抽取5個樣本，下面提供隨機數表的第1行到第2行：
若從表中第1行第9列開始向右依次讀取數據，則得到的第4個樣本編號是（ ）
A．10 B．05 C．09 D．20
【答案】C
【詳解】
依題意，讀取的第一個數為14，向右每兩位讀取數據，依次為：64，05，71，11，05，65，09，
其中64，71，65不在編號范圍內，舍去，而后一個05與前一個05重復，應舍去后一個05，
讀取符合要求的兩位數據依次為：14，05，11，09，則09剛好是第四個符合要求的編號，
所以得到的第4個樣本編號是09.
故選：C
4．（大同市平城中學校高一月考）我國古代數學名著《九章算術》有一抽樣問題：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，這三面要征調300人，而北面共征調108人（用分層簡單抽樣的方法），則北面共有多少人（ ）
A．8000 B．8100 C．8200 D．8300
【答案】B
【詳解】
解：設北面人數為，根據題意知，
，
解得，
所以北面共有8100人．
故選：B
5．（陜西省黃陵縣中學高一月考）某校高二年級有男生600人，女生500人，為了解該年級學生的體育達標情況，從男生中任意抽取30人，從女生中任意抽取25人進行調查．這種抽樣方法是（ ）
A．系統抽樣法 B．抽簽法
C．隨機數法 D．分層抽樣法
【答案】D
【詳解】
∵所要研究的對象是男生和女生，要了解該年級學生的體育達標情況，
而男生和女生的體育達標情況有比較大的差異性，
∴抽取樣本的時候應該選擇分層抽樣，
總體是由男生和女生組成，比例為600∶500＝6∶5，故抽取的比例也是6∶5.
故選：D
6．（渭南市尚德中學高一月考）甲、乙兩套設備生產的同類型產品共4 800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測．若樣本中有50件產品由甲設備生產，則乙設備生產的產品總數為（ ）件.
A．1800 B．1600 C．1900 D．1000
【答案】A
【詳解】
解：樣本容量為80，抽取的比例為，
又樣本中有50件產品由甲設備生產，樣本中30件產品由乙設備生產，
乙設備生產的產品總數為．
故選：A．
7．（崇仁縣第二中學（文））某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有50名，高二年級有30名.現用分層抽樣的方法在這80名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了10名，則在高二年級的學生中應抽取的人數為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【詳解】
設樣本容量為N，
則,解得N=16，
所以高二所抽人數為：.
故選：A
8．（黑龍江讓胡路·大慶中學）從一個容量為（，）的總體中抽取一個容量為的樣本，當選取簡單隨機抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是，則選取分層隨機抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
隨機抽樣每個個體被抽到的概率相等，
選取分層抽樣抽取樣本時總體中每個個體被抽中的概率仍為
故選：D
9．（羅平縣第二中學）某奶制品工廠某天甲、乙、丙、丁四類奶制品的產量分別為2000盒、1250盒、1250盒、500盒．若按產量比例用分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本容量為60的樣本，則樣本中甲類奶制品的數量為（　　）
A．6盒 B．15盒 C．20盒 D．24盒
【答案】D
【詳解】
某天奶制品的總產量為，
則用分層抽樣抽取容量為60的樣本的抽樣比為：，
所以樣本中甲類奶制品的數量為.
故選：D
題型二：頻率分布直方圖
1．（廣西南寧·高三模擬預測（文））北京舞蹈學院為了解大一舞蹈專業新生的體重情況，對報到的1000名舞蹈專業生的數據（單位：）進行統計，得到如圖所示的體重頻率分布直方圖，則體重在以上的人數為（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
【答案】D
【詳解】
，
，
故選：D．
2．（天津市第四十七中學高三月考）天津中學為了調查該校學生對于新冠肺炎防控的了解情況，組織了一次新冠肺炎防控知識競賽，并從該學校1500名參賽學生中隨機抽取了100名學生，并統計了這100名學生成績情況（滿分100分，其中80分及以上為優秀），得到了樣本頻率分布直方圖（如圖），根據頻率分布直方圖推測，這1500名學生中競賽成績為優秀的學生人數大約為（ ）
A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【詳解】
由頻率分布直方圖可得樣本中優秀的頻率為，
則這1500名學生中競賽成績為優秀的學生人數大約為.
故選：C.
