資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第42講 回歸直線方程
1．回歸分析
如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，則這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．回歸直線對應的方程叫做回歸直線方程(簡稱回歸方程)．
2．回歸方程的求解
（1）求回歸方程的方法是最小二乘法，即使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小．
若變量與具有線性相關關系，有個樣本數據，則回歸方程中，.
其中，
稱為樣本點的中心．
（2）線性回歸模型，其中稱為隨機誤差，自變量稱為解釋變量，因變量稱為預報變量．
【注意】①回歸直線必過樣本點的中心，這個結論既是檢驗所求回歸直線方程是否準確的依據，也是求參數的一個依據．
②利用回歸直線方程不但可以預測在x取某一個值時，y的估計值，同時也能知道x每增加1個單位，的變化量．
③在回歸直線方程中，既表示直線的斜率，又表示自變量的取值每增加一個單位時，函數的改變量．
【題型一：相關關系】
1．（全國高一課時練習）有五組變量：
①汽車的重量和汽車每消耗一升汽油所行駛的距離；
②平均日學習時間和平均學習成績；
③某人每天的吸煙量和身體健康狀況；
④圓的半徑與面積；
⑤汽車的重量和每千米的耗油量．
其中兩個變量成正相關的是（ ）
A．②④⑤ B．②④ C．②⑤ D．④⑤
2．（全國高二課時練習）下列語句所表示的事件中的因素不具有相關關系的是（ ）
A．瑞雪兆豐年 B．讀書破萬卷，下筆如有神
C．吸煙有害健康 D．喜鵲叫喜，烏鴉叫喪
3．（全國高二課時練習）下面的變量之間可用直線擬合的是（ ）
A．出租車費與行駛的里程
B．房屋面積與房屋價格
C．身高與體重
D．實心鐵塊的大小與質量
4．（全國）某次考試之后，班主任從全班同學中隨機抽取8位同學，他們的數學、物理成績（單位：分，滿分100分）的散點圖如圖所示：
根據以上信息，有下列結論：
①根據散點圖，可以判斷數學成績與物理成績具有線性相關關系；
②從全班同學中隨機抽取2名同學（記為甲、乙），若甲同學的數學成績為80分，乙同學的數學成績為60分，則可以判斷出甲同學的物理成績一定比乙同學的物理成績高；
③從全班同學中隨機抽取2名同學（記為甲、乙），若甲同學的數學成績為80分，乙同學的數學成績為60分，則不能判斷出甲同學的物理成績一定比乙同學的物理成績高.
其中正確的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（全國高二單元測試）下列有關相關關系及線性回歸的說法，不正確的是（ ）
A．一個變量取值一定時，另一個變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系稱為相關關系
B．在平面直角坐標系中用描點的方法得到表示具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形稱為散點圖
C．線性回歸方程最能代表觀測值，之間的關系
D．任何一組觀測值都能得到具有代表意義的回歸方程
6．（靜寧縣第一中學高二月考（文））已知變量和滿足關系，變量與負相關．下列結論中正確的是（ ）
A．與正相關，與負相關
B．與正相關，與正相關
C．與負相關，與負相關
D．與負相關，與正相關
7．（威海市第一中學高二月考）對變量X，Y有觀測數據（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）對變量U，V有觀測數據（10,1），（11.3,2），（11.8,3），(12.5,4)，（13,5），表示變量X，Y之間的線性相關系數，表示受最U，V之間的線性相關系數，則（ ）
A． B． C． D．
8．（江蘇沭陽·高二期末）對四組數據進行統計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數的比較，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型二：回歸直線方程（小題）】
1．（江西吉安一中高二開學考試（理））已知與之間的一組數據：，則與的線性回歸方程為必過（ ）
A． B． C． D．
2．（孟津縣第一高級中學（理））為了慶祝建黨100周年，某網站從7月1日開始推出黨史類書籍免費下載活動，已知活動推出時間（單位：天）與累計下載量（單位：萬次）的統計數據如表所示：
4 5 6 7 8
6 8 9 10 12
根據上表，利用最小二乘法得到回歸直線方程，據此模型預測，活動推出11天的累計下載量約為（ ）
A．13.8萬次 B．14.6萬次
C．16萬次 D．18萬次
3．（貴州貴陽一中高三月考（文））某產品的零售價（元）與銷售量（個）的統計表如下：
12 13 14 15 16
44 35 28 20 11
據上表可得回歸直線方程為，則（ ）
A．140.6 B．141 C．141.2 D．141.4
4．（崇仁縣第二中學（文）） 某公司為了增加某商品的銷售利潤，調查了該商品投入的廣告費用（萬元）與銷售利潤（萬元）的統計數據如下表，由表中數據，得回歸直線：，則下列結論錯誤的是（ ）
廣告費用（萬元） 2 3 5 6
銷售利潤（萬元） 5 7 9 11
A． B．
C．直線過點（4，8） D．直線過點（2，5）
5．（全國高二課時練習）設有一個回歸方程為，則變量增加一個單位時（ ）
A．平均增加1.5個單位 B．平均增加2個單位
C．平均減少1.5個單位 D．平均減少2個單位
6．（鎮遠縣文德民族中學校高二月考（理））已知兩個變量x，y線性相關，且根據觀測到的數據計算樣本平均數得，則根據這組觀測數據算得的線性回歸方程不可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（全國高二單元測試）已知與之間的一組數據：
則與的線性回歸方程必過點___________.
