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第45講 二項式定理
1．二項式定理
．
2.二項展開式的特點
(1)這個公式叫做二項式定理．
(2)展開式：等號右邊的多項式叫做的二項展開式，展開式中一共有項．
(3)二項式系數(shù)：各項的系數(shù)()叫做二項式系數(shù)．
(4)各項的次數(shù)和都等于二項式的冪指數(shù).
3.二項展開式的通項公式
展開式的第項叫做二項展開式的通項，記作
4.二項式定理中，項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別
二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念．二項式系數(shù)是指，，…，，它只與各項的項數(shù)有關，而與的值無關，而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關，而且也與的值有關．
【題型一：二項式定理】
1．（全國高二課時練習）二項式的展開式中為常數(shù)項的是（ ）
A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項
2．（全國高二課時練習）等于（ ）
A．2n B．2n－1 C．3n D．1
3．（全國高二課時練習）若的展開式有16項，則自然數(shù)的值為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．16
4．（包頭市第六中學高二期中（理））若且，則實數(shù)m的值為（　　）
A．1或﹣3 B．﹣1 C．﹣3 D．1
5．（全國高二課時練習）設為虛數(shù)單位，則展開式中的第三項為（ ）
A．－20i B．15i C．20 D．－15
6．（陜西金臺·高二期末（理））展開式中的第4項為（ ）
A． B． C． D．
7．（全國高三專題練習（理））二項式的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A． B． C． D．
8．（重慶市第六十六中學校高二月考）二項式的展開式中，常數(shù)項為（ ）
A．-4 B．4 C．-6 D．6
9．（全國高二課時練習）已知的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為512，則這個展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
10．（廣東荔灣·西關外國語學校高三月考）展開式中的常數(shù)項為－160，則a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
11．（贛榆智賢中學）二項式的展開式中常數(shù)項為60，則（ ）
A． B． C．2 D．3
12．（全國高二課時練習）的展開式的常數(shù)項為（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
13．（全國高二課時練習）在的展開式中，項的系數(shù)為（　　）
A． B． C．30 D．50
【題型二：二項式系數(shù)】
1．（全國高二課時練習）的展開式中含項的二項式系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（全國高二課時練習）的展開式中常數(shù)項是（ ）
A．60 B．120 C．160 D．960
3．（全國高二課時練習）在的展開式中，第三項的二項式系數(shù)為6，則第四項的系數(shù)為（ ）
A．4 B．27 C．36 D．108
4．（江蘇高三月考）若二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（ ）
A． B． C． D．
5．（江蘇南京·高二期末）展開式中所有項的系數(shù)和為243，展開式中二項式系數(shù)最大值為（ ）
A．6 B．10 C．15 D．20
6．（遼寧丹東·高三二模）在的二項展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（全國）已知的展開式中奇次項系數(shù)之和等于364，那么展開式中二項式系數(shù)最大的項是（ ）
A．第3項 B．第4項
C．第5項 D．第6項
8．（全國高二課時練習）已知的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和是64，則它的展開式的中間項為（ ）
A． B． C．和 D．和
9．（吳江汾湖高級中學）已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則所有項的二項式系數(shù)和為（ ）
A． B． C． D．
10．（江蘇如皋·高三模擬預測）的展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．20 B． C．60 D．
11．（河南平頂山·（理））的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為256，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B．504 C． D．70
【題型三：項的系數(shù)】
1．（全國高二課時練習）設，則等于（ ）
A．4 B．－71 C．64 D．199
2．（湖北襄城·襄陽五中高三月考）的展開式中所有的項的系數(shù)之和為（ ）
A． B． C． D．
3．（全國高二單元測試）的展開式中，項的系數(shù)是（ ）
A．56 B．－56 C．28 D．－28
4．（全國高二課時練習）二項式的展開式中含項的系數(shù)為（ ）
A．160 B．-160 C．80 D．-800
5．（汕頭市潮南區(qū)陳店實驗學校高二期中）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．40 B．80 C． D．
6．（金華市方格外國語學校高二月考）若，則（　　）
A．2 B． C．2 D．
7．（福建省寧德市教師進修學院高二期末）已知，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（江蘇鼓樓·南京市第二十九中學高二期中）設，是常數(shù)，則的值是（ ）
A． B． C． D．0
9．（陜西渭濱·（理）），則（ ）
A．49 B．52 C．56 D．59
10．（全國高二課時練習）若對于任意的實數(shù)，有，則的值為（ ）
A． B． C． D．中小學教育資源及組卷應用平臺
第45講 二項式定理
1．二項式定理
．
2.二項展開式的特點
(1)這個公式叫做二項式定理．
(2)展開式：等號右邊的多項式叫做的二項展開式，展開式中一共有項．
(3)二項式系數(shù)：各項的系數(shù)()叫做二項式系數(shù)．
(4)各項的次數(shù)和都等于二項式的冪指數(shù).