3．（沙坪壩·重慶南開中學）某部門為了了解一批樹苗的生長情況，在棵樹苗中隨機抽取棵，統計這棵樹苗的高度，將所得個高度數據分為組：，，，，，，，并繪制了頻率分布直方圖（如圖），那么根據該圖可推測，在這棵樹苗中高度小于cm的樹苗棵數是（ ）
A．360 B．600 C．840 D．1320
【答案】B
【詳解】
依題意可得這棵樹苗中高度小于cm的概率為，
所以在這棵樹苗中高度小于cm的樹苗棵數是，
故選：B
4．（江蘇南京·高二月考）為了解學生在課外活動方面的支出情況，抽取了個同學進行調查，結果顯示這些學生的支出金額（單位：元）都在內，其中支出金額在內的學生有234人，頻率分布直方圖如圖所示，則等于（ ）
A．300 B．320 C．340 D．360
【答案】D
【詳解】
解：由頻率分布直方圖知：，∴．
故選：D.
5．（嘉峪關市第一中學高一期中）在高一（1）班組織的“我愛古詩詞”的調研考試中，全班40名學生的成績數據（均為整數且都在）統計為如下的頻率分布直方圖，則第四小組（成績分布在）的頻率為（ ）
A．0.001 B．0.01 C．0.03 D．0.3
【答案】D
【詳解】
由頻率分布直方圖可得第四小組的頻率為.
故選：D.
6．（北京牛欄山一中）某工廠對一批元件進行抽樣檢測.經檢測，抽出的元件的長度（單位：mm）全部介于93至105之間.將抽出的元件的長度以2為組距分成6組：[93，95），[95，97），[97，99），[99，101），[101，103），[103，105]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若長度在[97，103）內的元件為合格品，根據頻率分布直方圖，估計這批元件的不合格率是（ ）
A．80% B．11% C．20% D．14.5%
【答案】C
【詳解】
解：長度在，內的元件為合格品，
根據頻率分布直方圖得不合格的頻率為：
，
所以估計這批元件的不合格率是．
故選：C．
7．（陜西韓城·高一期末）抽樣統計某校部分學生的物理測試成績，得到樣本頻率分布直方圖如圖所示，若滿分為100分，規定不低于60分為及格，則及格率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
解：根據頻率分布直方圖，
不低于60分的頻率為，
所以及格率是.
故選：D.
8．（河南商丘·）某校高三年級共有名學生選修地理，某次考試地理成績均在分之間，分數統計后繪成頻率分布直方圖，如圖所示，則成績在分的學生人數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
成績在分內的頻率為，
所以成績在分的學生人數為.
故選：C
9．（陜西銅川·高一期末）某班50名學生在一次百米測試中，成績全部不小于13秒且小于19秒，將測試結果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；…；第六組，成績大于等于18秒且小于19秒，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，設成績小于17秒的學生人數占全班總人數的百分比為，成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數為，則從頻率分布直方圖中可分析出和的值分別是（ ）
A．，35 B．，45
C．，35 D．，45
【答案】A
【詳解】
解：從頻率分布直方圖上可以看出，
，
故選：．
10．（全國高一專題練習）學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在的同學有人，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由頻率分布直方圖可知，
支出在的同學的頻率為：
，
故選：
題型三：平均數、眾數、中位數
1．（全國高一課時練習）下面表格記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）.已知甲組數據的中位數為15，乙組數據的平均數為16.8，則的值分別為（ ）
甲組 9 12 x 24 27
乙組 9 15 18 y 24
A．15，18 B．14，19 C．16，17 D．13，10
【答案】A
【詳解】
甲組共有5個數，其余4個數分別為9,12,24,27，余下一個數為，
將它們按從小到大排列后，第三個數為中位數，故中間數必定為且為15，
又，解得，
故選：A.
2．（全國）陽澄湖大閘蟹在國內外享譽盛名，某超市從批發商那里購得10000只大閘蟹，這批大閘蟹的平均重量是100克.現在某超市員工隨機抽取了一個樣本容量為100的樣本，檢測得這100只大閘蟹的平均重量為克，則以下說法正確的是（ ）
A．大于100 B．等于100 C．小于100 D．以上都有可能
【答案】D
【詳解】
解：由于樣本平均數是一個隨機變量，
故選：D.