8．（長春市第二十中學高二期末）已知 取值如下表：
0 1 4 5 6
1.3 5.6 7.4
畫散點圖分析可知：與線性相關，且求得回歸方程為，則的值為___________.（精確到0.1）
9．（四川樂山·高二期末（文））某家具廠的原材料費支出與銷售量（單位：萬元）之間有如下數據，根據表中提供的全部數據，用最小二乘法得出與的線性回歸方程為，則______．
2 4 5 6 8
25 35 60 55 75
10．（四川成都·高三模擬預測（文））已知關于，的一組數據：
根據表中這五組數據得到的線性回歸直線方程為，則的值為___________.
【題型三：回歸直線方程】
1．（渭南市尚德中學高二月考（文））在一段時間內，分5次調查，得到某種商品的價格（萬元）和需求量之間的一組數據為：
1 2 3 4 5
價格 1.4 1.6 1.8 2 2.2
需求量 12 10 7 5 3
（1）求出關于的線性回歸方程；
（2）若價格定為1.9萬元，預測需求量大約是多少？（精確到0.01t）．
2．（海原縣第一中學高一期末）某產品的廣告費支出與銷售額（單位：百萬元）之間有如下對應數據：
（1）求線性回歸方程；
（2）預測當廣告費支出（百萬元）時的銷售額．
（回歸直線方程是：，其中，
3．（渝中·重慶巴蜀中學）高二下學期期末考試之后，年級隨機選取8個同學，調査得到每位同學的每日數學學習時間分鐘與期末數學考試成績(分)的數據，并求得.
（1）求學生的數學考試成績與學生每日數學學習時間的線性回歸方程；
（2）小明每日數學學習時間如果是65分鐘，試著預測他這次考試的數學成績.
附：
4．（陜西銅川·高一期末）某個體服裝店經營某種服裝，在某周內每天獲純利（元）與該周每天銷售這種服裝件數之間的一組數據關系如下表所示．
3 4 5 6 7 8 9
66 69 73 81 89 90 91
已知，，．
（1）求，；
（2）畫出散點圖；
（3）求純利與每天銷售件數之間的回歸直線方程（結果保留兩位小數）；
（4）若該周內某天銷售服裝20件，估計可獲純利多少元．（精確到1元）
注：，．
5．（陜西秦都·咸陽市實驗中學高一月考）假設關于某設備的使用年限和所支出的維修費用 (萬元)，有如下的統計資料:
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由資料可知對呈線性相關關系，試求:
（1）線性回歸方程;
（2）估計使用年限為10年時的維修費用.
(注: ，)
6．（四川南充·高二期末（理））某產品的廣告費用(單位:萬元)與銷售額(單位:萬元)的統計數據如下表:
根據上表可得回歸方程.
（1）求;
（2）估計廣告費用萬元時，銷售額是多少萬元
7．（陜西長安一中高二期末（文））2020年8月11日新華社北京電，國家主席習近平對制止餐飲浪費行為作出重要指示.他指出，餐飲浪費現象，觸目驚心、令人痛心！“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦.”盡管我國糧食生產連年豐收，對糧食安全還是始終要有危機意識，今年全球新冠肺炎疫情所帶來的影響更是給我們敲響了警鐘.糧食問題是關乎民生的大問題.某地近幾年來糧食產量逐步上升，下表是部分統計數據：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
年份代碼 1 2 3 4 5
需求量萬噸 136 146 157 176 186
（1）利用所給數據求糧食年需求量與年份代碼之間的回歸直線方程；
（2）預測2020年的糧食需求量.