3.二項展開式的通項公式
展開式的第項叫做二項展開式的通項，記作
4.二項式定理中，項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別
二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念．二項式系數(shù)是指，，…，，它只與各項的項數(shù)有關，而與的值無關，而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關，而且也與的值有關．
題型一：二項式定理
1．（全國高二課時練習）二項式的展開式中為常數(shù)項的是（ ）
A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項
【答案】C
【詳解】
依題意，的展開式的通項為，，
令，得，即是二項式的展開式的常數(shù)項，
所以展開式中的常數(shù)項是第5項.
故選：C
2．（全國高二課時練習）等于（ ）
A．2n B．2n－1 C．3n D．1
【答案】C
【詳解】
.
故選：C
3．（全國高二課時練習）若的展開式有16項，則自然數(shù)的值為（ ）
A．9 B．10 C．11 D．16
【答案】B
【詳解】
解：因為的展開式共有項，所以，所以，
故選：B．
4．（包頭市第六中學高二期中（理））若且，則實數(shù)m的值為（　　）
A．1或﹣3 B．﹣1 C．﹣3 D．1
【答案】A
【詳解】
因為
令，則；
令則，
又，所以，即，因此，
解得或 .
故選A
5．（全國高二課時練習）設為虛數(shù)單位，則展開式中的第三項為（ ）
A．－20i B．15i C．20 D．－15
【答案】D
【詳解】
解：(1＋i)6展開式中的第三項為．
故選：D
6．（陜西金臺·高二期末（理））展開式中的第4項為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
解：展開式中的第4項為，
故選：D
7．（全國高三專題練習（理））二項式的展開式中的常數(shù)項為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
二項式的展開式的通項為：，
令，可得：，
所以常數(shù)項為，
故選：B.
8．（重慶市第六十六中學校高二月考）二項式的展開式中，常數(shù)項為（ ）
A．-4 B．4 C．-6 D．6
【答案】D
【詳解】
二項式的展開式的通項公式為：，
令，解得，
所以常數(shù)項為，
故選：D
9．（全國高二課時練習）已知的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為512，則這個展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
【答案】B
【詳解】
由已知，，則，所以.
令，得，所以常數(shù)項為，
故選：B．
10．（廣東荔灣·西關外國語學校高三月考）展開式中的常數(shù)項為－160，則a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
【答案】B
【詳解】
的展開式通項為，
∴令，解得，
∴的展開式的常數(shù)項為，
∴
∴
故選：B.
11．（贛榆智賢中學）二項式的展開式中常數(shù)項為60，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【詳解】
通項,,
令，得，得，
所以，即故，
故選：A.
12．（全國高二課時練習）的展開式的常數(shù)項為（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
【答案】D
【詳解】
由題意得的展開式的通項為，
令，則，
所以的展開式的常數(shù)項為.
故選：D.
13．（全國高二課時練習）在的展開式中，項的系數(shù)為（　　）
A． B． C．30 D．50
【答案】B
【詳解】
表示5個因式的乘積，在這5個因式中，
有2個因式都選，其余的3個因式都選1，相乘可得含的項；
或者有3個因式選，有1個因式選，1個因式選1，相乘可得含的項，
故項的系數(shù)為，
故選B．
題型二：二項式系數(shù)
1．（全國高二課時練習）的展開式中含項的二項式系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
的展開式的通項為：，
令可得，
所以含項的二項式系數(shù)為，
故選：D.