3．（吉林長春外國語學校高二開學考試）甲組數據為：5，12，16，21，25，37，乙組數據為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數、極差及中位數相同的是（ ）
A．極差 B．平均數 C．中位數 D．都不相同
【答案】B
【詳解】
，
，故甲、乙的平均數相同，
甲、乙的極差分別為，，故不同，
甲、乙的中位數分別為，，故不同，
故選：．
4．（北京101中學高一期中）一組數據的平均數為，方差為，將這組數據的每個數都乘以得到一組新數據，則下列說法正確的是（ ）
A．這組新數據的平均數為 B．這組新數據的平均數為
C．這組新數據的方差為 D．這組新數據的標準差為
【答案】D.
【詳解】
由題可知，這組新數據的平均數為，故AB錯誤；這組新數據的方差為，故C錯誤；這組新數據的標準差為，故D正確.
故選：D.
5．（山西省長治市第二中學校高一月考）在發生某公共衛生事件期間，我國有關機構規定：該事件在一段時間沒有發生規模群體感染的標志為“連續10天每天新增加疑似病例不超過7人”．根據過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據，一定符合該標志的是（ ）
A．甲地總體均值為3，中位數為4 B．乙地總體均值為2，總體方差大于0
C．丙地總體均值為2，總體方差為3 D．丁地中位數為3，眾數為3
【答案】C
【詳解】
∵平均數和中位數不能限制某一天的病例超過7人，A不正確；
當總體方差大于0，不知道總體方差的具體數值，
因此不能確定數據的波動大小，B不正確；
當總體平均數是2，假設有一個數據超過7，則方差就超過3，不成立，故C正確．
中位數和眾數也不能限制某一天的病例超過7人，D不正確；
故選：C．
6．（全國高三月考（文））某大學共有名學生，為了了解學生課外圖書閱讀量情況，該校隨機地從全校學生中抽取名，統計他們每年閱讀的書籍數量，由此來估計全體學生當年的閱讀書籍數量的情況，下列估計中正確的是（ ）
（注：同一組數據用該組區間的中點值作為代表）
A．眾數為 B．平均數為
C．中位數為 D．該校讀書不低于本的人數約為人
【答案】B
【詳解】
A：由圖知：眾數在，故眾數為，錯誤；
B：平均數為，正確；
C：由圖知：中位數在，所以，解得，錯誤；
D：由圖知：該校讀書不低于本的頻率之和為，所以該校讀書不低于本的人數約為人.
故選：.
7．（甘肅張掖市第二中學高三月考（理））聯合國《生物多樣性公約》第十五次締約方大會（COP15）將于2021年10月11日至15日和2022年上半年分兩階段在中國昆明舉行．為了讓廣大市民深入了解COP15，展現春城昆明的城市形象，2021年6月5日全國30個城市聯動舉行了“2021COP15春城之邀——一粒來自昆明的種子”活動，活動特別準備了2萬份“神秘”花種盲盒，其中有一種花種的花卉，其植株高度的一個隨機樣本的頻率分布直方圖如圖所示，根據這個樣本的頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（ ）
A．這種花卉的植株高度超過的估計占25%
B．這種花卉的植株高度低于的估計占5%
C．這種花卉的植株高度的平均數估計超過
D．這種花卉的植株高度的中位數估計不超過
【答案】D
【詳解】
對于A，由頻率分布直方圖可知，這種花卉的植株高度超過的頻率為，所以這種花卉的植株高度超過的估計占25%，所以A正確，
對于B，由頻率分布直方圖可知，這種花卉的植株高度低于的頻率為，所以這種花卉的植株高度低于的估計占5%，所以B正確，
對于C，這種花卉的植株高度的平均數約為，所以C正確，
對于D，因為，，所以中位數在40-50之間，設中位數為，則，解得，所以D錯誤，
故選：D
8．（邯山區新思路學本文化輔導學校高一月考）跳水比賽共有7名裁判分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從7個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到5個有效評分.5個有效評分與7個原始評分相比，一定不會改變的數字特征是（ ）
A．眾數 B．標準差 C．中位數 D．極差
【答案】C
【詳解】
從7個原始評分去掉1個最高分、1個最低分，得到5個有效評分，
其平均數、極差、方差都可能會發生改變，
不變的數字特征數中位數.
故選：C.
9．（江蘇通州·高一期中）某機構調査了10種食品的卡路里含量，結果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.則這組數據的第25百分位數和中位數分別是（　　）
A．138，160.5 B．138，146 C．138，175 D．135，160.5
【答案】A
直接按照百分位數的定義求第25百分位數；按中位數的定義求中位數.