參考公式：.
8．（千陽縣中學高二期中（文））入夏以來，天氣炎熱，合肥地區用電負荷連創新高，某用戶隨機統計了家里某4天用電量（千瓦·時）與當天氣溫（℃）情況，數據如下表：
氣溫（℃） 30 32 34 36
用電量（千瓦 時） 20 26 30 36
（1）請根據提供的數據，計算，，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；
（2）請估計當時的y值.
參考公式：，.
9．（巴楚縣第一中學高二期中（文））某研究機構對某校高二文科學生的記憶力和判斷力進行統計分析，得下表數據．
6 8 10 12
2 3 5 6
（1）請畫出上表數據的散點圖；
（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；
（3）試根據（2）中求出的線性回歸方程，預測記憶力為14的學生的判斷力.
（參考公式：其中）
10．（長春市第二十九中學高二期末（文））某種產品的廣告費支出與銷售額（單位：百萬元）之間如下對應數據：
2 4 5 6 8
30 40 60 50 70
（1）求回歸方程；
（2）試預測廣告費支出為10百萬時的銷售額為多大．（，）中小學教育資源及組卷應用平臺
第42講 回歸直線方程
1．回歸分析
如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，則這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．回歸直線對應的方程叫做回歸直線方程(簡稱回歸方程)．
2．回歸方程的求解
（1）求回歸方程的方法是最小二乘法，即使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小．
若變量與具有線性相關關系，有個樣本數據，則回歸方程中，.
其中，
稱為樣本點的中心．
（2）線性回歸模型，其中稱為隨機誤差，自變量稱為解釋變量，因變量稱為預報變量．
【注意】①回歸直線必過樣本點的中心，這個結論既是檢驗所求回歸直線方程是否準確的依據，也是求參數的一個依據．
②利用回歸直線方程不但可以預測在x取某一個值時，y的估計值，同時也能知道x每增加1個單位，的變化量．
③在回歸直線方程中，既表示直線的斜率，又表示自變量的取值每增加一個單位時，函數的改變量．
題型一：相關關系
1．（全國高一課時練習）有五組變量：
①汽車的重量和汽車每消耗一升汽油所行駛的距離；
②平均日學習時間和平均學習成績；
③某人每天的吸煙量和身體健康狀況；
④圓的半徑與面積；
⑤汽車的重量和每千米的耗油量．
其中兩個變量成正相關的是（ ）
A．②④⑤ B．②④ C．②⑤ D．④⑤
【答案】C
【詳解】
①中，汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程是負相關的關系；
②中，平均日學習時間和平均學習成績的關系是一個正相關；
③中，某人每日吸煙量和其身體健康情況是負相關的關系；
④中，圓的半徑與面積是函數關系；
⑤中，汽車的重量和百公里耗油量關系是一個正相關；，
所以②⑤中的兩個變量屬于線性正相關．
故選：C．
2．（全國高二課時練習）下列語句所表示的事件中的因素不具有相關關系的是（ ）
A．瑞雪兆豐年 B．讀書破萬卷，下筆如有神
C．吸煙有害健康 D．喜鵲叫喜，烏鴉叫喪
【答案】D
“瑞雪兆豐年”和“讀書破萬卷，下筆如有神”是根據多年經驗總結歸納出來的，吸煙有害健康具有科學根據，所以它們都是相關關系，所以A、B、C三項具有相關關系；
結合生活經驗知喜鵲和烏鴉發出叫聲是它們自身的生理反應，與人無任何關系，故D項不具有相關關系
故選：D.
3．（全國高二課時練習）下面的變量之間可用直線擬合的是（ ）
A．出租車費與行駛的里程
B．房屋面積與房屋價格
C．身高與體重
D．實心鐵塊的大小與質量
【答案】C
【詳解】
出租車費與行駛的里程是確定的函數關系，故A錯誤；房屋面積與房屋價格是確定的函數關系，故B錯誤；人的身高會影響體重，但不是唯一因素，可用直線擬合，故C正確；實心鐵塊的大小與質量是確定的函數關系，故D錯誤.