2．（全國高二課時練習）的展開式中常數(shù)項是（ ）
A．60 B．120 C．160 D．960
【答案】C
【詳解】
的展開式的通項公式為，
令，則，
故常數(shù)項為第4項且為，
故選：C.
3．（全國高二課時練習）在的展開式中，第三項的二項式系數(shù)為6，則第四項的系數(shù)為（ ）
A．4 B．27 C．36 D．108
【答案】D
【詳解】
解：的展開式中的第項為，由，得，
所以，故第四項的系數(shù)為．
故選：D.
4．（江蘇高三月考）若二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
令可得，
所以，展開式有項，
所以二項式展開式中二項式系數(shù)最大的為第項，
，
故選：A.
5．（江蘇南京·高二期末）展開式中所有項的系數(shù)和為243，展開式中二項式系數(shù)最大值為（ ）
A．6 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【詳解】
令得，，
展開式中二項式系數(shù)最大的項是第3和第4項，最大的二項式系數(shù)為．
故選：B．
6．（遼寧丹東·高三二模）在的二項展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【詳解】
因為在的二項展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，
所以，
解得，
故選：B
7．（全國）已知的展開式中奇次項系數(shù)之和等于364，那么展開式中二項式系數(shù)最大的項是（ ）
A．第3項 B．第4項
C．第5項 D．第6項
【答案】B
【詳解】
設(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，則展開式中奇次項系數(shù)之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1．
分別令x＝1，x＝－1，得
兩式相減，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝．
由已知，得＝364，
∴32n＝729＝36，即n＝3．
(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展開式共有7項，中間一項的二項式系數(shù)最大，即第4項的二項式系數(shù)最大．
故選：B.
8．（全國高二課時練習）已知的展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和是64，則它的展開式的中間項為（ ）
A． B． C．和 D．和
【答案】C
【詳解】
由已知，可得，解得，
的展開式中共有8項，中間項為第4項與第5項，
，
故選：C
9．（吳江汾湖高級中學）已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則所有項的二項式系數(shù)和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
由題意，展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，故
因此，所有項的二項式系數(shù)和為
故選：C
10．（江蘇如皋·高三模擬預測）的展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．20 B． C．60 D．
【答案】C
【詳解】
由題意得，故.
所以原式為，
通項為，
令得，
故常數(shù)項為：.
故選：C.
11．（河南平頂山·（理））的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為256，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B．504 C． D．70
【答案】A
【詳解】
由題可知，解得．的展開式的通項為
．再令，解得．
所以展開式中的系數(shù)為．
故選：A
題型三：項的系數(shù)
1．（全國高二課時練習）設，則等于（ ）
A．4 B．－71 C．64 D．199
【答案】C
【詳解】
∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，
令x＝0，
∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.
故選：C.
2．（湖北襄城·襄陽五中高三月考）的展開式中所有的項的系數(shù)之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
令，，則展開式所有項的系數(shù)和為.
故選：A.
3．（全國高二單元測試）的展開式中，項的系數(shù)是（ ）
A．56 B．－56 C．28 D．－28
【答案】A
【詳解】
依題意，
所以的系數(shù)是.
故選：A
4．（全國高二課時練習）二項式的展開式中含項的系數(shù)為（ ）
A．160 B．-160 C．80 D．-800
【答案】A
【詳解】
解：展開式的通項為，
令，得，
所以含項的系數(shù)為．
故選：A．
5．（汕頭市潮南區(qū)陳店實驗學校高二期中）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．40 B．80 C． D．
【答案】A
【詳解】
，
所以展開式中的系數(shù)為.
故選：A
6．（金華市方格外國語學校高二月考）若，則（　　）
A．2 B． C．2 D．
【答案】B
【詳解】
令，則，即，
故選：B.
7．（福建省寧德市教師進修學院高二期末）已知，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【詳解】
因為，
令，
得，
故選：B
8．（江蘇鼓樓·南京市第二十九中學高二期中）設，是常數(shù)，則的值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【詳解】
解：令，可得，
令，可得，
所以.
故選：A.
9．（陜西渭濱·（理）），則（ ）
A．49 B．52 C．56 D．59
【答案】B
【詳解】
令得，，
所以.
故選：B
10．（全國高二課時練習）若對于任意的實數(shù)，有，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
，所以.
故選：B

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