【詳解】
將10個數按從小到大排列：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195，
而，為第3項138；
中位數為.
故選：A
10．（寧夏大學附屬中學高二月考（文））某次數學檢測中，某一題目的得分情況如下：
得分（分） 0 1 2 3 4
百分率（%） 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2
其中眾數是（ ）
A．37.0% B．20.2% C．0分 D．4分
【答案】C
【詳解】
解：眾數是指一組數據中出現次數最多的數據，
根據所給表格的百分率最高的是“0”，
可求出眾數是：0．
故選：C．
11．（四川雅安·高二期末（文））某中學有10個學生社團，每個社團的人數分別是70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，則這組數據的平均數，眾數，中位數的和為（ ）
A．165 B．160 C．150 D．170
【答案】C
【詳解】
人數分別是10,30,30,40,40,50,60,60,60,70，則眾數為60，中位數為，平均數為，
∴平均數，眾數，中位數的和為：60+45+45=150.
故選：C.
12．（福建省福州第一中學）福州地鐵二號線“福州大學站”的一個安保員，某日將負責的車箱從中午一點開始的十班下車的人數統計如下：3 6 7 3 10 4 6 7 6 8，則這組數據的眾數為（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【詳解】
3 6 7 3 10 4 6 7 6 8按從小到大排列3 3 4 6 6 6 7 7 8 10
所以眾數為6
故選：B
題型四：方差、標準差
1．（全國高二課時練習）有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數據，計算出樣本均值，方差分別為，.由此可以估計（ ）
A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊
B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊
C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同
D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較
【答案】B
【詳解】
解：已知樣本方差：，
由此估計，乙種水稻的方差約為，甲種水稻的方差約為.
因為
所以乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊
故選：B.
2．（玉林市第十一中學高二月考）對某商店一個月內每天的顧客人數進行了統計，得到樣本的莖葉圖（如圖所示），則該樣本的極差是（ ）
A．56 B．53 C．55 D．51
【答案】A
【詳解】
由題意，莖葉圖中數據最大值為68，最小值為12
故極差
故選：A
3．（全國（文））在五場籃球比賽中，甲、乙兩名運動員得分的莖葉圖如圖所示.下列說法正確的是（ ）
A．甲得分的中位數和極差都比乙大
B．甲得分的中位數比乙小，但極差比乙大
C．甲得分的中位數和極差都比乙小
D．甲得分的中位數比乙大，但極差比乙小
【答案】B
【詳解】
甲得分依次為、、、、，
中位數是，極差為，
乙得分依次為、、、、，
中位數是，極差為，
則甲得分的中位數比乙小，極差比乙大，
故選：B.
4．（咸陽百靈學校高一月考）甲 乙兩個樣本的方差分別為，，由此反映（ ）
A．樣本甲的波動比樣本乙大 B．樣本乙的波動比樣本甲大
C．樣本甲和樣本乙的波動一樣大 D．樣本甲和樣本乙的波動大小無法確定
【答案】B
【詳解】
解：樣本方差的大小反應樣本的波動情況，樣本方差越大，則樣本波動越大，反之波動越小，所以此題樣本乙的波動比樣本甲的波動大.
故選：B
5．（山西懷仁·高二期末（文））有一組樣本數據，，，…，，由這組數據得到新樣本數據，其中，，，…，，為非零常數，則（ ）
A．兩組樣本數據的樣本平均數相同 B．兩組樣本數據的樣本中位數數相同
C．兩組樣本數據的樣本標準差相同 D．兩組樣本數據的樣本極差不同
【答案】C
【詳解】
設樣本數據，，，…，的樣本平均數為，樣本中位數為，樣本標準差為，
根據平均數和標準差的性質可知，樣本數據，，，…，的樣本平均數為，樣本標準差為，
根據中位數的概念可知，樣本數據，，，…，的樣本中位數為，
根據極差的概念可知兩組樣本數據的樣本極差相同.
故選：C
6．（長春市第二十九中學）如果，，，的方差是，則，，，的方差為（ ）
A．9 B．3 C． D．6
【答案】B
【詳解】
如果，，，的方差是，則，，，的方差為,
故選：B.
7．（廣東惠州·高一期末）已知有樣本數據2、4、5、6、8，則該樣本的方差為（ ）
A．5 B．4 C．2 D．0
【答案】B
【詳解】
解：平均數為．
該樣本的方差為．
故選：B．
8．（浙江臺州·高一期末）若數據的方差為2，則的方差為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【詳解】
解：因為數據的方差為2，
所以的方差為.