故選：C．
4．（全國）某次考試之后，班主任從全班同學中隨機抽取8位同學，他們的數學、物理成績（單位：分，滿分100分）的散點圖如圖所示：
根據以上信息，有下列結論：
①根據散點圖，可以判斷數學成績與物理成績具有線性相關關系；
②從全班同學中隨機抽取2名同學（記為甲、乙），若甲同學的數學成績為80分，乙同學的數學成績為60分，則可以判斷出甲同學的物理成績一定比乙同學的物理成績高；
③從全班同學中隨機抽取2名同學（記為甲、乙），若甲同學的數學成績為80分，乙同學的數學成績為60分，則不能判斷出甲同學的物理成績一定比乙同學的物理成績高.
其中正確的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【詳解】
由散點圖，知兩個變量具有線性相關關系，所以①正確；
利用統計知識進行預測，得到的結論有一定的隨機性，所以②錯誤，③正確；
所以正確結論的個數為2.
故選：C.
5．（全國高二單元測試）下列有關相關關系及線性回歸的說法，不正確的是（ ）
A．一個變量取值一定時，另一個變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系稱為相關關系
B．在平面直角坐標系中用描點的方法得到表示具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形稱為散點圖
C．線性回歸方程最能代表觀測值，之間的關系
D．任何一組觀測值都能得到具有代表意義的回歸方程
【答案】D
【詳解】
對于D，當所得到的一組觀測值不具有相關關系時，求得的回歸方程就毫無意義．所以D錯.
故選：D.
6．（靜寧縣第一中學高二月考（文））已知變量和滿足關系，變量與負相關．下列結論中正確的是（ ）
A．與正相關，與負相關
B．與正相關，與正相關
C．與負相關，與負相關
D．與負相關，與正相關
【答案】D
【詳解】
∵，
∴隨的增大而減小，即與負相關，
又與負相關，故增大時，減小，增大，
所以與正相關．
故選：D.
7．（威海市第一中學高二月考）對變量X，Y有觀測數據（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）對變量U，V有觀測數據（10,1），（11.3,2），（11.8,3），(12.5,4)，（13,5），表示變量X，Y之間的線性相關系數，表示受最U，V之間的線性相關系數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：由條件可知：第一組中的數據負相關，相關系數小于零；
第二組中的數據正相關，相關系數大于零.
所以有.
故選：C
8．（江蘇沭陽·高二期末）對四組數據進行統計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數的比較，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
解：由圖可知，圖2和圖3是正相關，圖1和圖4是負相關，
囷1和圖2的點相對更加集中，所以相關性更強，所以接近于，接近1，
所以，
故選：A
題型二：回歸直線方程（小題）
1．（江西吉安一中高二開學考試（理））已知與之間的一組數據：，則與的線性回歸方程為必過（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由題意可知：，，
與的線性回歸方程必過點.
故選：C.
2．（孟津縣第一高級中學（理））為了慶祝建黨100周年，某網站從7月1日開始推出黨史類書籍免費下載活動，已知活動推出時間（單位：天）與累計下載量（單位：萬次）的統計數據如表所示：
4 5 6 7 8
6 8 9 10 12
根據上表，利用最小二乘法得到回歸直線方程，據此模型預測，活動推出11天的累計下載量約為（ ）
A．13.8萬次 B．14.6萬次
C．16萬次 D．18萬次
【答案】C
【詳解】
由表格數據知，
由回歸直線方程的性質，得，所以，故，
所以當時，（萬次），
故選：C.
3．（貴州貴陽一中高三月考（文））某產品的零售價（元）與銷售量（個）的統計表如下：
12 13 14 15 16
44 35 28 20 11
據上表可得回歸直線方程為，則（ ）
A．140.6 B．141 C．141.2 D．141.4
【答案】B
【詳解】
解：由表得，，所以，解得.
故選：B.