故選：D.
9．（云南昆明·高二期末（文））設一組樣本數據的方差為1，則數據的方差為（ ）
A．36 B．7 C．6 D．1
【答案】D
【詳解】
解：設的平均數為，即，則
數據的平均數，
所以數據的方差為
，
故選：D
10．（湖南天心·長郡中學高二期末）已知數據 的方差為 4 ， 若 ， 則新數據 的方差為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【詳解】
解：由題意可得，
因為，所以，
所以新數據 的方差為
，
故選：D
11．（全國高一期末）已知五個數據3，4，x，6，7的平均數是，則該樣本標準差為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【詳解】
解：因為五個數據3，4，x，6，7的平均數是x，
所以，解得，
所以標準差為，
故選：B
12．（山西）數據，，，的平均數為4，標準差為2，則數據，，，的方差和平均數分別為（ ）
A．36，14 B．14，36 C．12，19 D．4，12
【答案】A
【詳解】
數據，，…，的平均數為4，標準差為2，所以數據，，…，的方差為4，平均數為4.根據方差和平均數的性質可得，，…，的方差為，平均數為.
故選:A.
13．（廣州大學附屬中學高二開學考試）若數據，，…，的平均數為4，標準差為1，則，，…，的平均數和標準差分別為（ ）
A．4，1 B．17，8 C．17，9 D．17，3
【答案】D
【詳解】
解：∵，，…，的平均數為，方差為，標準差為，
∴，，…，的平均數為，即為17.
方差
，
∴標準差.
故選：D.中小學教育資源及組卷應用平臺
第41講 特征數及抽樣方法
兩種抽樣方法
（一）簡單隨機抽樣
1.概念：一般地，從元素個數為N的總體中逐個不放回地抽取容量為的樣本，如果每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．
2.最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數法
3.適用范圍是：總體中的個體性質相似，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較小.
（二）．分層抽樣
1.概念：當總體由有明顯差別的幾部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽樣，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不交叉的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣或系統抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣．
2.應用范圍是：總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時可采用簡單隨機抽樣或系統抽樣．
3.特征：等比例抽樣
二．頻率分布直方圖（表）
1.頻率分布直方圖基礎概念
①縱軸表示，
②頻率：數據落在各小組內的頻率用各長長方形的面積表示
③各小長方形的面積總和等于1．
④分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．
隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統計中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細的反映出總體的分布規律．
2.頻率分布直方圖的步驟如下
(ⅰ)求極差；(ⅱ)確定組距和組數；(ⅲ)將數據分組；(ⅳ)列頻率分布表；
(ⅴ)畫頻率分布直方圖．頻率分布直方圖能很容易地表示大量數據，非常直觀地表明分布的形狀．
三．莖葉圖
1.概念：當數據有兩位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊的數字表示個位數，即第二個有效數字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖．
當數據有三位有效數字，前兩位相對比較集中時，常以前兩位為莖，第三位(個位)為葉(其余類推)．
2.兩個突出的優點：其一是統計圖上沒有原始數據的損失，所有信息都可以從這個莖葉圖中得到，其二是在比賽時隨時記錄，方便記錄與表示．
四．樣本的數字特征
特征數 具體數字算法 頻率分布直方圖（表）
眾數 次數出現最多的數字 頻率最大或最高組的中間值
中位數 樣本數據中，將數據按大小排列，位于最中間的數據．如果數據的個數為偶數，就取當中兩個數據的平均數作為中位數 頻率等于0.5時的橫坐標
平均數 所有數字之和除以總個數 每個小矩形面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和
方差
平均數反映了數據取值的平均水平，標準差、方差描述了一組數據波動的大小．標準差、方差越大，數據的離散程度越大，越不穩定；標準差、方差越小，數據的離散程度越小，越穩定
【題型一：三種抽樣法】
1．（石嘴山市第三中學高二月考）下列說法正確的個數是（ ）.
②總體的個體數不多時宜用簡單隨機抽樣法；
②在對總體均分后的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣；
③西貨商場的抽獎活動是抽簽法；
④整個抽樣過程中，每個個體被抽取的機率相等（有剔除時例外）.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（全國高一課時練習）關于簡單隨機抽樣，下列說法中正確的是（ ）
①它要求被抽取樣本的總體的個數有限；
②它是從總體中逐個地進行抽取；
③它是一種不放回抽樣；
④它是一種等可能性抽樣．
A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④
3．（廣州大學附屬中學高二月考）某工廠利用隨機數表對生產的50個零件進行抽樣測試，先將50個零件進行編號，編號分別為01，02，…，50，從中抽取5個樣本，下面提供隨機數表的第1行到第2行：
若從表中第1行第9列開始向右依次讀取數據，則得到的第4個樣本編號是（ ）
A．10 B．05 C．09 D．20
4．（全國高三專題練習（文））采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號1，2，……，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為29，則抽到的32人中，編號落入區間的人數為（ ）
A．10 B．14 C．15 D．16
5．（河南商丘·高一月考）從個體編號為的總體中，用系統抽樣(等距)的方法抽取個個體，若抽取的第一個個體的編號為則抽取的最后一個個體的編號為（ ）
A． B． C． D．
6．（內蒙古集寧二中）采用系統抽樣方法，從個體數為1001的總體中抽取一個容量為40的樣本，則在抽取過程中，被剔除的個體數與抽樣間隔分別為（ ）
A．1，25 B．1，20 C．3，20 D．3，25
7．（廣西梧州·蒙山中學高一月考）某初級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現要抽取10人參加某項調査，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統一編號為1，2，…，270;使用系統抽樣時，將學生統一隨機編號為1，2，．．．，270，并將整個編號依次分為10段．如果抽到的號碼有下列四種情況:
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．
關于上述樣本的下列結論中，正確的是（ ）
A．②、③都不能為系統抽樣 B．②、④都不能為分層抽樣
C．①、④都可能為系統抽樣 D．①、③都可能為分層抽樣
8．（大同市平城中學校高一月考）我國古代數學名著《九章算術》有一抽樣問題：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，這三面要征調300人，而北面共征調108人（用分層簡單抽樣的方法），則北面共有多少人（ ）
A．8000 B．8100 C．8200 D．8300
9．（陜西省黃陵縣中學高一月考）某校高二年級有男生600人，女生500人，為了解該年級學生的體育達標情況，從男生中任意抽取30人，從女生中任意抽取25人進行調查．這種抽樣方法是（ ）
A．系統抽樣法 B．抽簽法
C．隨機數法 D．分層抽樣法
10．（渭南市尚德中學高一月考）甲、乙兩套設備生產的同類型產品共4 800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測．若樣本中有50件產品由甲設備生產，則乙設備生產的產品總數為（ ）件.
A．1800 B．1600 C．1900 D．1000
11．（崇仁縣第二中學（文））某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有50名，高二年級有30名.現用分層抽樣的方法在這80名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了10名，則在高二年級的學生中應抽取的人數為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
12．（黑龍江讓胡路·大慶中學）從一個容量為（，）的總體中抽取一個容量為的樣本，當選取簡單隨機抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是，則選取分層隨機抽樣方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的可能性是（ ）
A． B． C． D．
13．（羅平縣第二中學）某奶制品工廠某天甲、乙、丙、丁四類奶制品的產量分別為2000盒、1250盒、1250盒、500盒．若按產量比例用分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本容量為60的樣本，則樣本中甲類奶制品的數量為（　　）
A．6盒 B．15盒 C．20盒 D．24盒
【題型二：頻率分布直方圖】
1．（廣西南寧·高三模擬預測（文））北京舞蹈學院為了解大一舞蹈專業新生的體重情況，對報到的1000名舞蹈專業生的數據（單位：）進行統計，得到如圖所示的體重頻率分布直方圖，則體重在以上的人數為（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