4．（崇仁縣第二中學（文）） 某公司為了增加某商品的銷售利潤，調查了該商品投入的廣告費用（萬元）與銷售利潤（萬元）的統計數據如下表，由表中數據，得回歸直線：，則下列結論錯誤的是（ ）
廣告費用（萬元） 2 3 5 6
銷售利潤（萬元） 5 7 9 11
A． B．
C．直線過點（4，8） D．直線過點（2，5）
【答案】D
【詳解】
畫出散點圖如圖所示．
通過散點圖可知回歸直線是遞增型，所以，
也可以觀測到在軸的截距是大于零的，所以．
，，
所以回歸直線過（4，8）這一點.
所以ABC選項結論正確，D選項結論錯誤.
故選：D
5．（全國高二課時練習）設有一個回歸方程為，則變量增加一個單位時（ ）
A．平均增加1.5個單位 B．平均增加2個單位
C．平均減少1.5個單位 D．平均減少2個單位
【答案】C
【詳解】
因為直線回歸方程為：①，
當變量增加一個單位時②，
由②①可得：，
所以變量增加一個單位時平均減少1.5個單位，
故選：C.
6．（鎮遠縣文德民族中學校高二月考（理））已知兩個變量x，y線性相關，且根據觀測到的數據計算樣本平均數得，則根據這組觀測數據算得的線性回歸方程不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
解：因為線性回歸直線方程一定經過樣本中心，，
又，，，，
所以這組觀測數據算得的線性回歸方程不可能是，
故選：D.
7．（全國高二單元測試）已知與之間的一組數據：
則與的線性回歸方程必過點___________.
【答案】
【詳解】
由表格數據可知：，，
線性回歸方程必過點.
故答案為：.
8．（長春市第二十中學高二期末）已知 取值如下表：
0 1 4 5 6
1.3 5.6 7.4
畫散點圖分析可知：與線性相關，且求得回歸方程為，則的值為___________.（精確到0.1）
【答案】1.7
【詳解】
因為，
所以有，
故答案為：
9．（四川樂山·高二期末（文））某家具廠的原材料費支出與銷售量（單位：萬元）之間有如下數據，根據表中提供的全部數據，用最小二乘法得出與的線性回歸方程為，則______．
2 4 5 6 8
25 35 60 55 75
【答案】10
【詳解】
由題意，得，，
由樣本中心在回歸方程上，
∴，得.
故答案為：
10．（四川成都·高三模擬預測（文））已知關于，的一組數據：
根據表中這五組數據得到的線性回歸直線方程為，則的值為___________.
【答案】
【詳解】
由題意，根據表格中的數據，可得，
，即樣本中心為，
則，即，
解得.
故答案為：
題型三：回歸直線方程（大題）
1．（渭南市尚德中學高二月考（文））在一段時間內，分5次調查，得到某種商品的價格（萬元）和需求量之間的一組數據為：
1 2 3 4 5
價格 1.4 1.6 1.8 2 2.2
需求量 12 10 7 5 3
（1）求出關于的線性回歸方程；
（2）若價格定為1.9萬元，預測需求量大約是多少？（精確到0.01t）．
【答案】（1）；（2）6.25 t.
【詳解】
（1）∵，，，，
∴，，
故y關于x的線性回歸方程為．
（2）當時，，
∴價格定為1.9萬元時，預測需求量大約是．
2．（海原縣第一中學高一期末）某產品的廣告費支出與銷售額（單位：百萬元）之間有如下對應數據：
（1）求線性回歸方程；
（2）預測當廣告費支出（百萬元）時的銷售額．
（回歸直線方程是：，其中，
【答案】（1）；（2）百萬元.
【詳解】
（1）由題意，，，而，，
∴，則，
∴線性回歸方程為.
（2）當時，(百萬元).
3．（渝中·重慶巴蜀中學）高二下學期期末考試之后，年級隨機選取8個同學，調査得到每位同學的每日數學學習時間分鐘與期末數學考試成績(分)的數據，并求得.
（1）求學生的數學考試成績與學生每日數學學習時間的線性回歸方程；
（2）小明每日數學學習時間如果是65分鐘，試著預測他這次考試的數學成績.
附：
【答案】（1）；（2）分.
【詳解】
解：（1）由已知可求得：，
所以，
頁，則線性回歸方程為：.
（2）當時，帶入回歸方程得，
所以預測他這次考試數學成績為分.