2．（天津市第四十七中學高三月考）天津中學為了調查該校學生對于新冠肺炎防控的了解情況，組織了一次新冠肺炎防控知識競賽，并從該學校1500名參賽學生中隨機抽取了100名學生，并統計了這100名學生成績情況（滿分100分，其中80分及以上為優秀），得到了樣本頻率分布直方圖（如圖），根據頻率分布直方圖推測，這1500名學生中競賽成績為優秀的學生人數大約為（ ）
A．120 B．360 C．420 D．480
3．（沙坪壩·重慶南開中學）某部門為了了解一批樹苗的生長情況，在棵樹苗中隨機抽取棵，統計這棵樹苗的高度，將所得個高度數據分為組：，，，，，，，并繪制了頻率分布直方圖（如圖），那么根據該圖可推測，在這棵樹苗中高度小于cm的樹苗棵數是（ ）
A．360 B．600 C．840 D．1320
4．（江蘇南京·高二月考）為了解學生在課外活動方面的支出情況，抽取了個同學進行調查，結果顯示這些學生的支出金額（單位：元）都在內，其中支出金額在內的學生有234人，頻率分布直方圖如圖所示，則等于（ ）
A．300 B．320 C．340 D．360
5．（嘉峪關市第一中學高一期中）在高一（1）班組織的“我愛古詩詞”的調研考試中，全班40名學生的成績數據（均為整數且都在）統計為如下的頻率分布直方圖，則第四小組（成績分布在）的頻率為（ ）
A．0.001 B．0.01 C．0.03 D．0.3
6．（北京牛欄山一中）某工廠對一批元件進行抽樣檢測.經檢測，抽出的元件的長度（單位：mm）全部介于93至105之間.將抽出的元件的長度以2為組距分成6組：[93，95），[95，97），[97，99），[99，101），[101，103），[103，105]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若長度在[97，103）內的元件為合格品，根據頻率分布直方圖，估計這批元件的不合格率是（ ）
A．80% B．11% C．20% D．14.5%
7．（陜西韓城·高一期末）抽樣統計某校部分學生的物理測試成績，得到樣本頻率分布直方圖如圖所示，若滿分為100分，規定不低于60分為及格，則及格率是（ ）
A． B．
C． D．
8．（河南商丘·）某校高三年級共有名學生選修地理，某次考試地理成績均在分之間，分數統計后繪成頻率分布直方圖，如圖所示，則成績在分的學生人數為（ ）
A． B． C． D．
9．（陜西銅川·高一期末）某班50名學生在一次百米測試中，成績全部不小于13秒且小于19秒，將測試結果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；…；第六組，成績大于等于18秒且小于19秒，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，設成績小于17秒的學生人數占全班總人數的百分比為，成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數為，則從頻率分布直方圖中可分析出和的值分別是（ ）
A．，35 B．，45
C．，35 D．，45
10．（全國高一專題練習）學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在的同學有人，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【題型三：平均數、眾數、中位數】
1．（全國高一課時練習）下面表格記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）.已知甲組數據的中位數為15，乙組數據的平均數為16.8，則的值分別為（ ）
甲組 9 12 x 24 27
乙組 9 15 18 y 24
A．15，18 B．14，19 C．16，17 D．13，10
2．（全國）陽澄湖大閘蟹在國內外享譽盛名，某超市從批發商那里購得10000只大閘蟹，這批大閘蟹的平均重量是100克.現在某超市員工隨機抽取了一個樣本容量為100的樣本，檢測得這100只大閘蟹的平均重量為克，則以下說法正確的是（ ）
A．大于100 B．等于100 C．小于100 D．以上都有可能
3．（吉林長春外國語學校高二開學考試）甲組數據為：5，12，16，21，25，37，乙組數據為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數、極差及中位數相同的是（ ）
A．極差 B．平均數 C．中位數 D．都不相同
4．（北京101中學高一期中）一組數據的平均數為，方差為，將這組數據的每個數都乘以得到一組新數據，則下列說法正確的是（ ）
A．這組新數據的平均數為 B．這組新數據的平均數為
C．這組新數據的方差為 D．這組新數據的標準差為
5．（山西省長治市第二中學校高一月考）在發生某公共衛生事件期間，我國有關機構規定：該事件在一段時間沒有發生規模群體感染的標志為“連續10天每天新增加疑似病例不超過7人”．根據過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據，一定符合該標志的是（ ）
A．甲地總體均值為3，中位數為4 B．乙地總體均值為2，總體方差大于0
C．丙地總體均值為2，總體方差為3 D．丁地中位數為3，眾數為3
6．（全國高三月考（文））某大學共有名學生，為了了解學生課外圖書閱讀量情況，該校隨機地從全校學生中抽取名，統計他們每年閱讀的書籍數量，由此來估計全體學生當年的閱讀書籍數量的情況，下列估計中正確的是（ ）
（注：同一組數據用該組區間的中點值作為代表）
A．眾數為 B．平均數為
C．中位數為 D．該校讀書不低于本的人數約為人
7．（甘肅張掖市第二中學高三月考（理））聯合國《生物多樣性公約》第十五次締約方大會（COP15）將于2021年10月11日至15日和2022年上半年分兩階段在中國昆明舉行．為了讓廣大市民深入了解COP15，展現春城昆明的城市形象，2021年6月5日全國30個城市聯動舉行了“2021COP15春城之邀——一粒來自昆明的種子”活動，活動特別準備了2萬份“神秘”花種盲盒，其中有一種花種的花卉，其植株高度的一個隨機樣本的頻率分布直方圖如圖所示，根據這個樣本的頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（ ）
A．這種花卉的植株高度超過的估計占25%
B．這種花卉的植株高度低于的估計占5%
C．這種花卉的植株高度的平均數估計超過
D．這種花卉的植株高度的中位數估計不超過
8．（邯山區新思路學本文化輔導學校高一月考）跳水比賽共有7名裁判分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從7個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到5個有效評分.5個有效評分與7個原始評分相比，一定不會改變的數字特征是（ ）
A．眾數 B．標準差 C．中位數 D．極差
9．（江蘇通州·高一期中）某機構調査了10種食品的卡路里含量，結果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.則這組數據的第25百分位數和中位數分別是（　　）
A．138，160.5 B．138，146 C．138，175 D．135，160.5
10．（寧夏大學附屬中學高二月考（文））某次數學檢測中，某一題目的得分情況如下：
得分（分） 0 1 2 3 4
百分率（%） 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2
其中眾數是（ ）
A．37.0% B．20.2% C．0分 D．4分
11．（四川雅安·高二期末（文））某中學有10個學生社團，每個社團的人數分別是70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，則這組數據的平均數，眾數，中位數的和為（ ）
A．165 B．160 C．150 D．170
12．（福建省福州第一中學）福州地鐵二號線“福州大學站”的一個安保員，某日將負責的車箱從中午一點開始的十班下車的人數統計如下：3 6 7 3 10 4 6 7 6 8，則這組數據的眾數為（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【題型四：方差、標準差】
1．（全國高二課時練習）有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數據，計算出樣本均值，方差分別為，.由此可以估計（ ）
A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊
B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊
C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同
D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較
2．（玉林市第十一中學高二月考）對某商店一個月內每天的顧客人數進行了統計，得到樣本的莖葉圖（如圖所示），則該樣本的極差是（ ）
A．56 B．53 C．55 D．51
3．（全國（文））在五場籃球比賽中，甲、乙兩名運動員得分的莖葉圖如圖所示.下列說法正確的是（ ）
A．甲得分的中位數和極差都比乙大
B．甲得分的中位數比乙小，但極差比乙大
C．甲得分的中位數和極差都比乙小
D．甲得分的中位數比乙大，但極差比乙小
4．（咸陽百靈學校高一月考）甲 乙兩個樣本的方差分別為，，由此反映（ ）
A．樣本甲的波動比樣本乙大 B．樣本乙的波動比樣本甲大
C．樣本甲和樣本乙的波動一樣大 D．樣本甲和樣本乙的波動大小無法確定
5．（山西懷仁·高二期末（文））有一組樣本數據，，，…，，由這組數據得到新樣本數據，其中，，，…，，為非零常數，則（ ）
A．兩組樣本數據的樣本平均數相同 B．兩組樣本數據的樣本中位數數相同
C．兩組樣本數據的樣本標準差相同 D．兩組樣本數據的樣本極差不同
6．（長春市第二十九中學）如果，，，的方差是，則，，，的方差為（ ）
A．9 B．3 C． D．6
7．（廣東惠州·高一期末）已知有樣本數據2、4、5、6、8，則該樣本的方差為（ ）
A．5 B．4 C．2 D．0
8．（浙江臺州·高一期末）若數據的方差為2，則的方差為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．（云南昆明·高二期末（文））設一組樣本數據的方差為1，則數據的方差為（ ）
A．36 B．7 C．6 D．1
10．（湖南天心·長郡中學高二期末）已知數據 的方差為 4 ， 若 ， 則新數據 的方差為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
11．（全國高一期末）已知五個數據3，4，x，6，7的平均數是，則該樣本標準差為（ ）
A．1 B． C． D．2
12．（山西）數據，，，的平均數為4，標準差為2，則數據，，，的方差和平均數分別為（ ）
A．36，14 B．14，36 C．12，19 D．4，12
13．（廣州大學附屬中學高二開學考試）若數據，，…，的平均數為4，標準差為1，則，，…，的平均數和標準差分別為（ ）
A．4，1 B．17，8 C．17，9 D．17，3

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