4．（陜西銅川·高一期末）某個體服裝店經營某種服裝，在某周內每天獲純利（元）與該周每天銷售這種服裝件數之間的一組數據關系如下表所示．
3 4 5 6 7 8 9
66 69 73 81 89 90 91
已知，，．
（1）求，；
（2）畫出散點圖；
（3）求純利與每天銷售件數之間的回歸直線方程（結果保留兩位小數）；
（4）若該周內某天銷售服裝20件，估計可獲純利多少元．（精確到1元）
注：，．
【答案】（1），；（2）作圖見解析；（3）；（4）146元．
【詳解】
（1），；
（2）散點圖如圖所示．
（3）由散點圖知與具有線性相關關系，設回歸直線方程為．
∵，，，，，
∴，，
∴回歸直線方程為；
（4）當時，．
∴該周內某天的銷售量為20件時，估計這天可獲純利146元．
5．（陜西秦都·咸陽市實驗中學高一月考）假設關于某設備的使用年限和所支出的維修費用 (萬元)，有如下的統計資料:
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由資料可知對呈線性相關關系，試求:
（1）線性回歸方程;
（2）估計使用年限為10年時的維修費用.
(注: ，)
【答案】（1）；（2）12.38萬元..
【詳解】
（1），
(2)將代入得
即使用年限為10年時的維修費用的估計值為12.38萬元.
6．（四川南充·高二期末（理））某產品的廣告費用(單位:萬元)與銷售額(單位:萬元)的統計數據如下表:
根據上表可得回歸方程.
（1）求;
（2）估計廣告費用萬元時，銷售額是多少萬元
【答案】（1）；（2）
【詳解】
解：（1），，
數據的樣本中心點在線性回歸直線上，回歸方程，
，
，
（2）線性回歸方程是，
廣告費用為6萬元時銷售額為萬元
7．（陜西長安一中高二期末（文））2020年8月11日新華社北京電，國家主席習近平對制止餐飲浪費行為作出重要指示.他指出，餐飲浪費現象，觸目驚心、令人痛心！“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦.”盡管我國糧食生產連年豐收，對糧食安全還是始終要有危機意識，今年全球新冠肺炎疫情所帶來的影響更是給我們敲響了警鐘.糧食問題是關乎民生的大問題.某地近幾年來糧食產量逐步上升，下表是部分統計數據：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
年份代碼 1 2 3 4 5
需求量萬噸 136 146 157 176 186
（1）利用所給數據求糧食年需求量與年份代碼之間的回歸直線方程；
（2）預測2020年的糧食需求量.
參考公式：.
【答案】（1）；（2）萬噸.
【詳解】
（1），
，
，
∴，，
故回歸方程為.
（2）將代入，得，所以預計2020年的糧食需求量為萬噸.
8．（千陽縣中學高二期中（文））入夏以來，天氣炎熱，合肥地區用電負荷連創新高，某用戶隨機統計了家里某4天用電量（千瓦·時）與當天氣溫（℃）情況，數據如下表：
氣溫（℃） 30 32 34 36
用電量（千瓦 時） 20 26 30 36
（1）請根據提供的數據，計算，，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；
（2）請估計當時的y值.
參考公式：，.
【答案】（1）；（2）41千瓦 時.
【詳解】
（1），
.
求得線性回歸方程為：；
（2）當時，（千瓦 時）
所以根據回歸方程估計用41千瓦 時.
9．（巴楚縣第一中學高二期中（文））某研究機構對某校高二文科學生的記憶力和判斷力進行統計分析，得下表數據．
6 8 10 12
2 3 5 6
（1）請畫出上表數據的散點圖；
（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；
（3）試根據（2）中求出的線性回歸方程，預測記憶力為14的學生的判斷力.
（參考公式：其中）
【答案】（1）見解析；（2）（3）判斷力為7.5.
【詳解】
（1）
（2），，
，
，所以.
.
故線性回歸方程為.
（3）當時，故可預測記憶力為14的學生的判斷力為7.5.
10．（長春市第二十九中學高二期末（文））某種產品的廣告費支出與銷售額（單位：百萬元）之間如下對應數據：
2 4 5 6 8
30 40 60 50 70
（1）求回歸方程；
（2）試預測廣告費支出為10百萬時的銷售額為多大．（，）
【答案】（1）；（2）百萬元
【詳解】
（1），，
，，
，，
，，
所以所求回歸方程為：.
（2）由代入得，
所以預測廣告費支出為10百萬時的銷售額為百萬元.

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